Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2"

Transkrypt

1 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/ kfairr/analiza/

2 Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej 1 i 2 jaki prowadziłem w latach na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego. Pomyślana jest ona jako podręcznik analizy matematycznej dla studentów pierwszego roku matematyki oraz zaawansowanych studentów innych specjalności. Głównymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. Wykład obejmuje podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej jednej zmiennej, począwszy od liczb rzeczywistych, funkcji elementarnych, ciągów i szeregów liczbowych i funkcyjnych, ciągłości i różniczkowalności aż po całkę Riemanna. Zakładamy znajomość podstaw logiki i teorii mnogości między innymi pojęcie funkcji oraz podstawowe jej własności (obrazu, przeciwobrazu itp.). W tekście wykładu podane są zadania uzupełniające tekst główny. Na niektóre z nich będziemy powoływać się w dalszej części tekstu. W opracowaniu wykładu korzystałem z podręczników i monografii następujących autorów: J. Chądzyńskiego, G. M. Fichtenholza, F. M. Filipczaka, T. Krasińskiego, K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego, F. Lei, S. Łojasiewicza, A. Mostowskiego i M. Starka, W. Rudina, W. Sierpińskiego, wymienionych spisie literatury. Czytelnika pragnącego pogłębić wiadomości z analizy matematycznej jednej zmiennej odsyłam do monografii W. Rudina oraz G. M. Fichtenholza. Pragnę przy tej okazji serdecznie podziękować Panu Profesorowi Jackowi Chądzyńskiemu, Pani Profesor Ewie Hensz-Chądzyńskiej, Pani Doktor Ludwice Kaczmarek oraz Pani Annie Bąkowskiej za wiele cennych uwag, które wpłynęły na ulepszenie tekstu. Łódź, czerwiec 2005 roku Stanisław Spodzieja

3 4

4 Rozdział 1 Wiadomości wstępne W dalszym ciągu wykładu zakładamy znajomość podstaw logiki matematycznej i teorii mnogości. Dla ustalenia terminologii zbierzemy tutaj pewne wiadomości z tych dziedzin. Przyjmujemy jako pojęcia pierwotne ( 1 ) pojęcie zbioru i relację przynależności elementu do zbioru, tj. relację x A. Piszemy x A, gdy x nie jest elementem zbioru A. Piszemy x = y, gdy x i y oznaczają ten sam element. Jeśli x i y oznaczają różne elementy, to piszemy x y Będziemy stosować następujące oznaczenia logiczne: dla negacji, dla alternatywy, dla koniunkcji, dla implikacji, dla równoważności, dla kwantyfikatora ogólnego, dla kwantyfikatora szczegółowego. Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów, opiera się na aksjomatach( 2 ). Wychodząc od aksjomatów można pokazać, że poniżej podane pojęcia są poprawnie określone. Niech X będzie ustalonym zbiorem. Zbiór wszystkich elementów a X które spełniają formułę( 3 ) ϕ(x) oznaczamy {x : ϕ(x)}. 1 to znaczy układ pojęć, których nie definiujemy. 2 Aksjomatem nazywamy zdanie, przyjmowane w określonym systemie dedukcyjnym bez przeprowadzania dowodu prawdziwości, w którym sformułowane są niektóre własności pojęć pierwotnych. Układ aksjomatów wraz z twierdzeniami stanowiącymi ich logiczną konsekwencję (tj. dającymi się z nich wywieść na podstawie przyjętych reguł wnioskowania) tworzy system aksjomatyczny. Dla ilustracji przypomnijmy niektóre aksjomaty teorii mnogości. I. Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne. II. Aksjomat zbioru pustego. Istnieje zbiór oznaczany symbolem taki, że dla żadnego x nie jest x. III. Aksjomat sumy. Dla każdej rodziny zbiorów R istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do jakiegoś zbioru X należącego do R. IV. Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru A istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory zbioru A. V. Aksjomat wyboru. Dla każdej rodziny R zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów rodziny R ma jeden i tylko jeden wspólny element. VI. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów R o następujących własnościach: R; jeśli X R, to w R istnieje taki element Y, że elementami Y są wszystkie elementy zbioru X oraz sam zbiór X. 3 Wyrażenie ϕ(x), które staje się zdaniem, gdy na miejsce zmiennej x podstawimy dowolną wartość 5

5 6 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Definicja inkluzji. Niech A, B będą zbiorami. Zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Piszemy wówczas A B lub B A i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek nazywamy stosunkiem inkluzji. Definicja różnicy zbiorów. Niech A, B X. Różnicą zbiorów ( 4 ) A i B nazywamy zbiór A \ B = {x A : x B}. Zbiór X \ A nazywamy dopełnieniem zbioru A. Definicja pary uporządkowanej. Niech a, b X. Zbiór złożony z elementu a (i tylko elementu a) oznaczamy {a}. Zbiór złożony z elementów a, b oznaczamy {a, b}. Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {a, {a, b}} i oznaczamy (a, b). Niech a, b, c, d X. Wówczas (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d. Definicja iloczynu kartezjańskiego. Niech A, B X. Zbiór {(a, b) : a A i b B} nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy A B. Własność par uporządkowanych, nazywamy relacjami, dokładniej Definicja relacji dwuczłonowej. Niech X, Y będą zbiorami. Relacją dwuczłonową nazywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y. Jeśli R X Y jest relacją, to dla każdego (x, y) R piszemy xry i mówimy, że x jest w relacji R z y. Definicja relacji równoważności. Niech X będzie zbiorem. Relację R X X nazywamy relacją równoważności, gdy R spełnia warunki: Zwrotność. Dla każdego x X, xrx, Symetria. Dla każdych x, y X, (xry yrx). Przechodniość. Dla każdych x, y, z X, (xry yrz xrz). Definicja funkcji. Niech A, B X będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B nazywamy dowolny podzbiór F A B taki, że dla każdego a A istnieje dokładnie jedno b B dla którego (a, b) F ( 5 ). Wtedy piszemy F : A B. Funkcję nazywamy również lub przekształceniem lub przyporządkowaniem. Zbiór F nazywamy również wykresem funkcji F. Elementy a A nazywamy argumentami funkcji F, zbiór A zaś dziedziną funkcji F. Zbiór B nazywamy przeciwdziedziną funkcji F. ze zbioru X nazywamy formułą zdaniową. Mówimy, że element a X spełnia formułę ϕ(x), jeśli po podstawieniu elementu a w miejsce zmiennej x, wyrażenie ϕ(x) staje siȩ zdaniem prawdziwym. Twierdzenie A. Dla każdej formuły zdaniowej ϕ(x) i dla każdego zbioru A istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru A, które spełniają tę formułę zdaniową. 4 Twierdzenie B. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B. 5 inaczej, dla każdego a A oraz każdych b, c B, jeśli (a, b) F i (a, c) F, to b = c.

6 7 Jeśli a A, to jedyny element b B taki, że (a, b) F nazywamy wartością funkcji F w punkcie a i piszemy b = F (a). Funkcje będziemy oznaczać literami F, f, ϕ. Definicja obrazu. Niech F : A B. Jeśli C A, to zbiór {b B : a C b = F (a)} nazywamy obrazem zbioru C i oznaczamy F (C). Definicja zbioru wartości funkcji. Niech F : A B. Zbiór F (A) nazywamy zbiorem wartości funkcji F. Definicja surjekcji.niech F : A B. Jeśli zbiór wartości funkcji F jest równy przeciwdziedzinie B, to mówimy, że funkcja F jest surjekcją lub jest funkcją na. Definicja przeciwobrazu. Niech F : A B. Przeciwobrazem zbioru D B nazywamy zbiór {a A : F (a) D} i oznaczamy F 1 (D). Definicja rodziny zbiorów. Niech dane będą zbiory niepuste X, S i niech każdemu elementowi s S będzie przyporządkowany zbiór A s X. Zbiór {A s : s S} (zawarty w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru X) nazywamy rodziną zbiorów lub rodziną podzbiorów złożoną ze wszystkich zbiorów A s, gdzie s S. Zbiór S nazywamy zbiorem wskaźników. Definicja sumy i iloczynu rodziny zbiorów. Niech R będzie rodziną podzbiorów ustalonego zbioru X. Zbiór {x X : A R x A} nazywamy sumą rodziny( 6 ) R i oznaczamy A R A. Zbiór {x X : A R x A} nazywamy iloczynem ( 7 ) lub częścią wspólną rodziny R i oznaczamy A R A. Jeśli R = {A s : s S}, to sumę tej rodziny zapisujemy s S A s oraz iloczyn zapisujemy s S A s. Niech A, B X będą zbiorami. Sumę zbiorów A, B (tzn. sumę rodziny {A, B}) oznaczamy A B. Iloczyn zbiorów A, B oznaczamy A B. Jeśli A B =, to zbiory A, B nazywamy rozłącznymi. W teorii mnogości dowodzi się następujących własności obrazu i przeciwobrazu. 6 Istnienie sumy wynika z Aksjomatu III. 7 Istnienie iloczynu wynika z twierdzenia B i Aksjomatu III.

7 8 ROZDZIAŁ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Twierdzenie 1. Niech f : X Y. Dla dowolnych podzbiorów A, B, A s, gdzie s S, zbioru X mamy: (a) (b) (A B) (f(a) f(b)), A f 1 (f(a)), (c) f( s S A s ) = s S f(a s ), (d) f( s S A s ) s S f(a s ). Twierdzenie 2. Niech f : X Y. Dla dowolnych podzbiorów C, D, C s, gdzie s S, zbioru Y mamy: (a) (b) (c) (C D) (f 1 (C) f 1 (D)), f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D), f(f 1 (C)) C oraz f(f 1 (C)) = C, gdy C f(x), (d) f 1 ( s S C s ) = s S f 1 (C s ), (e) f 1 ( s S C s ) = s S f 1 (C s ), Definicja funkcji identyczność. Funkcję id A : A A określoną wzorem id A (x) = x dla x A nazywamy identycznością na zbiorze A. Definicja obcięcia funkcji. Jeśli f : X Y jest funkcją i A X zbiorem niepustym, to funkcję g : A Y określoną wzorem g(x) = f(x) dla x A nazywamy obcięciem lub zawężeniem funkcji f do zbioru A i oznaczamy f A. Definicja złożenia funkcji. Jeśli f : X Y oraz g : Z W są funkcjami oraz f(x) Z, to funkcję h : X W określoną wzorem h(x) = g(f(x)) dla x X nazywamy złożeniem funkcji f i g i oznaczamy g f. Wtedy funkcję f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zaś zewnętrzną złożenia g f. Definicja funkcji różnowartościowej. Mówimy, że funkcja f : X Y jest różnowartościowa lub jest injekcją, gdy dla każdych a, b X, a b zachodzi f(a) f(b). Definicja bijekcji. Funkcję f nazywamy bijekcją, gdy jest injekcją i surjekcją (tzn. jest różnowartościowa i na ). Definicja funkcji odwrotnej. Mówimy, że funkcja f : X Y jest odwracalna, gdy istnieje funkcja g : Y X taka, że dla każdego (x, y) X Y zachodzi y = f(x) x = g(y). Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f 1. Wprost z definicji funkcji odwracalnej mamy: Twierdzenie 3. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. Twierdzenie 4. Funkcja f : X Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja g : Y X taka, że g f = id X oraz f g = id Y.

8 Rozdział 2 Liczby rzeczywiste Podstawowymi pojęciami rozważanymi w analizie matematycznej są liczby rzeczywiste i funkcje określone na zbiorach liczb rzeczywistych. W rozdziale tym określimy liczby rzeczywiste drogą aksjomatyczną ( 1 ) następnie wyodrębnimy liczby całkowite, wymierne i niewymierne (por. na przykład [8]). Założymy, że istnieje pewien zbiów R, w którym określamy dwa działania i relację mniejszości które spełniają pewne własności (aksjomaty). Całą dalszą wiedzę o liczbach rzeczywistych będziemy opierać na tych wyróżnionych własnościach. W punkcie 2.3 podamy definicję zbioru liczb naturalnych. Nie wykażemy jednak istnienia tego zbioru. Zagadnienie to jest dość trudne, wymaga bowiem stosowania zaawansowanych technik logicznych. Na koniec tego rozdziału podamy definicję rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych. 2.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych Zakładamy, że istnieje zbiór, który będziemy oznaczać literą R i nazywać zbiorem liczb rzeczywistych, elementy tego zbioru zaś będziemy nazywać liczbami rzeczywistymi. Zakładamy, że w zbiorze R określone są działania dodawania + i mnożenia, czyli funkcje + : R R R, : R R R oraz relacja mniejszości <, które spełniają następujące własności zwane aksjomatami: I. Aksjomaty ciała( 2 ). 1 (Łączność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y, z R, x + (y + z) = (x + y) + z, x (y z) = (x y) z. 2. (Przemienność dodawania i mnożenia). Dla każdych x, y R, x + y = y + x, x y = y x. 3. (Rozdzielność mnożenia względem dodawania). Dla każdych x, y, z R, x (y + z) = (x y) + (x z). 1 Liczby rzeczywiste można również określić, przyjmując za znane pojęcie liczb wymiernych i przy ich pomocy definiować liczby rzeczywiste (patrz na przykład [10], [17]). 2 Struktury algebraiczne spełniające ten układ aksjomatów nazywamy ciałami. 9

9 10 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE 4. (Istnienie elementów neutralnych działań). Istnieją różne elementy 0, 1 R takie, że dla każdego x R, 0 + x = x, 1 x = x. 5. (Istnienie różnicy i ilorazu). Dla każdych x, y R, istnieje z R taka, że y = x + z. Dla każdych x, y R, x 0, istnieje z R taka, że II. Aksjomaty porządku. y = x z. 1. (Spójność relacji mniejszości). Dla każdych x, y R takich, że x y zachodzi x < y lub y < x. 2. (Przechodzniość relacji mniejszości). Dla każdych x, y, z R, jeśli x < y i y < z, to x < z. 3. (Antysymetria relacji mniejszości). Dla każdych x, y R, jeśli x < y to nie zachodzi y < x. III. Aksjomaty związku między działaniami i relacją mniejszości. 1. Dla każdych x, y, z R, jeśli x < y, to x + z < y + z. 2. Dla każdych x, y, z R, 0 < z, jeśli x < y, to x z < y z. IV. Aksjomat ciągłości (zasada ciągłości Dedekinda). 1. Zbioru R nie można przedstawić w postaci sumy zbiorów A B takich, że 1) A, B, 2) dla każdych a A, b B zachodzi a < b, 3) dla każdego a A istnieje ã A, że a < ã, 4) dla każdego b B istnieje b B, że b < b. Uwaga Z Aksjomatu I.4 wynika, że R jest zbiorem niepustym. Można udowodnić, że powyższe aksjomaty jednoznacznie charakteryzują zbiór liczb rzeczywistych oraz, że nie są nawzajem sprzeczne (również po dołączeniu aksjomatów teorii mnogości). Definicja zera i jedynki. Liczbę 0 nazywamy zerem. Liczbę 1 nazywamy jedynką. Własność W R istnieje dokładnie jedno zero i dokładnie jedna jedynka. Dowód. Istotnie, jeśli pewne 0 i 1 spełniają Aksjomat I.4, to To kończy dowód. 0 = = = 0 oraz 1 = 1 1 = 1 1 = 1. Definicja elementu przeciwnego. Niech x R. Element z R taki, że 0 = x + z nazywamy elementem przeciwnym do x i oznaczamy x. Definicja elementu odwrotnego. Niech x R, x 0. Element z R taki, że 1 = x z nazywamy elementem odwrotnym do x i oznaczamy 1/x lub 1 x.

10 2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 11 Własność (a) Każdy x R ma dokładnie jeden element przeciwny. (b) Każdy x R, x 0 ma dokładnie jeden element odwrotny. Dowód. Udowodnimy (a). Część (b) dowodzi się analogicznie. Weźmy x R. Z Aksjomatu I.5 wynika istnienie z R takiego, że 0 = x + z. Jeśli z R również spełnia ten warunek, to z aksjomatów mamy co należało udowodnić. z = z + 0 = z + (x + z) = (z + x) + z = 0 + z = z, Definicja sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Niech x, y R. Wynik działania dodawania x + y nazywamy sumą x i y a liczby x, y nazywamy składnikami tej sumy. Wynik działania mnożenia x y nazywany iloczynem x i y a liczby x, y nazywamy czynnikami tego iloczynu. Liczbę z R taką, że y = x + z nazywamy różnicą y i x. Jeśli x 0, to liczbę z R taką, że y = x z nazywamy ilorazem y przez x. Definicja odejmowania. Odejmowaniem nazywamy działanie : R R R określone wzorem x y = x + ( y) dla x, y R. Definicja dzielenia. Dzieleniem nazywamy działanie :: R (R \ {0}) R określone wzorem x : y = x (1/y) dla x, y R, y 0. Własność (a) Dla dowolnych x, y R istnieje dokładnie jedna różnica x i y równa x y. (b) Dla dowolnych x, y R, y 0 istnieje dokładnie jeden iloraz x przez y równy x : y. Dowód. Ad. (a) Niech x, y R oraz z, z R będą różnicami x i y, czyli x = y + z, x = y+ z. Z własności 2.1.3(a) liczba y jest określona jednoznacznie, zatem z aksjomatów mamy z = (( y) + y) + z = ( y) + (y + z) = ( y) + x = ( y) + (y + z) = z, czyli różnica x i y jest dokładnie jedna. Różnica x i y jest równa x y, gdyż Część (b) dowodzimy analogicznie. y + (x y) = y + (x + ( y)) = (y + ( y)) + x = x. Własność Dla każdego x R mamy 0 x = x 0 = 0.

11 12 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Ponieważ 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, więc 0 x jest różnicą 0 x i 0 x, czyli 0 x = 0 (własność 2.1.4(a)). Własność W R nie ma dzielników zera, to znaczy jeśli dla x, y R zachodzi x y = 0, to x = 0 lub y = 0. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieją x 0, y 0 takie, że x y = 0. Wówczas z Aksjomatu I.5 istnieją z, w R takie, że 1 = xz, 1 = yw. Zatem z Aksjomatów I.1 i I.2 i własności mamy 1 = 1 1 = (x z) (y w) = (x y) (z w) = 0 (z w) = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4. W dalszym ciągu tradycyjnie znak mnożenia będziemy opuszczać i pisać xy zamiast x y, oraz zamiast x : y będziemy pisać x/y lub x y. Przyjmujemy, że działania mnożenia i dzielenia mają pierwszeństwo przed działaniami dodawania i odejmowania. Często piszemy y > x zamiast x < y. Definicja relacji nierówności. Relację x < y nazywamy nierównością i mówimy x jest mniejsze od y lub y jest większe od x. Własność Dla dowolnych x, y R zachodzi dokładnie jeden z poniższych warunków: x = y, x < y, y < x. Dowód. Na mocy Aksjomatu II.1 co najmniej jeden z tych warunków musi zachodzić. Przypuśćmy, że zachodzą co najmniej dwa warunki. Pokażemy, że wówczas x < x. Jeśli zachodzi x < y i y < x, to z Aksjomatu II.2 mamy x < x. Jeśli zachodzi x = y i x < y (ewentualnie y < x), to mamy x < x. Pokazaliśmy w każdej sytuacji, że z przypuszczenia, wynika że zachodzi x < x. Stąd i z Aksjomatu II.3 mamy, że nie zachodzi x < x. Otrzymana sprzeczność daje tezę. Własność < 1. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że 1 < 0. Wówczas z Aksjomatu III.1, 1 + ( 1) < 0 + ( 1) i w konsekwencji z Aksjomatu I.4 mamy 0 < ( 1). Stosując teraz Aksjomat III.2 i własność dostajemy 1 = ( 1) 1 < 0 ( 1) = 0, czyli 1 < 0. To wraz z poprzednim daje, że 0 < ( 1) oraz 1 < 0, co w myśl własności jest niemożliwe.

12 2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 13 Wniosek Niech x R. Wówczas zachodzą następujące: (a) x < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < x. (b) Jeśli x 0, to x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 0. (c) Jeśli x > 0, to x < 1 wtedy i tylko wtedy, gdy 1/x > 1. Dowód. Ad. (a). Załóżmy, że x < 0. Wówczas z Aksjomatu II.1 mamy 0 = x + ( x) < 0 + ( x) = x, więc 0 < x.. Analogicznie jak powyżej, zakładając że 0 < x, mamy x = 0 + x < ( x) + x = 0, więc x < 0. Ad. (b). Załóżmy, że x > 0. Pokażemy, że 1/x > 0. Przypuśćmy przeciwnie, że nierówność 1/x > 0 nie zachodzi. Wówczas, wobec własności 2.1.7, 1/x = 0 lub 1/x < 0. Jeśli 1/x = 0, to z własności mamy 1 = (1/x) x = 0 x = 0, co jest sprzeczne z Aksjomatem I.4. Jeśli 1/x < 0, to z Aksjomatu III.2 i własności dostajemy 1 = (1/x) x < 0 x = 0, co jest sprzeczne z własnością i Doszliśmy do sprzeczności, a więc przypuszczenie było fałszywe. Zatem 1/x > 0.. Załóżmy, że 1/x > 0. Pokażemy, że x > 0. Przypuszczając przeciwnie, że x < 0 (gdyż z założenia, x 0) mamy 1 = (1/x) x < (1/x) 0 = 0, co jest niemożliwe. Zatem musi zachodzić x > 0. Ad. (c). Załóżmy, że 0 < x < 1. Pokażemy, że 1/x > 1. Przypuśćmy przeciwnie, że 1/x = 1 lub 1/x < 1. Jeśli 1/x = 1, to x = (1/x) x = 1, co jest sprzeczne z założeniem, że x < 1. Jeśli 1/x < 1, to z Aksjomatu III.2 dostajemy 1 = (1/x) x < 1 x = x < 1, co jest niemożliwe. Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić 1/x > 1.. Załóżmy, że 1/x > 1. Pokażemy, że x < 1. Przypuśćmy przeciwnie, że x = 1 lub x > 1. Jeśli x = 1, to co jest niemożliwe. Jeśli x > 1, to 1 = (1/x) x = 1/x > 1, 1 = x (1/x) > 1 (1/x) > 1,

13 14 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE co jest niemożliwe. Doszliśmy do sprzeczności, a więc musi zachodzić x < 1. Definicja. Przyjmujemy następujące oznaczenia 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1, 6 = 5 + 1, 7 = 6 + 1, 8 = 7 + 1, 9 = 8 + 1, 10 = Własność Dla każdych x, y R takich, że x < y istnieje z R, że x < z < y. Dowód. Z własności i Aksjomatów I.4., II.2. oraz III.1. mamy 0 < 1 = < = 2, czyli 0 < 2. Zatem, z własności 2.1.9(b) mamy 1/2 > 0. Wykażemy, że liczba z = (x + y)/2 spełnia tezę własności. Istotnie, z Aksjomatu III.1, x + x < x + y, czyli 2x < x + y. Ponieważ 1/2 > 0, więc z Aksjomatu III.2 mamy (2.1) x < (x + y)/2 = z. Podobnie mamy x + y < 2y i dalej z = (x + y)/2 < y. Stąd i z (2.1) dostajemy tezę. Definicja relacji. W R określamy relację w następujący sposób: dla dowolnych x, y R, x y wtedy i tylko wtedy, gdy x < y lub x = y. Piszemy również y x zamiast x y i mówimy x jest niewiększe od y lub y jest niemniejsze od x. Definicja modułu liczby. Wartością bezwzględną lub modułem liczby x R nazywamy liczbę x R określoną następująco: x, gdy x 0, x = x, gdy x < 0. Definicja. Liczbę x R nazywamy dodatnią, gdy x > 0. Zbiór R + = {x R : x > 0} nazywamy zbiorem liczb dodatnich. Liczbę x R nazywamy ujemną, gdy x < 0. Zbiór R = {x R : x < 0} nazywamy zbiorem liczb ujemnych. Liczbę x R nazywamy nieujemną, gdy x 0. Zbiór R 0 + = {x R : x 0} nazywamy zbiorem liczb nieujemnych. Liczbę x R nazywamy niedodatnią, gdy x 0. Zbiór R 0 = {x R : x 0} nazywamy zbiorem liczb niedodatnich. Definicja przedziału. Jeśli a, b R oraz a < b, to zbiory (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b] = {x R : a x b},

14 2.1. AKSJOMATY LICZB RZECZYWISTYCH 15 [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b} nazywamy przedziałami o końcach a, b. Przedziały typu (a, b) nazywamy otwartymi, typu zaś [a, b] domkniętymi. Liczbę b a > 0 nazywamy długością przedziału o końcach a i b. Długość przedziału P oznaczamy P. Uwaga Przedział otwarty oznaczamy tak samo jak parę uporządkowaną. Nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Używając oznaczenia (a, b), z kontekstu, będzie jasne, co przez to rozumiemy. Definicja znaku liczby. Znakiem lub signum liczby x R nazywamy liczbę sgn (x) R określoną następująco: 1, gdy x > 0, sgn (x) = 1, gdy x < 0, 0, gdy x = 0. ZADANIA Zadanie Dla dowolnych x, y, z, w R mamy: 1. ( x) = x, 1 1 x 2. x = ( 1)x. = x, gdy x x y = w z xz = yw, gdy y, z xz = x, gdy y, z 0. yz y 5. x y + w z = xz+yw yz ; x y w z = xz yw yz, gdy y, z x y w = xw, gdy y, z 0; x : w = xz, gdy y, z, w 0. z yz y z yw Zadanie Niech x, y, z, w R. 1. Jeśli x y i y x, to x = y. 2. Jeśli x 0 i y 0, to xy Jeśli x < y i z w, to x + z < y + w. 4. Jeśli x y i z w, to x + z y + w. 5. Jeśli x > 0 i y < z, to y/x < z/x. 6. Jeśli x < 0, to 1/x < Jeśli x < 0 i y < z, to yx > zx oraz y/x > z/x. 8. Jeśli x 0, to xx > Jeśli 0 < x < y, to 0 < 1/y < 1/x.

15 16 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Zadanie Niech x R. Dla dowolnego ε > 0, 1. x < ε wtedy i tylko wtedy, gdy ε < x < ε, 2. x > ε wtedy i tylko wtedy, gdy ε > x lub x > ε. Zadanie Dla dowolnych x, y R mamy: 1. x xy = x y ; x = x, gdy y 0. y y 3. x + y x + y, x y x y. Zadanie Dla dowolnego x 0 zachodzi sgn (x) = x x. 2.2 Kresy W punkcie tym przedstawimy ważne konsekwencje aksjomatu ciągłości. Definicja zbioru ograniczonego. Niech E R. Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba M R taka, że dla każdego x E zachodzi x M. Każdą taką liczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z góry. Mówimy, że zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba m R taka, że dla każdego x E zachodzi x m. Każdą taką liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym z dołu. Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy E jest ograniczony z góry i z dołu. W przeciwnym przypadku zbiór E nazywamy nieograniczonym. Definicja kresu górnego i dolnego zbioru. Niech E R. Liczbę M R spełniającą warunki: 1) M jest ograniczeniem górnym zbioru E, 2) dla każdego M < M istnieje x E, takie że x > M, nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy sup E. Liczbę m R spełniającą warunki: 1) m jest ograniczeniem dolnym zbioru E, 2) dla każdego m > m istnieje x E, takie że x < m, nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy inf E. Uwaga W myśl przyjętych definicji, zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z góry nie mają kresów górnych. Analogicznie zbiór pusty oraz zbiór nieograniczony z dołu nie mają kresów dolnych. Na końcu tego rozdziału rozszerzymy zbiór liczb rzeczywistych w ten sposób, że wszystkie zbiory będą miały kresy górny i dolny.

16 2.2. KRESY 17 Definicja maksimum i minimum zbioru. Niech E R. Element x 0 E taki, że dla każdego x E zachodzi x x 0 nazywamy elementem maksymalnym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elementem największym zbioru E i oznaczamy max E. Element x 0 E taki, że dla każdego x E zachodzi x x 0 nazywamy elementem minimalnym zbioru E lub minimum zbioru E lub elementem najmniejszym zbioru E i oznaczamy min E. Uwaga Z własności dostajemy natychmiast, że jeśli zbiór E R ma maksimum, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Analogiczna uwaga zachodzi dla minimum, kresu górnego i dolnego. Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność Jeśli x, y R, to max{x, y} = x + y 2 + x y 2 oraz min{x, y} = x + y 2 x y. 2 W tym punkcie udowodnimy, że każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny. Zanim przejdziemy do tego faktu wprowadźmy pojęcie przekroju Dedekinda i udowodnimy jeden lemat. Definicja przekroju Dedekinda. Niech A, B R. Parę zbiorów (A, B) nazywamy przekrojem Dedekinda, gdy spełnione są warunki: 1) A, B, 2) A B = R, 3) dla każdego x A oraz każdego y B zachodzi x < y. Lemat Jeśli (A, B) jest przekrojem Dedekinda, to albo istnieje max A albo istnieje min B. Dowód. Pokażemy najpierw, że istnieje max A lub istnieje min B. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje max A i nie istnieje min B. Wówczas, z definicji maksimum i minimum, dla każdego a A istnieje ã A, że a < ã oraz dla każdego b B istnieje b B, że b < b. To, wraz z określeniem przekroju Dedekinda daje sprzeczność z Aksjomatem IV.1 (zasada ciągłości Dedekinda). Do zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że max A i min B nie mogą istnieć jednocześnie. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A i istnieje min B. Wówczas z definicji maksimum i minimum oraz z warunku 3) definicji przekroju Dedekinda dostajemy, że max A < min B. Stąd, na mocy własności dostajemy, że istnieje z R takie, że max A < z < min B. W szczególności z A oraz z B. To przeczy warunkowi 2) definicji przekroju Dedekinda. Twierdzenie (o istnieniu kresu górnego). Jeśli E R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z góry, to istnieje kres górny zbioru E.

17 18 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Niech A = {a R : istnieje x E, że a < x} oraz B = R \ A. Z określenia zbiorów A i B wynika, że każdy b B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Pokażemy najpierw, że (A, B) jest przekrojem Dedekinda, tzn. spełnia warunki 1), 2), 3) definicji przekroju Dedekinda. Ad 1) Ponieważ E, więc istnieje x E. Ponieważ x 1 < x, więc x 1 A i A. Ponieważ E jest ograniczony z góry, więc istnieje b R takie, że x b dla każdego x E. Zatem b A i w konsekwencji b B, czyli B. Ad 2) Z określenia zbiorów A i B mamy A B = R. Ad 3) Niech a A, b B. Z określenia zbioru A dostajemy, że istnieje x E, że a < x. Ponieważ b jest ograniczeniem górnym zbioru E, więc x b, zatem a < b. Reasumując, (A, B) jest przekrojem Dedekinda. W konsekwencji, z lematu albo istnieje max A albo istnieje min B. Pokażemy teraz, że nie istnieje max A. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje max A. Wówczas max A A i z określenia zbioru A mamy, że istnieje x E, że max A < x. Na mocy własności istnieje c R takie, że max A < c < x. Zatem c A. To jest niemożliwe, gdyż max A < c. Pokazaliśmy więc, że nie istnieje max A oraz istnieje min B. Pokażemy na koniec, że min B jest kresem górnym zbioru E. Ponieważ min B B, więc min B jest ograniczeniem górnym zbioru E. Weźmy dowolne M < min B. Wówczas M B, więc M A. Zatem z określenia zbioru A istnieje x E takie, że M < x. Pokazaliśmy więc, że min B spełnia warunki 1) i 2) definicji kresu górnego, czyli sup E = min B. Analogicznie jak twierdzenie dowodzimy Twierdzenie (o istnieniu kresu dolnego). Jeśli E R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z dołu, to istnieje kres dolny zbioru E. Z definicji maksimum i minimum zbioru dostajemy natychmiast Własność Niech E R. (i) Jeśli zbiór E posiada maksimum, to również posiada kres górny i sup E = max E. (ii) Jeśli zbiór E posiada minimum, to również posiada kres dolny i inf E = min E. Definicja. Niech E, F R, E, F. Przyjmujemy następujące oznaczania: E = {x R : x E}. E + F = {x R : x = y + z, y E, z F }. E F = {x R : x = yz, y E, z F }. Dowody następujących dwóch własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność Niech E, F R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry. (a) Wówczas inf( E) = sup E. (b) Jeśli E F, to sup E sup F. (c) Jeśli dla dowolnego x E istnieje y F, że x y, to sup E sup F.

18 2.3. LICZBY NATURALNE 19 Własność Jeśli E R jest niepusty i ograniczony, to: (a) inf E sup E. (b) równość inf E = sup E zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem jednoelementowym. Własność Niech E, F R będą zbiorami niepustymi i ograniczonymi z góry. (a) Wówczas sup(e + F ) = sup E + sup F. (b) Jeśli E, F R +, to sup(e F ) = sup E sup F. (c) Jeśli a R +, to sup({a} F ) = a sup F. Dowód. Z twierdzenia mamy, że istnieją sup E i sup F. Ad. (a) Niech M = sup E + sup F. Weźmy dowolny x E + F. Wówczas x = y + z, gdzie y E, z F. Ponieważ y sup E i z sup F, więc y + z M. Zatem M jest ograniczeniem górnym zbioru E + F. Weźmy dowolny M < M. Wówczas M sup E < sup F, więc istnieje z F, że M sup E < z, czyli M z < sup E. Zatem istnieje y E, że M z < y. W konsekwencji M < y + z i x = y + z E + F. Reasumując sup(e + F ) = M. Ad. (b) Ponieważ E, F R +, więc sup E > 0 i sup F > 0. Niech M = sup E sup F. Wtedy M > 0. Dla dowolnych y E, z F mamy 0 < y sup E, 0 < z sup F, więc yz y sup F M. Zatem M jest ograniczeniem górnym zbioru E F. Niech M < M. Ponieważ M / sup E < sup F, więc istnieje z F, że M / sup E < z. Wtedy z > 0 oraz M /z < sup E, więc istnieje y E, że M /z < y, czyli M < yz i yz E F. Reasumując M = sup E F. Ad. (c) Dla y F mamy y sup F, a ponieważ a > 0, więc ay a sup F. Stąd dostajemy, że a sup F jest ograniczeniem górnym zbioru {a} F. Niech M < a sup F. Wtedy M /a < sup F, więc istnieje y F, że M /a < y. Zatem ay {a} F oraz M < ay. Reasumując a sup F = sup({a} F ). 2.3 Liczby naturalne Definicja zbioru liczb naturalnych. Niech N będzie rodziną wszystkich podzbiorów N R posiadających następujące dwie własaności: (i) 1 N, (ii) jeśli x N, to x + 1 N. Niech N będzie częścią wspólną tej rodziny, tzn. N = N N Zbiór N nazywamy zbiorem liczb naturalnych. Elementy zbioru N nazywamy liczbami naturalnymi. N.

19 20 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Uwaga Można wykazać istnienie rodziny N. Jest ona niepusta, gdyż oczywiście R N. Zbiór N posiada własności (i), (ii), więc 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 N. Twierdzenie (zasada Archimedesa). Dla każdego x R istnieje n N, takie że n > x. Dowód. Niech x R. Przypuśćmy przeciwnie, że nie istnieje n N takie, że n > x. Wówczas dla każdego n N mamy n x, czyli x jest ograniczeniem górnym zbioru N. Stąd, na mocy twierdzenia 2.2.5, istnieje kres górny zbioru N. Oznaczmy ten kres przez M. Ponieważ M 1 < M, więc z definicji kresu górnego, istnieje liczba n 0 N taka, że M 1 < n 0. Zatem M < n Ponieważ n N, więc z definicji kresu górnego mamy n M. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Z twierdzenia dostajemy natychmiast następujący wniosek. Wniosek Zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry. Dowód poniższego wniosku pozostawiamy czytelnikowi. Wniosek Dla dowolnych x, y R, jeśli y > 0, to istnieje n 0 N takie, że ny > x dla każdego n n 0. Twierdzenie (zasada indukcji). Jeśli N N oraz N spełnia warunki: (i) 1 N, (ii) jeśli x N, to x + 1 N, to N = N. Dowód. Z założenia o zbiorze N mamy, że N N oraz N N. Zatem z definicji N dostajemy, N N. W konsekwencji N = N. Własność Dla każdego n N zachodzi n 1. Dowód. Niech N = {n N : n 1}. Pokażemy, że N spełnia warunki (i), (ii) w twierdzeniu (i) Ponieważ 1 1, więc z definicji zbioru N mamy 1 N. (ii) Niech n N. Wówczas n > 1, więc n + 1 1, zatem n + 1 N. Pokazaliśmy, że N spełnia (i) oraz (ii). Zatem na mocy twierdzenia 2.3.5, N = N. Własność (a) Dla dowolnych m, n N mamy m + n N i mn N. (b) Dla każdego n N mamy n = 1 albo n 1 N. (c) Dla każdego n N nie istnieje m N, że n < m < n + 1. (d) Dla dowolnych m, n N, jeśli m < n, to m + 1 n. (e) Dla dowolnych m, n N, jeśli m < n, to n m N.

20 2.3. LICZBY NATURALNE 21 Dowód. Ad. (a) Dla dowolnego m N oznaczając N = {n N : m + n N} łatwo stosując twierdzenie dostajemy N = N. Podobnie dla m N biorąc N = {n : mn N} dostajemy N = N. To daje (a). Ad. (b) Niech A = {n N : n 1 N} oraz N = {1} A. Oczywiście N N. Pokażemy, że N spełnia warunki (i), (ii) twierdzenia (i) 1 N oczywiste. (ii) Niech n N. Pokażemy, że n + 1 N. Istotnie, n N, więc n + 1 N oraz (n + 1) 1 = n N. Zatem n + 1 A i w konsekwencji n + 1 N. Reasumując N = N. Ponadto warunki n = 1, n 1 N wykluczają się, więc mamy (b). Ad (c) Niech N = {n N : nie istnieje m N, że n < m < n + 1}. Zauważmy, że 1 N. Istotnie, gdyby dla pewnego m N zachodziło 1 < m < 1 + 1, to wobec części (b) mielibyśmy m 1 N oraz m 1 < 1, co przeczy tezie własności W konsekwencji 1 N. Niech n N. Pokażemy, że n + 1 N. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje m N takie, że n + 1 < m < (n + 1) + 1. Wówczas m > > 1, więc m 1 i z części (b) mamy m 1 N. Stąd mamy n < m 1 < n + 1, co przeczy temu, że n N. Zatem n + 1 N. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N = N. Ad. (d) Część (d) wynika natychmiast z części (c). Ad (e) Niech N IV = {m N : dla każdego n N takiego, że n > m mamy n m N}. Z części (b) dostajemy 1 N IV. Załóżmy, że m N IV. Weźmy dowolny n N takie, że n > m + 1. Wówczas n 1, zatem n 1 N oraz n 1 > m, więc n (m + 1) = (n 1) m N. Stąd i z dowolności n > m + 1 mamy m + 1 N IV. Stosując teraz zasadę indukcji dostajemy N IV = N. Udowodnimy, że każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Zacznijmy od definicji i dwóch lematów. Definicja. Dla dowolnego n N określamy F n = {k N : k n}. Piszemy również F n = {1,..., n} oraz k = 1,..., n zamiast k F n. Lemat Dla dowolnego n N, F n = {k N : k < n + 1}. Dowód. Oznaczmy F n = {k N : k < n + 1}. Oczywiście F n F n. Pokażemy, że F n F n. Weźmy dowolny k F n. Wówczas k < n + 1, więc z z własności 2.3.7(c) mamy k n. To daje, że k F n i w konsekwencji, że F n F n. Reasumując F n = F n. Lemat Dla dowolnego n N, F n+1 = F n {n + 1}. Dowód. W myśl lematu 2.3.8, dla n N mamy F n+1 = {k N : k n + 1} = {k N : k < n + 1} {n + 1} = F n {n + 1}.

21 22 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Twierdzenie (zasada minimum). Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy. Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje niepusty zbiór A N który nie ma elementu najmniejszego. Połóżmy N = {n N : F n A = }. Pokażemy, że N = N. Istotnie: (i) 1 N, gdyż w przeciwnym razie {1} = F 1 A i wobec własności liczba 1 byłaby elementem najmniejszym zbioru A, co jest sprzeczne z przypuszczeniem. (ii) Niech n N. Pokażemy, że n+1 N. Przypuśćmy, że n+1 N, czyli F n+1 A. Ponieważ n N, więc F n A =, zatem, wobec lematu mamy n + 1 A. Ponadto z własności 2.3.7(d) dla każdego k A mamy k n + 1. W konsekwencji n + 1 jest elementem najmniejszym zbioru A, wbrew przypuszczeniu. Reasumując n + 1 N. Z (i), (ii) oraz zasady indukcji (twierdzenie 2.3.5) dostajemy N = N. Oczywiście dla każdego n N mamy n F n, więc z określenia zbioru N dostajemy A =. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Twierdzenie (zasada indukcji o innym początku). Niech n 0 N oraz Jeśli zbiór N N n0 (i) n 0 N, spełnia warunki: (ii) jeśli n N, to n + 1 N, to N = N n0. N n0 = {n N : n n 0 }. Dowód. Niech N będzie zbiorem spełniającym (i) i (ii) oraz A = N n0 \ N. Pokażemy, że A =. Istotnie, przypuśćmy przeciwnie, że A. Wówczas z zasady minimum (twierdzenie ) w zbiorze A istnieje element najmniejszy. Oznaczmy go przez m 0. Wówczas, z określenia zbioru N n0 mamy m 0 n 0 oraz m 0 A. Ponieważ z (i), n 0 N, więc n 0 A, zatem m 0 > n 0 i m 0 1. Stąd mamy m 0 1 N (patrz własności (b) i (d)). To jest jednak niemożliwe, gdyż wtedy z (ii) mamy m 0 = (m 0 1) + 1 N. Analogicznie jak twierdzenie dowodzimy następujące Twierdzenie (zasada indukcji skończonej). Niech n 0, m 0 N, n 0 m 0 oraz N n0,m 0 = {n N : n 0 n m 0 }. Jeśli zbiór N N n0,m 0 spełnia warunki: (i) n 0 N, (ii) dla każdego n < m 0, jeśli n N, to n + 1 N, to N = N n0,m 0. Z twierdzenia dostajemy natychmiast Twierdzenie (zasada indukcji). Niech N N. Jeśli N spełnia warunki: (i) 1 N, (ii) jeśli F n N, to n + 1 N, to N = N.

22 2.4. LICZBY CAŁKOWITE I LICZBY WYMIERNE 23 Definicja liczb parzystych i nieparzystych. Mówimy, że liczba naturalna n jest parzysta, gdy istnieje k N, że n = 2k; w przeciwnym przypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą. Zbiór liczb parzystych oznaczamy 2N. Zbiór liczb nieparzystych oznaczamy 2N 1. ZADANIA Zadanie Wykazać, że 2N = {2n : n N} oraz 2N 1 = {2n 1 : n N}. Zadanie Jeśli n, m N oraz nm 2N, to n 2N lub m 2N. 2.4 Liczby całkowite i liczby wymierne Definicja liczby całkowitej. Każdą liczbę rzeczywistą, która jest różnicą dwóch liczb naturalnych nazywamy liczbą całkowitą. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy Z. Dowody poniższych dwóch prostych własności pozostawiamy czytelnikowi. Własność N Z. Własność (a) Jeśli a Z, to a N albo a N albo a = 0. (b) Z R + = N, Z R = N. (c) Dla dowolnych a, b Z mamy a + b Z, ab Z, a b Z. (d) Dla dowolnego a Z mamy a Z. (e) 1/2 Z. Z własnoći dostajemy Własność (a) Dla każdego a Z nie istnieje b Z, że a < b < a + 1. (b) Dla dowolnych a, b Z, jeśli a < b, to a + 1 b. (c) Dla dowolnych a, b Z, jeśli a < b, to b a N. Twierdzenie (zasada minimum dla liczb całkowitych). Każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb całkowitych ma element najmniejszy. Dowód. Niech A Z, A będzie zbiorem ograniczonym z dołu i niech M R będzie jego dowolnym ograniczeniem dolnym. Na mocy zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2) istnieje liczba n 0 N taka, że n 0 > M. Wówczas {n 0 } + A N. Istotnie, dla a A mamy n 0 + a Z oraz n 0 + a > M + a 0, więc z własności 2.4.2(a) mamy n 0 + a N. W konsekwencji {n 0 } + A N. Zatem z twierdzenia zbiór {n 0 } + A ma element najmniejszy. Oznaczmy go x 0. Pokażemy, że x 0 n 0 jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, n 0 +(x 0 n 0 ) = x 0 {n 0 } + A, więc x 0 n 0 A. Ponadto dla każdego a A mamy n 0 + a x 0, więc a x 0 n 0. Analogicznie jak twierdzenie (stosując twierdzenie zamiast ), dostajemy następujące dwie wersje zasady indukcji.

23 24 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Twierdzenie (zasada indukcji). Niech a 0 Z oraz Z a0 = {a Z : a a 0 }. Jeśli zbiór Z Z a0 spełnia warunki: (i) a 0 Z, (ii) jeśli a Z, to a + 1 Z, to Z = Z a0. Wniosek Niech a 0 Z oraz Z a0 = {a Z : a a 0 }. Jeśli zbiór Z Z a0 spełnia warunki: (i) a 0 Z, (ii) jeśli a Z a0 i {k Z : a 0 k a} Z, to a + 1 Z, to Z = Z a0. Z twierdzenia dostajemy następujący Wniosek Każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb całkowitych ma element największy. Dowód. Niech A Z będzie zbiorem ograniczonym z góry. Wówczas zbiór A jest ograniczony z dołu, więc z twierdzenia 2.4.4, istnieje min( A). Oznaczając a = min( A) i stosując definicją minimum i maksimum zbioru dostajemy, że a = max A. Definicja liczby wymiernej. Mówimy, że liczba x R jest wymierna, gdy istnieją a, b Z, b 0, takie że x = a/b. Liczbę a nazywamy licznikiem, zaś liczbę b mianownikiem liczby wymiernej x. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q. Definicja liczby niewymiernej. Zbiór R \ Q nazywamy zbiorem liczb niewymiernych. Liczbę x R \ Q nazywamy niewymierną. Zachodzą następujące własności: Własność (a) Z Q. (b) Dla dowolnego r Q zachodzi r Q oraz 1/r Q, gdy r 0. (c) Jeśli r, w Q, to r + w Q, r w Q, rw Q oraz r/w Q, gdy w 0. (d) Dla każdej liczby r Q istnieją a Z oraz b N, że r = a/b. Definicja całości liczby. Niech x R. Całością lub entier z liczby x nazywamy max{a Z : a x} i oznaczamy [x]. Uwaga Całość [x] jest poprawnie określona. Istotnie, zbiór A = {a Z : a x} jest ograniczony z góry i niepusty, bowiem dla liczby x, z zasady Archimedesa istnieje n 0 N, że n 0 > x. Zatem n 0 < x, więc n 0 A. Stosując teraz wniosek2.4.7 dostajemy istnienie i jedyność liczby [x]. Dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

24 2.5. INFORMACJE O DEFINIOWANIU PRZEZ INDUKCJĘ 25 Własność Dla każdego x R mamy W szczególności 0 x [x] < 1. [x] Z, [x] x < [x] + 1. Udowodnimy teraz twierdzenie o gęstości zbioru Q w R. Twierdzenie Dla każych x, y R takich, że x < y istnieje r Q, że x < r < y. Dowód. Na mocy zasady Archimedesa istnieje n N, że n > 1/(y x). W szczególności 1/n < y x. Oznaczmy a = [nx] Z. Pokażemy, że liczba r = (a+1)/n spełnia tezę twierdzenia. Z własności mamy nx < a+1, więc x < (a+1)/n, czyli x < r. Z drugiej strony (a+1)/n = (a+1 nx)/n+x = (1 (nx [nx]))/n+x 1/n+x < (y x)+x = y, czyli r < y. Reasumując x < r < y. ZADANIA Zadanie Niech x R. Udowodnić, że jeśli dla każdego n N istnieją q, r N oraz p Z, że q, r n oraz 0 < x p < 1, to x jest liczbą niewymierną. q qr Zadanie * Udowodnić, że jeśli x R jest liczbą niewymierną, to dla każdego n N istnieją p Z, q N takie, że q n oraz x p q < 1 q q. 2.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję Niech n N oraz, zgodnie z poprzednim punktem, niech F n = {k N : k n}. Definicja określania funkcji przez indukcję skończoną. Niech X będzie niepustym zbiorem, n N, n > 1, x X oraz f : X F n 1 X. Funkcję ϕ : F n X spełniającą warunki (i) ϕ(1) = x, (ii) ϕ(k + 1) = f(ϕ(k), k) dla każdego k F n 1, nazywamy określoną przez x i f przy pomocy indukcji skończonej. Twierdzenie Jeśli X jest niepustym zbiorem, x X oraz f : X F n 1 X, gdzie n N, n > 1, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ : F n X określona przez x i f przy pomocy indukcji skończonej. ( 3 ) 3 Dowód twierdzenia Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (i), (ii), to zbiór A = {k F n : ϕ(k) ψ(k)} jest niepusty. Zatem istnieje s = min A. Wówczas s > 1, bo z (i) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy s 1 F n 1 oraz ϕ(s 1) = ψ(s 1). Zatem z (ii) otrzymujemy ϕ(s) = f(ϕ(s 1), s 1) = f(ψ(s 1), s 1) = ψ(s), co, wraz z faktem s A, prowadzi do sprzeczności. Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Niech N będzie zbiorem tych m F n, że istnieje funkcja ϕ m : F m X

25 26 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Definicja określania funkcji przez indukcję. Niech X będzie niepustym zbiorem, x X oraz f : X N X. Funkcję ϕ : N X spełniającą warunki (j) ϕ(1) = x, (jj) ϕ(n + 1) = f(ϕ(n), n) dla każdego n N, nazywamy określoną indukcyjnie przez x i f. Twierdzenie Jeśli X jest niepustym zbiorem, x X oraz f : X N X, to istnieje dokładnie jedna funkcja ϕ określona indukcyjnie przez x i f. ( 4 ) Jako przykład definiowania przez indukcję podamy następującą definicję. Definicja silni. Niech X = N, x = 1 oraz f : N N N będzie określona wzorem f(a, n) = a (n + 1) dla n N Wtedy funkcję ϕ : N N określoną indukcyjnie przez x i f nazywamy funkcją silnia i dla n N piszemy ϕ(n) = n!. Liczbę n! nazywamy n-silnia. Dodatkowo przyjmujemy 0! = 1. Uwaga W literaturze dla n N, liczbę n-silnia określa się również następująco: n! = 1, gdy n = 1 oraz (n + 1)! = n!(n + 1). W świetle twierdzenia 2.5.2, jest to definicja równoważna powyższej. Ponadto dla każdego n N istnieje dokładnie jedna liczba n! oraz n! N. Definicja symbolu Newtona. Symbolami Newtona nazywamy liczby ( ) m m! = gdzie n, m Z, 0 n m. n n!(m n)! ZADANIA spełniająca warunki (i ) ϕ m (1) = x, (ii ) ϕ m (k + 1) = f(ϕ m (k), k) dla każdego k F m 1 (przyjmujemy tutaj F 0 = ). Z (i ) oraz (ii ) mamy 1 N. Niech teraz m N, m < n. Wówczas istnieje funkcja ϕ m : F m X spełniająca (i ), (ii ). Biorąc ϕ m+1 : F m+1 X określon a wzorami ϕ m+1 (n) = ϕ m (n) dla n F m oraz ϕ m+1 (m+1) = f(ϕ m (m), m) dostajemy, że ϕ m+1 spełnia (i ), (ii ) dla m+1. W konsekwencji m+1 N. Reasumując, z zasady indukcji skończonej mamy N = F n. Przyjmując teraz ϕ = ϕ n dostajemy tezę. 4 Dowód twierdzenia Jednoznaczność dostajemy z zasady minimum. Istotnie, jeśli istnieją dwie różne funkcje ϕ i ψ spełniające (j), (jj), to zbiór A = {n N : ϕ(n) ψ(n)} jest niepusty. Zatem istnieje k = min A. Ponadto k > 1, bo z (j) mamy ϕ(1) = ψ(1). Stąd dostajemy k 1 N oraz ϕ(k 1) = ψ(k 1). Zatem z (jj) mamy ϕ(k) = ψ(k), co jest niemożliwe, bo k A. Pokażemy istnienie funkcji ϕ. Na mocy twierdzenia dla każdego n N, zbiór funkcji określonych indukcyjnie przez x i f X Fn jest niepusty. Zatem, stosując aksjomat wyboru, istnieje zbiór funkcji ϕ n : F n X, n N, spełniających warunki (i), (ii) definicji określania funkcji przez indukcję skończoną. Ponadto dla każdego n N mamy ϕ n+1 Fn = ϕ n. Określmy funkcję ϕ : N X wzorem ϕ(n) = ϕ n (n), n N. Funkcja ϕ spełnia warunki (j), (jj). Istotnie, mamy ϕ(1) = ϕ 1 (1) = x, czyli zachodzi (j). Weźmy n N. Wtedy ϕ(n) = ϕ n+1 (n), ϕ(n + 1) = ϕ n+1 (n + 1), zatem z (ii) mamy ϕ(n + 1) = ϕ n+1 (n + 1) = f(ϕ n+1 (n), n) = f(ϕ(n), n). To daje, że ϕ spełnia (jj) i kończy dowód.

26 2.6. ZBIORY SKOŃCZONE, PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE 27 Zadanie Dla dowolnych n, m N, n m zachodzi ( ) m n N. 2.6 Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne Definicja równoliczności. Dwa zbiory X, Y nazywamy równolicznymi, gdy istnieje bijekcja zbioru X na zbiór Y. Dodatkowo przyjmujemy, że zbiór pusty jest równoliczny tylko ze zbiorem pustym. Uwaga Relacja równoliczności jest zwrotna, symetryczna i przechodnia ( 5 ). Definicja zbioru skończonego, nieskończonego. Zbiór X nazywamy skończonym, gdy jest pusty lub równoliczny z pewnym zbiorem F n = {k N : k n}, gdzie n N. Jeśli X jest równoliczny z F n, gdzie n N, to mówimy, że zbiór X jest n-elementowy.@ n-elementowy Zbiór X nazywamy nieskończonym, gdy nie jest on skończony. Definicja zbioru n-elementowego jest poprawna. Mamy bowiem następującą własność. Własność Jeśli zbiory F n i F m są równoliczne, to n = m. Dowód. Zauważmy najpierw, że dla m N, m > 1 oraz k F m zbiory F m \ {k} i F m 1 są równoliczne. Istotnie, funkcja ϕ : F m \ {k} F m 1 określona wzorem ϕ(j) = j dla j < k, ϕ(j) = j 1 dla j > k jest bijekcją ( 6 ). Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że zbiór N = {n N : F n nie jest równoliczny z F m dla m N, m n} jest równy N. Zastosujemy twierdzenie (i) 1 N. Istotnie, F 1 = {1} oraz dla m N, m 1 mamy m > 1, więc 1, 2 F m, a więc zbiory F 1 i F m nie mogą być równoliczne. (ii) Niech n N. Pokażemy, że n + 1 N. Przypuśćmy przeciwnie, że n + 1 N, czyli, że istnieje m n + 1 dla którego F n+1 jest równoliczny z F m. Ponieważ n + 1 > 1, więc z części (i) dowodu mamy, że m > 1. Niech ψ : F n+1 F m będzie bijekcją. Wtedy, F n jest równoliczny z F m \ {ψ(n + 1)} (patrz lemat 2.3.9). Z obserwacji poczynionej na początku dowodu mamy, że F m \ {ψ(n + 1)} jest równoliczny z F m 1. W konsekwencji F n jest równoliczny z F m 1 oraz m 1 n. To przeczy temu, że n N. Zatem n + 1 N. Reasumując na mocy zasady indukcji matematycznej mamy, że N = N. Własność Jeśli zbiory A, B są skończone i rozłączne, to ilość elementów zbioru A B jest sumą ilości elementów zbioru A i zbioru B. 5 to znaczy: każdy zbiór X jest równoliczny ze zbiorem X (zwrotność), jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y, to zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem X (symetria), jeśli zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Y i zbiór Y jest równoliczny ze zbiorem Z, to zbiór X jest równoliczny ze zbiorem Z (przechodniość). 6 Funkcja ϕ jest różnowartościowa, gdyż jest różnowartościowa na A = {j F m : j < k} oraz na B = {j F m : j > k} oraz, wobec własności 2.3.7(d), ϕ(a) ϕ(b) =. Ponadto ϕ(f m \{k}) F m 1, bo dla 1 j < k mamy 1 ϕ(j) < k m oraz dla k < j m mamy k ϕ(j) < m (własność 2.3.7). Mamy również F m 1 ϕ(f m \ {k}), gdyż dla 1 j < k mamy j = ϕ(j) ϕ(f m \ {k}) oraz dla k j m 1 mamy k < j + 1 m i wtedy j = ϕ(j + 1) ϕ(f m \ {k}). W konsekwencji ϕ(f m \ {k}) = F m 1, co wobec różnowartościowości ϕ daje, że ϕ jest bijekcją.

27 28 ROZDZIAŁ 2. LICZBY RZECZYWISTE Dowód. Niech n będzie ilością elementów zbioru A oraz m ilością elementów zbioru B. Niech ϕ : F n A, ψ : F m B będą bijekcjami. Kładąc f : F n+m A B, wzorami: f(j) = ϕ(j) dla 1 j n oraz f(j) = ψ(j n) dla n+1 j n+m, łatwo sprawdzamy, że f jest bijekcją. To daje tezę. Twierdzenie Każdy skończony i niepusty zbiór A R ma minimum i maksimum. Dowód. Wystarczy pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n N : każdy podzbiór n-elementowy zbioru R ma minimum i maksimum}. Mamy kolejno: (i) 1 N. Istotnie, niech A R będzie równoliczny z F 1. Wówczas istnieje bijekcja ϕ : F 1 A. Zatem A = {ϕ(1)} i max A = min A = ϕ(1). To daje, że 1 N. (ii) Niech n N. Weźmy dowolny zbiór n+1-elementowy A R i niech ϕ : F n+1 A będzie bijekcją. Wówczas zbiór A \ {ϕ(n + 1)} jest n-elementowy. Ponieważ n N, więc A \ {ϕ(n + 1)} ma maksimum i minimum. Niech x = min(a \ {ϕ(n + 1)}) oraz y = max(a \ {ϕ(n + 1)}). W myśl własności istnieje z = min{x, ϕ(n + 1)} oraz t = max{y, ϕ(n + 1)}. W konsekwencji min A = z oraz max A = t. To daje, że n + 1 N. Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. Definicja zbioru przeliczalnego, nieprzeliczalnego. Mówimy, że zbiór X jest przeliczalny, gdy jest on równoliczny ze zbiorem N. Zbiór X nazywamy co najwyżej przeliczalnym, gdy jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór, który nie jest skończony ani przeliczalny nazywamy nieprzeliczalnym. Z twierdzenia i własności dostajemy natychmiast Wniosek Zbiór N jest nieskończony. W szczególności każdy zbiór przeliczalny jest nieskończony. Twierdzenie Niech A N. Wówczas zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest skończony. Dowód. ( ) Pokażemy najpierw, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skończony. Weźmy dowolny zbiór ograniczony A N. Wówczas istnieje x R, że k x dla wszystkich k A. Biorąc, w myśl zasady Archimedesa (twierdzenie 2.3.2), n N takie, że n > x dostajemy, że A F n. Do zakończenia dowodu wystarczy więc pokazać, że N pokrywa się ze zbiorem N = {n N : każdy podzbiór zbioru F n jest skończony}. Mamy kolejno: (i) 1 N, bo F 1 = {1} i jedynymi podzbiorami F 1 są i {1}. (ii) Niech n N. Weźmy dowolny podzbiór A F n+1. Jeśli n + 1 A, to A F n, a więc A jest skończony, bo n N. Jeśli n + 1 A, to A \ {n + 1} F n, więc A \ {n + 1} jest skończony, powiedzmy równoliczny z F m lub A \ {n + 1} = i wtedy A = {n + 1}. Jeśli A = {n + 1}, to A jest zbiorem skończonym. Załóżmy więc, że A \ {n + 1}. Zatem istnieje bijekcja ϕ : F m A \ {n + 1}. Kładąc ψ(j) = ϕ(j) dla j F m oraz ψ(m + 1) = n + 1 dostajemy, że ψ jest bijekcją F m+1 na A, czyli że A jest zbiorem skończonym. Z dowolności wyboru zbioru A dostajemy, że n + 1 N. Reasumując, na mocy zasady indukcji, N = N. Pokazaliśmy więc, że każdy ograniczony podzbiór zbioru N jest skończony.

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Trzy razy o indukcji

Trzy razy o indukcji Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część I. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości 1 Elementy teorii mnogości Część I Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości 2 1. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości.

Funkcja jest różnowartościowa w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy różnym argumentom funkcja ta przyporządkowuje różne wartości. Gdy mamy daną funkcję, poza określeniem jej dziedziny i miejsca zerowego możemy badad szczególne własności, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd, parzystośd, nieparzystośd. Na temat monotoniczności

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo