Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Transkrypt

1 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B = N A N 1, wtedy B k = N A k N 1 a k a k a k nn Jeśli powyższa macierz A jest macierzą przekształcenia liniowego φ : V V w bazie A = (v 1, v 2,, v n ) (czyli A = M A A (φ)), to φ(v 1) = a 11 v 1, φ(v 2 ) = a 22 v 2,, φ(v n ) = a nn v n, a więc φ(lin(v i )) Lin(v i ) dla każdego i = 1,, n Definicja 1 Podprzestrzeń U przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą względem przekształcenia liniowego φ : V V, gdy φ(u) U, (czyli u U φ(u) U) Uwaga Jeżeli U jest podprzestrzenią niezmienniczą przestrzeni V względem przekształcenia liniowego φ : V V i (v 1, v k ) - baza U oraz A = (v 1,, v k, v k+1,, v n ) - baza V, to macierz przekształcenia φ w bazie A ma postać: [ ] MA A A1 A (φ) = 3, 0 A 2 gdzie A 1 - macierz kwadratowa stopnia k, A 2 - macierz kwadratowa stopnia n k, 0 - macierz zerowa Rozważmy i-tą kolumnę tej macierzy, i k Zawiera ona współczynniki wektora φ(v i ) Ponieważ φ(v i ) U, to współczynniki przy v k+1,, v n są zerami Gdyby dodatkowo przestrzeń W = Lin(v k+1,, v n ) była podprzestrzenią niezmienniczą względem φ, to macierz przekształcenia miałaby postać: [ ] MA A A1 0 (φ) = 0 A 2 Wtedy V = U W i U W = {O} Definicja 2 Wektor v V, v O, nazywamy wektorem własnym przekształcenia φ : V V, jeśli istnieje K, takie że φ(v) = v Wtedy nazywamy wartością własną przekształcenia φ, a v - wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej Uwaga Wektor v V, v O, jest wektorem własnym przekształcenia φ wtedy i tylko wtedy, gdy Lin(v) jest jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni V niezmienniczą względem przekształcenia φ a 11 a 12 a 1n Niech A = MA A(φ) = a 21 a 22 a 2n będzie macierzą przekształcenia φ : V V w a m1 a m2 a mn 1

2 pewnej bazie A Wówczas, jeśli v jest wektorem własnym przekształcenia φ, to φ(v) = A v = v (A E) v = O - to równanie ma niezerowe rozwiązania det(a E) = 0 a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a E) = jest wielomianem stopnia n zmiennej a n1 a n2 a nn Nazywamy go wielomianem charakterystycznym przekształcenia φ lub wielomianem charakterystycznym macierzy A Niech C będzie macierzą przekształcenia φ w bazie B: C = M B B (φ) = M A B (id) M A A (φ) M B A (id) = B 1 A B, det(c E) = det(a E) Wniosek 3 Wielomian charakterystyczny nie zależy od macierzy przekształcenia, tylko od samego przekształcenia Uwaga Wartości własne przekształcenia φ są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego Uwaga det(a E) = ( 1) n n + ( 1) n 1 n 1 A ( 1) A n 1 + A n, gdzie A k jest sumą minorów głównych k-tego stopnia macierzy A Wyznaczanie wektorów własnych odpowiadających wartości własnej 0 1 Zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej 0 uzupełniony o wektor O tworzy podprzestrzeń przestrzeni V, ozn N (1) 0 2 Macierz [A 0 E] jest macierzą pewnego przekształcenia liniowego ψ : V V Wtedy N (1) 0 = kerψ i dimn (1) 0 = dimv r[a 0 E] Uwaga 1 1 dimn (1) 0 k, gdzie k - krotnosć pierwiastka 0 w wielomianie charakterystycznym 2 N (1) 0 jest podprzestrzenią niezmienniczą względem φ 3 Jeśli wartości własne, to N (1) 1 N (1) 2 = {O} Twierdzenie 4 Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym tego samego przekształcenia są liniowo niezależne Wniosek 5 Niech V - przestrzeń liniowa nad ciałem K, dimv = n, φ : V V - przekształcenie liniowe Jeśli φ ma n różnych wartości własnych 1, 2,, n, to odpowiadające im wektory własne (v 1, v 2,, v n ) tworzą bazę B przestrzeni V i macierz przekształcenia φ w tej bazie jest macierzą diagonalną i ma postać MB B (φ) = 0 0 n 2

3 Twierdzenie 6 Jeśli 1,, k - różne wartości własne i dimn (1) i = k i, gdzie k i - krotność pierwiastka i w wielomianie charakterystycznym, to macierz przekształcenia φ w bazie utworzonej z wektorów własnych jest diagonalna Twierdzenie 7 (Jordana) Jeżeli V jest n-wymiarową przestrzenią liniową nad C, a φ : V V - przekształceniem liniowym, to istnieje baza przestrzeni V, w której macierz przekształcenia φ ma tzw postać kanoniczną Jordana: K i K 2 0, gdzie K 0 i = i 1 lub K i = [ i ], K p 0 0 i i - wartości własne przekształcenia φ, K i - klatka Jordana Wektory dołączone Niech - wartość własna o krotności k > 1, dimn (1) < k n =dimv Macierze A E, (A E) 2, (A E) 3, są macierzami pewnych przekształceń liniowych z V w V - zbiór wektorów własnych odpowiadających wartości własnej uzupełniony o wektor O tworzy podprzestrzeń niezmienniczą przestrzeni V, N (1) = ker(a E) Definiujemy ciąg podprzestrzeni niezmienniczych przekształcenia φ : V V : N (1) N (2) = ker(a E) 2 N (l) = ker(a E)l N (l) V Ten ciąg musi się stabilizować, bo dimv <, czyli istnieje takie l, że N (l) N (1) N (2) Można pokazać, że dimn (l) Rozważamy elementy zbioru N (2) φ odpowiadające wartości własnej v N (2) N (1) k (krotność wartości własnej ) (1) N = N (l+1) = = V czyli wektory dołączone rzędu pierwszego przekształcenia ((A E) 2 v = O (A E) v O) (A E) v jest wektorem własnym przekształcenia φ Zauważmy, że φ(v) = A v = (A E + E) v = (A E) v + v Ogólnie: N (m) N (m 1) - zbiór wektorów dołączonych rzędu (m 1) przekształcenia φ odpowiadających wartości własnej v N (m) N (m 1) (A E) (m 1) v jest wektorem własnym przekształcenia φ Rozważamy układ wektorów ( ) {(A E) (l 1) v, (A E) (l 2) v,, (A E) v, v}, gdzie (A E) (l 1) v - wektor własny, (A E) (l 2) v - wektor dołączony I rzędu,, v - wektor dołączony rzędu (l 1) Jeśli v s jest s-tym wektorem w tym ciągu, to φ(v s ) = v s 1 + v s 3

4 Uwaga Jeżeli w 1,, w s - wektory dołączone rzędu m są liniowo niezależne oraz (A E) w 1,, (A E) w s - wektory dołączone rzędu (m 1) są liniowo niezależne, to wektory w 1,, w s, (A E) w 1,, (A E) w s są liniowo niezależne Wniosek 8 Układ ( ) jest liniowo niezależny Jeśli {(A E) (l 1) v, (A E) (l 2) v,, (A E) v, v, u 1, u 2, u n l } jest bazą przestrzeni liniowej V, dimv =n, to macierz przekształcenia φ w takiej bazie ma postać Wielomiany macierzy Definicja 9 Niech K - ciało, a i K dla i = 0,, m Funkcję ψ : M n n (K) M n n (K), ψ(a) = a m A m + a m 1 A m a 1 A + a 0 E nazywamy wielomianem macierzy Uwaga Można traktować ψ(a) jako wartość zwykłego wielomianu dla macierzy A ψ(x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0 Definicja 10 Pochodną wielomianu nazywamy wielomian ψ(a) = a m A m + a m 1 A m a 1 A + a 0 E ψ (A) = m a m A m 1 + (m 1) a m 1 A m a 2 A + a 1 E Uwaga Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów Wiadomo, że dla wielomianu stopnia m prawdziwy jest wzór Taylora (x 0 R): f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (m 1) (x 0 ) (m 1)! Podobny wzór jest prawdziwy dla macierzy kwadratowej A M n n (K): (x x 0 ) m 1 + f (m) (x 0 ) (x x 0 ) m m! f(a) = f(t) E + f (t) [A t E] + + f (m 1) (t) 1! (m 1)! [A t E]m 1 + f (m) (t) [A t E] m, m! gdzie t K Definicja 11 Macierze kwadratowe stopnia n są podobne, jeśli istnieje macierz nieosobliwa C stopnia n, taka że A = C B C 1 ( B = C 1 A C) 4

5 Uwaga Macierze przekształcenia liniowego w różnych bazach są podobne Wniosek 12 Jeżeli J jest postacią kanoniczną Jordana macierzy A, to macierze A i J są podobne Twierdzenie 13 Jeżeli macierze A i B są podobne, to dla dowolnego wielomianu f macierze f(a) i f(b) są podobne Wniosek 14 Jeżeli J jest postacią kanoniczną Jordana macierzy A, a f - dowolnym wielomianem, to f(a) = C f(j) C 1 K K m K 2 0 Uwaga Jeżeli J =, to dla każdego m N J m 0 K m 2 0 = 0 0 K p 0 0 Kp m Twierdzenie 15 Dla dowolnej klatki Jordana K = stopnia p i dowolnego wielomianu f: f() f f () () f 2! (p 1) () (p 1)! 0 f() f f () (p 2) () (p 2)! f(k) = 0 0 f() f () 0 f() Twierdzenie 16 (Hamiltona-Cayleya) Jeśli f jest wielomianem charakterystycznym macierzy A, to f(a) = [0] n n Funkcje macierzy (nie obowiązują na egzaminie) Definiujemy f(a), gdy f niekoniecznie jest wielomianem Założenie Funkcja f jest funkcją zmiennej rzeczywistej rozwijalną w szereg Taylora w otoczeniu punktu x 0, czyli f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k k! Jeżeli zamiast x wstawimy klatkę Jordana K stopnia p, to dla m p gdzie - wartość własna k=0 (K E) m = [0] n n, 5

6 Definicja 17 Funkcją f klatki Jordana K stopnia p odpowiadającej wartości własnej nazywamy macierz f() f f () () f 2! (p 1) () (p 1)! p 1 f (i) () f(k) = (K E) i 0 f() f f () (p 2) () (p 2)! = i! i=0 0 0 f() f () 0 f() K f(k 1 ) K 2 0 Jeśli J =, to f(j) = 0 f(k 2 ) 0, 0 0 K s 0 0 f(k s ) a jeśli A = C J C 1, to f(a) = C f(j) C 1 6