Opracowa : Zbigniew Skoczylas. Studenci wydzia ów W2, W4 oraz W7 opracowuja ¾ten materia samodzielnie. x 3 y 5 z 3 : 2x : (x 2 y 2 ) ; ; e) : 2+1

Transkrypt

1 Algebra z geometri a analityczn a A - MAP 1140 Algebra z geometri a analityczn a B - MAP 1141 Lista zadań na rok akademicki 009/010 Opracowa Zbigniew Skoczylas Wyra zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna Studenci wydzia ów W, W4 oraz W opracowuja ten materia samodzielnie. 1. Obliczyć lub uprościć wyra zenia 5 4 ; b) ; c) (a b ) 4 (a 4 b ) ; d) x y 4 z x y 5 z. Obliczyć q q q 19 ; b) 10; c) Podane wyra zenia zapisać w postaci pot egi 4 5p ; b) p p q ; c) 4p ; d) 16 p 4. Wy aczyć czynnik spod znaku pierwiastka p ; b) p p 50; c) 4 16; d) p x 4 ; e) p 16a 9 ; f) 4p 4a 4 b 5. Wykonać wskazane dzia ania (u + v) (u v) ; b) h i a c) b a b (a + b) x +y y x (x y ) ; a + 1 a c a ; d) b b a +ac+c a b bc 6. Podane u amki uwolnić od niewymierności w mianowniku p 6 11 ; b) 4p ; c) 5 p ; d) p p p 5 + ; e) p p +1. Wskazać wi eksz a z liczb wśród podanych par 1 ; 4 ; b) p p p p 1 11; 1 1; c) 9 0 ; 1. Uprościć wyra zenia x ; b) a +b ; c) x4 +x y +y 4 ; d) x 1 x 4 a 5 +4b 5 x 6 +y 6 1 p (a b)5 ; e) x (b 9. Za pomoca indukcji matematycznej uzasadnić, ze dla ka zdej liczby naturalnej n zachodza to zsamości (n 1) = n ; b) n(n+1) = n ; n+1 c) n 1 = 1 (n 1) ; h i d) n = n(n+1) 10. Metoda indukcji matematycznej uzasadnić nierówności n > n dla n > 5; 1 b) n n c) n! > n dla n > 4; dla n N; d) (1 + x) n > 1 + nx dla x > 1 oraz n N (nierówność Bernoulliego); e) n! < n n dla n > 6 1

2 11. Pokazać, ze dla ka zdej liczby naturalnej n liczba n 5 n jest podzielna przez 5; b) n + 6 jest podzielna przez 1. *Uzasadnić, ze n prostych mo ze podzielić p aszczyzne na maksymalnie n(n+1) + 1 obszarów. 1. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyra zeń (x + y) 4 ; b) (c 1) ; c) x + 1 x 5 ; d) ( p u + 4 p v) 14. Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy P n n np k ; b) n P k k ; c) n n k ( 1) k k=0 k=0 k=0 15. W rozwinieciu dwumianowym wyra zenia a a znaleźć wspó czynnik stojacy przy a 5 ; 4p b) W rozwini eciu dwumianowym wyra zenia x 5 p x znaleźć wspó czynnik stojacy przy 4 x Geometria analityczna na p aszczyźnie. Krzywe sto zkowe Studenci wydzia ów W, W4 oraz W opracowuja ten materia samodzielnie. 16. Niech ~a = ( ; ) ; ~ b = (1; 4) Wyznaczyć wektor ~u = ~a ~ b 1. Trójkat jest rozpiety na wektorach ~a; ~ b Wyrazić środkowe tego trójkata przez wektory ~a; ~ b 1. Niech ~a; ~ b b ed a wektorami wodzacymi odpowiednio punktów A; B oraz niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku Znaleźć wektor wodzacy punktu P 19. Za pomoca rachunku wektorowego pokazać, ze środki boków dowolnego czworokata tworza wierzcho ki równoleg oboku. 0. Wyznaczyć kat, jaki tworza wektory ~u = (1; ) ; ~v = (6; ). 1. Równoleg obok jest rozpiety na wektorach ~a = ( ; 4) ; ~ b = (1; ). Wyznaczyć kat ostry miedzy przekatnymi tego równoleg oboku.. D ugości wektorów ~a; ~ b wynosza odpowiednio ; 5 Ponadto znamy ich iloczyn skalarny ~a ~ b = Obliczyć ~p ~q; gdzie ~p = ~a ~ b; ~q = ~a + ~ b. Pokazać, ze czworokat o wierzcho kach A = (0; 0) ; B = (5; ) ; C = (; ) ; D = ( kwadratem. ; 5) jest 4. Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (1; ) i tworzy kat 10 o z dodatnia cześci a osi Ox 5. Napisać równanie prostej przechodzacej przez punkty P 1 = (; ) ; P = ( ; ) 6. Znaleźć miejsca przeci ecia prostej x = 4 t; y = 6 + t; gdzie t R; z osiami uk adu wspó rzednych. Czy punkt P = (4; ) nale zy do tej prostej?

3 . Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; ) i jest równoleg a do prostej x y + = 0; b) prostopad a do prostej x + y = 0. Dla jakiej wartości parametru m; odleg ość punktów P = (1; 0) i Q = (m + ; ) jest równa 4? 9. Wyznaczyć odleg ość punktu P 0 = ( 4; 1) od prostej l o równaniu x + 4y + 1 = 0 0. Znaleźć odleg ość prostych równoleg ych l 1 ; l o równaniach odpowiednio x y = 0; x + 6y 15 = 0 1. Obliczyć wysokość trójkata o wierzcho kach A = (0; 0) ; B = ( wierzcho ka C 1; ) ; C = (; 5) opuszczona z. *Znaleźć równania dwusiecznych katów wyznaczonych przez proste o równaniach x + 4y = 0; 4x y + 5 = 0. Napisać równanie okr egu, którego średnica jest odcinek o końcach A = ( 1; ), B = (5; ) 4. Wyznaczyć wspó rzedne środka i promień okregu x 4x + y + 6y + = 0 5. Znaleźć równanie okr egu opisanego na trójkacie ABC o wierzcho kach A = (0; 0), B = (; 0), C = (0; 6). 6. Znaleźć równanie okregu, który przechodzi przez punkty P = (; 4), Q = (5; ) i ma środek na osi Ox.. Wyznaczyć równanie okr egu, który jest styczny do obu osi uk adu wspó rz ednych oraz przechodzi przez punkt A = (5; ) Ile rozwiazań ma zadanie?. Znaleźć równanie stycznej okregu x + y = 5 w punkcie ( ; 4); b) przechodzacej przez punkt ( 5; 10); c) równoleg ej do prostej x y 4 = 0; d) prostopad ej do prostej x + y = 0 9. Wyznaczyć osie, wspó rz edne ognisk oraz mimośród elipsy x 16 + y 9 = Punkty F 1 = ( 5; 0) ; F = (5; 0) sa ogniskami elipsy. Znaleźć równanie tej elipsy, je zeli widomo, ze jednym z jej wierzcho ków jest punkt W = (0; ) 41. Naszkicować elipse o równaniu 4x x + 9y + 6y + 4 = 0 4. Wyznaczyć osie, wspó rz edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli x 144 y 5 = 1 4. Narysować hiperbol e wraz z jej asymptota (y + 5) 16 (x ) 9 = 1

4 44. Wyznaczyć wspó rz edne ogniska, wierzcho ka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu y = 1x; b) y = x + 6x 45. Napisać równanie paraboli, której kierownica jest prosta y = ; a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho kiem; b) kierownica jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho kiem. Macierze 46. Dla podanych par macierzy A; B wykonać (jeśli to jest mo zliwe) wskazane dzia ania A 1B; AT ; AB; BA; A A = ; B = ; 0 b) A = 1 ; B = 4 0 ; 1 c) A = ; d) A = ; B = Rozwiazać równanie macierzowe XA = X Znaleźć niewiadome x; y; z spe niaj ace równanie x + y + = 0 T 6 y z 49. Podać przyk ady macierzy kwadratowych A; B; które spe niaj a podane warunki AB 6= BA; b) AB = 0; ale A 6= 0; B 6= 0; c) A = 0; ale A 6= Uzasadnić, ze iloczyn macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna; b) iloczyn macierzy trójkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza trójkatn a dolna. 51. Pokazać, ze ka zd a macierz kwadratowa mo zna przedstawić jednoznacznie jako sume macierzy symetrycznej A T = A i antysymetrycznej A T = A. Napisać to przedstawienie dla macierzy B = Macierze kwadratowe A; B sa przemienne, tzn. spe niaj a równość AB = BA Pokazać, to zsamości (A B) (A + B) = A B ; b) (BA) = A B ; c) A B = B A 4

5 5. Dla podanych macierzy A obliczyć A n dla kilka poczatkowych wartości n; nast epnie wysunać hipoteze o postaci tych poteg i uzasadnić ja za pomoca indukcji matematycznej A = ; b) A = ; c*) A = W zbiorze macierzy rzeczywistych znaleźć wszystkie rozwiazania podanych równań X = ; b) X 0 9 = c) X 0 0 = 1 0 Wyznaczniki 55. Napisać rozwini ecia Laplace a podanych wyznaczników wg wskazanych kolum lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwini eciach) ; trzecia kolumna; b) ; czwarty wiersz Obliczyć podane wyznaczniki 5 ; b) ; c) Korzystajac z w asności wyznaczników uzasadnić, ze podane macierze sa osobliwe ; b) ; c) Jakie sa mo zliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe niaj acej podane warunki A = 4A dla n = ; 4; b) A T = A dla n = ; 4? 59. Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy ; b) ; c) *Uzasadnić, ze niezale znie od liczb ukrytych pod znakiem zapytania, podany wyznacznik jest równy 0?????? 0 0 0?? 0 0 0?? 0 0 0?????? Macierz odwrotna i uk ady równań liniowych 5

6 61. Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do podanych A = ; b) A = ; c) Korzystajac z metody do aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do podanych A = 1 ; b) A = ; c) A = Znaleźć rozwiazania podanych równań macierzowych X = ; b) X = ; c) X = ; d) X = Korzystajac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazana niewiadoma z podanych uk adów równań liniowych x y = 0 ; niewiadoma y; x + y = 5 < x + y + z = 1 b) x y + z = 4 ; niewiadoma x; 4x + y + 4z = c) b) >< > x + y + 11z + 5t = x + y + 5z + t = 1 x + y + z + t = x + y + z + 4t = ; niewiadoma z 65. Metoda eliminacji Gaussa rozwiazać podane uk ady równań x y = 0 x + y = 5 ; < c) >< > x + y + z = 1 x y + z = 4 4x + y + 4z = x y 5z + t = x y + z + 5t = x + y 4t = x y 4z + 9t = ; 66. Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkty (1; 4) ; (; ) b) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; ) ; (0; 1) ; (; 4) 6

7 c) Wyznaczyć wspó czynniki a; b; c funkcji y = a x +b x +c4 x ; która w punktach 1; 0; 1 przyjmuje odpowiednio wartości ; 1; 1 4 d) Funkcja y (x) = A cos x + B sin x spe nia równanie ró zniczkowe y 00 6y 0 + 1y = 5 sin x Wyznaczyć wspó czynniki A; B 6. Dla jakich wartości parametru m; podany uk ad jednorodny ma niezerowe rozwiazanie < mx + y + z = 0 x y + mz = 0 mx + y + 4z = 0 b) Dla jakich wartości parametrów a; b; c; d; podany uk ad równań liniowych jest sprzeczny x + y = a >< z + t = b? x + z = c > y + t = d c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p; dla których podany uk ad równań liniowych ma tylko jedno rozwiazanie < x + y z = 1 x py + z = x + y pz = 5 6. a*) Rozwiazać uk ad równań < 1 + = 1 x y z = x y z 1 = 4 x y z < b*) Znaleźć dodatnie rozwiazania uk adu równań? xy z = x y z 4 = 4 x yz = Geometria analityczna w R 69. Dla jakich wartości parametrów p; q wektory ~a = (1 p; ; 1) ; ~ b = ( ; 4 q; ) sa równoleg e? b) Dla jakich wartości parametru s wektory ~p = (s; ; 1 s) ; ~q = (s; 1; ) sa prostopad e? 0. Obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ~a = (1; ; 5) ; ~ b = (; ; 1) 1. Znaleźć wersor, który jest prostopad y do wektorów ~u = (1; 1; 0) ; ~v = (0; 1; 1). Wyznaczyć cosinus kata miedzy wektorami ~p = (0; ; 4) ; ~q = (; 1; ). Obliczyć pole równoleg oboku rozpietego na wektorach ~u = ( 1; ; 5) ; ~v = (0; ; ) b) Obliczyć pole trójkata o wierzcho kach A = (0; 0; 1) ; B = (; 0; 0) ; C = (0; 5; 0) 4. Obliczyć objetość równoleg ościanu rozpietego na wektorach ~a = (1; ; ) ; ~ b = (0; 4; 1) ; ~c = ( 1; 0; ) b) Obliczyć objetość czworościanu o wierzcho kach A = (1; 1; 1) ; B = (1; ; ) ; C = (0; 4; 1) ; D = (; ; ) 5. Znaleźć równania normalne i parametryczne p aszczyzny przechodzacej przez punkty P = (1; 1; 0) ; Q = (; 5; ) ; R = (0; 0; 1)

8 6. P aszczyzne x + y z = 0 zapisać w postaci parametrycznej. < x = 1 + s + t; b) P aszczyzne y = s t; przekszta cić do postaci normalnej. z = + s t. Znaleźć równanie parametryczne i krawedziowe prostej przechodzacej przez punkty A = ( ; 4; 1) ; B = (0; ; 1) b) przechodzacej przez punkt P = (; x + y = 0. Prosta l y + z 1 = 0 b) Prosta l x = ; y = 1; ) i przecinajacej prostopade oś Oy zapisać w postaci parametrycznej. t; z = t zapisać w postaci krawedziowej. 9. Wyznaczyć punkt przeci ecia prostej l x = t; y = 1 t; z = + t oraz p aszczyny x y z 5 = 0; b) p aszczyzn 1 x + y z 5 = 0; x + y + = 0; x + y + z = 0; c) prostych l 1 x = 1 t; y = 1; z = + t; l x = s; y = s; z = 5s 0. Obliczyć odleg ość punktu P = (0; 1; ) od p aszczyzny x 4y + 1z 1 = 0; b) p aszczyzn równoleg ych 1 x y + z = 0; x + 4y 4z + 1 = 0; c) punktu P = (; 5; 1) od prostej l x = t; y = 1 t; z = + t; d) prostych równoleg ych l 1 x + y + z = 0 x y z 1 = 0 ; l x + y + z = 0 x y z + 4 = 0 ; e) prostych skośnych l 1 x = 1 t; y = 1; z = + t; l x = s; y = s; z = 1 5s 1. Wyznaczyć rzut prostopad y punktu P = (1; ; 0) na p aszczyzne x + y + z 5 = 0; b) prosta l x = 1 t; y = t; z = t. Obliczyć kat miedzy p aszczyznami 1 x y + z = 0; x + y z + 5 = 0; x + y + z = 0 b) prosta l i p aszczyzn a x + y = 0; x y z 1 = 0 c) prostymi l 1 x = t; y = 1 + t; z = ; l x = 0; y = s; z = + s Liczby zespolone. Obliczyć ( 5i) + + i p ; b) ( + 6i) ( i) ; c) (4 i) ( + 4i) ; d) 1+i 6 5i ; e) i11 ; f) ( 1 + i); g) ( i); h) ( + 4i) ; i) ( + i) 4. Porównuj ac cz eści rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań znaleźć ich rozwiazania z = ( i)z; b) z + 4 = 0; c) (1 + i) z + ( 5i) z = i ; d*) z = 1

9 5. Na p aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe ni acych podane warunki Re (z + 1) = Im (z 4i) ; b) Re (z ) = 0; c) Im (z ) 6 ; d) Re 1 z > Im (iz) 6. Uzasadnić to zsamości jzj = jzj ; b) z z = jzj ; c) jz n j = jzj n ; gdzie z C oraz n N. Obliczyć modu y podanych liczb zespolonych ; b) 5 1i; c) p 11 + i p 5; d) +4i 4 i ; e) (1 + i) (i ) ; f) (1 + i) ; g) (sin 4 i cos 4) ; gdzie R; h) (ctg + i) ; gdzie 6= n; n N. Korzystajac z interpretacji geometrycznej modu u ró znicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spe niaj acych podane warunki jz + ij < 4; b) jz + 5ij > ; c) jz 1j = j1 + 5i zj ; d) jz + ij < jz 1 4ij ; e) jiz + 5 ij < j1 + ij ; f) z > 1; g) z ; h) jz + iz 1j < 9 i z z i 9. Wyznaczyć argumenty g ówne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalkulator) p 55; b) ; c) i; d) 1i; e) + p i; f) + i; g) 1 + i; h) p i 90. Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej ; b) i; c) 1 + i p ; d) i; e) p i p ; f) i p 91. Na p aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe niaj acych podane warunki arg (z) = ; b) 6 < arg (z i) 6 ; c) d) arg ( z) = 4 ; e) 0 < arg (z) 6 ; f) 4 6 arg 1 z < arg (iz) < ; 6 9. Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć (1 i) 11 1 ; b) + i p p p 9 ; c) i 1 ; d) 5 i 5p Wyznaczyć i narysować na p aszczyźnie zespolonej elementy podanych pierwiastków 4p p 16; b) i; c) p p i; d) W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane równania z z + 10 = 0; b) z + iz + 4 = 0; c) z 4 + 5z + 4 = 0; d) z + (1 i) z i = 0; e) z 6 = (1 i) 6 ; f) (z i) 4 = (z + 1) 4 Wielomiany 95. Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczyć P Q; P Q; P P (x) = x x + ; Q (x) = x 4 1; b) P (z) = z 1 + 4i; Q (z) = z + (1 i) z Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać reszt e z tego dzielenia, je zeli P (x) = x 4 x x + 11x 15; Q (x) = x x + 5; b) P (x) = x 4 + x + 16; Q (x) = x x + 4; c) P (z) = z + iz + 1; Q (z) = z i 9. Znaleźć wszystkie pierwiastki ca kowite podanych wielomianów x + x 4; b) x 4 x + x x 1; c) x 4 x 9

10 9. Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów 6x 5x x + 1; b) x x + x ; c) 6x 4 + x Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomianów (x 1) (x + ) ; b) (x + 6) (1 4x) 5 ; c) (z 1) (z + 1) (z + 9) Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je zeli P (x) = x + x 5 + x + 4; Q (x) = x 1; b) P (x) = x 00 + x + 00; Q (x) = x + 1; c*) P (x) = x x 100 1; Q (x) = x 4 + 1; d*) P (x) = x x x 1; Q (x) = (x + 1) 101. Pokazać, ze je zeli liczba zespolona z 1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to liczba z 1 tak ze jest pierwiastkiem wielomianu P. Korzystajac z tego faktu znaleźć pozosta e pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x 4 4x +1x 16x+15 wiedzac, ze jednym z nich jest x 1 = 1+i 10. Podane wielomiany roz o zyć na nierozk adalne czynniki rzeczywiste x ; b) x ; c) x 4 + x + 4; d*) x Podane funkcje wymierne roz o zyć na rzeczywiste u amki proste x+5 x x ; b) x+9 x(x+) ; c) x +4x+ x x +4x 4 ; d) x x x+6 x 4 +10x +9 Przestrzeń liniowa R n Materia przenaczony tylko dla studentów wydzia ów W, W4 oraz W 104. Niech ~a = (1; 1; ; ) ; ~ b = (5; 4; ; 0) b ed a wektorami w przestrzeni liniowej R 4 Wyznaczyć wektory ~x oraz ~y; je zeli ~x = ~a ~ b; b) ~a ~x = ~ b + ~x; ~x ~y = ~a; c) ~x + ~y = ~ b 105. Sprawdzić, czy podane zbiory sa podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni R n A = (x; y) R xy > 0 ; R ; b) B = (x; y; z) R x + y z = 0 ; R ; c) C = (x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 x 1 = x = x = 4x 4 ; R 4 ; d) D = (x 1 ; x ; x ; x 4 ; x 5 ) R 4 x 1 = 0; x = x ; x 5 = 0 ; R 5 ; e) E = (x; y; z) R x y = 0; y z = 0; z 4x = 0 ; R 106. We wskazanej przestrzeni liniowej zbadać liniowa niezale zność podanych uk adów wektorów R ; ~a 1 = (; ; 0) ; ~a = ( 1; 0; 1) ; ~a = (0; 1; 4) ; b) R ; ~ b 1 = (1; ; ) ; ~ b = (; ; 1) ; ~ b = (1; 1; 1) ; c) R 4 ; ~c 1 = (1; 0; 0; 0) ; ~c = ( 1; 1; 0; 0) ; ~c = (1; 1; 1; 0) ; ~c 4 = ( 1; 1; 1; 1) ; d) R 5 ; ~ d1 = (1; ; ; 4; 5) ; ~ d = (5; 4; ; ; 1) ; ~ d = (1; 0; 1; 0; 1) ; e) R n ; ~e 1 = (1; 0; 0; ; 0) ; ~e = (0; ; 0; ; 0) ; ~e = (0; 0; ; ; 0) ; ; ~e n = (0; 0; 0; ; n) 10

11 10. Pokazać, ze je zeli wektory ~a; ~ b;~c sa liniowo niezale zne w przestrzeni liniowej R n ; to wektory ~a; ~a + ~ b; ~ b 5~c tak ze sa liniowo niezale zne. Czy wektory ~a ~ b; ~ b ~c; ~c ~a sa liniowo niezale zne? b) Wektory ~u; ~v; ~w sa liniowo zale zne w przestrzeni liniowej R n Czy wektory ~u ~v; ~u; ~w ~v tak ze sa liniowo zale zne? c) Wektory ~a; ~a + ~ b; ~a + ~ b + ~c sa liniowo niezale zne w przestrzeni liniowej R n Pokazać, ze wektory ~a; ~ b;~c sa tak ze liniowo niezale zne. 10. Pokazać, ze uk ad wektorów w przestrzeni liniowej R n ; który zawiera wektor zerowy, b) dwa jednakowe wektory, c) wektory ~a; ~ b oraz ~a ~ b; jest liniowo zale zny Podać interpretacj e geometryczna podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni linf( 1; )g w R ; b) linf(1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)g w R ; c) linf(1; 1; ) ; (4; 1; 1) ; (; ; 5)g w R ; d*) linf(1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1)g w R 4 ; e*) lin (1; 0; 0; ; 0) ; (0; 1; 0; ; 1) ; (0; 0; 1; ; 0) ; ; 0; 0; 0; ; ( 1) n+1 w R n 110. Czy w przestrzeni R 4 zachodzi równość lin f(1; ; ; 5) ; (; ; 4; 6) ; (1; 4; 1; 1)g = lin f(0; 0; ; 4) ; (; 5; 0; 0) ; ( 1; 1; 1; 1)g? 111. Zbadać, czy podane uk ady wektorów sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych R n f(1; ; 0) ; ( 1; 0; ) ; (0; ; )g ; R ; b) f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R 4 ; c) f(1; 1; 0; ) ; (1; 0; ; 0) ; (0; 1; ; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R 4 ; d) f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; ; ; 0; 0) ; (0; 0; ; ; 0) ; (0; 0; 0; 4; 4)g ; R 5 ; e) f(0; 1; 0; 1; 0) ; ( 1; 0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 0; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1)g ; R Podane uk ady wektorów uzupe nić do baz wskazanych przestrzeni f(1; ; 4) ; (; 0; 1)g ; R ; b) f(1; ; ; 4) ; (1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 0)g ; R 4 ; c) f(0; 1; 0; ) ; (4; 1; 1; )g ; R 4 ; d) f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; ; ) ; (0; ; ; 0; 0)g ; R 5 ; e) f(1; 0; 0; 0; 1) ; (0; 0; 0; 0; 4) ; (0; 1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g ; R Pokazać, ze je zeli wektory ~ b 1 ; ~ b ; ~ b ; ~ b 4 tworza baze przestrzeni R 4 ; to wektory tak ze tworz a baz e tej przestrzeni. ~u 1 = ~ b 1 + ~ b ; ~u = ~ b 1 + ~ b ; ~u = ~ b 1 + ~ b 4 ; ~u 4 = ~ b + ~ b 4 11

12 114. Znaleźć bazy i wymiary podanych podprzestrzeni A = (x; y; z) R x + y z = 0 ; b) B = (x; y; z; t) R 4 x = y = t ; c) C = (u; v; x; y; z) R 5 u + v = 0; x + y + x = 0 ; d) D = (u; v; w; x; y; z) R 6 u + v = 0; x + y + z = 0; x u + y v + z = Wyznaczyć wspó rz edne podanych wektorów we wskazanych bazach ~a = (; ) ; B = f( 1; 1) ; (0; 1)g R ; b) ~b = (1; ; ) ; B = f(1; 1; 1) ; (; ; 0) ; (; 0; 0)g R ; c) ~c = (1; 0; ; 0) ; B = f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1) ; ( 1; 0; 1; 0) ; (1; ; ; 4)g R 4 ; d) ~ d = (5; 4; ; ; 1) ; B = f(1; 1; 1; 1; 1) ; ( 1; 1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 0; 0) ; ( 1; 1; 0; 0; 0) ; (1; 0; 0; 0; 0)g R Wyznaczyć rz edy podanych macierzy (wskazać niezerowy minor najwi ekszego stopni A = ; b) B = 4 5 ; c) C = Doprowadzaj ac podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rz edy A = 41 5 ; b) B = ; c) C = Zbadać rz edy podanych macierzy w zale zności o parametru p p p 4 1 A = ; b) B = ; p 1 p 1 p p 1 c) C = 4 p 5 ; d) D = 4 1 p 55 p Podać przyk ad uk adu równań liniowych z 5 niewiadomymi, który nie ma rozwiazań. b) Podać przyk ad uk adu 5 równań liniowych z niewiadomymi, który na tylko jedno rozwiazanie. c) Podać przyk ad uk adu równań liniowych z 4 niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiazań zale znych od parametrów. d) Podać przyk ad uk adu 4 równań z niewiadomymi, który ma nieskończenie wiele rozwiazań zale znych od parametrów. 10. Niech n oznacza liczb e niewiadomych w uk adzie równań liniowych Ax = b Podać liczb e rozwiazań oraz liczb e parametrów, je zeli n = 5; rz(a) = ; rz(ajb) = ; b) n = ; rz(a) = 1; rz(ajb) = ; c) n = 4; rz(a) = 4; rz(ajb) = 4; d) n = ; rz(a) = 0; rz(ajb) = 0 1

13 11. Korzystaj ac z twierdzenia Kroneckera-Capellego ustalić liczb e rozwiazań oraz liczb e parametrów dla podanych uk adów równań liniowych < >< b) > c) d) < < x y + z = 1 5x y = 1 x y 4z = x + y + z = 1 x + y + z = x + y + z = 0 x 6y 14z = 0 x + y + z + t = 4 x + 6y + 5z + 10t = 0 5x + 10y + z + 1t = x 1 x + x = x 1 4x + x x 4 + x 5 = 4 x + x 4 x 5 = Uwaga. Nie rozwiazywać tych uk adów. ; ; 1. Podać interpretacj e geometryczna rozwiazań uk adu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi w zale zności od rz edu macierzy g ównej i rozszerzonej. b) Podać interpretacj e geometryczna rozwiazań uk adu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi w zale zności od rz edu macierzy g ównej i rozszerzonej. 1. Wyznaczyć przestrzenie rozwiazań podanych uk adów równań liniowych jednorodnych x + y + 0z = 0 5x + 5y + 0z = 0 ; < x 1 x + x = 0 b) x 1 6x + 11x 4x 4 + 6x 5 = 0 x + x 4 x 5 = 0 ; Przekszta cenia liniowe F R n! R m Materia przenaczony tylko dla studentów wydzia ów W, W4 oraz W 14. Zbadać, czy podane przekszta cenia sa liniowe F R! R 1 ; F (x 1; x ) = x 1 x ; b) F R! R ; F (x; y) = (jx + yj ; jx yj) ; c) F R! R ; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y z) ; d) F R 1! R 4 ; F (x) = (0; x; 0; x) ; e) F R 4! R ; F (x 1 ; x ; x ; x 4 ) = (x 1 x ; x x 4 ) ; f) F R! R 5 ; F (u; v; w) = (u; 4v; u + v; w; u w) 15. Korzystajac z interpretacji geometrycznej podanych przekszta ceń liniowych znaleźć ich jadra i obrazy L R! R ; obrót o kat = wokó pocz atku uk adu. b) L R! R ; rzut prostokatny na prosta x + y = 0 c) L R! R ; symetria wzgledem p aszczyzny y = z d) L R! R ; obrót wokó osi Oy o kat 1

14 16. Wyznaczyć jadra i obrazy podanych przekszta ceń liniowych F R! R 1 ; F (x 1; x ) = x 1 x ; b) F R! R ; F (x; y) = (x + y; x + y) ; c) F R! R ; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y z) ; d) F R 1! R 4 ; F (x) = (0; x; 0; x) 1. Znaleźć macierze podanych przekszta ceń liniowych F R n! R m we wskazanych bazach B 0 oraz B 00 odpowiednio przestrzeni R n oraz R m F (x; y) = (x; y; x y) ; B 0 = f(1; 0) ; (1; 1)g ; B 00 = f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1)g ; b) F (x; y) = (y; 0; x; 0) ; B 0 = f(1; 1) ; (0; )g ; B 00 = f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; c) F (x; y; z) = x + y z; B 0 = f(1; 0; ) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g ; B 00 -standardowa; d) F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y t; z x) ; B 0 -standardowa, B 00 -standardowa. 1. Uzasadnić, ze obrót na p aszczyźnie R wokó pocz atku uk adu wspó rzednych o kat ' jest przekszta ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych. b) Pokazać, ze obrót w przestrzeni R wokó osi Ox uk adu wspó rzednych o kat jest przekszta ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych. 19. Korzystajac z de nicji wyznaczyć wektory i wartości w asne podanych przekszta ceń liniowych Symetria wzgledem osi Ox w przestrzeni R ; b) Obrót wokó osi Oy o kat w przestrzeni 6 R ; c) Symetria wzgledem p aszczyzny xoz w przestrzeni R ; d) Rzut prostokatny na oś Oz w przestrzeni R 10. Wyznaczyć wektory i wartości w asne podanych macierzy A = ; b) B = 45 5 ; c) C = ; d) D = Sprawdzić, ze podane macierze spe niaj a swoje równania charakterystyczne A = ; b) B =