Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Transkrypt

1 Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów. Dziedziną lewostronną relacji R nazywamy zbiór D l (R) = {x : x, y R dla pewnego y}, a dziedziną prawostronną relacji R nazywamy zbiór D r (R) = {y : x, y R dla pewnego x}. Zbiór D l (R) D r (R) nazywamy polem relacji R. 8.2 Definicja (Złożenie relacji, relacja odwrotna). Złożeniem relacji R i S nazywamy relację S R = { x, z : dla pewnego y, x, y R oraz y, z S}. Relacją odwrotną do R nazywamy relację R 1 = { y, x : x, y R}. 8.3 Twierdzenie. Dla dowolnych relacji R i S mamy (S R) 1 = R 1 S Pojęcie funkcji 8.4 Definicja (Funkcja, dziedzina i zbiór wartości funkcji). Funkcją nazywamy dowolny zbiór f spełniający warunki: 1. z ( z f x, y (z = x, y ) ), 2. x, y 1, y 2 ( x, y1 f x, y 2 f y 1 = y 2 ). 1

2 8 Funkcje 2 Zgodnie z konwencją, piszemy f(x) = y w przypadku, gdy x, y f. Dziedziną i zbiorem wartości 1 funkcji f nazywamy odpowiednio zbiory dom(f) = {x : x, y f, dla pewnego y}, rng(f) = {y : x, y f, dla pewnego x}. 8.5 Uwaga. Oczywiście, rng(f) = {f(x) : x dom(f)} oraz f dom(f) rng(f), a zatem funkcje są w szczególności relacjami. 8.6 Twierdzenie. Dla dowolnych funkcji f i g, f = g wtedy i tylko wtedy, gdy 1. dom(f) = dom(g) oraz 2. f(x) = g(x), dla wszystkich x dom f. 8.7 Uwaga. Jeżeli f jest funkcją, dla której dom(f) = X oraz rng(f) Y, to piszemy f : X Y. 8.8 Przykład. 1. Funkcja pusta. : A. 2. Ciągi skończone a : {0, 1, 2,..., n} X; a k := a(k). Ciągi nieskończone a : N X. 3. Indeksowane rodziny zbiorów. Niech A będzie rodziną zbiorów, będącą zbiorem wartości funkcji A o dziedzinie I, czyli ={A i : i I}. Funkcję A = A i : i I nazywamy indeksowaną rodziną zbiorów. 8.3 Injekcje, surjekcje, bijekcje 8.9 Definicja (Injekcja, surjekcja, bijekcja). Funkcję f : X Y nazywamy 1. różnowartościową (lub injekcją), gdy x 1, x 2 dom(f) ( x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) ) ; 2. na zbiór Y (lub surjekcją), gdy y Y x X f(x) = y lub równoważnie, gdy rng(f) = Y ; 1 Należy odróżniać zbiór wartości od przeciwdziedziny.

3 8 Funkcje 3 3. wzajemnie jednoznaczną z X na Y (lub bijekcją), gdy f jest różnowartościowa i na Y Przykład. 1. f : R R, f(x) = x 2 (nie na R, nie 1-1), 2. 4, 2, 3, 5, 2 (nie na {4, 2, 3, 5, 2}, nie 1-1), 3. g : P(N) \ { }, g(x) = min X (na N, nie 1-1), 4. h : N \ {0} P fin (N), h(n) = zbiór wszystkich dzielników liczby n (nie na P fin (N), 1-1) Definicja (Obcięcie i przedłużenie funkcji). Obcięciem funkcji f : X Y do zbioru Z X nazywamy funkcję f Z taką, że f Z = f (Z Y ). Funkcję f nazywamy przedłużeniem funkcji g, gdy 8.4 Złożenie funkcji g = f dom(g) Definicja (Złożenie funkcji). Złożeniem funkcji f i g nazywamy funkcję g f zdefiniowaną następująco: g f = { x, z dom(f) rng(g) : dla pewnego y, x, y f y, z g} Uwaga. Dla dowolnych funkcji f i g mamy 1. dom(g f) = {x dom(f) : f(x) dom(g)}, 2. (g f)(x) = g(f(x)), dla x dom(g f) Twierdzenie. Niech dane będą funkcje f : X Y oraz g : Y Z. Wówczas 1. Jeżeli f i g są różnowartościowe, to również g f : X Z jest funkcją różnowartościową. 2. Jeżeli f jest funkcją na Y i g jest funkcją na Z, to g f : X Z jest funkcją na Z. 3. Jeżeli f i g są bijekcjami, to funkcja g f : X Z jest bijekcją Twierdzenie. Operacja składania funkcji jest łączna ale nie jest przemienna.

4 8 Funkcje Funkcja odwrotna 8.16 Definicja (Funkcja odwrotna). Niech f będzie funkcją różnowartościową. Wówczas zbiór { y, x : x, y f} jest funkcją. Funkcję tę nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy symbolem f Uwaga. Dla dowolnej różnowartościowej funkcji f mamy 1. dom(f 1 ) = rng(f). 2. Dla dowolnych x dom(f) i y rng(f) mamy f 1 (y) = x f(x) = y Przykład. [GZ, Przykład 3.9] f : R R, f(x) = x 2 i f 1 (x) = x Definicja (Funkcja identycznościowa). Funkcją identycznościową na zbiorze X nazywamy funkcję id X = { x, x : x X} Uwaga. dom(id X ) = X, id X (x) = x, dla x X Twierdzenie. Dla dowolnej funkcji f: f id dom(f) = f, id rng(f) f = f. Ponadto, jeżeli f jest funkcją różnowartościową, to f 1 f = id dom(f), f f 1 = id rng(f) Twierdzenie. Dla dowolnych funkcji różnowartościowych f i g, (g f) 1 = f 1 g 1.

5 8 Funkcje Obrazy i przeciwobrazy 8.23 Definicja (Obraz i przeciwobraz). Obrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy zbiór f[a] = rng(f A) = {f(x) : x A dom(f)}. Przeciwobrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy zbiór f 1 [A] = {x dom(f) : f(x) B} Twierdzenie ([GZ, Twierdzenie 3.14]). Dla dowolnych funkcji f i g i dowolnych zbiorów V i W : 1. (g f)[v ] = g[f[v ]]. 2. (g f) 1 [V ] = f 1 [g 1 [V ]]. 3. f[f 1 [W ]] = W rng(f). 4. Jeśli V dom(f), to V f 1 [f[v ]] Twierdzenie. 1. Operacja obrazu i przeciwobrazu jest monotoniczna, czyli jeżeli A B, to f[a] f[b] i f 1 [A] f 1 [B]. 2. Obraz sumy zbiorów jest równy sumie obrazów tych zbiorów. Obraz przekroju dwóch zbiorów jest zawarty w przekroju ich obrazów. 3. Przeciwobraz sumy (przekroju) dwóch zbiorów jest równy sumie (przekrojowi) przeciwobrazów tych zbiorów Twierdzenie. Dla dowolnej funkcji f oraz indeksowanej rodziny zbiorów A i : i I : 1. f[ i I A i ] = i I f[a i ]. 2. f[ i I A i ] i I f[a i ], o ile I. 3. f 1 [ i I A i ] = i I f 1 [A i ]. 4. f 1 [ i I A i ] = i I f 1 [A i ], o ile I.

6 8 Funkcje Uogólniony produkt kartezjański 8.27 Definicja. Uogólnionym produktem kartezjańskim indeksowanej rodziny zbiorów A i : i I, gdzie I, nazywamy zbiór wszystkich funkcji f : I i I A i takich, że f(i) A i dla każdego i I. Produkt ten oznaczamy jako A i. i I W przypadku, gdy A i = B dla wszystkich i I, produkt i I A i oznaczamy też symbolem B I. Zatem B I jest zbiorem wszystkich funkcji f : I B Przykład. {0, 1} N, N N, R N, R R. Literatura [GZ] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN tp