Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Transkrypt

1 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory. 5 7 Relacje 7 8 Relacje porządku i równoważności 8 9 Funkcje 9 10 Działania uogólnione 11

2 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli wp = 1, wq = 0 a p q e[p q = p] p q b p q f p q p q c p q q gp = q q p d p = q = p hp = q = p Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania przy podstawieniu wp = 0, wq = 1. Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli wp = 1, wq = 0, wr = 1 a p q r b p q r c p q r d p q r e p = q = r f p = q = r g p = q r h p = q r Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania a 2 < 3 2 > 3 b 2 < 3 = 2 > 3 c 2 < 3 2 > 3 d 2 < 3 2 = 3 e 2 = 3 2 > 3 f 2 = 3 2 > 3 g 2 = 3 2 > 3 h 2 = 3 = 2 > 3 Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki. [p q p] q [p q [p r q] [p q p q] q p p [ p q] p [ p q] Zadanie 1.6. Wiedząc, że wp q = 0 określ wartość logiczną zdania q = p. Zadanie 1.7. Wiedząc, że wp q = 1 określ wartość logiczną zdania q = p. Zadanie 1.8. Wiedząc, że wq = p = 0 określ wartość logiczną zdania p q = p. Zadanie 1.9. Wiedząc, że wp q = r = 0 określ wartość logiczną wyrażenia q r p q = r. Renata Wiertelak 1

3 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia 2015 Zestaw 2. Zdania logiczne i tautologie c.d. Zadanie 2.1. Wiedząc, że wp q = 1 określ wartość logiczną wyrażeń p q p q {[r = p q] [p q = r]} = p q r. Zadanie 2.2. Wiedząc, że wp q = 0 określ wartość logiczną wyrażeń p q p q {[p q = r] [p q = r]} = p q r. Zadanie 2.3. Wiedząc, że wp q = 1 określ wartość logiczną wyrażenia [r = p q] = [p q p q]. Zadanie 2.4. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki. [ p q] [ q p p q] [p q r] [r p r q] [p s q r] [p q r s] [p r q r] [p q r] [q p p q] [ p q] [ p q] [ q p p q] [p q r s t u] [p r t q s u] Zadanie 2.5. Określ wartość logiczną zdania i zapisz jego negację: a Słowacja jest sąsiadem Polski lub Hiszpania jest sąsiadem Polski. b Jeżeli Sieradz jest stolicą Czech, to Ewa jest matematykiem. c Pies jest ssakiem wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest ssakiem. d Jeżeli z faktu, że nie mam psa wynika, że mam psa, to mam psa. e Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam rybki, to wtedy nie mam rybek. f Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam psa, to nie mam kota lub mam psa. Zadanie 2.6. Sformułuj negację podanych zdań. a Jeżeli Zosia ma psa, to Zosia nie ma psa lub Zosia jest alergikiem. b Jeżeli Piotr ma kota, to Piotr jest informatykiem i Piotr ma chomika. c Jeżeli Adam ma kota i Adam nie ma kota, to Adam ma rybki. d Jeżeli Ania ma kota lub Ania jest matematykiem, to wtedy Ania jest informatykiem. Renata Wiertelak 2

4 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia 2015 Zestaw 3. Algebra zbiorów Zadanie 3.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je jeśli jest to możliwe. Zakładamy, że a b c a A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}} B = {a, {a}, {a, {a}}} C = {x N: x 2 25} D = {x Q: x 2 = 16} E = {x R: x < 0} F = {x R: x > 0} Zadanie 3.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B? a A = 3, 5 B = 2, 6 b A = 0, 1 {2} B = {0, 1, 2} c A = [1, 2] B = 0, 1 {2} d A = {x R: x 2 = 16} B = {4} Zadanie 3.3. Oblicz A B, A B, A \ B, B \ A, A, B. a A = {x N: x 6} B = {x N: x > 2}; b A = [2, B = 1, 6; c A =, 2 B = [3, ; d A =, 3] B = 3, 6; e A = 0, 2 {3} B = [2, 3] {1}; f A = [2, 3] B = 3, 6; g A = [1, 2] {3} B = [2, 3] {1}; h A = [2, 3] B = [3, 6]; Zadanie 3.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości: A \ B = A B \ B A \ B = A \ A B A B = A \ B B A B = A \ A \ B A A B = B A B C \ A B = C A \ C B = A B A \ B C = A \ B \ C Renata Wiertelak 3

5 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia 2015 Zestaw 4. Różnica symetryczna Zadanie 4.1. Oblicz: a {1, 2, 3} {3, 4, 5}; b {1, 2, 3} [1, 3]; c 2, 5 [6, 8]; d 0, 5, 8]; e 0,, 2; f [2, 0, 2]; Zadanie 4.2. Rozwiąż równanie: a {1, 2} A = {4, 5}; b A {1, 2, 3} = {3, 4}; c [1, 3] A = 1, 3; d A 2, 6] = 0, 4]; e 5, A = 0, 2]; f A [2, = 4, 6; Zadanie 4.3. Uprość wyrażenie: a A \ A B b A B \ A c A \ B B d A \ B B e A B A f A \ B \ C g A \ A B h A B \ A i A A B j A B \ A B Zadanie 4.4. Jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami jeśli: a A \ A B = A b A B \ A = B \ A c A B \ C = A d A B \ C = e A B \ C = f A B \ C = A \ C B \ C g A B = A B h A B C = C Zadanie 4.5. Podaj przykład zbiorów dla których podana równość zachodzi oraz przykład zbiorów dla których podana równość nie zachodzi: a A B \ A = B b A B = A c A B \ C = d A B \ C = e A B C \ A B = C f A B \ C = A \ C B \ C g A B = A B h A B C = C Renata Wiertelak 4

6 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia 2015 Zestaw 5. Iloczyn kartezjański Zadanie 5.1. Niech A = [1, 3], B = 2, 3, S = {1, 2, 3}, T = {4, 5}. Wypisz lub narysuj zbiory: a S T ; b S T A B; c A B S T ; d A B; e S T A B; f S T A \ B; Zestaw 6. Kwantyfikatory. Zadanie 6.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a x R x 2 = 2x; b x R x 2 = 2x; c x R x 2 < 0; d x R x 2 > 0; e x N x 2 = 3; f x N x > 0; Zadanie 6.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a x R x = 2 x < 0; b x R x = 2 x R x < 0; c x R x = 2 x < 0; d x R x = 2 x R x < 0; e x R x 2 > 0 x < 0; f x R x 2 > 0 x R x < 0; Zadanie 6.3. Wyznacz zmienne wolne i związane podanych funkcji zdaniowych oraz narysyj ich wykresy. Zbiory X, Y oznaczają zakres zmienności zmiennych x i y. a x 2 1 0, X = R; b x x, X = Z; c x x = y, X = Y = R; d xy 1, X = Y = R; e x xy = 1, X = Y = R; f y xy 1, X = Y = R; Zadanie 6.4. Zapisz następujące zdania za pomocą kwantyfikatorów, symboli logicznych i działań arytmetycznych. Następnie określ wartość logiczną podanego wyrażenia oraz zapisz jego negację. 1. Istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 2; 2. Dla wszystkich liczb rzeczywistych x mamy, że 2x = x; 3. Dla każdej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 = 0; 4. Dla pewnej liczby rzeczywistej z mamy, że z 2 + 2z + 1 0; 5. x jest liczbą nieparzystą; 6. Dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje liczba rzeczywista y większa od niej; Renata Wiertelak 5

7 Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Nie istnieje największa liczba naturalna; 8. Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że iloczyn tych liczb jest mniejszy niż Dla każdej liczby naturalnej x istnieje liczba naturalna y taka, że różnica tych liczb jest niewiększa niż 5. Zadanie 6.5. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację. a n N nm = 10 b m N x R\{0} xy = 1 y R\{0} c y = y R x R x2 d x R xy = 0 e y R y R\{0} xy = 1 x R\{0} f y = x R y R x2 Zadanie 6.6. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕx, ψx oraz X dla których podane zdania są fałszywe. ϕx ψx = ϕx ψx [ ] [ϕx ψx] = ϕx ψx ϕx ψx = ϕx ψx ϕx ψx x X x X ϕx ψx x X x X = x X [ϕx ψx] = x X [ϕx ψx] Zadanie 6.7. Czy podane wyrażenie jest prawem rachunku kwantyfikatorów? ϕx ψx = ϕx ψx [ ] ϕx ψx [ϕx ψx] [ϕx ψx] ϕx ψx ϕx ψx [ϕx ψx] [ ] ϕx ψx ψx ϕx x X [ ] ψx ϕx ϕx ψx x X Renata Wiertelak 6

8 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia 2015 Zestaw 7. Relacje Zadanie 7.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S T. 1. x, y R x + y 10; 2. x, y R x + y = 11; 3. x, y R x + y jest nieparzyste; Zadanie 7.2. Niech S = {2, 4, 6, 8}. Wypisz i narysuj wszystkie pary należące do relacji R S S. Następnie zbadaj które własności zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość posiada podana relacja? 1. x, y R x + y 10; 2. x, y R x + y = 10; 3. x, y R x + y jest parzyste; Zadanie 7.3. Które własności zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość posiada podana relacja? 1. x, y S, xϱy x + y jest nieparzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 2. x, y S, xϱy x y = 2, S = {0, 1, 2, 3, 4}; 3. x, y N, xϱy x = y ; 4. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 5. x, y R, xϱy x < y ; 6. x, y R, xϱy x y < 1; 7. x, y R, xϱy xy < 0; 8. A, B R, AϱB A B; 9. A, B N, AϱB A \ B jest zbiorem skończonym; 10. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 11. x, y-ludzie, xt y x nie jest niższy niż y; 12. a, b, n, m N 2, a, bsn, m a + m = n + b; 13. a, b, n, m Z 2, a, bt n, m am = nb; Renata Wiertelak 7

9 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia 2015 Zestaw 8. Relacje porządku i równoważności Zadanie 8.1. Czy podana relacja jest relacją częściowego porządku lub równoważności? 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 0, 1, 2}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b, n, m N 2, a, bϱn, m 1 a+b = 1 m+n ; 6. a, b, n, m Z 2, a, bϱn, m 1 ab = 1 mn ; 7. a, b, n, m N 2, a, bϱn, m a n b m; 8. A, B R, AϱB 5 A B 5 / A B; 9. x, y-ludzie, xry x i y mają tego samego rodzica; 10. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 11. a, b, n, m Z Z \ {0}, a, bsn, m am = nb; Zadanie 8.2. Dla podanej relacji równoważności wyznacz jej klasy abstrakcji. 1. x, y N, xϱy x y jest parzyste; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 = y 3 ; 3. a, b, n, m N 2, a, bϱn, m 1 a+b = 1 m+n ; 4. a, b, n, m Z 2, a, bϱn, m 1 ab = 1 mn ; 5. x, y-ludzie, xsy x oraz y są tej samej płci; 6. x, y-ludzie, xry x i y mają tę samą matkę; 7. a, b, n, m N 2, a, brn, m a + m = n + b; Zadanie 8.3. Dla podanej relacji częściowego porządku wyznacz elementy minimalne oraz maksymalne. 1. x, y N, xϱy x dzieli y; 2. x, y {1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 3 y 3 0 x 3 y 3 ; 3. x, y {0, 1, 2, 3, 4, 5}, xϱy x 2 y 2 0 x 2 y 2 ; 4. x, y { 3, 2, 1, 1, 3}, xϱy x + 1 y + 1 ; 5. a, b, n, m N 2, a, bϱn, m a n b m; Renata Wiertelak 8

10 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia 2015 Zestaw 9. Funkcje Zadanie 9.1. Czy podana relacja R X Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak zmienić zbiory X, Y aby była. 1. x, y R x = y, R R R; 2. x, y R x 2 = y 3, R N Z; 3. x, y R x 3 = y 2, R N Z; 4. x, y R x = y 2, R R R; 5. x, y R x 4 = y 3, R N Z; 6. x, y R x = y 3, R R R; 7. x, y R x 2 + y 2 = 9, R R R; Zadanie 9.2. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a fx = 2x + 3; b fx = x 2 4; c fx = x + 3 ; d fx = x 3 1; e fx = x 1 3 ; f fx = 3 x 1; Zadanie 9.3. Czy podana funkcja f : R R jest różnowartościowa, "na" R? a fx = 3x 1; b fx = 1 x ; c fx = x + 2 ; d fx = x 2 1; e fx = x 1 2 ; f fx = x ; Zadanie 9.4. Wyznacz f[0, 1, f0, 1, f 1 [0, 1, f 1 0, 1. a fx = 3x 1; b fx = 1 x ; c fx = x + 2 ; d fx = x 2 1; e fx = x 1 2 ; f fx = x ; Zadanie 9.5. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S S są różnowartościowe, "na", mają funkcję odwrotną? a fn = n; b fn = 3; Zadanie 9.6. Wskazać wszystkie funkcje f : {1, 2, 3} {1, 2, 3} takie, że f{1, 2} = {3}. Renata Wiertelak 9

11 Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia 2015 Zadanie 9.7. Czy podana funkcja jest różnowartościowa, "na", ma funkcję odwrotną? 1. f : N N; fn = n 2 ; 2. f : Z 2 Z; fn, k = n 2 ; 3. f : R 2 R 2 ; fn, k = 2n + k, n 3k; 4. f : N N; fn = n 2 + k 2 ; 5. f : Z 2 Z; fn, k = n 2 k 2 ; 6. f : N 2 N 2 ; fn, k = n + k, n k; Zadanie 9.8. Oblicz podane obrazy i przeciwobrazy. 1. f : N 2 N; fn, k = nk; f{2} 2N 1 f2n 2N f 1 {1}, f 1 {3}, f 1 {2N} 2. f : N 2 N; fn, k = minn, k; f{2, 28}, f{2n 2N}, f 1 {1} 1 {2N} Zadanie 9.9. Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 2x + 4 dla x < 0 x 2 dla x 0 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 3, 3, f0, 3, f 1 0, 4 oraz f 1 3, 0. Zadanie Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 1 x dla x < 1 x 1 dla x 1 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 2, 1, f 2, 1], f 1 [ 3, 0 oraz f 1 4, 2. Zadanie Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 4 x dla x < 2 3 2x dla x 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3] oraz f[ 3, 0]. Zadanie Zbadaj czy funkcja f : R R określona wzorem fx = { 3x + 1 dla x > 2 x 3 dla x 2 jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f 1 [0, 3] oraz f[ 3, 0]. Renata Wiertelak 10

12 Wstęp do matematyki Ćwiczenia 2015 Zestaw 10. Działania uogólnione Zadanie Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów oraz ich dopełnień A n = 1 n + 1, ] [ 1 B n = n n + 1, 2 1 C n = [0, n; n D t = 1 n, 2 1 ] E t = 1 1 n + 2 4n, 3 1 F n = [ n, n + 1; n [ 1 n G n = {1, 2,..., n} H n = n, 5 I n = n, n + 1]; Zadanie Oblicz n N A n, n N A n, n N R \ A n, n N R \ A n. a A n = {x R: x > 2n}, n Z b A n = {x R: x n}, n N c A n = {x R: x + 3 < n}, n N d A n = e A n = } {x R: n x 3 + 1n, n N n {x R: 1n n } < x < n, n N f A t = { x R: 1 n < x < 3 n}, n N g A n = {x R: n x < n + 1}, n N h A n = {x R: n x n + 1}, n Z Zadanie Wyznacz n N A n, n N A n jeżeli a n N R \ A n = [ 3, 0, n N R \ A n = 2, 1] b n N R \ A n = 0,, n N R \ A n = [5, c n N R \ A n = R, n N R \ A n = R \ N d n N R \ A n = R \ N, n N R \ A n = e n N R \ A n = Z, n N R \ A n = N Renata Wiertelak 11