1 Działania na zbiorach
|
|
- Wacława Podgórska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie w następujący sposób: a b = b Wykazać że jest to działanie łączne Zadanie Zbadać własności działania : (a) określonego w zbiorze Z wzorem a b := a + b ; (b) określonego w zbiorze R wzorem a b := a + b + ab Zadanie 4 Określić za pomocą tabelki takie działanie w zbiorze {a b c d} które nie ma ani własności łączności ani przemienności Zadanie 5 W zbiorze A jest określone przemienne łączne i posiadające element neutralny e działanie W zbiorze A wszystkich podzbiorów zbioru A wprowadzamy działanie : dla dowolnych zbiorów B C A B C = {a A a = b c b B c C} Zadanie 6 Czy następujące działania są łączne przemienne mają element neutralny? (a) Działanie : A A A określone wzorem: { gdy a + b jest liczbą parzystą a b := gdy a + b jest liczbą nieparzystą (b) Działanie : R R R określone wzorem: (x x ) (y y ) := (x + y x y ) Zadanie 7 W zbiorze Z określamy działania następujące działania: Zbadać własności tego działania Ponadto czy: a b := ab + a + b oraz a b := a + b + (a) działanie jest rozdzielne względem działania (b) działanie jest rozdzielne względem działania (c) działanie jest rozdzielne względem działania (d) działanie jest rozdzielne względem działania?
2 Algebra liniowa z geometrią /4 Grupy ciała Zadanie Które z następujących struktur są grupami: (N +) ({ 4} +) (Z +) (nz +) dla dowolnego n Z (Q +) (R\Q +) ((R\Q) {} +) ({ } ) ({ } ) (R + ) (R ) (R\{} ) oraz ({z C z = } ) gdzie jest zwykłym mnożeniem a + zwykłym dodawaniem Zadanie Czy dwójka (X ) tworzy grupę gdzie (a) X = Z a określona jest wzorem a b := a + b +? (b) X = R a określona jest wzorem a b := a+b? (c) X = N a określona jest wzorem a b := max{a b}? (d) X jest zbiorem wszystkich naturalnych dzielników liczby 6 a określona jest wzorem a b = NW D(a b)? Zadanie Czy dwójka (Z Z ) tworzy grupę gdzie działanie określone jest wzorem (x y) (x y ) := (x + x y + y )? Zadanie 4 Pokazać że Z[ = {a + b R a b Z} z dodawaniem jest grupą Zadanie 5 Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych z działaniem dodawania i mnożenia liczb jest ciałem? Zadanie 6 W zbiorze Q[ = {a + b R a b Q} działania dodawania i mnożenia określono tak jak na liczbach rzeczywistych Czy jest to ciało? Zadanie 7 W ciele Q[ rozwiązać równania: (a) x + x = ; (b) x x = Zadanie 8 W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy dodawanie i mnożenie w następujący sposób Czy jest to ciało? a b := a + b + a b := a + b + ab Zadanie 9 W zbiorze Q określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób Czy jest to ciało? (a b) (c d) := (a + c b + d) (a b) (c d) := (ac bd) Zadanie W zbiorze R określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób Czy jest to ciało? (a b) (c d) := (a + c b + d) (a b) (c d) := (ac bd ad + bc) Zadanie Znajdź wszystkie elementy odwracalne w pierścieniu Z 8 (odp Z 4 ) Oblicz odwrotność reszt 9 oraz w Z 8 (odp oraz 9 w Z 4 ) Zadanie Udowodnić że pierścień Z p jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy p jest liczbą pierwszą Zadanie Udowodnić że w ciele K o charakterystyce p: (a) jest spełniona tożsamość gdzie m jest liczbą natrulną; (x + y) pm = x pm + y pm (b) jeśli ciało K jest skończone to odwzorowanie ϕ: K K dane wzorem ϕ(x) = x p jest automorfizmem Zadanie 4 Rozwiąż równania i układy równań:
3 Algebra liniowa z geometrią /4 (a) x = 5 nad Z 7 ; (b) 5x + 9y = nad Z ; (c) (d) { x + (a + )y = nad Z 6ax + y = 7 w zależności od parametru a Z 7 ; { x + 7y = 7x + y = nad ciałem Z ; x + y + z = (e) 4x + y = nad ciałem Z 5 ; x + y + z = x + z = (f) y + z = nad Z 5 (Z ); x + z = x + z = (g) y + z = nad Z 5 (Z ) x + y = oraz wypisz wszystkie rozwiązania Zadanie 5 Znaleźć taki wielomian f(x) stopnia nie większego niż i o współczynnikach z ciała Z 5 że f() = f() = f() = f(4) = 4
4 Algebra liniowa z geometrią /4 Liczby zespolone Zadanie Wykonać działania na liczbach zespolonych: (a) ( + i) + ( + 5i) (b) +i +5i (c) ( + 7i)( + i) + ( 5 + i)( + 7i) (d) 4+7i i (e) ( i) (f) ( i) +(+i) (+i) +( i) Zadanie Pokazać że dla dowolnych liczb zespolonych z i z zachodzą zależności: (a) z + z = z + z (b) z z = z z (c) z z = z z (d) ( z z ) = z z (e) z z = z z (f) z + z = z + R( z z ) + z Zadanie Pokazać że dla dowolnych liczb zespolonych z u zachodzą następujące równości: (a) Rz = (z + z) (b) Iz = i (z z) (c) R(z + u) = R(z) + R(u) (d) I(z + u) = I(z) + I(u) Zadanie 4 Pokazać że dla dowolnej liczby zespolonej z spełniony jest warunek: ( ) z R = z = z + Zadanie 5 Naszkicować na płaszczyźnie R (utożsamianej z C) zbiory (a) {z C z = } (b) {z C z = i} (c) {z C < z } (d) {z C z i < } (e) {z C z i = z + i } (f) {z C z = z} (g) {z C I( iz+i z ) } (h) {z C z z+ } (i) {z C R(iz) < } Zadanie 6 Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów z spełniających warunek z z + z z = a gdzie z z C oraz a R są ustalone Zadanie 7 Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie ( i)z = ( i)z + + i Zadanie 8 Rozwiązać układy równań z dwiema niewiadomymi (a) rzeczywistymi x i y: x i ( ) 4 + i + i + y = i; + i (b) zespolonymi u i w: (a) { (4 i)u + i( + i)w = 5 4i ( + i)u + (4 i)w = 6i (b) { (4 i)z + ( + i)w = 5( + i) ( i)z ( + i)w = ( + i) Zadanie 9 (a) Obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych 4
5 Algebra liniowa z geometrią /4 (a) i (b) + 4i (c) 5 8i (b) Rozwiązać następujące równania z niewiadomą zespoloną z: (a) z z + i = (b) z 4 + z + 69 = (c) z 4 (8 4i)z i = Zadanie Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone: (a) (d) + i (g) + i (j) ( i)( + i) (b) i (e) i (h) i (k) sin(α) + i cos(α) (c) i (f) + i (i) i (l) i +i Zadanie Obliczyć: (a) ( + i) (b) ( + i) 8 (c) ( +i i i ) Zadanie Obliczyć (wykorzystując wzory de Moivre a): (a) (b) 6 i (c) i (d) 4i (e) 4 + i (f) i +i Zadanie Udowodnić że jeśli z spełnia równość z + z = cos ϕ to spełnia równość zn + z n = cos nϕ Zadanie 4 Dla trzech liczb zespolonych o tym samym różnym od zera module udowodnić że ich suma jest równa zero wtedy i tylko wtedy gdy są one wierzchołkami trójkąta równobocznego Czy podobne twierdzenie jest prawdziwe dla czterech liczb i kwadratu? Zadanie 5 Udowodnić że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu Czy jest tak dla wielomianów o współczynnikach zespolonych? Uzasadnić że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej dwa Zadanie 6 (a) Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone szóstego stopnia z liczby (b) Wykazać że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z tworzy grupę ze względu na mnożenie Czy jest ona izomorficzna z jakąś znaną grupą? (c) Udowodnić że dla n suma wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z wynosi (d) Czemu jest równy iloczyn wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z? (e) Wykazać że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z wszystkich możliwych stopni naturalnych n tworzy grupę ze względu na mnożenie Zadanie 7 Wyprowadzić wzory: (a) cos nx = n k= (b) sin nx = n k= dla dowolnej liczby naturalnej n ( n k) ( ) k cos (n k) x sin k x ( n k+) ( ) k cos (n k) x sin k+ x 5
6 Algebra liniowa z geometrią /4 4 Macierze Zadanie 4 Wykonać działania na macierzach [ [ n m (a) ; (b) [ cos α sin α sin α cos α [ cos β sin β sin β cos β ; (c) (d) 4 5 ; [ Zadanie 4 Obliczyć: [ n cos α sin α (a) ; (b) sin α cos α ([ 5 [ [ ) n 5 Zadanie 4 Za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych obliczyć macierz odwrotną do macierzy (a) [ (b) [ 4 8 (c) (d) [ [ [ Zadanie 44 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierz odwrotną do macierzy (a) (b) (c) (d) [ [ t t t [ Zadanie 45 Dla jakiego parametru t R dana macierz jest odwracalna? Znajdź macierz odwrotną (a) [ t (b) [ t t [ t t t (c) (d) [ t t t t Zadanie 46 Udowodnij że jeśli A M n (R) i A + A I = to istnieje macierz A i przy tym A = A + I Zadanie 47 Za pomocą minorów obejmujących i operacji elementarnych wyznaczyć rzędy następujących macierzy: (a) (b) [ ; 4 [ ; [ 7 λ 6 9 λ 4 λ (c) (d) [ ; 5 [ Zadanie 48 Wyznaczyć w zależności od wartości parametru λ rząd podanych macierzy: [ λ (a) ; (c) λ 5 6 (b) λ n λ n λ n λ 7 n ; Zadanie 49 Udowodnić że: (d) λ λ λ n λ λ n λ n (a) rząd iloczynu macierzy jest nie większy od rzędu każdego z czynników tego iloczynu; (b) rząd macierzy (A B) otrzymanej przez dopisanie do macierzy A macierzy B jest nie większy od sumy rzędów macierzy A i B; (c) rząd sumy macierzy jest nie większy od sumy rzędów tych macierzy 6
7 Algebra liniowa z geometrią /4 Zadanie 4 Niech A i B będą macierzami o wyrazach rzeczywistych i jednakowej liczbie wierszy Wykazać że rz [ A A B 6B = rz A + rz B Zadanie 4 Wykazać że za pomocą operacji elementarnych na wierszach każdą macierz nieosobliwą można sprowadzić do postaci d Zadanie 4 Zbadać nieosobliwość macierzy a i a i (a) i a (b) i a i a w zależności od parametru a C Zadanie 4 Rozwiązać następujący układ równań liniowych (a) + i + i + i + i 7 + i 4 + 6i z z = (b) + i + i + i + i 7 + i 4 + 6i z z = i i i z i + i 4 + i + i z nad Q[i = {a + bi a b Q} (pokazać że ten zbiór tworzy ciało) oraz nad C Porównać oba zbiory rozwiązań Uzasadnić że jeśli wszystkie współczynniki pewnego nieosobliwego układu równań liniowych należą do mniejszego ciała K C to rozwiązanie tego układu ma wszystkie współrzędne w K 7
8 Algebra liniowa z geometrią /4 5 Przestrzenie liniowe Zadanie 5 Czy zbiór liczb rzeczywistych R z działaniami jest przestrzenią wektorową jeżeli: (a) x y = x + y α x = αx gdzie α x y R; (b) x y = x + y α x = αx gdzie α x y R? Zadanie 5 Pokazać że jeśli (K + ) jest ciałem to K jest przestrzenią liniową nad K Zadanie 5 Zbadać które z następujących struktur są przestrzeniami wektorowymi nad R: (a) zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami x + y := (x + y x + y ) αx := (αx αx ) dla x = (x x ) y = (y y ) oraz α R; (b) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z działaniami określonymi następująco: x + y := xy αx := x α dla x y α R Zadanie 54 Czy są przestrzeniami liniowymi: (a) V a = {f F [ f( ) = } nad R; (b) V a = {f F [ f( ) = } nad R? (Przypomnijmy że F [ jest zbiorem funkcji o dziedzinie [ i przeciwdziedzinie R Działanie dodawania dla f g F [ określone jest następująco (f + g)(x) = f(x) + g(x) a mnożenie przez skalar λ R określamy wzorem (λf)(x) = λf(x)) Zadanie 55 Jakie aksjomaty przestrzeni liniowej spełnia grupa (R +) z dodawaniem po współrzędnych w której określamy mnożenie przez skalar λ R według wzoru λ(x y) := (λx )? Zadanie 56 Udowodnić następujące własności przestrzeni liniowej V nad ciałem K: (a) λ K λ = ; (b) x V x = ; (c) λ K x V [λx = (λ = x = ); (d) λ K x V λ( x) = ( λ)x = λx; (e) λ K xy V λ(x y) = αx αy; (f) λ K xy V [λ = λx = λy x = y Zadanie 57 Z ilu wektorów składa się przestrzeń liniowa (Z )? 8
9 Algebra liniowa z geometrią /4 6 Podprzestrzenie liniowe Zadanie 6 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Udowodnić poniższe własności przestrzeni V (a) Część wspólna podprzestrzeni liniowych przestrzeni V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V (b) Suma V + V := {v + w V jej podprzestrzenią liniową Zadanie 6 Sprawdzić czy zbiór: v V w V } podprzestrzeni V V przestrzeni liniowej V jest (a) {( x ) R x R)} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R; (b) {(x x ) R x + x = } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R; (c) {(x x x ) R x = x 5x } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R Zadanie 6 Który z poniższych podzbiorów przestrzeni liniowej R n (nad R) jest jej podprzestrzenią liniową: (a) {(x x n ) R n x Z}; (b) {(x x n ) R n x = x = }? Zadanie 64 Niech K będzie dowolnym ciałem Sprawdzić które z podanych niżej podzbiorów przestrzeni liniowej K 4 (nad K) są podprzestrzeniami liniowymi: (a) {(t t + ) K 4 t K}; (b) {(t u t + u t u) K 4 t u K}; (c) {t( ) + u( ) K 4 t u K}; (d) {(tu tu ) K 4 t u K} Zadanie 65 Niech K będzie dowolnym ciałem Sprawdzić które z określonych niżej podzbiorów przestrzeni K[X (wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele K) są podprzestrzeniami liniowymi: (a) {F K[X F () = }; (b) {F K[X deg(f ) 6}; (c) {F K[X deg(f ) = 6}; (d) {F K[X F jest podzielny przez X + } Zadanie 66 Udowodnić że podzbiór {( ) ( ) ( )} Z przestrzeni Z jest podprzestrzenią liniową 9
10 Algebra liniowa z geometrią /4 7 Kombinacje liniowe wektorów liniowa niezależność baza i wymiar Zadanie 7 Zapisać wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v oraz v gdzie: (a) v = [ v = [ v = [ 7 ; (c) v = [ (b) v = [ 7 v = [ v = [ 4 v = [ v = [ 7 6 ; [ i [ [ Zadanie 7 Niech v = v = i oraz v = i Wyznaczyć wektory: i (a) v iv ; (b) iv + ( + i)v (i + )v [ a Zadanie 7 Dla jakich wartości parametru a wektor daje się jednoznacznie przedstawić w postaci [ a [ kombinacji liniowej wektorów oraz a? Zadanie 74 Czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów v i gdzie (a) v = [ 5 v = [ v = (b) v(t) = t + t + 5 v (t) = t + v (t) = t + [ (c) v = [ 5 v = [ v = [ Zadanie 75 Liniowa niezależność wektorów (a) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem R: (i) v = [ 4 w = [ (ii) v = [ w = [ (iii) v = [ w = u = [ 7 [ u = [ 6 4 (iv) v = (v) v = (b) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem C: [ [ i [ i (i) v = w = u = (ii) v = i [ [ ab [ [ [ i i w = w = [ [ u = u = [ 4 [ i w = u = [ 5 [ c (c) Dane są wektory v = v = i v = w przestrzeni R Czy można tak dobrać wartości a b c by wektory v v v tworzyły zbiór liniowo niezależny? [ (d) W przestrzeni R [ dane są wektory v = oraz v = Znaleźć takie wektory v oraz v 4 że wektory v v v tworzą zbiór liniowo niezależny zaś wektory v v v 4 zbiór liniowo zależny (e) Wykazać że wektory v = [ v v v i w = [ w w w są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją dwa różne indeksy i j { } takie że v i w j v j w i Czy ta równoważność zachowa się gdy zastąpimy inną liczbą naturalną? Zadanie 76 Baza i wymiar (a) Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V gdy: (i) B = {[ i i [ i } V = C (ii) B = {[ [ [ [ } V = M (R) (b) Niech X będzie podzbiorem przestrzeni R 4 złożonym z następujących elementów: [ [ [ [ 4 [ 4 a = a = a = a 4 = a 5 = a 6 = Znaleźć podzbiór Y zawarty w X będący bazą przestrzeni X (c) Niech e i dla i = n będą elementami bazy standardowej K n Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni rozpiętej przez wektory e i + e j dla i j n i j jeśli 8 [ [
11 Algebra liniowa z geometrią /4 (i) K = Q (ii) K = Z (d) Udowodnić że jeśli wektory u v oraz w tworzą bazę pewnej przestrzeni liniowej to wektory u u v oraz u v w też tworzą bazę tej przestrzeni (e) Znaleźć wymiar przestrzeni U wszystkich n n macierzy górnotrójkątnych o współczynnikach w ciele k (f) Niech U (odp U i U ) będzie podzbiorem U (z punktu (e)) złożonym ze wszystkich macierzy A = [a ij ij n U takich że a = a = = a nn = (odp a = a = = a nn = λ k i a + a + + a nn = ) Uzasadnić że U U i U są podprzestrzeniami U oraz znaleźć wymiary tych podprzestrzeni (g) Wykazać że funkcje e n dla n N zadane wzorem e n (m) = δ mn dla dowolnego m N tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych w k-przestrzeni F(N k) Czy jest to baza tej przestrzeni? Opisz podprzestrzeń generowaną przez ten zbiór Zadanie 77 Przedstawianie wektora w zadanej bazie [ [ (a) Sprawdzić że wektory v = v = i v = współrzędne w tej bazie następujących wektorów: (i) [ 48 6 (ii) [ (iii) (b) Wektor v przedstawić w bazie f f n przestrzeni Q n gdzie: [ [ [ [ 69 (i) f = f = f = oraz v = 4 [ [ [ [ 6 (ii) f = f = f = oraz v = 5 7 [ [ [ [ (iii) f = f = f = f 4 = oraz v = 4 [ [ stanowią bazę przestrzeni R Znaleźć (iv) (c) Dana jest baza { x + (x + ) (x + ) } przestrzeni F w (R R) Przedstawić w postaci liniowej kombinacji wektorów bazy następujące funkcje wielomianowe: [ 74 (i) x + x + 7x (ii) x + x [ xy z (d) Dana jest funkcja wielomianowa a n x n + + a x + a F w (R R) Znaleźć jej przedstawienie w bazie (x a) (x a) gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą Zadanie 78 Dane są dwie bazy F = {f f f } i G = {g g g } przestrzeni K oraz wektor v = x f + x f + x f Znaleźć jego przedstawienie w bazie G jeśli [ [ [ [ [ [ (a) f = f = f = g = g = g = x = x = x = a K = Z 5 [ [ [ [ [ [ (b) f = f = f = g = g = g = x = 4 x = x = a K = Q Zadanie 79 Niech F wn := F w (R; R) n oznacza podzbiór zbioru F w (R R) złożony ze wszystkich funkcji wielomianowych zadanych przez wielomiany stopnia mniejszego bądź równego n (n N) (a) Wykazać że funkcje f f f zadane przez wielomiany x + x + tworzą bazę przestrzeni F w Znaleźć współrzędne wektorów które są funkcjami zadanymi przez wielomiany x + x + ax + bx + c (b) Dana jest podprzestrzeń przestrzeni F w generowana przez funkcje wielomianowe zadane przez wielomiany 4x +5x +6x+7 x +4x +5x+6 x +x +4x+5 x +x +x+4 Znaleźć bazę tej podprzestrzeni złożoną z funkcji wielomianowych należących do podanego zbioru generatorów (c) Uzupełnić do bazy przestrzeni F w5 ciąg funkcji wielomianowych f f f f 4 zadanych odpowiednio przez wielomiany x 5 x 4 x 5 + x x 5 x x 5 + x (d) Niech f F wn będzie dowolną funkcją n N Znaleźć warunek dostateczny i wystarczający na to by zbiór funkcji {f f f f (n) } był zbiorem liniowo niezależnym
12 Algebra liniowa z geometrią /4 8 Układy równań Zadanie 8 Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa układy równań nad ciałem liczb rzeczywistych: { x + x (a) + x = 4 x x + x = 7 ; 9x + 6x + 7x + x 4 = (g) 6x + 4x + x + 7x 4 = 7 ; { x + x x 5x 4 = x + x (b) + x = 4 x + x + x = 7 ; 8x + 6x + 5x + x 4 = { x + x + x + x 4 = x + x (c) + x = 4 x + x + x = 7 ; (h) 4x + x + x + x 4 = 8 ; x + x + x + x 4 = 5 7x + 4x + 5x + x 4 = 8 x + x + x = (d) 5x + x x = 4 ; 6x + 9x + x + x 4 = 4 x x + x = (i) x + x + 5x + 4x 4 = ; 4x + 6x + 4x + x 4 = x + x x = (e) x + x + x = 4 ; x + 5x + x = 5x + 5x x = 8 (j) 5x + 9x + 7x = ; x 8x + 7x = (f) x + x + x + x 4 = 5x + x x + x 4 = ; x x + x + x 4 = (k) { x + 4x + x x 4 = 6 x + x 4x + x 4 = Zadanie 8 Zbadać układ równań liniowych i znaleźć jego rozwiązanie ogólne w zależności od parametru λ R: 6x + 8x 5x x 4 = 9 x + 5x + x + x 4 = x (a) + 4x + 7x + x 4 = 4x ; (b) + 6x + x + 5x 4 = 4 ; x + 5x + 4x + x 4 = 4x + 4x + x + 7x 4 = 4 x + 7x + 7x + 7x 4 = λ x x + x + λx 4 = 7 λx + x + x = (c) x + λx + x = x + x + λx = Zadanie 8 Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujący układ równań nad ciałem liczb rzeczywistych: { { x x (a) = x + 6x = 7 ; (b) x + 5x = x + 7x = ; x + x + x = (c) x + x + x = x + x + x = Zadanie 84 Znaleźć taki wielomian f o współczynnikach rzeczywistych że (a) deg f oraz f() = 8 f( ) = f() = 4 (b) deg f oraz f( ) = f( ) = f() = f() = Zadanie 85 Rozwiąż układy równań nad ciałem liczb zespolonych: (a) { (4 i)u + i( + i)w = 5 4i ( + i)u + (4 i)w = 6i ; (b) { (4 i)z + ( + i)w = 5( + i) ( i)z ( + i)w = ( + i) Zadanie 86 Udowodnić że układ równań liniowych o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby całkowitej k największe wspólne dzielniki wszystkich minorów stopnia k macierzy układu i macierzy rozszerzonej układu są równe
13 Algebra liniowa z geometrią /4 9 Przekształcenia liniowe Zadanie 9 Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi? (a) f : R R f(x) = (b) f : R R f(x) = x + (c) f : R R f(x) = (x x) (d) f : C C f(z) = I(z) + iz gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C) (e) f : C C f(z) = z gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C) Zadanie 9 (a) Podać przykład funkcji f : R R która nie jest liniowa ale f(av) = af(v) dla a R oraz v R (b) Podać przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą która jest addytywna ale nie jest liniowa Zadanie 9 Pokazać że poniższe funkcje są przekształceniami liniowymi Wyznaczyć jądro i obraz oraz odpowiedzieć na pytanie które z tych przekształceń są izomorfizmami liniowymi (a) f : R R f((x y)) = x y (b) f : R R f((x x x )) = (x x x ) (c) f : R R f((x y)) = (x y x + y) (d) f : R R f((x x x )) = (x x x ) (e) f : R R f((x x x )) = (x + x x x ) (f) f : R R f((x x x )) = (x x 4x ) (g) f : C C f((z z )) = (z + z z + z ) Zadanie 94 Wyznaczyć wymiar i bazę jądra przekształcenia f (a) f : R R f(x x x ) = (x x + x ) (b) f : R R f(x x ) = (x x x + x ) (c) f : R R f(x x x ) = (x x x ) Zadanie 95 Czy jest możliwe by jądrem pewnego endomorfizmu przestrzeni R był zbiór: (a) { [ x x R : x = x = } (c) [ x x R : x + x = } (e) {[ } (b) Q (d) {[ } (f) R? Zadanie 96 Pokazać że przekształcenie liniowe ϕ: V V gdzie V jest przestrzenią liniową nad K taką że dim K V = jest postaci ϕ(v) = λv dla pewnego λ K i każdego v V Zadanie 97 Pokazać poniższe własności odwzorowań liniowych (a) Przekształcenie liniowe f : V W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker f = {} (b) Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym Wówczas f( a a n ) = f(a ) f(a n ) (c) Złożenie dwóch monomorfizmów (odpowiednio epimorfizmów izomorfizmów) liniowych między przestrzeniami liniowymi jest monomorfizmem (odpowiednio epimorfizmem izomorfizmem) liniowym (d) Odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu liniowego jest izomorfizmem liniowym Zadanie 98 Czy poniższe przestrzenie liniowe są izomorficzne?
14 Algebra liniowa z geometrią /4 (a) (Q[ Q + ) i (Q[ Q + ) (b) (M (Q) Q + ) i (R 6 R + ) (c) (R 4 R + ) i (F w (R R) R + ) (d) (Q[ Q + ) i (R Q + ) 4
15 Algebra liniowa z geometrią /4 Macierz przekształcenia liniowego Zadanie Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazach standardowych Znaleźć jądro i obraz Czy jest to izomorfizm liniowy? (a) f : R R f((x x x )) = (x x + x ) (b) f : R R f((x x )) = (x x ) (c) f : R R f((x x )) = (x x x + x ) (d) f : C C f((z z )) = (iz z z + iz ) Zadanie Przekształcenie liniowe ϕ: R R określone jest w bazach standardowych macierzą A ϕ = [ (a) Podać wzór na ϕ (b) Obliczyć ϕ(e e ) (c) wyznaczyć ϕ( e + e e e ) (d) Czy wektory e + e e e e należą do Ker ϕ Zadanie Znaleźć macierz przekształcenia liniowego f : F w (R R) R w bazach standardowych zadanego wzorem [ (f f)() f(t) = (f +f)() (f +f)( ) dla f F w (R R) Zadanie 4 Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : R R danego wzorem f((x x )) = (x + x x + x ) w bazach: (a) standardowych (b) (e e ) (e e e ) (c) (e + e e e ) (e e + e e + e + e ) Zadanie 5 Przekształcenie liniowe T = T A : R R 4 zadane jest w bazach standardowych macierzą: A = Znaleźć bazę podprzestrzeni T (V ) oraz T (V ) jeżeli [ 4 (a) V = {b b b } gdzie b = (b) V = {c c c } gdzie c = [ 4 [ b = c = [ 5 b = [ 4 4 c = [ 5 5 [ 4 5
16 Algebra liniowa z geometrią /4 Macierz przejścia Zadanie Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej R n znaleźć macierz przejścia od bazy A do bazy B (a) A = ([ [ ) B = ([ [ 5 ) ([ [ [ ) ([ (b) A = B = (c) A = ([ ([ (d) A = [ [ [ [ 7 ) B = ([ ) ([ B = 4 [ [ 5 [ [ ) [ [ 6 ) ) Zadanie Niech A = (X X n ) i B = (Y Y n ) będą bazami przestrzeni liniowej V nad ciałem K Pokazać że PB A P A B = Id V gdzie PB A jest macierzą przejścia od bazy A do bazy B Zadanie Niech PB A będzie macierzą przejścia od bazy A do bazy B Znaleźć współrzędne wektora X w bazie A gdzie (a) PB A = [ [ a wektor X ma w bazie B współrzędne (b) P A B = [ a wektor X ma w bazie B współrzędne Zadanie 4 Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej F w (R R) znaleźć macierz przejścia od bazy A do bazy B oraz od bazy B do bazy A (a) A = ( X X ) B = (X X) (b) A = (X X) B = (X + X X + ) Zadanie 5 Znaleźć macierz przejścia od bazy B = (e e ) do bazy B = ( [ [ ) Wyznaczyć współrzędne wektora [ 5 8 w bazie B [ Zadanie 6 Wyznacz macierz przejścia od bazy ([ [ [ przestrzeni liniowej M (R) Zadanie 7 Wektor b ma w bazie B = (a a a ) współrzędne też bazą i wyznaczyć macierz przejścia od bazy B do bazy B [ [ ) do bazy ([ [ [ [ ) Pokazać że B = (a a b) jest Zadanie 8 Przekształcenie liniowej przestrzeni V w bazie (e e e e 4 ) ma macierz Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach: (a) (e 4 e e e ) [ (b) (e e + e e + e + e e + e + e + e 4 ) Zadanie 9 Niech będzie macierzą endomorfizmu liniowego przestrzeni F w (R R) w bazie [ ( X X ) Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (X + X + X + X + X + X + ) Zadanie Niech A = ( [ [ ) oraz A = ( [ [ ) ([ będą bazami przestrzeni liniowej R [ [ ) ([ a B = oraz B [ [ ) = bazami przestrzeni liniowej R Ponadto niech [ M f = będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R R w bazach A i B (a) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach A i B (b) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach standardowych Zadanie Dane jest przekształcenie liniowe T : R R zadane w bazie standardowej przez macierz M T = [ 7 4 Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie f = [ f = [ 5 Czy T jest automorfizmem? 6
17 Algebra liniowa z geometrią /4 Zadanie Przekształcenie liniowe f : V W w bazach B V = (v v v v 4 ) B W = (w w w ) zadane jest macierzą M f = Znaleźć macierz f w bazach B V = (v v v + v v 4 ) B W = (w w w w ) [ Zadanie Niech P będzie macierzą przejścia od bazy B = (e e ) do bazy B = ([ 4 [ 8 ) Przekształcenie liniowe h ma w bazie B macierz M h = [ 5 a przekształcenie liniowe g ma w bazie B macierz M g = P Wyznacz macierz przekształcenia h g w bazie B Zadanie 4 Niech A = ( [ [ ) oraz A = ( [ [ ) ([ będą bazami przestrzeni liniowej R [ [ ) ([ a B = oraz B [ [ ) = bazami przestrzeni liniowej R Ponadto niech [ M f = będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R R w bazach A i B a M g = [ macierzą przekształcenia liniowego g : R R w bazach A i B Znajdź macierz przekształcenia liniowego g f w bazach standardowych 7
18 Algebra liniowa z geometrią /4 Wartości i wektory własne Zadanie [ Znaleźć podprzestrzeń niezmienniczą przekształcenia f : R R zadanego macierzą ([ [ [ ) M f = w bazie Zadanie Znaleźć wielomian charakterystyczny wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego danego macierzą: (a) [ (b) [ (c) [ (d) [ 5 Zadanie Wyznacz wektory i wartości własne (a) operatora różniczkowania w przestrzeni F wn (R R) (e) (f) [ 4 4 [ (b) przekształcenia liniowego T : C n C n zadanego w bazie (e e n ) następująco T (e ) = e T (e ) = e T (e n ) = e (c) przekształcenia liniowego f : R R danego wzorem f(x y) = (x + y x y) Zadanie 4 Zbadać czy macierze A i B są podobne gdzie (a) A = [ B = [ (b) A = [ B = [ Zadanie 5 Które z poniższych macierzy można sprawdzić do postaci diagonalnej przez wprowadzenie nowej bazy nad ciałem R lub nad ciałem C: (a) [ 5 (b) [ (c) 9 4 Zadanie 6 Znaleźć ogólny wzór na a n dla n = jeżeli: (a) a = a = a n+ = a n+ + a n (b) a = a = a n+ = a n+ + a n [ [ Zadanie 7 Rozważmy ciąg zadany następująco: a = a = a n+ = (a n+ + a n ) Znajdź wzór jawny na a n dla dowolnego n N i oblicz lim n a n Zadanie 8 Znajdź lim n P n gdzie P n = 8
19 Algebra liniowa z geometrią /4 Formy kwadratowe Zadanie Sprawdź które z poniższych odwzorowań są formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych: (a) f(x Y ) = x x + xy + z X Y R ; (b) f(x Y ) = xx + yz + zz X Y R ; (c) f(x Y ) = xy + X Y R ; (d) f(x Y ) = X Y R ; (e) f(a B) = A t B A B k n ; (f) f(a B) = tr(ab) A B M n (R); (g) f(a B) = tr(ab BA) A B M n (C); (h) f(a B) = tr(a + B) A B M n (R); (i) f(a B) = det(ab) A B M n (C); (j) f(u v) = Re(uv) u v C a C rozpatrujemy jako przestrzeń liniową nad R gdzie X = [ xy z Y = [ x y jest formą dwuliniową z Zadanie Znajdź macierz formy dwuliniowej f : R R R (w bazach standardowych) zadanej wzorem: (a) f(x Y ) = xx + yy + zz (b) f(x Y ) = xx + xz + yy + yz + zx (c) f(x Y ) = xx + xy + xz + yx + yy + zx + zz (d) f(x Y ) = xx + xy + yy + xz + yz (e) f(x Y ) = xx yx + xy + yy gdzie X = [ xy z antysymetryczne Y = [ x y Które z powyższych form są symetryczne które niezdegenerowane a które z Zadanie Wykaż że funkcja d: F w F w V R dana wzorem d(f(x) g(x)) = f(x)g(x)dx jest symetryczną niezdegenerowaną formą dwuliniową Zajdź macierz formy d w bazach standardowych Zadanie 4 Sprawdź które z poniższych form kwadratowych o dwóch zmiennych określonych nad R są dodatnio określone ujemnie określone dodatnio półokreślone oraz nieokreślone (a) x + xy (b) x + 4xy 4y (c) x + xy y (d) 4x + 8xy + 5y (e) x + xy y Zadanie 5 Sprowadź poniższe formy kwadratowe do postaci kanonicznej metodą Lagrange a lub o ile to możliwe metodą Jacobiego: 9
20 Algebra liniowa z geometrią /4 (a) x + x + x + 4x x + x x + x x ; (b) x + x + x + x x + 4x x 6x x ; (c) x x x x + x x 6x x ; (d) x x + x x + x x 4 + x x + x x 4 + x x 4 Zadanie 6 Wykorzystując kryterium Sylvestera sprawdź które z poniższych form są dodatnio określone: (a) x + x x + x + x 4 x x x x x x 4 x x 4 + x x 4 ; (b) x + x + x + x 4 x x + x x x x 4 x x + x x 4 x x 4 ; (c) x + x + x x x + x x + x x ; (d) x + x + x + x 4 x x x x x x 4 x x 4 + x x 4
21 Algebra liniowa z geometrią /4 Literatura [ I Nabiałek J Klukowski Algebra dla studentów Wydwanictwa Naukowo-Techniczne 999 [ A I Kostrikin z algebry Wydawnictwo naukowe PWN 5 [ A Szlachtowski S Przybyło Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 994
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoSzczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19
Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady
Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoWydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych PW Algebra liniowa - konspekt wykładu Anna Zamojska-Dzienio Spis treści 1 Liczby zespolone 4 11 Postać kanoniczna liczby zespolonej 4 12 Interpretacja geometryczna
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoALGEBRA Tematyka LITERATURA
ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowospis treści 1 Zbiory i zdania... 5
wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo