1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

Transkrypt

1 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra w palanta wynika to, że Paweł nie jeździ na rowerze. ii W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne przecinają się pod kątem prostym. iii Warunkiem koniecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. iv Warunkiem dostatecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. v Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by x+y xy jest x, y 2. Czy powyższe formuły są prawami rachunku zdań? 1.2 Jedna z wersji Twierdzenia Talesa to implikacja: Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to stosunki odpowiednich odcinków są równe. Wypowiedz implikację a odwrotną, b przeciwną, c przeciwstawną. Które z nich są prawdziwe?

2 1.3 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p q q p 1.4 Sprawdź, które z poniższych formuł są prawami rachunku zdań a p q p q b p q p r q c p q p q r d p p q e p q r q p r f p q r p q r p q r 1.5 Wśród poniższych formuł wskaż wszystkie pary formuł równoważnych a p q r b p q r

3 c p q r d q p r e q r p r f p q p r 1.6 Znajdź formułę zależną wyłącznie od trzech zmiennych zdaniowych p, q i r, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy i dokładnie dwie spośród zmiennych p, q i r są prawdziwe; ii dokładnie jedna spośród zmiennych p, q i r jest prawdziwa; iii wszystkie zmienne lub zaprzeczenia wszystkich zmiennych p, q i r są prawdziwe. 1.7 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy strzałką Peirce a. Zapisz przy pomocy strzałki Peirce a negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację. 1.8 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy dysjunkcją Sheffera. Zapisz przy pomocy dysjunkcji negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację, strzałkę Pierce a. 1.9 Zapisz przy pomocy implikacji i funktora F jednoargumentowy funktor Fałsz wszystkie funktory jednoargumentowe oraz alternatywę, koniunkcję,

4 strzałkę Pierce a i dysjunkcję Sheffera. Jak zapisać implikację? 1.10 Pokaż, że przy pomocy alternatywy i koniunkcji nie jest możliwe zdefiniowanie wszystkich funktorów dwuargumentowych Niech ϕ i ψ będą takimi formułami zdaniowymi, że wyrażenie ϕ ψ jest prawem rachunku zdań. Znajdź takie wyrażenie ϑ zależne wyłącznie od zmiennych zdaniowych ϕ i ψ, że formuły ϕ ϑ i ϑ ψ są tautologiami 1.12 Pokaż, że jeśli wyrażenie Ψ jest tautologią, to dla dowolnych formuł Φ 1,..., Φ n tautologiami są również wyrażenia Φ 1 Φ 2... Φ n Ψ... oraz Ψ Φ 1... Φ n 1 Φ n Funkcje zdaniowe 2.1 W poniższych wyrażeniach wskaż zmienne wolne oraz zmienne związane wraz z kwantyfikatorami je wiążącymi: a x ϕx, y y ψy b x ϕx, y y ψx, y c y ψ ϕy, x x ψ y, ϕx

5 2.2 Niech funkcje zdaniowe πx, ϱy, σz, εx, y oznaczają odpowiednio x jest punktem, y prostą, z płaszczyzną w pewnej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, x przechodzi przez y. Zapisać poniższe formuły: i Przez każde dwa punkty przechodzi prosta; jeśli punkty są różne od siebie, to prosta taka jest jedyna. ii Przez punkt leżący poza płaszczyzną p można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę do niej równoległą tj. niemającą z nią punktów wspólnych. iii Proste k i l są równoległe. 2.3 W języku arytmetyki liczb naturalnych {0, 1, 2,..., +,, <, } zapisać następujące formuły i m jest podzielne przez n bez użycia znaku podzielności. ii k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n. iii Każde dwie liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność. iv p jest liczbą pierwszą. v Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

6 2.4 W języku arytmetyki liczb rzeczywistych {0, 1, 2,..., N, <, } zapisać następujące formuły x Liczba a jest ograniczeniem górnym zbioru A R; xi Liczba a jest kresem górnym zbioru tych liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy od 2; xii Pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje zawsze liczba wymierna; 2.5 Pokaż, że jeśli w ψ zmienna x nie jest wolna, to poniższe formuły są prawami rachunku predykatów: a x ϕx ψ x ϕx ψ b x ϕx ϑx x ϕx ϑx c x ϕx x ϑx x ϕx ϑx d x ϕx ψ x ϕx ψ Pozostałe prawa rachunku predykatów: e x ϕx ψ x ϕx ψ f x ϕx ψ x ϕx ψ g x ϕx ψ x ϕx ψ h x ϕx ϑx x ϕx ϑx i x ϕx x ϑx x ϕx ϑx

7 j ψ x ϑx x ψ ϑx k ψ x ϑx x ψ ϑx l x ϕx ψ x ϕx ψ 2.6 Niech zakresem zmienności zmiennych zdaniowych będzie zbiór liczb naturalnych N. Pokaż, że przy użyciu wyłącznie symboli 0, 1, +, można zdefiniować funkcję zdaniową ϕx, y, z = x y = z. Wskazówka: Zapisać predykat x = y, a następnie predykat y x=y 2 ; przydać się mogą również wzory x + y 2 = x 2 + xy + xy + y 2, nwdx, x + 1 = 1, nwwx, x + 1 = x 2 + x. 3 Zbiory 3.1 Wyznaczyć A B, A B, A \ B, B \ A i A B dla poniższych zbiorów: a A = { {a, b}, c }, B = { c, d } ; b A = { {a, {a} } }, B = { a, {a} } ; c A = { a, {a}, {b} }, B = { {a}, {b} } ; d A = { x N : x < 3 }, B = { x N : x 3 } ; e A = { x N : x < 0 }, B = { x N : x = 3 } ;

8 f A = { x R : x < 3 }, B = { x N : x < 3 } ; 3.2 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi: a A B \ B = A wdy A B = ; b A \ B B = A wdy A B ; c A \ B = B \ A wdy A = B. 3.3 Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są równości: a A B \ B = A \ A B b A \ B A C = A \ B \ C c A \ B B = A B d A B C = A B A C e A \ B C = A\B A\C f A B C = A B A C Jeśli tak, to udowodnij to, w przeciwnym przypadku wskaż kontrprzykład. 3.4 Sprawdź, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A, B i C, jeśli spełnione są poniższe formuły: a A B C B = B b A B C B = B c A B\C = A\C B

9 d A B C \A = A B\C e A B B C = A C f A B B C C A 3.5 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi gdzie oznacza różnicę symetryczną zbiorów, tj. x A B df x A x / B x / A x B : a A B = A B\A B b A B C = A B C c A = A d A A = e A B C = A C B C f A = B wdy A B = 3.6 Udowodnij, że przekrój A B jest największym zbiorem zawartym jednocześnie w A i w B. 3.7 Udowodnij, że suma A B jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie A i B. 3.8 Wyznaczyć PA dla poniższych zbiorów A: a A = { a, b, c } ; b A = ; c A = { } ;

10 { d A = x, {x}, { {x} }} ; e A = P{ } ; 3.9 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi A B PA PB Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A zachodzi A P A Co można powiedzieć o zbiorze A, jeśli wiadomo, że A PA? 3.12 Ile elementów dla ustalonego n N ma najmniejsza rodzina zbiorów A spełniająca 1 A 1,..., A n są różne, 2 1 i n A i A oraz 3 x,y x A y A x y A? 4 Operacje nieskończone & relacje cz.i 4.1 operacje nieskończone 4.1 Znajdź sumę A n i przekrój A n, jeśli zbiory A n są równe: n N n N

11 { } a x N : n 1 x n+1 } b {x Z : n 2 x 2 n+1 2 } c {x R : n 1n x n { } d x, y N N : x n y } e {x, y R R : x 2 +y 2 n 2 } f {x, y R R : x 2 n 2 y Znajdź sumę A t i przekrój A t, jeśli zbiory A t t R + t R + są równe: { } a x R : t 1 x t+1 } b {x R : 1t x t } c {x, y R R : x 2 t 2 y Niech A n,m = i A n,m n N m N A n,m n N m N A n,m n N m N ii iii { } x N : n x < m. Wyznacz:

12 4.6 Jeśli R Q X 2, to Q nazywamy rozszerzeniem R. Czy każdą relację na X można rozszerzyć do relacji: iv A n,m m N n N 4.4 Udowodnij, że: i A t B t A t t T t T B t t T ii A t B t A t B t t T t T t T iii A t B t A s B t = A s t T s,t T s T B t t T iv A s B t = A s B t A t B t s T t T s,t T t T Czy w powyższych formułach znak inkluzji można zastąpić znakiem równości? 4.2 relacje cz.i 4.5 Sprawdzić, czy a suma i b przekrój dwóch relacji na zbiorze X i spójnych jest relacją spójną ii symetrycznych jest relacją symetryczną iii przechodnich jest relacją przechodnią iv antysymetrycznych jest relacją antysymetryczną

13 a zwrotnej; b przeciwzwrotnej; c symetrycznej; d przeciwsymetrycznej; e przechodniej; f spójnej. 4.7 Pokaż, że aby relacja R X 2 była: a zwrotna, potrzeba i wystarcza, aby 1l X R; b symetryczna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 ; c spójna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 1l X = X 2 ; d przechodnia, potrzeba i wystarcza, aby R R R; 4.8 Sprawdzić, które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych relacji R, Q X 2 : a R Q 1 = R 1 Q 1 ; b R Q 1 = R 1 Q 1 ; c R Q 1 = R 1 Q 1 ; d R \ Q 1 = R 1 \ Q 1 ; e 1l X 1 = 1l X ; f X 2 1 = X 2.

14 5 Iloczyn kartezjański i funkcje 5.1 Sprawdź, czy dany zbiór jest funkcją. Jeśli tak, to określ jego dziedzinę i przeciwdziedzinę, jeśli natomiast nie, to podaj przykład dwóch par o tym samym poprzedniku i różnych następnikach. a { x, y R R : x 2 = y 2} ; b { x, y N N : x 2 = y 2} ; c { x, y PN PN : x y = N } ; d { x, y N[t] N : y = x2 } ; e { x, y N[t] N : 2 = xy } ; f { x, y N[t] N[t] : yt = x2t } ; g { x, y R[t] R[t] : y = x x } ; h { x, y R[t] R[t] : y = x x } ; UWAGA: X[t] oznacza zbiór wielomianów zmiennej t o współczynnikach ze zbioru X. 5.2 Które z funkcji z poprzedniego zadania są surjekcjami, które injekcjami, a które bijekcjami? 5.3 W odpowiednich przykładach z zadania 5.1 wskaż obraz i przeciwobraz podanych zbiorów: [ [ ] b b {x N : 2 x} ], b 1 {x N : 2 x} ;

15 [ [ ] d d {p N[t] : 2 p2} ], d 1 {1, 2, 4, 8} ; [ [ f f {p N[t] : 2 p2} ], f 1 {p N[t] : t ] 2 pt} ; [ [ g g {p R[t] : 2 p2} ], g 1 {p R[t] : t ] 2 pt} ; [ ] h h {p R[t] : t 2 pt}, ] h [{p R[t] 1 : α,β R pt = α t + β} ; 5.4 Wyznacz złożenia odpowiednich funkcji z zadania 5.1: a d f b f n =f f }{{} n razy c d f n d d g e d h f g h g h g h d g h n

16 5.5 Podaj przykład takiej funkcji ] ϕ : N N, że dla każdego n N zbiór ϕ [{n} 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; c dokładnie k elementów, dla pewnego ustalonego k; d dokładnie n elementów. 5.6 Podaj przykład takiej funkcji ] ψ : R R, że dla każdego r R zbiór ψ [{r} 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; 5.7 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A X, B Y i funkcji f : X Y zachodzi: [ ] a f A \ f 1 [B] = f[a] \ B; ] b A \ f 1 [B] f [f[a] 1 \ B. Podaj przykłady, kiedy inkluzja w punkcie b jest właściwa. { } 5.8 Niech a b, X = a, b, {a, b}, Y = { a, b} i niech f : X Y, fa = fb = a, f {a, b} [ ] = b. Wyznacz f {a, b}.

17 5.9 Dla funkcji f X Y definiujemy dwie funkcje: F : PX PY, F A = df f[a] oraz F : PY PX, F A = df f 1 [A]. Pokaż, że i F jest różnowartościowa wdy f jest surjekcją; ii F jest różnowartościowa wdy f jest iniekcją oraz Df = X. Kiedy funkcje F i F są surjekcjami? 6 Teoria mocy 6.1 Pokaż, że poniższe zbiory są równoliczne i skonstruuj odpowiednie bijekcje: a N Z Q; b N N n N[X]; n N c N { f N N : f jest okresowa } ; d N { f N N : f jest nierosnąca } ; e R 0, 1 a; b dla a, b R; f 0; 1] 0; 1] [2; 3 2n; 2n+1]; g 0; 1 [0; 1]; n N

18 h R R R; i R PN; j R C0; 1, tj. zbiór f-cji ciągłych na przedziale 0; 1; k c c 0, gdzie c to zbiór ciągów zbieżnych, a c 0 ciągów zbieżnych do Określ moc poniższych zbiorów tj. porównaj z N, R, P itp.: a zbiory liczb: naturalnych N, całkowitych Z, wymiernych Q, niewymiernych, algebraicznych A, przestępnych, rzeczywistych R, zespolonych C; b przestrzeń euklidesowa wymiaru d E d ; c zbiory wielomianów: o współczynnikach całkowitych Z[X], współczynnikach rzeczywistych R[X], współczynnikach zespolonych C[X]; d zbiór szeregów zbieżnych bezwzględnie, szeregów zbieżnych, szeregów formalnych Laurenta; e zbiór ciągów zbieżnych c, ciągów zbieżnych do 0 c 0, ciągów od pewnego miejsca równych 0 c 0,0, ciągów ograniczonych l, ciągów sumowalnych bezwzględnie l 1.

19 f zbiór trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, zbiór wielokątów, zbiór punktów dowolnego trójkąta; g zbiór translacji przestrzeni euklidesowej, zbiór izometrii przestrzeni euklidesowej wymiaru d IsoE d. 6.3 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości: a C A B C = A C B, przy czym A B = ; b A B C A = C B C. 6.4 Które nierówności zachodzą dla dowolnej funkcji f i zbiorów A Df, B Rf podaj kontrprzykład lub udowodnij nierówność: a A f[a] ; b A f[a] ; c B f 1 [B] ; d B f 1 [B]. Kiedy zachodzą równości?.5.a Skonstruuj taką funkcję f : N N, że dla każdego n N zbiór f 1[ {n} ] jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb naturalnych można podzielić

20 na nieskończenie wiele parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych..5.b Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego n N zbiór f 1[ {n} ] jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na przeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.5.c Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1[ {r} ] jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych..5.d Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1[ {r} ] jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.6 Ustawmy elementy zbioru liczb wymiernych z odcinka [0, 1] w ciąg Q [0,1] = {q 0, q 1, q 2,...}. Wyznacz moc zbiorów a q k 1, q k + 1 b n N k>n n N qn 1 n+k, q n + 1 n+k k Z +

21 c n N k Z + q n 1, q 2 n+k n n+k 7 Relacje równoważności 7.1 W każdym z poniższych przypadków pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze X. Wskaż zbiór ilorazowy oraz sprawdź jego moc i moc poszczególnych klas abstrakcji: a X zbiór prostych na płaszczyźnie euklidesowej E, l k jeśli proste l i k pokrywają się lub są równoległe; b X zbiór prostych w przestrzeni euklidesowej R d, d = 3, 4,..., a Q j.w.; c X zbiór wszystkich trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są przystające; d X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są podobne; e X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C mają równe pola; f X = { f {0, 1} N : n N k>n fk = 0 } zbiór skończonych ciągów zerojedynkowych, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek;

22 g X = {0, 1} N zbiór ciągów zerojedynkowych dowolnej długości, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; h X = R, x y jeśli istnieje takie n Z, że x, y n, n+1; i X j.w., x y jeśli istnieje takie q Q +, że x y = q y x =q; j X dowolny zbiór, a f : X X dowolna iniekcja; x y jeśli istnieje takie n N, że f n x = y f n y = x uwaga: f n to n-krotne złożenie funkcji f; 7.2 Ile jest różnych z dokładnością do izomorfizmu relacji równoważności na zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, c pięcioelementowym? d Ile jest różnych relacji równoważności na zbiorze n-elementowym? 7.3 Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności na N i niech ponadto i funkcja f : R PN będzie dana wzorem fϱ = [0] ϱ ; ii funkcja f : R PN N będzie dana wzorem fϱn = [n] ϱ. Wyznacz fϱ oraz fϱ. ϱ R ϱ R

23 7.4 a Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że R S jest relacją równoważności. b Niech R τ X 2 będzi relacją równoważności dla każdego τ T. Pokaż, że jest relacją równoważności. Opisz klasy abstrakcji przekroju. R τ τ T 7.5 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. a Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = R S. b Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = S R. Dla dowolnych zbiorów X, Y i dowolnych relacji R X 2, S Y 2 produktem prostym relacji R i S nazywamy relację R S X Y 2 zdefiniowaną wzorem x 1, y 1 R S x 2, y 2 x 1 Rx 2 y 1 Sy Pokaż, że produkt prosty relacji równoważności jest relacją równoważności. Opisz zbiór ilorazowy X Y/ R S.

24 7.7 Niech partycja B będzie rozdrobnieniem partycji A, tzn. taką, że B B A A B A. Jaki jest związek między relacjami równoważności ϱ A i ϱ B odpowiadającym tym partycjom por. Zasada Abstrakcji? Odpowiedź uzasadnij. 7.8 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że zbiór ilorazowy X/ R S jest rozdrobnieniem zarówno partycji X/ R, jak i X/ S. 8 Relacje porządkowe 8.1 Sprawdź, czy poniższe relacje w zbiorze A są relacją porządku. Jeśli tak, to narysuj czytelny diagram Hassego zbioru A, i wskaż elementy minimalne maksymalne, najmniejsze, największe. i ii iii A = {2, 3, 4, 6} 2 oraz x, y a, b x a b y, A = {1, 2} 3 oraz x, y, z a, b, c x a y b z c, A = {2, 3} 3 oraz x, y, z a, b, c x a ab xy xyz abc. 8.2 Na zbiorze N N określona jest relacja n 1, m 1 n 2, m 2 wzorem

25 a maxn 1, m 1 < maxn 2, m 2 lub maxn 1, m 1 = maxn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, b minn 1, m 1 < minn 2, m 2 lub minn 1, m 1 = minn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, c n 1 m 1 = n 2 m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2 lub n 1 m 1 < n 2 m 2, Wyznacz jeśli istnieją kres górny i kres dolny zbioru { n, m : 2 n m 4 }. Wskaż elementy minimalne i maksymalne. 8.3 Wyznacz w zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, wszystkie z dokładnością do izomorfizmu porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych? c Ile jest nieizomorficznych porządków częsciowych w zbiorze n-elementowym? Niech X będzie dowolnym zbiorem, a relacją porządkującą na X. Podzbiór A X 2 nazywamy antyłańcuchem, jeśli żadne dwa jego elementy nie są w relacji, tj. x,y A x y x y y x. Jeśli dodatkowo dla elementu x X istnieje element najmniejszy w zbiorze { y X : y x x y },

26 to nazywamy go następnikiem elementu x. Analogicznie, jeśli w zbiorze { y X : y x y x } istnieje element największy, to nazywamy go poprzednikiem elementu x. 8.4 Na zbiorze N N określona jest relacja f g, jeśli a n N fn gn, b n N 1 n fn 1 n gn, c m N n m fn gn, d n N fn gn, e m N n m fn gn, Wskaż w porządku N N, : i nieskończony łańcuch, ii łańcuch mocy continuum jeśli istnieje, iii nieskończony antyłańcuch, iv antyłańcuch mocy continuum jeśli istnieje, 8.5 Pokaż, że w dowolnym porządku X, prawdziwe są następujące stwiedzenia: I Zbiór wszystkich elementów maksymalnych jest antyłańcuchem. II Istnieje antyłańcuch maksymalny ze względu na inkluzję.

27 III Każdy antyłańcuch jest podzbiorem pewnego antyłańcucha maksymalnego. W którym z podpunktów należy skorzystać z lematu Kuratowskiego Zorna? 8.6 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna posiadała zarówno poprzednik, jak i następnik. Czy taki porządek może być dobry? Czy może być gęsty? 8.7 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna nie posiadała ani poprzednika, ani następnika. Czy taki porządek musi być gęsty? 8.8 Czy porządek dobry może być gęsty? I vice-versa, czy porządek gęsty może być dobry?

28 THE END