Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca."

Karolina Judyta Sikorska
7 lat temu
Przeglądów:

1 Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której działanie jest przemienne rząd grupy G liczba elementów grupy G addytywne grupy liczbowe: (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) multiplikatywne grupy liczbowe: (Q, ), (R, ), (C, ) Liczby zespolone o module 1: S 1 = C 1 = {z C: z = 1} Pierwiastki zespolone z jedynki: µ n = {z C: z n = 1} = {ε n,ε 2 n,...,εn 1 n } ε n = cos 2π n + isin 2π n addytywne grupy reszt z dzielenia: (Z n,+ n ), n N multiplikatywne grupy reszt z dzielenia: addytywne grupy macierzy: (Z n, n), n N (M(n m,k),+), multiplikatywne grupy macierzy: n,m N (Gl (n,k), ), (Sl (n,k), ), n N inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca Zadania Zadanie 20. Niech G będzie grupą. Wykazać, że: a) istnieje dokładnie jeden element neutralny, b) każdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny, c) a,b G (ab) 1 = b 1 a 1, d) a G (a 1 ) 1 = a, e) zachodzi prawo skracania: a,g,h G ag = ah g a = ha = g = h, f) dla dowolnych a,b G istnieją jednoznacznie określone elementy x, y G takie, że ax = b y a = b. g) (x 1 x 2... x n ) 1 = xn 1... x 1 2 x 1 1

2 120 Zapisać powyższe wzory w notacji addytywnej. Zadanie 21. Niech G będzie grupą. Wykazać, że dla dowolnych a, b G, m, n Z zachodzi: a) a 0 = e, a 1 = a, b) a n a m = a m+n, c) (a n ) m = a nm, d) (a n ) 1 = a n = (a 1 ) n. e) ab = ba = (ab) n = a n b n. Zadanie 22. Wykazać, że każdej grupie skończonego rzędu, odwrotność elementu jest dodatnią potęgą tego elementu. Sprawdzić, że grupa czwórkowa Kleina, czyli zbiór V 4 = {e, a,b, ab} z działaniem danym tabel- Zadanie 23. ką: rzeczywiście jest grupą. e a b ab e e a b ab a a e ab b b b ab e a ab ab b a e Grupy liczbowe Zadanie 24. Które ze zbiorów liczbowych tworzą grupy ze względu na dodawanie lub mnożenie liczb? Zadanie 25. Sprawdzić, które z podanych zbiorów liczbowych tworzą grupy względem dodawania lub mnożenia liczb. a) nz, n N, f) zbiór A = {z C: 0 < z r, r > 0, b) { 1,1}, g) Q( 5) = {a + b 5: a,b Q}, c) µ n, n N, h) Z[i] = {a + bi: a,b Z}, d) S 1, i) (0,1], e) zbiór liczb zespolonych o ustalonym module j) {a k : k N}, a R. r, k) {a k : k Z}, a R. Grupy reszt Często wygodnie jest zamiast liczby k używać w obliczeniach liczby k + mn, dla pewnego m Z i dopiero ostateczny wynik redukować modulo n, np.: zamiast wielokrotnie dodawać do siebie k = n 1 lepiej użyć 1 = k + ( 1)n, gdyż wtedy dodawanie generuje mniejsze liczby, zamiast k = n 1 lepiej użyć 1 = k + ( 1)n, gdyż wtedy mnożenie przez k jest poprostu zmianą znaku. Funkcją Eulera nazywamy funkcję ϕ: N N, która dla ustalonego n zwraca liczbę liczb naturalnych takich, że k n o NWD(n,k) = 1. Niektóre własności funkcji Eulera: a) NWD(m,n) = 1 = ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n), b) p - liczba pierwsza = ϕ(p k ) = p k p k 1, c) n = p r pr k k Zadanie 26. = ϕ(n) = k i=1 (pr i i p r i 1 i ). Udowodnić, że dla każdego n N zbiory (Z n,+ n ) i (Z n, n) tworzą grupy. Zadanie 27. Zadanie 28. Wyznaczyć rząd grup Z n i Z n (dla małych n). Dla n = 2, 3,..., 10 zbudować tabelkę działania grup:

3 121 a) (Z n,+ n ), b) (Z n, n). To zadanie może być trochę nudne... Zadanie 29. Wyznaczyć elementy odwrotne do liczby k w grupie Z n, jeżeli: a) k = 3, n = 4,5,10, d) k = 9, n = 100, b) k = 10, n = 11,21, e) k = 2, n liczba pierwsza, c) k = 61, n = 100, f) k = n 1, n liczba pierwsza. W niektórych przypadkach wygodnie jest skorzystać z rozszerzonego algorytmu Euklidesa lub z twierdzenia Fermata. Grupy macierzowe Zadanie 30. Które ze zbiorów macierzy tworzą grupę ze względu na dodawanie lub mnożenie macierzy? Zadanie 31. Wykazać, że grupa Gl (n,r) nie jest abelowa dla n > 1. Zadanie 32. Sprawdzić które z podanych zbiorów macierzy kwadratowych ustalonego stopnia o wyrazach rzeczywistych tworzy grupę: a) zbiór macierzy symetrycznych z dodawaniem, b) zbiór macierzy symetrycznych z mnożeniem, c) zbiór macierzy nieosobliwych z dodawaniem, d) zbiór macierzy o wyznaczniku równym ±1 z mnożeniem, e) zbiór macierzy o wyznaczniku dodatnim z mnożeniem, f) zbiór macierzy o wyznaczniku ujemnym z mnożeniem, g) zbiór macierzy diagonalnych z dodawaniem, h) zbiór macierzy diagonalnych z mnożeniem, [ ] x y i) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci z mnożeniem, y x [ ] x y j) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci, λ R, z mnożeniem, λy x k) zbiór macierzy { [ ] [ ] [ ] [ ]} 1 0 i i ±,±,±,± 0 1 i 1 0 i 0 z mnożeniem. Grupy izometrii Zadanie 33. Podać tabelki grup izometrii: a) trójkąta równoramiennego, b) trapezu równoramiennego, c) prostokąta. Grupę izometrii prostokąta (także) nazywamy grupą czwórkową Kleina i oznaczamy V 4. Zadanie 34. Wyznaczyć rząd grupy D n. Zadanie 35. Wykazać, że grupa D n nie jest abelowa dla n 3. Zadanie 36. Podać tabelki grup D n, dla a) n = 3 (trójkąt równoboczny), b) n = 4 (kwadrat), c) ( ) dowolne n. d) deltoidu e) rombu f) równoległoboku

4 122 Grupa symetryczna S n Zadanie 37. Wyznaczyć rząd grupy S n. Zadanie 38. Wykazać, że grupa S n nie jest abelowa dla n > 2. Zadanie 39. Niech σ,τ S 6, σ =, τ = , ω = , Zapisać podane permutacje w postaci iloczynu cykli, obliczyć ich iloczyny, wyznaczyć elementy odwrotne. Zadanie 40. Niech σ,τ S 6, σ = (1 3 4)(3 2), τ = ( ), ω = (1 2)(4 6)(3 5) Zapisać podane permutacje w postaci dwuwierszowej, obliczyć ich iloczyny i wyznaczyć elementy odwrotne. Zadanie 41. Wyznaczyć permutację odwrotną do cyklu (a 1 a 2... a n ). Zadanie 42. Sprawdzić, które z permutacji podanych w poprzednich zadaniach są parzyste. Zadanie 43. Sprawdzić, czy podane zbiory permutacji tworzą grupy: a) A n, e) {e,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}, b) {e,(1 2)}, f) {e,(1 2 4),(1 3 4),(4 2 3)}, c) {e,(a b)}, g) {e,( ),( ),( )}. d) {e,(1 2 3)}, Grupy przekształceń Które zbiory przekształceń z poprzedniego zestawu tworzą grupy względem składania prze- Zadanie 44. kształceń? Zadanie 45. Czy podane zbiory przekształceń tworzą grupy względem składania przekształceń? W każdym z przypadków podać tabelkę działania. a) f i : R R, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = 1 x, f 4(x) = 1 x, Podać interpretację geometryczną tych odwzorowań. b) g i : R 2 R 2, g 1 (x, y) = (x, y), g 2 (x, y) = ( x, y), g 3 (x, y) = ( x, y), g 4 (x, y) = (x, y), Podać interpretację geometryczna tych odwzorowań. c) {f : R R: f (0) = 0}, d) {f : R R: f rosnąca}. Zadanie 46. Które z poniższych zbiorów przekształceń płaszczyzny tworzą grupę względem składania przekształceń: a) zbiór obrotów wokół ustalonego punktu, b) zbiór translacji, c) zbiór symetrii osiowych i środkowych.

5 123 Zadania różne Zadanie 47. abelowa. Utworzyć listę znanych grup dzieląc je ze względu na rząd. Dla każdej grupy określić, czy jest Zadanie 48. Które z tabelek grup z tego zestawu są do siebie podobne? Czy przez zmianę nazwy elementu można podobne tabelki przeprowadzić jedną na drugą? Zadanie 49. Czy istnieje grupa o 3, 4, 5, 6 elementach z których każdy ma spełnia warunek a 2 = e. Jaką własność ma ta grupa?

Podobne dokumenty

Podstawowe struktury algebraiczne

Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.