Imię i nazwisko... Grupa...

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Imię i nazwisko... Grupa..."

Jacek Stankiewicz
4 lat temu
Przeglądów:

1 Algebra i teoria mnogości Za każde zadanie można otrzymać 0-3 pkt. W zadaniach 1-5 w puste pola należy wpisać TAK lub NIE. Każda odpowiedź oceniana jest osobno (1pkt za poprawną odpowiedź, 0.5pkt za niepoprawną, 0pkt za brak odpowiedzi), minimalna ocena za całe zadanie to 0 pkt. W zadaniach 6-10 puste pola należy uzupełnić (nie ma punktów 1. Niech ρ - relacja równoważności w zbiorze Z. Wtedy (1 [2] ρ 2 [3] ρ ) 3 [1] ρ, 1 [2] ρ 2 [1] ρ, x, y Z (x y [x] ρ [y] ρ ). 2. Niech f : ( 2π, 2π) R, f(x) = cos x. Obraz dowolnego zbioru 4-elementowego ma co najmniej 2 elementy. x ( 2π, 2π) [f(x) > 2 f(x) = π]. f 1 (Z) jest zbiorem 7-elementowym. 3x (x 2 +3) jest ułamkiem prostym nad R. Zdanie [(p q) p ( q)] jest tautologią. 3 xρy x y > 5 jest relacją symetryczną w zbiorze R Niech A = M 3 3(R). A jest diagonalizowalna, nieosobliwa, 3 ma rząd równy Układ 3 równań liniowych z 5 niewiadomymi może posiadać dokładnie jedno rozwiązanie. Układ wektorów (x + 2, x 2 + 2, x 2 + 2x) jest bazą przestrzeni R 2 [x]. {(x, y, z, t) R 4 : x + y = z 3y + 7} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R Im [(1 j) 7 ] = Postać wykładnicza liczby 3j 3 to j 1 2j =, (3 2j)4 =. 8. Dana jest rodzina zbiorów N \ {2n 1}, n N posiada wartość własną, której odpowiada wektor własny M E 3 E 2 (φ) = 1 0 5, gdzie φ : R 3 R 2 - przekształcenie liniowe dimker φ =, φ((x, y, z)) =.

2 Algebra i teoria mnogości Za każde zadanie można otrzymać 0-3 pkt. W zadaniach 1-5 w puste pola należy wpisać TAK lub NIE. Każda odpowiedź oceniana jest osobno (1pkt za poprawną odpowiedź, 0.5pkt za niepoprawną, 0pkt za brak odpowiedzi), minimalna ocena za całe zadanie to 0 pkt. W zadaniach 6-10 puste pola należy uzupełnić (nie ma punktów 3 1. x 3 +3 jest ułamkiem prostym nad R. Zdanie [(p q) p q] jest tautologią. xρy x 2 y 2 0 jest relacją symetryczną w zbiorze R Niech A = M 3 3(R). A jest diagonalizowalna, nieosobliwa, 3 ma rząd równy 3. Niech f : ( π, 2π) R, f(x) = sin x. Obraz dowolnego zbioru 3-elementowego ma co najmniej 2 elementy. x ( π, 2π) [f(x) < 0 f(x) = 1]. f 1 (Z) jest zbiorem 4-elementowym. 4. Układ 2 równań liniowych z 4 niewiadomymi może być sprzeczny. Układ wektorów (x + 2, x 2 + 2x, x 2 4) jest bazą przestrzeni R 2 [x]. {(x, y, z, t) R 4 : x = 0 y = 1} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R Niech ρ - relacja równoważności w zbiorze Z. Wtedy (1 [2] ρ 2 [3] ρ ) 3 [1] ρ, 1 [2] ρ 2 [1] ρ, x, y Z ([x] ρ [y] ρ x y). 6. Dana jest rodzina zbiorów N \ {2n}, n N j 2 + j =, (2 6j)6 = posiada wartość własną, której odpowiada wektor własny M E 2 E 3 (φ) = 3 2, gdzie φ : R2 R 3 - przekształcenie liniowe. 0 3 dimim φ =, φ((x, y)) =. 10. Im [(j 1) 5 ] = Postać wykładnicza liczby 3+j 3 to.

3 1. Niech f : R R będzie dowolną funkcją na. zbiór f 1 ({0, 1, 2}) ma co najmniej 2 elementy. x R (f(x) < 0 f(x) > 0) f(f 1 ({0, 3})) = {0, 3} 2. 4x (x 2 +4) 4 jest ułamkiem prostym nad R. Algebra (R, ) jest grupą. xρy y < 2x 2 jest relacją zwrotną w zbiorze Z. e 2 0 Jeśli rząd macierzy A M 4 4 (R) jest równy 2, to A jest osobliwa. 4. Układ 3 równań liniowych z 6 niewiadomymi może być sprzeczny. 1 0 Układ wektorów (x 2, x 3 2, x 3 + x) przestrzeni R 4 [x] jest liniowo niezależny. jest diagonalizowalna. {(x, y, z) R 3 : x + y = 0 z = 3y 3} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R Niech φ : R 3 [x] R 3. Jeśli rząd φ jest równy 1, to dimker φ =. Liczba wierszy macierzy przekształcenia φ w dowolnych bazach to. Czy φ może być nieosobliwe? 6. Niech A M 3 3 (C). Wartościami własnymi A są liczby j, 1, 1. Wówczas wielomian charakterystyczny macierzy A 2 ma postać, det[2a 2 ] =. 7. Dana jest rodzina zbiorów n + 1, π + 2 n + 1 ). 8. W zbiorze 5, 5 określona jest relacja równoważności: xρy (x + 1) 2 = (y + 1) 2. Jednoelementową klasą abstrakcji jest np.. Klasą 2-elementową jest np.. 9. Re [(j 1) 15 ] = Moduł liczby (2j 1) 4 wynosi. 10. Jeśli układ wektorów (v 1, v 2, v 3, v 4 ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to wymiar przestrzeni Lin{v 2 + 2v 1, v 2 + 2v 3, v 4 v 2, v 1 v 3, v 2 + v 1 + v 3 } jest równy.

4 1. Jednorodny układ 5 równań liniowych z 3 niewiadomymi może być sprzeczny. Układ wektorów (x + 2, x 2 2, x 2 + x) przestrzeni R 2 [x] jest liniowo zależny. {(x, y, z, t) R 4 : x + y = 0 z 3y = 0} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R Niech f : R R będzie dowolną funkcją różnowartościową. Obraz dowolnego zbioru 3-elementowego ma co najmniej 2 elementy. x R [f(x) = f( x) f(x) 0]. f 1 (f({0, 2})) = {0, 2}, 2 x 6 +4 jest ułamkiem prostym nad R. Algebra (Q \ {0}, +) jest grupą. xρy y 2x 2 jest relacją zwrotną w zbiorze Z. 4. e 0 2 Jeśli A M 2 2 (R) jest nieosobliwa, to jest diagonalizowalna. 1 3 jest osobliwa. 5. Im [(1 + j) 25 ] = Moduł liczby (j 3) 6 wynosi. 6. Niech φ : R 2 R 2 [x]. Jeśli rząd φ jest równy 1, to dimker φ =. Liczba wierszy macierzy przekształcenia φ w dowolnych bazach to. Czy φ może być nieosobliwe? 7. Niech A M 2 2 (C). Wartościami własnymi A są liczby 2j, j. Wówczas wielomian charakterystyczny macierzy A 3 ma postać, det[a 2 + 4] =. 8. W zbiorze 3, 3 określona jest relacja równoważności: xρy x+1 = y+1. Jednoelementową klasą abstrakcji jest np.. Klasą 2-elementową jest np.. 9. Układ wektorów (u 1, u 2, u 3, u 4 ) jest bazą przestrzeni liniowej U. Wtedy wymiar przestrzeni Lin{u 2 u 4, u 1 + 2u 2, u 1 + 2u 4, u 2 u 1, u 1 + u 2 + u 4 } jest równy. 10. Dana jest rodzina zbiorów (1 1 n + 1, π + 1 n + 1 ).

5 1. e Jeśli rząd macierzy A M 4 4 (R) jest równy 2, to det A 2 = Niech f : R R będzie dowolną funkcją na. zbiór f({ 1, 1, π}) ma co najmniej 2 elementy. x R (f(x) = 5 f(x) < 0) f 1 (f({ 1, 2})) { 1, 2} jest diagonalizowalna. 4x (x+4) 4 jest ułamkiem prostym nad R. Algebra (R \ {0}, ) jest grupą. xρy 2y < x jest relacją zwrotną w zbiorze Z. 4. Jednorodny układ 3 równań liniowych z 6 niewiadomymi może być sprzeczny. Układ wektorów (x 2, x 2 2, x 2 x) jest bazą przestrzeni R 2 [x]. {(x, y, z) R 3 : x + y = 0 z = 3y} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R W zbiorze 8, 8 określona jest relacja równoważności: xρy (x + π) 2 = (y + π) 2. Jednoelementową klasą abstrakcji jest np.. Klasą 2-elementową jest np.. 6. Niech φ : R 2 [x] R 2. Jeśli rząd φ jest równy 1, to dimker φ =. Liczba kolumn macierzy przekształcenia φ w dowolnych bazach to. Czy φ może być izomorfizmem? 7. Niech A M 2 2 (C). Wartościami własnymi A są liczby j, 2. Wówczas wielomian charakterystyczny macierzy A 3 ma postać, det[ 2A 2 ] = Dana jest rodzina zbiorów n + 1 1, π 1 n Jeśli układ wektorów (v 1, v 2, v 3, v 4 ) jest bazą przestrzeni liniowej V, to wymiar przestrzeni Lin{v 2 + v 4 + v 3, v 2 + 2v 4, v 2 + 2v 3, v 4 v 2, v 4 v 3 } jest równy. 10. Im [( 1 j) 13 ] = Moduł liczby (3j+1) 4 wynosi.

Podobne dokumenty

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.