Statystyka matematyczna i ekonometria

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 9 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017

2 Ekonometria (Gładysz B., Mercik J., Modelowanie ekonometryczne. Studium przypadku, Wydawnictwo PWr., Wrocław 2004.) 2

3 Model ekonometryczny Model ekonometryczny - model matematyczny konstruowany w celu wyjaśnienia badanego wycinka rzeczywistości. Jest to model przyczynowo - skutkowy opisujący wzajemne zależności między badanymi cechami, opisujący ilościowy wpływ jednych czynników na inne. 3

4 Model ekonometryczny Zastosowanie ekonometrii: medycyna, przemysł, ekonomia, meteorologia, finanse, technika,. 4

5 Model ekonometryczny Kolejne kroki konstruowania modelu ekonometrycznego: 1. Określenie celu badań modelowych. 2. Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych. 3. Wybór klasy modelu. 4. Estymacja parametrów strukturalnych. 5. Weryfikacja modelu. 6. Wnioskowanie na podstawie modelu. 5

6 Model ekonometryczny Kolejne kroki weryfikacji statystycznej modelu ekonometrycznego: 1. Dopasowanie modelu do danych empirycznych. 2. Test istotności układu współczynników regresji. 3. Test istotności poszczególnych współczynników regresji. 4. Własności składników losowych. 6

7 Model liniowy z jedną zmienną objaśniającą Przykład 1 czas podróży samochodem Krok 1: Firma z siedzibą w Warszawie ma swoje przedstawicielstwa w wielu miastach europejskich. Celem jest określenie zależności czasu przejazdu od długości trasy z Warszawy do pozostałych miejscowości gdzie znajdują się przedstawicielstwa firmy. Należy wyznaczyć długość czasu jazdy jako funkcję odległości, zatem zmienną objaśnianą będzie czas (y ) a zmienną objaśniającą (x) odległość. 7

8 Krok 2: 8

9 Krok 2: 9

10 Krok 3: Podany wykres wskazuje na liniowy kształt badanej zależności, zatem wyznaczymy zależność liniową postaci: Zatem: czas = b 0 + b 1 droga + ε y = b 0 + b 1 x 1 + ε 10

11 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje postać: czas = 2, ,008885*droga 11

12 Krok 6. Wnioskowanie na podstawie modelu model: czas = 2, ,008885*droga Prognoza według modelu (ocena punktowa): Miejscowość Odległość [km] Czas [h] Predykcja czasu Amsterdam 1204,2 12,72 Bruksela 1309,5 13,65 Praga 630,2 7,93 Względny błąd prognozy [%] 12

13 Przykład 2 wzrost dzieci Krok 1: Tabele norm wzrostu dzieci podają przedziałową normę wzrostu dla danej grupy wiekowej w zależności od płci. Skonstruowany liniowy model regresji opisujący zależność wzrostu dzieci od wieku i płci potwierdza poprawność norm. Celem badania jest sprawdzenie, czy wzrost dziewczynek i chłopców zależy od płci i wieku dzieci. 13

14 Krok 2: 14

15 Krok 3: 15

16 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje postać: wzrost = 64, ,793651*wiek+ 3,25*płeć 16

17 Krok 6. Wnioskowanie na podstawie modelu model: wzrost = 64, ,793651*wiek+ 3,25*płeć Prognoza według modelu (ocena punktowa): Wiek [miesiąc] Wzrost [cm] Chłopcy Predykcja [cm] Błąd prognozy [%] Wiek [miesiąc] Wzrost [cm] Dziewczynki Predykcja [cm] Błąd prognozy [%] 17

18 Przykład 3 - ceny mieszkań Krok 1: Model ekonometryczny zależności ceny mieszkań od wielkości mieszkania (w m 2 ) jest modelem nieliniowym Celem badania jest zbudowanie modelu ekonometrycznego, który pozwoli na opisanie zależności ceny mieszkań od jego metrażu. 18

19 Krok 2: 19

20 Krok 3: 20

21 Krok 3: 21

22 Krok 3: Model ekonometryczny dla mieszkań jedno i dwu pokojowych przyjmuje postać: cena 1,2 = 17, ,927599*metraż Model ekonometryczny dla mieszkań 4 - pokojowych przyjmuje postać: cena 4 = -131, ,920107*metraż 22

23 Krok 3: Przyjmując za zmienną objaśnianą odwrotność ceny mieszkań, a za zmienną objaśniającą odwrotność metrażu. Model wygląda następująco: 1 cena = b 1 + b 0 1 metraż + ε 23

24 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje zatem postać modelu nieliniowego w postaci krzywej Tőrquista: 1 cena = 0, , * 1 metraż cena = metraż 0, , metraż 24

25 Przykład 4 stopa bezrobocia w latach Krok 1: Model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce (w latach ) jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Celem badania było określenie trendu bezrobocia w Polsce. Z bieżących danych (w latach ) wynikało, że bezrobocie wzrasta. 25

26 Krok 2: 26

27 Krok 2: 27

28 Krok 3: W nowym modelu ekonometrycznym przyjmiemy następujące zmienne: t czas, y t 1 stopa bezrobocia w poprzednim miesiącu, y t 12 stopa bezrobocia w tym samym miesiącu rok wcześniej, cos( 2π t) funkcja cos ze względu na harmoniczny charakter stopy 12 bezrobocia, Model przejmie postać: y t = b 0 + b 1 y t 1 + b 2 y t 12 + b 3 cos( π t) + ε 6 28

29 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje zatem postać: y t =0, ,726354y t 1 + 0,256408y t ,238394cos( πt 6 ) + ε 29

30 Przykład 5 podaż pieniądza Krok 1: Model został zbudowany na podstawie danych z lat Model jest modelem autoregresyjnym, zmienna objaśniana jest zmienną objaśniającą z opóźnieniem miesięcznym i rocznym. Celem badania jest zbudowanie modelu ekonometrycznego, który umożliwiałby analizę struktury oraz prognozę podaży pieniądza w Polsce. 30

31 Przykład 5 podaż pieniądza Krok 1: 31

32 Krok 2: 32

33 Krok 3: Proponowany model: y t = b 0 + b 1 y t 1 + b 2 y t 12 + ε t Gdzie: t- czas, y t - podaż pieniądza w okresie t, y t 1 podaż pieniądza w okresie t 1, y t 12 podaż pieniądza w okresie t-12. Model ten należy do klasy modeli dynamicznych autoregresyjnych. 33

34 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje zatem postać: podaż t =43, ,144576podaż t 1 + 0,499943podaż t 12 + ε t 34

35 Przykład 6 temperatura we Wrocławiu Krok 1: Model ekonometryczny opisuje średnią miesięczną temperaturę we Wrocławiu. Model ten jest modelem dwurównaniowy. Dla miesięcy styczeń sierpień został przyjęty model wielomianowy trzeciego stopnia dla miesięcy wrzesień grudzień model liniowy. Dane pochodzą z lat

36 Przykład 6 Krok 1: 36

37 Krok 2: 37

38 Krok 3: styczeń sierpień równanie wielomianowe trzeciego stopnia wrzesień grudzień : y = b 0+ b 1 x 1 + b 2 x 2 +b 3 x 3 + ε 1 dla x = 1,, 8 β 0 + β 1 x + ε 2 dla x = 9,, 12 38

39 Krok 3: Model ekonometryczny przyjmuje zatem postać: temp = 1, ,095x2 0,097x 3 dla x = 1,, 8 57,256 4,813x dla x = 9,, 12 39