Co nazywa sie fala? Rodzaje fal. Rodzaje fal... Notatki Fale cz. 1. Notatki. Notatki. Notatki. dr inz. Ireneusz Owczarek 2013/14

Transkrypt

1 Fale cz. 1 dr inz. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl 013/14 1 dr inz. Ireneusz Owczarek Fale Klasyfikacja fal Co nazywa sie fala? Fala to zaburzenie lub zespół zaburzen rozchodzacych sie w os rodku lub przestrzeni ze skon czona predkos ci a i niosace ze soba energie. Cecha charakterystyczna fal jest to, z e przenosza energie poprzez materie dzieki przesuwaniu sie zaburzenia w materii, a nie dzieki ruchowi postepowemu samej materii. Fale stanowi rozchodzace sie w os rodku zaburzenie, zmiany jakiejs wielkos ci (powtarzajace sie wielokrotnie i cyklicznie zmieniajace swoje wychylenie). Ze wzgledu na fizyczna nature zachodzacych zjawisk rozróz nia sie: Fale mechaniczne powstaja w os rodkach sprez ystych. Fale elektromagnetyczne rozchodza sie w próz ni lub os rodku materialnym, wywołane sa zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych. Fale materii lub fale de Broglie a. dr inz. Ireneusz Owczarek Fale Klasyfikacja fal Rodzaje fal Podział fal 1 ze wzgledu czoło fali płaskie, walcowe, kuliste (kołowe), mieszane, ze wzgledu na kierunek drgan fale podłuz ne, fale poprzeczne. 3 dr inz. Ireneusz Owczarek Fale Klasyfikacja fal Rodzaje fal... Fale podłuz ne zwiazane sa z odkształceniem objetos ci os rodka sprez ystego moga sie rozchodzic w dowolnym os rodku. Fale poprzeczne zwiazane sa z odkształceniem s cinania moga powstawac i rozchodzic sie w os rodkach majacych sprez ystos c postaci, tzn. w ciałach stałych. 4 dr inz. Ireneusz Owczarek Fale

2 Fale mechaniczne Klasyfikacja fal Rozchodzenie się fal mechanicznych nie jest zwiazane z przenoszeniem transportem substancji. Fala mechaniczna (sprężysta) to proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka, któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka. Poruszajace się zaburzenie jest funkcja położenia i czasu ξ(x, y, z, t) f(x, y, z, t). Jeżeli, np. t 0, to ξ(x, t) f(x, 0) przedstawia profil fali, to jednowymiarowa funkcja falowa fali poruszajacej się z prędkościa v ξ(x, t) f(x vt). 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fale mechaniczne... Klasyfikacja fal Równanie fali poruszajacej się z prędkościa v w dodatnim kierunku osi x ξ(x, t) f(x vt). W układzie spoczywajacym drgania w dowolnym punkcie, gdzie stoi obserwator sa opóźnione o czas τ x v potrzebny dla przemieszczenia fali. Wówczas równanie drgań czastek leżacych w odległości x ma postać ( f(x vt) F x vt ) ( F t x ). v v 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fala płaska Równanie fali Najprostszym rodzajem fali jest fala harmoniczna biegnaca, rozchodzaca się w ośrodku jednowymiarowym. Fala biegnaca to fala, której punkty o jednakowej fazie (np. grzbiety) poruszaja się. Fala ta przenosi energię w przestrzeni. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Równanie fali... Równanie fali Długość fali Liczba falowa λ v T. k π λ π T T λ ω v. Równania fali biegnacej przemieszczajacej się w kierunku dodatnim osi x ξ(x, t) f(x vt) A sin k(x vt) ξ(x, t) A sin(kx ωt) ( x A sin π λ t ) T ( ) x A sin ω v t. 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

3 Prędkość fazowa Równanie fali Fali towarzysza prędkości: 1 czastek to prędkość chwilowa v ruchu czasteczek (punktów) ośrodka sprężystego wokół ustalonych położeń równowagi, fazowa (falowa) to prędkość vf z jaka przemieszcza się w ośrodku powierzchnia stałej fazy drgań czasteczek ośrodka, 3 grupowa to prędkość v g pakietu (grupy, paczki) fal, prędkość z jaka przenoszona jest przez falę sprężysta energia. Ponieważ faza zaburzenia ξ(x, t) jest stała ϕ kx ωt const. to prędkość przemieszczania się fazy, tzw. prędkość fazowa (czoła fali, fali) dϕ dt k dx dt ω 0 vf dx dt. Prędkość propagacji fali v jest prędkościa przemieszczania się fazy fali v vf ω k λ T. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Prędkość fazowa... Równanie fali Prędkość fazowa ma znak dodatni, gdy fala porusza się w kierunku dodatnim osi x, oraz znak ujemny, gdy porusz się w kierunku przeciwnym. W próżni (ośrodek niedyspersyjny) vf const., tj. dvf dk 0. Jeżeli prędkość fazowa fali zależny od jej długości dvf dk dvf dλ 0, to występuje dyspersja prędkości fali, wówczas prędkość rozchodzenia się czoła fali, paczki fali (prędkość grupowa) jest inna niż prędkość fazowa. Prędkość fazowa światła (fali elektromagnetycznej) w próżni jest równa prędkości światła w próżni, w ośrodkach jest inna i często większa od prędkości światła w próżni. 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Energia fali Energia i fala Przenoszenie energii Ruch falowy zwiazany jest z dwoma procesami: transportem energii przez ośrodek od czasteczki do czasteczki, z ruchem drgajacym poszczególnych czasteczek dokoła ich położenia równowagi. Nie jest natomiast zwiazany z ruchem materii jako całości. W przypadku fali podłużnej energia kinetyczna E k 1 dm ( dξ(x, y) dt ) ( 1 dξ(x, y) ρdv dt Energia potencjalna jest przenoszona przez falę z taka sama szybkościa E k E p. ). Gęstość strumienia energii fali harmonicznej w d(ek + Ep) dv 1 ρω A. ( dξ(x, y) ) ρ dt 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Energia fali... Energia i fala Przenoszenie energii Ponieważ średnia gęstość energii ruchu falowego ɛ w 1 T t+t t 1 T ρa ( dξ(x, y) ) dt ρ dt t+t 1 T ρa ω T t 1 ρω A. ω sin (kx ωt)dt Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

4 Energia i fala Prędkość fali na wodzie Fale na powierzchni wody Czasteczki wody moga wykonywać dość skomplikowany ruch. Funkcja falowa opisujaca te fale nie spełnia klasycznego równania falowego. Prędkość rozchodzenia się fal na wodzie zależy od długości fal: vf λg π + πσ λρ, gdzie λ jest długościa fali, g przyspieszeniem ziemskim, σ napięciem powierzchniowym na granicy woda-powietrze, ρ gęstość wody. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Czy fala przenosi energię? Energia i fala Prędkość fali na wodzie Tsunami (z jap. fala portowa) fala oceaniczna, wywołana podwodnym trzęsieniem ziemi, wybuchem wulkanu badź osuwiskiem ziemi. 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Energia i fala Prędkość fali na wodzie Tsunami 6 grudnia 004, największe od 40 lat trzęsienie ziemi wystapiło na Oceanie Indyjskim (Tajlandia) pomiędzy płytami australijska i euroazjatycka. 7 lutego 010, trzęsienie ziemi w Chile. 11 marca 011 roku północno-wschodnia Japonię nawiedziło największe trzęsienie ziemi od 140 lat. Wstrzasy o sile prawie 9 w skali Richtera wywołały falę tsunami, która osiagała wysokość nawet 10 metrów i zmiatała z powierzchni budynki oraz samochody. 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Tsunami... Energia i fala Prędkość fali na wodzie Prędkość i długość wędrujacej fali ulegaja zmianom w zależności od głębokości wody (okres fali jest stały). Ponieważ kierunek ruchu fali jest do brzegu prostopadły, to: gdy fala przechodzi na płytka wodę to: odległość między kolejnymi grzbietami fali (długość fali) zmniejsza się, fala zmienia kierunek ruchu, rośnie wysokość fali czyli amplituda fali. Korzystajac z przybliżeń równania rozchodzenia się fali dla wody głębokiej prędkość fazowa wynosi: v g k, i zależy od długości fali. Długie fale przemieszczaja się szybciej. dla wody płytkiej prędkość fazowa wynosi: v gd, nie zależy od jakichkolwiek parametrów fali zależy wyłacznie od głębokości d akwenu. 16 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

5 Tsunami... Energia i fala Czym różnia się od zwykłych fal na wodzie? Prędkość fali na wodzie Fala tsunami na głębokiej wodzie mała amplituda, duża szybkość rozchodzenia się 800 km/h. Fala tsunami na płytkiej wodzie mniejsza szybkość rozchodzenia się, ale duża amplituda (nawet do 30 m). 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Energia i fala Prędkość fali na wodzie Podsumowanie Tsunami sa falami płytkiej wody, a więc sa zjawiskami objętościowymi, nie powierzchniowymi. Rodzaj fali Wysokość Długość Prędkość Tsunami na oceanie kilkadziesiat cm > 100 km > 700 km/h Tsunami przy brzegu do 30 m 30 m kilkadziesiat km/h Zwykła fala 3 m 100 m 4 8 km/h Powstania megatsunami w zatoce Lituya Bay (Alaska 1958). 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale fal Zasada superpozycji Jeżeli ξ 1 ξ 1(x vt), ξ ξ (x vt), ξ n ξ n(x vt) sa funkcjami falowymi, to ich dowolna kombinacja liniowa n ξ ξ(x vt) ξ i(x vt), też jest funkcja falowa. Zasada superpozycji (nakładania się) fal drganie każdego punktu jest suma drgań pochodzacych od każdej z fal. i1 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale fal... Fale spójne Zasada superpozycji to fale o tej samej częstotliwości, długości, prędkości i stałej w czasie różnicy faz. fal to superpozycja fal spójnych, w wyniku której powstawanie nowy, przestrzenny rozkład amplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia). 0 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

6 fal... Zasada superpozycji Dla dwóch fal spójnych biegnacych w dodatnim kierunku osi x ξ 1(x, t) a sin(ωt kx) i ξ (x, t) a sin(ωt kx φ) zgodnie z zasada superpozycji ξ(x, t) ξ 1(x, t) + ξ (x, t) a sin(ωt kx) + a sin(ωt kx φ). Dla sumy dwóch katów Wówczas sin α + sin β sin 1 (α + β) cos 1 (α β). ξ(x, t) a cos( φ ) sin(ωt kx φ }{{} ). amplituda Amplituda fali wypadkowej nie zależy od czasu. Dlatego cos( φ ) 1 cos( φ ) 0. φ n π φ π (n + 1). 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale fal... Zasada superpozycji Efekt interferencji zależy od przesunięcia fazowego całkowicie konstruktywna wzmocnienie (maksimum), gdy φ n π całkowicie destruktywna osłabienie (minimum), gdy φ (n + 1) π gdzie n 0, 1,,... dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Powstawanie fali stojacej Fala stojaca Fala stojaca powstaje w wyniku interferencji dwóch fal spójnych biegnacych w tym samym kierunku, ale majacych przeciwne zwroty ξ 1(x, t) a sin(ωt kx) i ξ (x, t) a sin(ωt + kx). Zgodnie z zasada superpozycji ξ(x, t) ξ 1(x, t) + ξ (x, t) a cos(kx) sin(ωt). }{{} amplituda a cos(kx) a lub cos(kx) 0. Położenia strzałek x s n λ. Położenia węzłów x w n + 1 λ. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Powstawanie fali stojacej... Fala stojaca 4 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

7 Powstawanie fali stojacej... Fala stojaca Własności fali stojacej powstaje w wyniku interferencji dwóch identycznych fal biegnacych w przeciwnych kierunkach, wypadkowy przepływ energii jest równy zeru (fale niosa energię w strony przeciwne), amplituda drgań pewnych punktów ośrodka jest cały czas maksymalna (tzw. strzałki), inne punkty nie drgaja w ogóle (tzw. węzły), strzałki i węzły występuja na przemian co λ fali macierzystej, 4 wszystkie punkty między sasiednimi węzłami maja tę sama fazę drgań, przy przejściu przez węzeł faza zmienia się na przeciwna. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Figury Chladniego Fala stojaca Figury tworzone przez piasek lub opiłki korka, gromadzace się w węzłach fali stojacej na drgajacej sprężystej płytce to figury Chladniego. 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fale stojace słup powietrza Fala stojaca Rura Kundta rezonator akustyczny w kształcie długiej rury z jednej strony zamkniętej, z umieszczonym źródłem drgań. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fale stojace słup powietrza... Przykłady fal stojacych Przykład Znaleźć częstotliwości rezonansowe fali stojacej. Amplituda fali stojacej Ponieważ cos(kx) 0 kx n π π λ L n π λ L n. f v λ to f n v L. 8 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

8 Fale stojace słup powietrza... Częstotliwości rezonansowe Przykłady fal stojacych f n n v L f n (n 1) v 4L f n n v L. Jaka długość powinna mieć obustronnie otwarta piszczałka organowa, by jej ton podstawowy miał częstotliwość f 1 45 Hz? L v 340 m/s 3, 8 m. f /s 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fala stojaca w strunie Przykłady fal stojacych Fale wzbudzane w strunach maja ściśle określone częstotliwości, tzw. rezonansowe. Dopuszczalne sa jedynie taki fale, które mieszcza się całkowicie na długości struny L λ n L n gdzie n 1,,... Częstotliwości rezonansowe odpowiadajace tym długościom fali f n n v L gdzie v jest prędkościa fali biegnacej w strunie. 30 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Fala stojaca w strunie... Przykłady fal stojacych Z reguły powstaje w układzie kilka fal: fala podstawowa o najniższej częstotliwości f 1 decydujaca o częstotliwości dźwięku, wyższe harmoniczne o częstotliwościach będacych wielokrotnościa podstawowej. 31 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Dudnienie Dudnienie Dudnienia to okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań (lub fal) o zbliżonych częstotliwościach. W jednym kierunku podażaj a dwie fale, różniace się nieznacznie częstościa (i liczba falowa): ξ 1(x, t) a cos(ω 1t k 1x) i ξ (x, t) a cos(ω t k x). Zgodnie z zasada superpozycji w dowolnym punkcie x na drodze fal, wychylenie wypadkowe w chwili czasu t wynosi ξ w(x, t) ξ 1(x, t) + ξ (x, t) a cos(ω 1t k 1x) + a cos(ω t k x) ( ) ( ) ω1t k 1x + ω t k x ω1t k 1x ω t + k x a cos cos ( ) ( ) ω1 + ω k1 + k ω1 ω k1 k a cos t x cos t x. Jeżeli wprowadzi się oznaczenia ω ω1 ω oraz ω sr ω1 + ω, 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

9 Dudnienie... i odpowiednio dla Dudnienia k k1 k oraz k sr k1 + k, wówczas równanie opisujace superpozycję dwóch fal biegnacych ( ) ( ω ξ w(x, t) a cos ω srt k srx cos t k ) x ( ω a cos t k ) ( ) x cos ω srt k srx, }{{} A(x,t) gdzie A(x, t) jest obwiednia, czyli funkcja modulujac a. 33 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Dudnienie i prędkość grupowa Maksimum funkcji A(x, t) występuje, gdy ω t k x 0, to jest przy ω k vgrupy. Jest to prędkość przemieszczania się grzbietu obwiedni czyli prędkość grupowa v g dω dk dx dt. jest prędkościa rozprzestrzeniania się energii. 34 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Dudnienie... Jeżeli vf c n ω k, to dla dwóch fal o różnych częstościach: Dla n 1 n n c 1k 1 v g ω ck k n 1 n k 1 k v g nck1 n1ck n 1n (k 1 k ). nck1 n1ck n 1n (k 1 k ) c n vf, natomiast, gdy n 1 n v g vf. 35 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale W ośrodku dyspersyjnym Jeżeli dla fal monochromatycznych ω jest zależne od k, (tj. ω ω(k)), prędkość grupowa (uwzględniajac, że λ π ) określona jest w następuj acy k sposób v g dω dk d(vfk) dk ( dv dλ vf + k dλ dk ( vf + k vf + k dvf dk ) ( ) dvf dλ vf + k dλ dk ) ( vf + k λ k π )( dvf k dλ π d k vf + k dk ) dvf dλ, ( ) dvf dλ v g vf λ dvf dλ. Zależność prędkości fazowej od długości fali nazywa się dyspersja. może być mniejsze jak i większe od prędkości fazowej vf w zależności od znaku dv. dλ W ośrodkach niedyspersyjnych, tj. gdy dv dλ 0 prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej v g vf. 36 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale

10 W ośrodku dyspersyjnym... Korzystajac z definicji względnego współczynnika załamania światła można wyznaczyć Wówczas n c v, dvf dλ dv dn dn dλ c dn n dλ. v g vf + λ c n dn dλ. prędkość grupowa może być większa od prędkości fazowej jeżeli dn dλ > 0 lub dn dω < 0, a więc dla ośrodków, w których występuja obszary dyspersji anomalnej. 37 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale W ośrodku dyspersyjnym... Przykład: Czy można pokonać prędkość światła? Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c, należy dysponować ośrodkiem o dyspersji anomalnej w dostatecznie dużym obszarze częstości. W tym celu trzeba przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie impulsem światła laserowego. Impuls świetlny napompuje układ stwarzajac warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji. 38 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Szybciej niż światło! W obszarze anomalnej dyspersji, jeśli impuls jest dostatecznie waski spektralnie, obszar, przez który wędruje jest dostatecznie krótki, gładki front falowy impulsu jest modyfikowany przez ośrodek oraz możliwa jest obserwacja propagacji prędkości grupowej impulsu z prędkościa większa niż c (nawet 300 c), prędkość transmitowanej energii impulsu o zmodyfikowanym kształcie wiaże się nie z prędkościa grupowa impulsu, ale dotyczy prędkości, z jaka porusza się wiodaca krawędź (front) impulsu w ośrodku. Prędkość ta nie przekracza prędkości c. Uwaga! Należy określić na nowo definicję prędkości przenoszenia energii i informacji! Jest nia prędkość sygnału, zdefiniowana jako prędkość wędrówki frontu falowego impulsu. Zgodnie z Teoria Względności, prędkość ta nigdy nie może przekroczyć prędkości światła w próżni. 39 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale Literatura Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, 005. Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź 007. Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t PWN, Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 40 dr inż. Ireneusz Owczarek Fale