Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.

Transkrypt

1

2 Spis teśi. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki.... Logytmy Sili. Współzyik dwumiowy Wzó dwumiowy Newto Wzoy skóoego możei iągi Fukj kwdtow Geometi lityz Plimeti...6. Steeometi.... Tygoometi...4. Komitoyk Rhuek pwdopodoieństw Pmety dyh sttystyzyh Gi iągu Pohod fukji Tli wtośi fukji tygoometyzyh...0 Pulikj współfisow pzez Uię Euopejską w mh Euopejskiego Fuduszu Społezego. Pulikj jest dystyuow ezpłtie. Wszw 05

3 . WRTOŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej x defiiujemy wzoem: Liz x jest to odległość osi lizowej puktu x od puktu 0. l dowolej lizy x mmy: x 0 x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x= 0 x = x l dowolyh liz x, y mmy: Podto, jeśli y 0, to x x =. y y l dowolyh liz oz mmy:. POTĘGI I PIERWISTKI Nieh ędzie lizą łkowitą dodtią. l dowolej lizy defiiujemy jej -tą potęgę: =... zy Piewistkiem ytmetyzym stopi z lizy zywmy lizę tką, że =. W szzególośi, dl dowolej lizy zhodzi ówość: =. Jeżeli < 0 oz liz jest iepzyst, to ozz lizę < 0 Piewistki stopi pzystyh z liz ujemyh ie istieją. tką, że =. Nieh m, ędą lizmi łkowitymi dodtimi. efiiujemy: m = m Nieh, s ędą dowolymi lizmi zezywistymi. Jeśli > 0 i > 0, to zhodzą ówośi: + s s s s = = ( ) = = Jeżeli wykłdiki, s są lizmi łkowitymi, to powyższe wzoy oowiązują dl wszystkih liz 0 i 0. s = s

4 . LOGRYTMY Logytmem log dodtiej lizy pzy dodtiej i óżej od podstwie zywmy wykłdik potęgi, do któej leży podieść, y otzymć : log Rówowżie: = wtedy i tylko wtedy, gdy = log = l dowolyh liz x > 0, y > 0 oz zhodzą wzoy: x log( x y)= log x+ log y log x = log x log = log x log y y Wzó zmię podstwy logytmu: jeżeli > 0,, > 0, oz > 0, to log log = log Logytm log 0 x moż też zpisć jko log x lu lg x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINOWY Silią lizy łkowitej dodtiej zywmy ilozy kolejyh liz łkowityh od do włązie:! =... Podto pzyjmujemy umowę, że 0! =. l dowolej lizy łkowitej zhodzi związek: +! =! + l liz łkowityh, k spełijąyh wuki (symol Newto): k =! k! ( k )! Zhodzą ówośi: = k = k ( )( )... ( + ) k k k! = 0 defiiujemy współzyik dwumiowy = k 5. WZÓR WUMINOWY NEWTON l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dl dowolyh liz, mmy: k k k ( + ) =

5 6. WZORY SKRÓONEGO MNOŻENI l dowolyh liz, : = + + ( + ) = ( ) = + ( ) = + l dowolej lizy łkowitej dodtiej oz dowolyh liz, zhodzi wzó: W szzególośi: = k k = 7. IĄGI ( + ) = ( )( + ) ( ) + + ( ) + + = + = + = ( + ) + = + ( ) = iąg ytmetyzy Wzó -ty wyz iągu ytmetyzego ( )o piewszym wyzie i óżiy : = + ( ) Wzó sumę S = pozątkowyh wyzów iągu ytmetyzego: + + S = = Między sąsiedimi wyzmi iągu ytmetyzego zhodzi związek: + + = dl iąg geometyzy Wzó -ty wyz iągu geometyzego ( )o piewszym wyzie i ilozie q: = q dl Wzó sumę S = pozątkowyh wyzów iągu geometyzego: Między sąsiedimi wyzmi iągu geometyzego zhodzi związek: = dl + Poet skłdy Jeżeli kpitł pozątkowy K złożymy lt w ku, w któym opoetowie lokt wyosi p% w skli ozej i kpitlizj odsetek stępuje po upływie kżdego oku twi lokty, to kpitł końowy K wyż się wzoem: K p = K + 00

6 8. FUNKJ KWRTOW Postć ogól fukji kwdtowej: f ( x)= x + x +, 0, x R. Wzó kżdej fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti koizej: p = q = 4 Wykesem fukji kwdtowej jest pol o wiezhołku w pukie o współzędyh ( p,q). Rmio poli skieowe są do góy, gdy > 0 ; do dołu, gdy < 0. Liz miejs zeowyh fukji kwdtowej f ( x)= x + x + (liz piewistków tójmiu kwdtowego, liz zezywistyh ozwiązń ówi x + x + = 0 ), zleży od wyóżik = 4 : jeżeli <0, to fukj kwdtow ie m miejs zeowyh (tójmi kwdtowy ie m piewistków zezywistyh, ówie kwdtowe ie m ozwiązń zezywistyh), jeżeli =0, to fukj kwdtow m dokłdie jedo miejse zeowe (tójmi kwdtowy m jede piewistek podwójy, ówie kwdtowe m dokłdie jedo ozwiązie zezywiste): x = x = jeżeli >0, to fukj kwdtow m dw miejs zeowe (tójmi kwdtowy m dw óże piewistki zezywiste, ówie kwdtowe m dw ozwiązi zezywiste): x = x = + Jeśli 0, to wzó fukji kwdtowej moż dopowdzić do posti ilozyowej: f ( x)= ( x x )( x x ) Wzoy Viéte Jeżeli 0, to x+ x = x x = 9. GEOMETRI NLITYZN Odiek ługość odik o końh w pukth = ( x, y), = ( x, y ) jest d wzoem: + ( ) = x x y y y =(x, y ) M = (x, y) Współzęde śodk odik : x + x y + y, O =(x, y ) x 4

7 Wektoy Współzęde wekto : = x x, y y [ ] Jeżeli u = [ u, u], v = [ v, v] są wektomi, zś jest lizą, to u+ v = [ u + v, u + v ] u = [ u, u ] Post Rówie ogóle postej: x + y + = 0, gdzie + 0 (tj. współzyiki, ie są ówoześie ówe 0). Jeżeli = 0, to post jest ówoległ do osi Ox; jeżeli = 0, to post jest ówoległ do osi Oy; jeżeli = 0, to post pzehodzi pzez pozątek ukłdu współzędyh. y Jeżeli post ie jest ówoległ do osi Oy, to m o ówie y = x + kieukowe: y = x+ Liz to współzyik kieukowy postej: = tg O x Współzyik wyzz osi Oy pukt, w któym d post ją pzei. Rówie kieukowe postej o współzyiku kieukowym, któ pzehodzi pzez pukt P x0, y0 : y = ( x x )+ y 0 0 Rówie postej, któ pzehodzi pzez dw de pukty : ( y y )( x x ) ( y y )( x x )= 0 Post i pukt Odległość puktu P x0, y0 od postej o ówiu x + y + = 0 jest d wzoem: x0 + y0 + + = P postyh wie poste o ówih kieukowyh: y = x+ y = x+ spełiją jede z stępująyh wuków: są ówoległe, gdy = są postopdłe, gdy = twozą kąt osty φ i tg φ = + = 5

8 wie poste o ówih ogólyh: x+ y+ = 0 x+ y+ = 0 są ówoległe, gdy = 0 są postopdłe, gdy + = 0 twozą kąt osty φ i tg φ = Tójkąt + Pole tójkąt o wiezhołkh x, y, x, y, x, y, jest de wzoem: P = ( x x) ( y y) ( y y) ( x x) = = = Śodek iężkośi tójkąt, zyli pukt pzeięi jego śodkowyh, m współzęde: x + x + x y + y + y, Pzeksztłei geometyze pzesuięie o wekto u = [, ] pzeksztł pukt = ( x, y) pukt ' = ( x+ y, + ) symeti względem osi Ox pzeksztł pukt = ( x, y) pukt ' = ( x, y) symeti względem osi Oy pzeksztł pukt = ( x, y) pukt ' = ( x, y) symeti względem puktu (, ) pzeksztł pukt = ( x, y) pukt ' = ( x, y) jedokłdość o śodku w pukie O i skli s 0 pzeksztł pukt pukt ' tki, że O' = so, wię, jeśli O = ( x0, y0), to jedokłdość t pzeksztł pukt = ( x, y) pukt ' = sx+ s x, sy s y ( 0 + ( ) 0) Rówie okęgu Rówie okęgu o śodku w pukie S lu + ( ) = x y = (, ) i pomieiu >0: 0. PLNIMETRI ehy pzystwi tójkątów F E 6

9 To, że dw tójkąty i EF są pzystjąe EF, możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująyh eh pzystwi tójkątów: eh pzystwi ok ok ok : odpowidjąe soie oki ou tójkątów mją te sme długośi: = E, = F, = EF eh pzystwi ok kąt ok : dw oki jedego tójkąt są ówe odpowidjąym im okom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi okmi jedego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjąy mu kąt dugiego tójkąt, p. = E, = F, = EF eh pzystwi kąt ok kąt : jede ok jedego tójkąt m tę smą długość, o odpowidjąy mu ok dugiego tójkąt oz miy odpowidjąyh soie kątów ou tójkątów, pzyległyh do oku, są ówe, p. = E, = EF, = EF ehy podoieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podoe EF, możemy stwiedzić podstwie kżdej z stępująyh eh podoieństw tójkątów: eh podoieństw ok ok ok : długośi oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedih długośi oków dugiego tójkąt, p. E = = F EF eh podoieństw ok kąt ok : długośi dwóh oków jedego tójkąt są popojole do odpowiedih długośi dwóh oków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi oków są pzystjąe, p. eh podoieństw kąt kąt kąt : dw kąty jedego tójkąt są pzystjąe do odpowiedih dwóh kątów dugiego tójkąt (wię też i tzeie kąty ou tójkątów są pzystjąe): = EF, = EF, = FE 7

10 Pzyjmujemy ozzei w tójkąie : γ β,, długośi oków, leżąyh odpowiedio pzeiwko wiezhołków,, p=++ owód tójkąt, β, γ miy kątów pzy wiezhołkh,, h, h, h wysokośi opuszzoe z wiezhołków,, R, pomieie okęgów opisego i wpisego Twiedzeie siusów β γ Twiedzeie osiusów = + os = + os β = + os γ Wzoy pole tójkąt P = h= h= h P = siγ = si β = si siβ siγ si si γ si si β P = = = si si β si γ P = P = R si si β si γ 4R P = p P = p p p p ( )( ) Twiedzeie Pitgos (wz z twiedzeiem odwotym do iego) W tójkąie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy + =. Związki miowe w tójkąie postokątym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówzs: γ h β h = h = = si = osβ = tg = tg β R= = + = p 8

11 Tójkąt ówoozy h długość oku h wysokość tójkąt h = R= h P = = h 4 Twiedzeie Tles (wz z twiedzeiem odwotym do iego) Róże poste i pzeiją się w pukie P, pzy zym spełioy jest jede z wuków: pukt leży wewątz odik P oz pukt leży wewątz odik P lu pukt leży zewątz odik P oz pukt leży zewątz odik P. Wówzs poste i są ówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy P = P P P zwookąty h Tpez zwookąt, któy m o jmiej jedą pę oków ówoległyh. Wzó pole tpezu: P = + h h φ Rówoległook zwookąt, któy m dwie py oków ówoległyh. Wzoy pole ówoległooku: P= h= si = si φ 9

12 h Rom zwookąt, któy m wszystkie oki jedkowej długośi. Wzoy pole omu: P= h= si = eltoid zwookąt wypukły, któy m oś symetii zwiejąą jedą z pzekątyh. Wzó pole deltoidu: P= Koło Wzó pole koł o pomieiu : P = π O Owód koł o pomieiu : L = π Wyiek koł Wzó pole wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopih: P= π 60 O ługość łuku wyik koł o pomieiu i kąie śodkowym wyżoym w stopih: l = π 60 Kąty w okęgu Mi kąt wpisego w okąg jest ów połowie miy kąt śodkowego, optego tym smym łuku. O Miy kątów wpisyh w okąg, optyh tym smym łuku, są ówe. Miy kątów wpisyh w okąg, optyh łukh ówyh, są ówe. 0

13 Twiedzeie o kąie między styzą i ięiwą O O y jest okąg o śodku w pukie O i jego ięiw. Post jest styz do tego okęgu w pukie. Wtedy O =, pzy zym wyiemy te z kątów śodkowyh O, któy jest opty łuku zjdująym się wewątz kąt. Twiedzeie o odikh styzyh Jeżeli styze do okęgu w pukth i pzeiją się w pukie P, to P = P P Twiedzeie o odikh siezej i styzej e są: post pzeiją okąg w pukth i oz post styz do tego okęgu w pukie. Jeżeli poste te pzeiją się w pukie P, to P P = P P

14 Okąg opisy zwookąie γ β N zwookąie moż opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeiwległyh kątów wewętzyh są ówe 80 : + γ = β + δ =80 δ Okąg wpisy w zwookąt W zwookąt wypukły moż wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długośi jego pzeiwległyh oków są ówe: + = + d d. STEREOMETRI Twiedzeie o tzeh postyh postopdłyh k l P m Post k pzeij płszzyzę w pukie P. Post l jest zutem postokątym postej k tę płszzyzę. Post m leży tej płszzyźie i pzehodzi pzez pukt P. Wówzs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l.

15 Pzyjmujemy ozzei: P pole powiezhi łkowitej P p pole podstwy P pole powiezhi ozej V ojętość Postopdłośi H G E F P = + + V = gdzie,, są długośimi kwędzi postopdłośiu Gistosłup posty I J H F G h P = p h V = P h p E gdzie p jest owodem podstwy gistosłup Ostosłup S E h O V = Pp h gdzie h jest wysokośią ostosłup

16 Wle h P = π h P = π + h V = π h O gdzie jest pomieiem podstwy, h wysokośią wl Stożek S h l P = π l P = π + l V = π h O gdzie jest pomieiem podstwy, h wysokośią, l długośią twoząej stożk Kul O P = 4π 4 V = π gdzie jest pomieiem kuli. TRYGONOMETRI efiije fukji tygoometyzyh kąt ostego w tójkąie postokątym β si = si β = os = os β = tg = tg β = 4

17 efiije fukji tygoometyzyh y M = (x, y) y x O x si = os = y tg =, gdy x 0 x gdzie y x x y = + > jest pomieiem wodząym puktu M 0 Wykesy fukji tygoometyzyh y π 0 π π x π π π y = si x y 4 y π 0 π π π π π x π 0 π π π π π x 4 y = os x y = tg x Związki między fukjmi tego smego kąt si + os = si π tg = dl + k π, k łkowite os Niektóe wtośi fukji tygoometyzyh π 6 π 4 π π si 0 os 0 tg 0 ie istieje 5

18 Fukje sumy i óżiy kątów l dowolyh kątów, β zhodzą ówośi: si( + β )= si osβ + os siβ si ( β)= si os β os si β os( + β )= os os β si siβ os( β ) = os osβ + si si β Podto mmy ówośi: tg + tg β tg tg β tg( + β )= tg( β )= tg tg β + tg tg β któe zhodzą zwsze, gdy są okeśloe i miowik pwej stoy ie jest zeem. Fukje podwojoego kąt si = si os os = os si = os = si tg = tg tg Sumy, óżie i ilozyy fukji tygoometyzyh + β β si + si β = si os si si β = ( os( + β ) os( β )) + β β si si β = os si os os β = ( os( + β ) + os( β )) + β β os + osβ = os os si osβ = ( si( + β ) + si( β )) + β β os os β = si si Wye wzoy edukyje Okesowość fukji tygoometyzyh si( + k 60 )= si os( + k 60 )= os tg ( + k 80 )= tg, k łkowite. KOMINTORYK Wije z powtózeimi Liz sposoów, któe z óżyh elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z k iekoiezie óżyh wyzów, jest ów k. Wije ez powtózeń Liz sposoów, któe z óżyh elemetów moż utwozyć iąg, skłdjąy się z óżyh wyzów, jest ów! ( )... ( k+ )= k! 6

19 Pemutje Liz sposoów, któe ( ) óżyh elemetów moż ustwić w iąg, jest ów!. Komije Liz sposoów, któe spośód óżyh elemetów moż wyć 0 elemetów, jest ów 4. RHUNEK PRWOPOOIEŃSTW k. Włsośi pwdopodoieństw Twiedzeie: Klsyz defiij pwdopodoieństw Nieh Ω ędzie skońzoym zioem wszystkih zdzeń elemetyh. Jeżeli wszystkie zdzei jedoelemetowe są jedkowo pwdopodoe, to pwdopodoieństwo zdzei Ω jest ówe P= Ω gdzie ozz lizę elemetów ziou, zś Ω lizę elemetów ziou Ω. Pwdopodoieństwo wukowe Nieh, ędą zdzeimi losowymi zwtymi w Ω, pzy zym P> 0. Pwdopodoieństwem wukowym P P( )= zywmy lizę P( ) P Twiedzeie o pwdopodoieństwie łkowitym Jeżeli zdzei losowe,,, zwte w Ω spełiją wuki:.,,, są pmi ozłąze, tz.. = Ω,. P( )> 0 dl i, i i j = dl to dl kżdego zdzei losowego zwtego w Ω zhodzi ówość = P P P P P P P 7

20 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedi ytmetyz Śedi ytmetyz liz,,..., jest ów: = Śedi wżo Śedi wżo liz,,...,, któym pzypiso dodtie wgi odpowiedio: w, w,..., w jest ów: w + w w w + w w Śedi geometyz Śedi geometyz ieujemyh liz,,..., jest ów:... Medi Medią upoządkowego w kolejośi iemlejąej ziou dyh lizowyh... jest: dl iepzystyh: + (śodkowy wyz iągu) dl pzystyh: + (śedi ytmetyz śodkowyh wyzów iągu) + Wij i odhyleie stddowe Wiją dyh lizowyh,,..., o śediej ytmetyzej jest liz: ( ) + σ = + + ( ) = ( ) Odhyleie stddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wiji. 6. GRNI IĄGU Gi sumy, óżiy, ilozyu i ilozu iągów e są iągi i, okeśloe dl. Jeżeli lim = oz lim =, to lim( + )= + lim ( )= lim ( )= Jeżeli podto 0 dl oz 0, to lim = 8

21 Sum wyzów ieskońzoego iągu geometyzego y jest ieskońzoy iąg geometyzy Nieh S, okeśloy dl, o ilozie q. ozz iąg sum pozątkowyh wyzów iągu m gię S = dl. Jeżeli q <, to iąg S S = lim S = q, to zzy iąg okeśloy wzoem Tę gię zywmy sumą wszystkih wyzów iągu ( ). 7. POHON FUNKJI Pohod sumy, óżiy, ilozyu i ilozu fukji f x f x dl R = f ( x)+ g( x) = f ( x)+ g ( x) = f ( x) g x f x g x f x g x = f ( x) g( x)+ f ( x) g ( x) f x g x f x g x f x g x =, gdy g x 0 g x Pohode iektóyh fukji Nieh,, ędą dowolymi lizmi zezywistymi, dowolą lizą łkowitą. fukj f ( x)= f ( x)= 0 f ( x)= x + f ( x)= f ( x)= x + x + pohod fukji = + f x x f ( x)=, x 0 = f x x = = f x x x f x x Rówie styzej Jeżeli fukj f m pohodą w pukie x 0, to ówie styzej do wykesu fukji f w pukie x f x de jest wzoem y = x+, ( 0, ( 0) ) gdzie współzyik kieukowy styzej jest ówy wtośi pohodej fukji f w pukie x 0, to zzy = f ( x0 ), tomist = f ( x0) f ( x0) x0. Rówie styzej możemy zpisć w posti + y = f ( x ) x x f x

22 8. TLI WRTOŚI FUNKJI TRYGONOMETRYZNYH si os β tg β 0 0,0000 0, ,075 0, ,049 0, ,05 0, ,0698 0, ,087 0, ,045 0, ,9 0, ,9 0, ,564 0, ,76 0, ,908 0, ,079 0,6 78 0,50 0, ,49 0, ,588 0, ,756 0, ,94 0, ,090 0, ,56 0, ,40 0, ,584 0, ,746 0, ,907 0, ,4067 0, ,46 0, ,484 0, ,4540 0, ,4695 0, ,4848 0, ,5000 0, ,550 0, ,599 0, ,5446 0, ,559 0, ,576 0, ,5878 0, ,608 0, ,657 0, ,69 0, ,648 0, ,656 0, ,669 0, ,680 0, ,6947 0, ,707, si os β tg β 46 0,79, ,74, ,74, ,7547, ,7660, ,777, ,7880, ,7986, ,8090, ,89, ,890, ,887, ,8480, ,857, ,8660, ,8746, ,889, ,890, ,8988, ,906, ,95, ,905, ,97, ,96, ,997, ,9455, ,95, ,956, ,96, ,9659, ,970 4, ,9744 4,5 78 0,978 4, ,986 5, ,9848 5, ,9877 6, ,990 7, ,995 8, ,9945 9, ,996, ,9976 4, ,9986 9, ,9994 8, , ,900 90,

23

24 etl Komisj Egzmiyj ul. Józef Lewtowskiego 6, Wszw tel. () , fx () e-mil: Okęgow Komisj Egzmiyj w Gdńsku ul. N Stoku 49, Gdńsk tel. (58) , fx (58) e-mil: komisj@oke.gd.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Łodzi ul. Puss 4, 94-0 Łódź tel. (4) 6-49-, fx (4) e-mil: komisj@komisj.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Jwozie ul. dm Mikiewiz 4, Jwozo tel. () , fx () e-mil: oke@oke.jw.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Poziu ul. Goow, Pozń tel. (6) , fx (6) e-mil: seketit@oke.poz.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Kkowie os. Szkole 7, -978 Kków tel. () 68--0, fx () e-mil: oke@oke.kkow.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Wszwie Pl Euopejski, Wszw tel. () , fx () e-mil: ifo@oke.ww.pl Okęgow Komisj Egzmiyj w Łomży l. Legioów 9, Łomż tel. (86) , fx (86) e-mil: seketit@oke.lomz.pl Okęgow Komisj Egzmiyj we Wołwiu ul. Zielińskiego 57, 5-5 Wołw tel. (7) , fx (7) e-mil: seketit@oke.wo.pl Pulikj współfisow pzez Uię Euopejską w mh Euopejskiego Fuduszu Społezego. Pulikj jest dystyuow ezpłtie. ISN