Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.

Transkrypt

1 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek , godz. 1:15-1:45, materiał zad Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych. Zadania na środy 4, (grupy 4). Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane. Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów. 80. Sprawdzić, że a+bi = ± a +b +a a +b +isgn(b) a jeśli b 0. Rozwiązać równania i układy równań: 81. z = z 8. z = z i = z i = z 85. z z = 8i i = z 87. z +z = i 88. z +iz = z = z +1 { { z = z z z z { { = 1 z1 +iz 9. = 1 z1 +z 9. = 1 = z 1 z 1 +z = 1 z +iz 1 = z 1 +z = i Rozwiązać równania i nierówności. Zaznaczyć zbiór rozwiązań na płaszczyźnie zespolonej: 94. Rez +Rez z z z = z z +i z i 98. Im z +1 = Rez = 0 z +1 z 400. W trójkącie prostokątnym P QD kąt przy wierzchołku P jest prosty, a przy tym P Q = 1 i P D = 4. Ponadto punkt C jest środkiem odcinka P D, punkt A jest środkiem odcinka P C, punkt B jest środkiem odcinka AC. Punkt E leży na prostej P D, przy czym <)P QA+<)P QB +<)P QC = <)P QD +<)P QE. Obliczyć P E., 401. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 10, n = 1, k =... ; b) m = 15, n =, k =... ; c) m = 0, n =, k =... ; d) m = 50, n = 4, k =.... Lista Strony 18-4

2 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Dla podanej liczby zespolonej z podać najmniejszą liczbę naturalną n > 1 taką, że z n = z. a) z = i, n =... ; b) z = 1+i, n =... ; c) z = 1 + i, n =... ; d) z = i, n = Rozwiązać równanie zz = z +z w liczbach zespolonych. Opisać, jaką figurą geometryczną na płaszczyźnie zespolonej jest zbiór rozwiązań Czy nierówność z +1 < z 4 jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = log +i log 7 ; b) z = log 5+i log 4 9 ; c) z = log 4 8+i log 5 1 ; d) z = log 5 11+i log 6 14? 405. Czy równość z = z (uwaga na sprzężenie po lewej stronie) jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = log 6 +i log 6 ; b) z = log 1 +i log 1 4 ; c) z = log 18 4+i log 18 5 ; d) z = log 0 5+i log 0 6? 406. Czy podana liczba zespolona spełnia równanie z 6 = 64 a) z = 1+i ; b) z = 1+i ; c) z = +i ; d) z = +i? 407. Czy równość z 1 = z jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = i ; i b) z = ; c) z = 1+i ; d) z = 1+i? Lista Strony 18-4

3 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Czy równość z 1 = z 1 (uwaga na sprzężenie po lewej stronie) jest prawdziwa dla liczby zespolonej a) z = +4i 5 b) z = 5+8i 9 c) z = 5+i ; 8 d) z = 6+i 1? 7 ; ; 409. Niech R(m, n) będzie liczbą takich liczb zespolonych z, że Czy wtedy a) R(,) = 5 ; b) R(,4) = 6 ; c) R(4,6) = 8 ; d) R(,6) = 8? (z m 1) (z n 1) = 0. że 410. Czy dla podanych liczb zespolonych z 1, z, z istnieje taka liczba zespolona z, z z 1 = z z = z z a) z 1 = 1+i, z = +i, z = 1+4i ; b) z 1 = 1+i, z = +i, z = 8+8i ; c) z 1 = 1+i, z = +i, z = 5+9i ; d) z 1 = 1+i, z = +i, z = 7+11i? 411. Czy podana liczba zespolona z spełnia nierówność z 1 z a) z = log +i log 7... b) z = log 7+i log 5... c) z = log +i log d) z = log 5+i log Czy podana liczba zespolona z spełnia nierówność z i z 5i a) z = log +i log 7... b) z = log 7+i log 5... c) z = log +i log d) z = log 5+i log 1... Lista Strony 18-4

4 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z = z 1 a) z = i... b) z = 1 + i... c) z = +i... d) z = +4i Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z 6 = 1 a) z = + i... b) z = + 1 i... c) z = 1 + i... d) z = i Czy podana liczba zespolona z spełnia równanie z 8 = 1 a) z = + i... b) z = + 1 i... c) z = 1 + i... d) z = i Czy nierówność z 1 < z 5 jest prawdziwa dla a) z = 1+i... b) z = +i... c) z = +i... d) z = 4+4i Czy nierówność z < z 4i jest prawdziwa dla a) z = 1+i... b) z = +i... c) z = +i... d) z = 4+4i Czy nierówność z 5 5i < z +1+i jest prawdziwa dla a) z = 1+i... b) z = +i... c) z = +i... d) z = 4+4i Czy nierówność z 7 < z 7i jest prawdziwa dla a) z = 1+i... b) z = +i... c) z = +i... d) z = 4+4i Czy liczba ( +i ) n jest rzeczywista dla a) n = b) n = c) n = d) n = Lista Strony 18-4

5 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Czy liczba ( 1 i ) n jest rzeczywista dla a) n = b) n = c) n = d) n = Czy liczba ( 1+i) n jest rzeczywista dla a) n = b) n = c) n = d) n = Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 7 +z 16 =z 4 +z 19 w liczbach zespolonych. Podać liczbę rozwiązań, zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej (można używać znaków ± i ± dla zapisania kilku rozwiązań jednym wzorem) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okrąg jednostkowy oraz proste przechodzące przez punkt 0, co 15. Lista Strony 18-4

6 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z = i w liczbach zespolonych. Zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej (bez używania funkcji trygonometrycznych) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okrąg jednostkowy oraz proste przechodzące przez punkt 0, co Obliczyć wartość całki oznaczonej π 0 cos 6 x dx. 46. Obliczyć wartość całki oznaczonej π 0 sin 016 x cos 016 x dx. Lista Strony 18-4

7 Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/ Wyznaczyć wszystkie rozwiązania równania z 4 = 4 w liczbach zespolonych. Zapisać wszystkie rozwiązania w postaci kartezjańskiej (bez używania funkcji trygonometrycznych) oraz zaznaczyć wszystkie rozwiązania na płaszczyźnie zespolonej wykorzystując zamieszczony niżej rysunek, na którym narysowano okręgi o środku w zerze i promieniach n dla n = 1,,,4 oraz proste przechodzące przez punkt 0, co Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f określoną wzorem f(x) = sin x cos5x cos7x. 49. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f określoną wzorem f(x) = sin 8 x. 40. Obliczyć całkę oznaczoną π/7 8π/7 cos 10 x. Lista Strony 18-4