jeŝeli stosunek współczynnika przy trzecim wyrazie + x a

Transkrypt

1 Metod mtemtcze fizki Zdi do ćwiczeń (Jcek Mtulewski) wesj z di 6 stczi 6 Njowsz wesj dostęp w sieci: Główe źódł: Dóbk Szmński Zbió zdń z mtemtki dl kls III IV liceum Ksicki Włodski Aliz mtemtcz w zdich cz Uwg o otcji: (kopk) jest uŝw jko smbol dziesięt Zokąglij liczb do jedej liczb po pzeciku: Zpisz w fomcie zmieopzecikowm: 4 4 Oszcuj ile cząsteczek zjduje się w sli lub pokoju w któej się zjdujesz (N A 6 V 4 m /kmol) 4 Smbol Newto Dwumi Newto i jego ozwiięcie Tójkąt Pscl Zleźć siódm wz ozwiięci dwumiu ( + b ) 8 6 Zleźć piąt wz ozwiięci dwumiu + do współczik pz dugim wzie wosi / 7 Dowieść Ŝe + + k k k b k jeŝeli stosuek współczik pz tzecim wzie 8 Podć wik sum: k k k k 9 Rówie kwdtowe Miejsc zeowe Zpis tójmiu w postci iloczu i w postci koiczej Wpowdzić wtości p i q w postci koiczej tójmiu kwdtowego Spóbuj zleźć miejsc zeowe i zpisz w postci iloczu i w postci koiczej: ) c) + i ) (uŝć i i stąd Fukcje elemete: potęgow m wkłdicz logtmicz log ( > ) Nszkicuj wkes fukcji / - 4 Kozstjąc z włsości potęg dowieść Ŝe p ) log b log c log bc + log ( b ) p log b / q c) log b log b log b d) q q log b log b log Oblicz: 9 9 ) ( + ) log c) log d) ( + ) 4 6 Wkoj dziłi i upość wŝeie: ) ( + ) + + ( + ) c) ( + b) d) 7 Pzedstw w postci potęgi ( to liczb tul wmie) 8 RozwiąŜ ówie 8 9 Nszkicuj wkes fukcji Podj dziedzię zbió wtości pzedził mootoiczości: ) g) log c) h) log i) d) e) log j) + RozwiąŜ ówi: ) + 7 ( ) f) log ( + ( ) + ( ) )

2 Dl jkich i b pwdziw jest wzó log ( + b) log + b? Mjąc de log log oblicz log 6 6 Upość wŝeie b b b + b b + b 4 Obliczć: Zleźć ówi postej ówoległej i postej postopdłej do postej + pzechodzącej pzez pukt ( 7) 6 Pzedstwić gficzie zbió ozwiązń ówi πz + z 4 7 Rozwiązć ukłd ówń liiowch i podć liczbę ozwiązń w zleŝości od wtości pmetu p d 8 f pd + f 8 Nie kozstjąc z pochodch zleźć jmiejszą i jwiększą wtość fukcji π + w pzedzile ( ] 9 Wkozstując wzo Viete wzczć wtości pmetu k dl któch ówie t t + k m dw óŝe ozwiązi dodtie Podć zbió będąc ozwiąziem ieówości ) l + 4l < 4z 8z z Rozwiązć ówie i podć dziedzię ) z z c) z z < Wzczć dziedzię fukcji log ( log ( 4 )) Fukcje tgoometcze 4 Nszkicuj wkes fukcji: si + cos si si + si Kozstjąc ze wzoów si(+) i cos(+) oblicz si() i cos() 6 Oblicz wtość fukcji si cos tg ctg dl 49 si si 7 Upościć: ) c ctg( ) 8 Upość wŝeie α ctg α cos α tg + tgb ctg + ctgb + tg tgb ctg ctgb si dl π < α < π c) cos(4ccos()) cos cos 9 Kozstjąc ze wzoów si(+b) i cos(+b) pzedstwić tg(+b) pzez tg() i tg(b) Alogiczie pzedstwić ctg(+b) pzez ctg() i ctg(b) 4 Oblicz: o o cos6 cos7 o tg + 4 Cz si(cos()) jest dodtie? 4 Cz f() jest pzst? ) si f ( ) 4 Fukcje hipebolicze 44 Fukcje odwote ctg o si ( ) c) f ( ) tg + ctg + si f 4 Wekto: lgeb wektoów iezleŝość liiow bz pzestzei wektoowej ozkłd wekto w bzie 46 Cz tz wekto z któch moŝ zbudowć tójkąt mogą bć iezleŝe liiowo?

3 47 Cz pode wekto są liiowo zleŝe? ) [] [] []; b) [] [] []; c) [] [] []; d) [] [---] [] 48 Zbdj liiową zleŝość wektoów: ) A + B A B b) A + B ma + 4B 49 D jest wekto [ α α ] w bzie { } Jkie są jego współzęde w bzie { } jeŝeli + i Ukłd współzędch ktezjńskich Ilocz skl wektoów De są wekto [ ] i b [] we współzędch ktezjńskich RozłóŜ wekto skłdowe postopdłą i ówoległą do wekto b Do obliczei skłdowej postopdłej wkozstj ) ilocz wektoow b) policzoą wcześiej skłdową ówoległą De są dw wekto ] f [ i f [ ] we współzędch ktezjńskich f f ) (Pzjmij kowecję zpisu wektoów: [] wsp kt () wsp w bzie { } ) Spwdź cz twozą bzę b) Pzetsfomuj do tej bz wekto e [ ] i e [] c) Do bz ktezjńskiej pzetsfomuj wekto α ) ( α Ilocz wektoow Ilocz miesz wektoów Podwój ilocz wektoow 4 Pukt S() jest śodkiem boku AD ówoległoboku ABCD Mjąc de współzęde wektoów AB[4] i BC[6] wzcz: ) współzęde wiezchołków A B C i D b) długości pzekątch ówoległoboku c) pole ówoległoboku Mjąc de współzęde wekto [ ] współzęde wekto v 6 Mjąc de współzęde wektoów [ ] u ilocz u o v i długość v wzcz u i v [ ] wzcz ilocz skl ( u v) o ( u + v) 7 Mjąc wekto u [ ] wzcz wekto do iego otogol o długości b ówoległ do wekto ] 8 Zjdź wuki jkie muszą spełić współzęde jedostkowego wekto b b b ] b bł 9 Dl wektoów [ ] [ z b [ ] i c [ ] cos ( b ) b ( b) o ( b + c ) 6 Wkzć Ŝe o o jest postopdł do c b) wekto ( o b) jest postopdł do q b ) wekto p ( b c) b( c) obliczć b [ z c o b + b 6 W dowolm pięciokącie popowdzoo wektoów ze śodk kŝdego boku do pzeciwległego wiezchołk Wkzć Ŝe sum tch wektoów jest ów zeu 6 W tójkącie o wiezchołkch w puktch A B i C pukt D E i F dzielą boku tójkąt (odpowiedio BC CA i AB) w stosuku m : Cz z wektoów AD BE i CF moŝ zbudowć tójkąt? 6 Wiezchołek A czwoościu zjduje się w śodku ukłdu współzędch Pozostłe wiezchołki zjdują się w puktch B (-4) C (-4) i D (4) Oblicz pole powiezchi tego czwoościu 64 Udowodić Ŝe pzekąte ombu pzeciją się pod kątem postm 6 Udowodić Ŝe w pzestzei D i D sum kwdtów cosiusów kieukowch dowolego wekto ów jest 66 Zleźć skłdowe wekto popowdzoego z puktu P ( ) do puktu P (4 ) ówoległą i postopdłą do wekto popowdzoego z puktu P do P ( ) 67 De są wekto i b Zleźć wekto c spełijąc elcje: c b i o 68 Wkzć słuszość stępującch elcji: v v ( b) o ( b c) ( c ) [ b c] ) { } c

4 v v b) ( b) ( c) {( b) o ( c) } [ b c] Defiicj iloczu mieszego: [ b c] o ( b c) bo ( c ) c o ( b) 69 W puktch A(--) i B(-) zczepioe są dw wekto AC[-4] i BD[-4] Podć kostukcję ówoległościu podstwie powŝszch dch Cz jest o jedozcz? Obliczć jego objętość 7 De są iezeowe wekto b c oz pmet liczbowe α i β Wzczć wekto i spełijące ukłd ówń:`` α + c β + c b 7 Dl jkiej wtości pmetu p poiŝsze wekto są liiowo zleŝe: [4-] [ p -] [ -4 ]? 7b Dl jkiej wtości pmetu p pukt A (-) B (4 - -4) oz C ( p) twozą tójkąt postokąt w któm kątem postm jest BAC 7c RozłoŜć wekto skłdowe wzdłuŝ wektoów b i c (w bzie wektoów b i c ) Uwg! Nie mlić z ozkłdem skłdową ówoległą i postopdłą ) [ ] b [] i c [ ] b) [] b [ ] i c [ ] 7 Ciągi liczbowe Gice lim ( + ) e 78 lim 7 Oblicz gice ciągów dl dąŝącego do ieskończoości: ) u u c) 7 Kozstjąc z twiedzei o tzech ciągch oblicz gicę ciągu 74 Zjdź gice ciągów: ) c) + g) + h) + d) + e) + 4 i) u + u dl 7 f) 7 Gice i ciągłość fukcji 76 Kozstjąc z defiicji gic zbdć ciągłość fukcji f() + w 77 Kozstjąc z defiicji obliczć gicę lewo- i pwostoą fukcji f() / w 78 Oblicz gice opiejąc się odpowiedich twiedzeich: ) lim l( + ) + lim c) lim l + d) lim 79 Kozstjąc z odpowiedich twiedzeń zbdj ciągłość fukcji + oblicz gicę w ewetulch puktch ieciągłości oz gice dl ± 8 Wzczć dziedzię i zbdć ciągłość fukcji + < ) f ( ) + > b) 4 + f ( ) b b + +

5 c) d) e) f) f ( ) ( ) f < < < + 6 f ( ) + si 8 Pochode Itepetcj geometcz Pochod fukcji odwotej 8 Kozstjąc z defiicji (gic ilozu óŝicowego) oblicz pochodą fukcji: ) f() c f() c) f() d) f() e) f() u()+v() f) f() u()v() g) f()u()/v() h) f() /( ) i) f() si() j) f() cos() k) f() e 8 Kozstjąc z twiedzei o ilozie oblicz pochode: ) f() tg() si()/cos() f() ctg() 84 Oblicz pochodą: ) πe c) f) (4 + )( + ) g) 8 Oblicz pochodą fukcji odwotej do: ) tg() 86 Oblicz pochodą: z + + d) t t t t h) ) uvw (uv)w si(/) c) z + si() d) e) /( ) 4 t 6 s ( 7t + 6) i) (e) πe si α α + α si α z e) f) e (si() cos()) g) cos h) z tg(u) ctg(u) u i) c tg() j) c si( t) dl < t < k) ) log o) ep(si ) u) 87 Upość i oblicz pochodą: ) ( )( + ) z si( ) + cos( ) + c tg l) l() m) l( t + t + ) ) ep(cos ( ) ( + ) ( ) 88 Cłki ieozczoe i ich włsości 89 Oblicz cłki ieozczoe stępującch fukcji: ) ep( ) si()cos() c) d) ctg() ctg() + ctg() ctg() 4 -< < e) l() > ( + 4 ) k) + f) 6 + / + / g) /(+ ) h) /( + ) i) /( +) 6 j) l) ep(/)/ m) /(cos ) ) cos()ep(si()) o) tg()/cos () p) (l()) / ) 6 s) l t) ep( )( +) u) cos() w) e cos() ) l() ) l()

6 9 Cłkowie fukcji wmiech sttegie 9 Oblicz cłki ieozczoe: ) d) i) b + c e) j) 9 Oblicz cłki ozczoe: π / ) si( ) d 7 c) f) + k) π/ si ( )cos( ) (pzez podst i pzez ozkłd ułmki poste) g) 9 Obliczć pole powiezchi ogiczoej pzez pbolę d osią OX ( ) dl pzedziłu (-) 94 Obliczć pole powiezchi ogiczoej kzwmi: ) > b) / / > 9 Oblicz cłki ozczoe: ) 4 d d Oblicz cłkę ozczoą d d c) + 97 Oblicz cłki iewłściwe (zpis powiie zwie lim ): / d ) d c) d π / > d) π / d) d h) si( ) d 98 Szeeg Tlo i Mclui 99 Rozwiąć w szeeg Mclui fukcje: e cos() si() Wielomi ++ ozwiąć w szeeg Tlo wokół puktów i Rozwiąć w szeeg Tlo (czte wz) fukcję f ( ) e + wokół puktów i Zleźć piewsze siedem wzów ozwiięci w szeeg Mclui fukcji: ) cos () ep( ) c) l() d) ctg() Rozwiąć w szeeg Tlo wokół puktu fukcję ep(/) 4 Pokzć Ŝe dl młego ( + ) + Obliczć z dokłdością do wtość e 6 Rozwiąć w szeeg Mclui ( wz) γ ( β) wiedząc Ŝe < β β 7 Zleźć piewsze dw iezeowe wz ozwiięci w szeeg Mclui wŝei eegię eltwistczą: E m γ( v c ) 8 Zleźć piewsze siedem wzów ozwiięci w szeeg Mclui fukcji: ) /cos () Pochode cząstkowe Gdiet

7 Obliczć pochode cząstkowe fukcji: ) f() si() f() Obliczć pochode cząstkowe po i ϕ fukcji F(ϕ) f(cos(ϕ)si(ϕ)) dl f dego pzez ) f() f() + c) f() + d) f() / Zjąc cos(ϕ) (t)/t ϕ(t)ωt obliczć pochodą (t) oz óŝiczkę zupełą d Wzczć jedostkow wekto postopdł do powiezchi Φ(z) w pukcie P ( ) jeŝeli Φ(z) + +z (elipsoid) 4 Cłki podwóje Obliczć jcobi pzeksztłcei ze współzędch ktezjńskich do sfeczch 6 Obliczć cłkę podwóją fukcji f() obszze D któ jest kołem o pomieiu R i śodku w (): ) f() f ( ) + c) f ( ) + d) ep(-( + )) 7 Obliczć cłkę podwóją z fukcji f() obszze koł o śodku w () i pomieiu R bez pzechodzei do współzędch bieguowch 8 Obliczć cłkę z fukcji f() po obszze D: ) b) f ) ( D to tójkąt wzczo pzez pukt A(-) B(-) C() f ( ) + + f ) f ( ) + D to tójkąt wzczo pzez pukt A(4) B(4) C() c) ( D to tójkąt wzczo pzez pukt A(-) B() C() d) D to tójkąt wzczo pzez pukt A() B(-) C() 9 Obliczć cłkę podwóją z fukcji f ( ) okeśloej obszze ) postokąt wzczoego pzez z zkesu [ ] oz z zkesu [ b b] b) koł o śodku w pukcie () i pomieiu R w pzpdku gd b R Cłki potóje Obliczć jcobi tsfomcji ze współzędch ktezjńskich do bieguowch Obliczć jcobi tsfomcji ze współzędch ktezjńskich do wlcowch Oblicz cłki potóje: ) Kozstjąc z cłek potójch obliczć objętość kuli dej wzoem + +z <R b) Oblicz momet bezwłdości kuli o pomieiu R i msie M c) Oblicz cłkę tójwmiową fukcji f(z) po obszze zdm pzez postopdłości wzczo puktmi O () A () B () i C () d) Oblicz cłkę tójwmiową fukcji f(z) po obszze zdm pzez ostosłup wzczo puktmi O () A () B () i C () 4 Cłki kzwoliiowe IIgo odzju (skieowe) W pzestzei dwuwmiowej d jest fukcj F( ) ˆ( + ) + ˆ( ) Obliczć cłkę kzwoliiową tej fukcji po odciku: ) L odciek od () do () b) L dw odciki: od () do () i od () do () 6 De jest pole sił F ( + z ) Obliczć jej pcę któą leŝ wkoć b pzeieść pukt mteil po ) łmej OABC wtczoej pzez pukt O () A () B () i C() b) po odciku OC 7 De są dw pol sił F ( z) oz F ( + ) Obliczć pcę potzebą do pzeiesiei puktu mteilego po ) odciku od () do (-) b) międz tmi smmi puktmi po półokęgu zjdującm się dodtiej części osi OY 8 Cłk kzwoliiow IIgo odzju (ieskieow) 9 Obliczć cłki: ) ( + ) dl L gdzie L to kzw spmetzow zmieą t zd wzomi ( t) (cos( t) + t si( t)) i ( t) (si( t) + t cos( t)) dl t < π b

8 b) dl gdzie L to ćwitk okęgu w piewszej ćwitce dwuwmiowego ukłdu współzędch L Zleźć msę li któej połoŝeie de jest pzez (t) t (t) t / z(t) t / dl < t < jeŝeli gęstość li d jest wzoem ρ ( z)