Wyznacznik macierzy. (2) Q(v, v) = Q(v, v), Po opuszczeniu kolorów (w koòcu v i v to ostatecznie ten sam wektor v) dostajemy

Transkrypt

1 yzaczik macierzy Niech V bídzie -wymiarowπ przestrzeiπ wektorowπ ad cia em liczb rzeczywistych lub zespoloych K Formπ k-liiowπ a przestrzei wektorowej V azywamy odwzorowaie: Ê : V V V æ R, które jest liiowe ze wzglídu a kaødy argumet, tz dla kaødego i, dowolych wektorów v j, j =1k, v Õ i i dowolych, µ œ R zachodzi Ê(v 1,v 2,, v i + µv Õ i,,v k )= Ê(v 1,v 2,,v i,,v k )+µê(v 1,v 2,,v Õ i,,v k ) úród wszystkich form k-liowych wyróøimy teraz szczególie fukcje atysymetrycze, to zaczy majπce w asoúê (1) Ê(v 1,v 2,,v i,,v j,,v k )= Ê(v 1,v 2,,v j,,v i,,v k ) dla dowolych i = j Formy k-liiowe atysymetrycze azywae sπ teø k-formami atysymetryczymi, lub czasem k-kowektorami Omawiajπc odwzorowaia liiowe stwierdziliúmy, øe wartoúê odwzorowaia jest jedozaczie okreúloa przez wartoúci a wektorach bazowych Rozwaømy przypadek k = 2 Na przestrzei -wymiarowej do zdefiiowaia dwuformy Q potrzeba 2 liczb: Q(e i,e j ) dla i, j œ{1, 2,,} Jeúli wiadomo, øe forma jest symetrycza, wtedy wystarczy ( + 1)/2 wartoúci Jeúli forma jest atysymetrycza potrzeba jeszcze miej ( 1)/2, gdyø wyrazy diagoale Q ii muszπ byê zero: z waruku atysymetrii wyika, øe dla dowolego v œ V Q(v, v) = Q(v, v) Po opuszczeiu kolorów (w koòcu v i v to ostateczie te sam wektor v) dostajemy (2) Q(v, v) = Q(v, v), czyli Q(v, v) = 0 Iymi s owy przestrzeò wektorowa wszystkich form dwuliiowych ma wymiar 2 a podprzestrzeie form symetryczych i atysymetryczych wymiary odpowiedio ( + 1)/2 i ( 1)/2 Jeúli zauwaøymy poadto, øe forma, która jest jedoczeúie symetrycza i atysymetrycza musi byê zerowa, oraz øe ( +1) ( 1) + = = zrozumiemy, øe przestrzeò wszystkich form dwuliiowych jest sumπ prostπ podprzestrzei form symetryczych i podprzestrzei form atysymetryczych Kaøda forma dwuliiowa da sií wiíc roz oøyê w sposób jedozaczy a czíúê symetryczπ i atysymetryczπ: Q(v, w) =Q (v, w)+q + (v, w) Q (v, w) = 1 [Q(v, w) Q(w, v)], 2 Q +(v, w) = 1 [Q(v, w)+q(w, v)] 2 Dla k>2 takøe jest prawdπ, øe forma k-liiowa jest jedozaczie okreúloa przez wartoúci a bazie, zatem przestrzeò takich odwzorowaò jest przestrzeiπ wektorowπ wymiaru k tej przestrzei sπ takøe wyróøioe podprzestrzeie form symetryczych i atysymetryczych, których czíúciπ wspólπ jest przestrzeò zerowa, ale podprzestrzeie te ie wyczerpujπ przestrzei 1

2 2 wszystkich form Zastaówmy sií ad wymiarem przestrzei lt k (V ) form atysymetryczych Niech Ê ozacza formí atysymetryczπ zbiorze k liczb Ê i1 i 2 i k = Ê(e i1,e i2,,e ik ) jest wiele zer ystarczy, øe w uk adzie (e i1,e i2,,e ik ) kórykolwiek wektor bazowy powtarza sií, a juø wartoúê Ê a tym uk adzie musi byê rówa zero jak w (2) Jeúli zaú uk ad (e i1,e i2,,e ik ) ie zawiera powtarzajπcych sií wektorów, to wartoúê Ê a tym uk adzie róøi sií od wartoúci Ê a uk adzie zawierajπcym te same wektory tylko uporzπdkowae rosπco ze wzglídu a ideks, tylko zakiem iosek: do zdefiiowaia k-formy wystarczy tyle liczb ile jest róøych podzbiorów k-elemetowych w zbiorze -elemetowym Z kombiatoryki wiadmo, øe jest ich k = tz dim lt k (v) = k( k) k( k) Powyøsze rozwaøaia prowadzπ takøe do wiosku, øe przestrzeò k-form dla k>jest zerowa, atomiast przestrzeò -form ma wymiar rówy 1 Przejdziemy teraz do -form a -wymiarowej przestrzei K Z poprzedich rozwaøaò wyika, øe jest to przestrzeò jedowymiarowa Poiewaø w przestrzei K jest wyróøioa baza stadardowa moøemy takøe wyróøiê jedπ -formí: miaowicie tí, która a bazie stadardowej 1 e 1 = 0 0 0, e 2 = V 1 0 0,, e = V 0 1 daje wyik 1 FormÍ tí ozaczaê bídziemy vol, i azywaê formπ objítoúci a K : vol (e 1,e 2,e )=1 Od formy vol juø jede krok do wyzaczików macierzy o wspó czyikach z cia a K Niech œ K, wtedy reprezetuje odwzorowaie K æ K yzaczik (det) macierzy defiiujemy wzorem (3) det =vol(e 1, e 2,, e ) PamiÍtajπc poadto, øe e i = a i (i-ta koluma macierzy ) moøemy apisaê det =vol(a 1,a 2,,a ) zór (3) defiiujπcy wyzaczik macierzy ie daje przepisu a to, jak obliczyê wyzaczik dla kokretej macierzy Zaim jedak wypiszemy stosowπ formu Í, zajmiemy sií w asoúciami wyzaczika Zauwaømy ajpierw, øe odwzorowaie: K K K (a 1,a 2,,a ) æ vol (a 1,a 2,,a ) jest elemetem lt k (K ), zatem jest proporcjoale do vol, tz V vol (a 1,a 2,,a )=f()vol (a 1,a 2,,a ) spó czyik proporcjoaloúci ozaczy am f(), poiewaø zaleøy o tylko od macierzy, a ie od tego jakie sπ wektory a i iorπc a i = e i dostajemy det(e 1,e 2,,e )=f()vol (e 1,e 2,,e )=f(),

3 3 czyli f() = det Moøemy teraz atwo policzyê det(): det() =vol(e 1, e 2,, e )=vol(a 1,a 2,,a )= det()vol (a 1,a 2,,a )=det() det() dowodiliúmy tym samym twierdzeie Cauchy ego o moøeiu wyzaczików: wierdzeie 1 (Cauchy) det() =det() det() wierdzeie Cauchy ego prowadzi do poøyteczych wiosków (1) Jeúli macierz jest odwracala, to det = 0i det( 1 )= 1 det Istotie, z twierdzeia Cauchy,ego mamy 1 = det(1) = det( 1 )=det det 1 (2) det = 0, wtedy i tylko wtedy, gdy ma liiowo zaleøe kolumy Istotie, Za óømy, øe a i jest liiowπ kombiacjπ pozosta ych kolum, tz tedy a i = 1 a 1 + i 1 a i 1 + i+1 a i a det =vol(a 1,,a i,,a )=vol(a 1,, 1 a 1 + i 1 a i 1 + i+1 a i a,,a )= 1 vol (a 1,,a 1,,a )+ 2 vol (a 1,,a 2,,a )++ i 1 vol (a 1,,a i 1, a i 1,,a )+ i+1 vol (a 1,,a i+1, a i+1,,a )+ vol (a 1,,a,,a )=0 Gdy dwa z argumetów formy atysymetryczej powtarzajπ sií, wartoúê tej formy jest zero Kaødy ze sk adików powyøszej sumy musi wiíc byê rówy zero Dowód wyikaia w drugπ stroí przebiega astípujπco (ad absurdum): Za óømy, øe ma liiowo iezaleøe kolumy k ad wektorów (a 1,,a ) staowi wiíc bazí K Defiiujemy -formí atysymetryczπ Ê wzorem Ê (a 1,,a ) = 1 Jest to poprawa defiicja, gdyø przestrzeò -form a przestrzei - wymiarowej ma wymiar 1 obec tego Ê jest proporcjoala do vol : Ê = vol i wspó czyik proporcjoaloúci ie moí byê rówy 0 stawiajπc+ do obu stro (a 1,,a ) otrzymujemy Ê (a 1,,a )= vol (a 1,,a ), tz 1 = det yika z tego, øe det = 0 Macierz majπca liiowo iezaleøe kolumy jest odwzorowaiem surjektywym ( a ), tz dim im = Zewzoru dim ker + dim im = wyika wiíc, øe jπdro jest trywiale Odwzorowaie zadawae przez macierz jest bijekcjπ, jest wiíc odwracale Pukty (1) i (2) moøa zapisaê wspólie formu ujπc Fakt 1 Macierz jest odwracala wtedy i tylko wtedy, gdy det = 0 iemy juø sporo o wyzacziku, ale adal ie wiemy jak go liczyê - ie zamy kokretego wzoru, który wyraøa by wyzaczik w zaleøoúci od wyrazów macierzy róêmy wiíc do

4 4 defiicji Niech bídzie macierzπ o wyrazach a i j,tza i j jest i-tπ wspó rzídπ j-tej kolumy macierzy: a 1 1 a 1 2 a 1 a 2 1 a 2 2 a 2 =, a i = a 1 ie 1 + a 2 ie a ie V a 1 a 2 a (4) det =vol(a 1,a 2,,a )= ÿ vol (a 1 1e 1 + a 2 1e a 1e,a 2,,a )= a i 1 1 vol (e i1,a 2,,a )= i 1 =1 ÿ ÿ a i 1 1 a i 2 2 vol (e i1,e i2,,a )= i 1 =1 i 2 =1 ÿ ÿ ÿ a i 1 1 a i 2 2 a i vol (e i1,e i2,,e i ) i 1 =1 i 2 =1 i =1 iíkszoúê z liczb vol (e i1,e i2,,e i ) jest rówa zero Róøe od zera sπ tylko te, w których wszystkie argumety formy objítoúci sπ róøe Ozacza to, øe kaødy z elemetów bazy pojawia sií tylko raz w ciπgu (e i1,e i2,,e i ) takim przypadku forma objítoúci przyjmuje wartoúê 1 lub 1 w zaleøoúci od kolejoúci wektorów bazowych Ciπg ideksów (i 1,i 2,i ) przy wektorach bazowych zawiera kaødπ liczbí ze zbioru {1, 2,,} dok adie raz Jest wiíc permutacjπ (przestawieiem) ciπgu (1, 2,,) Ozacza to, øe suma (4) ma tak aprawdí sk adików, po jedym dla kaødej permutacji Zak + bπdü zaleøy od tego, czy daπ permutacjí moøa otrzymaê z uporzπdkowaia aturalego dokoujπc parzystej czy ieparzystej liczby traspozycji, (zak permutacji) zór a wyzaczik przyjmuje postaê (5) det = ÿ sg a (1) 1a (2) 2 a () Obejrzyjmy ajprostsze przyk ady wyzaczików: Przyk ad 1 yzaczik macierzy 2 2, tz œ K 2 2: C D a 1 = 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 π dwa uporzπdkowaia liczb {1, 2}, 1 2 id = 1 2 = Jet jase, øe sg id =1,sg = 1 Ostateczie C D a 1 det = det 1 a 1 2 a 2 1 a 2 =sgid a id(1) 1a id(2) 2 +sg a (1) 1a (2) 2 = a 1 1a 2 2 a 2 1a 1 2 2

5 Przyk ad 2 Niech teraz œ K 3 3 Zajmijmy sií ajpierw permutacjami Istieje 3 = 6 elemetów 3 Mamy sg sg sg =+1 sg =+1 sg =+1 sg = 1 = 1 = 1 5 Pos ugujπc sií powyøszπ tabelkπ moøemy apisaê wzór: det = a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 V = a 1 1a 2 2a a 2 1a 3 2a a 3 1a 1 2a 2 3 a 1 1a 3 2a 2 3 a 3 1a 2 2a 1 3 a 2 1a 1 2a 3 3 Poiewaø problem liczeia wyzaczika macierzy 3 3 pojawia sií bardzo czísto w zadaiach, wygodie jest zaleüê sposób zapamiítywaia powyøszego wzoru Niektórzy lubiπ pamiítaê obrazki Dodatie iloczyy symbolizujπ astípujπce obrazki V, V, V, ujeme V, V, V Ii wolπ tzw schemat arrusa w wersji poziomej (dodatie kropkowae, ujeme kreskowae) a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 2 1 a 2 2 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 3 1 a 3 2

6 6 a jeszcze ii schemat arrusa w wersji pioowej a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 1 1 a 1 2 a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 2 3 Przyk ad 3 yzaczik macierzy 4 4 ma 4 = 24 sk adiki - ie chce am sií wypisywaê explicite Zauwaømy, øe kaøda permutacja (bídπc bijekcjπ zbioru {1, 2,,} w siebie) jest odwracala, tz dla kaødego istieje fl takie, øe Chwila zastaowieia daje wiosek, øe fl = fl = id, tz fl = 1 sg =sg 1 Permutacja 1 sk ada sií z tych samych traspozycji co, tylko zastosowaych w odwrotej kolejoúci DziÍki temu moøemy udowodiê twierdzeie: Fakt 2 Dowód: Korzystamy ze wzoru: det = ÿ det = det sg a (1) 1a (2) 2 a () = i przestawiamy wyrazy w kaødym iloczyie a (1) 1a (2) 2 a () tak, aby by y uporzπdkowae zgodie z kolejoúciπ górych ideksów Otrzymujemy wtedy = ÿ sg a 1 1 (1)a 2 1 (2) a 1 () = Poiewaø kaøda permutacja ma odwrotπ, a zaki i 1 sπ takie same, moøemy sumowaê po 1 : = ÿ 1 sg 1 a 1 1 (1)a 2 1 (2) a 1 () = Jeúli teraz =,tob i j = a j i zatem = ÿ 1 sg 1 b 1 (1) 1 b 1 (2) 2 b 1 () =

7 7 Øeby uikπê iejasoúci ozaczamy wskaüik sumowaia przez fl i dostajemy = ÿ fl sg flb fl(1) 1b fl(2) 2 b fl() = det = det zór z permutacjami jest trochí ma o praktyczy Juø dla macierzy 4 4 sumowaê musimy 24 sk adiki arto wymyúleê jakiú wygodiejszy wzór poiøszych rozwaøaiach skorzystamy z faktu, øe wyzaczik jest wieloliiowy ze wzglídu a kolumy macierzy oraz øe ie zmieia sií jeúli do kolumy dodamy kombiacjí liiowπ pozosta ych Przyjrzyjmy sií bliøej tej drugiej w asoúci - do k-tej kolumy dodamy wielokrotoúê pierwszej: vol (a 1,a 2,,a k + a 1,,a )=vol(a 1,a 2,,a k,,a )+ vol (a 1,a 2,,a 1,,a ) Drugi sk adik sumy jest rówy zero, gdyø a miejscu k-tym i pierwszym stoi te sam wektor stalmy teraz macierz, jej kolumy a 1,a i ideks i œ{1, 2,,}: det =vol(a 1,a 2,,a i,,a )= Zapisujemy a i w bazie stadardowej: a i = a 1 ie 1 + a 2 ie a ie : ÿ =vol(a 1,a 2,,a 1 ie 1 + a 2 ie a ie,,a )= a j ivol (a 1,a 2,,e j,,a ) popatrzmy a k-ty sk adik powyøszej sumy: a k ivol (a 1,a 2,,e k,,a )=a k i det a 1 1 a a 1 a 2 1 a a 2 a k 1 a k 2 1 a k a 1 a 2 0 a Przy pomocy 1 w i-tej kolumie i k-tym wierszu moøa wyzerowaê prawie ca y k-ty wiersz odejmujπc od wszystkich kolum poza i-tπ wektor a k je k : = a k i vol (a 1,a 2,,e k,,a )= = V a k i vol (a 1 a k 1e k,a 2 a k 2e k,,e k,,a a k e k )= a 1 1 a a 1 a 2 1 a a 2 a k i det = V a 1 a 2 0 a

8 8 Przestawiamy teraz i-tπ kolumí a pierwsze miejsce zmieiajπc zak i 1 razy, a astípie k-ty wiersz a pierwsze miejsce zmieiajπc zak k 1razy: a 1 1 a 1 2 a 1 i 1 a 1 i+1 a 1 0 a 2 1 a 2 2 a 2 i 1 a 2 i+1 a 2 =( 1) i 1 ( 1) k 1 a k i det 0 a k 1 1 a k 1 2 a k 1 i 1 a k 1 i+1 a k 1 0 a k+1 1 a k+1 2 a k+1 i 1 a k+1 i+1 a k+1 V 0 a 1 a 2 a i 1 a i+1 a ez trudu stwierdzimy, øe ostati wyzaczik jest rówy wyzaczikowi macierzy ( 1) ( 1) postaci a 1 1 a 1 2 a 1 i 1 a 1 i+1 a 1 a 2 1 a 2 2 a 2 i 1 a 2 i+1 a 2 det a k 1 1 a k 1 2 a k 1 i 1 a k 1 i+1 a k 1 a k+1 1 a k+1 2 a k+1 i 1 a k+1 i+1 a k+1 V a 1 a 2 a i 1 a i+1 a yzaczik macierzy z wykreúloym k-tym wierszem i i-tπ kolumπ pomoøoy przez ( 1) k+i azywamy dope ieiem algebraiczym wyrazu a k i i ozaczamy i k ZwróÊmy uwagí a po oøeie ideksów stawiamy dotychczasowe ustaleia do poczπtkowego wzoru a wyzaczik i otrzymujemy ÿ det = a j i i j Powyøszy wzór azywa sií RozwiiÍciem Laplace a wzglídem i-tej kolumy Z iezmieiczoúci wyzaczika wzglídem traspozycji wyika, øe moøa rozwijaê takøe wzglídem wiersza, wtedy rozwiiície Laplace a ma postaê (rozwiiície wzglídem j-tego wiersza) ÿ det = a j k k j k=1 RozwiiÍcie Laplace a wykorzystaê moøa do wyprowadzeia dwóch poøyteczych wzorów: wzoru a macierz odwrotπ i tzwwzorów Cramera dotyczπcych problemu rozwiπzywaia iezdegeerowaych uk adów rówaò liiowych zór a macierz odwrotπ Niech bídzie macierzπ takπ, øe det = 0 tedy, jak wiadomo, istieje 1 Ozaczmy przez D macierz D = V 1 2

9 zwaπ macierzπ dope ieò algebraiczych albo macierzπ do πczoπ Obliczmy iloczy D : a 1 1 a 1 2 a 1 1 D a 2 1 a 2 2 a = V V a 1 a 2 a 1 2 yraz diagoaly a pozycji ú k k ma postaê: ÿ a k j j k = det skorzystaliúmy z rozwiiícia Laplace a yraz pozadiagoaly ú k l dla k = l ma postaê ÿ a k j j l Powyøsza suma jest rówa zero, gdyø zgodie z rozwiiíciem Laplace a jest to wyzaczik macierzy w której w k-tym i l-tym wierszu stoi te sam k-ty wiersz wyjúciowej macierzy Otrzymujemy wiíc D = det 1 Podobie okazuje sií, øe D = det 1 uzasadieiu wykorzystuje sií rozwiiície Laplace a wzglídem kolumy, a ie wiersza te sposób uzyskujemy wzór: Fakt 3 Jeúli det = 0to 1 = 1 det D zory Cramera Niech teraz bídzie macierzπ uk adu rówaò: Y a 1 1x 1 + a 1 2x a 1 x = b 1 _] a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 x = b 2 x = b _[ a 1x 1 + a 2x a x = b Jeúli det jest róøe od zera to istieje 1 i uk ad rówaò ma jedo rozwiπzaie: x = 1 b Korzystajπc ze wzoru a macierz odwrotπ stwierdzamy, øe k-ta wspó rzída wektora x ma postaê x k = 1 ÿ k lb l det Ze wzoru a rozwiiície Laplace a wzglídem k-tej kolumy wyika, øe ÿ k lb l 9

10 10 jest wyzaczikiem macierzy wktórejk-tπ kolumí podmieioo a wyraz woly: a 1 1 a 1 2 b 1 a 1 ÿ k lb l a 2 1 a 2 2 b 2 a 2 = det V a 1 a 2 b a