8.6 Wieloformy, wielowektory, Gwiazdka Hodge a

Transkrypt

1 86 Wieloformy wielowektory Gwiazdka Hodge a Materia zawarty w tym podrozdziale omówiony zostanie na Êwiczeniach W bardzo podobny sposób do tego w jaki definiowaliúmy wieloformy na przestrzeni wektorowej zdefiniowaê moøna wielowektory Skorzystamy tu z prawdziwego dla skoòczeniewymiarowych przestrzeni wektorowych faktu iø (V ú ) ú jest kanonicznie izomorficzna z V Moøemy zamieniê rolami V i V ú traktujπc V jako zbiór funkcji liniowych na V ú i rozwaøaê takøe zbiór funkcji wieloliniowych antysymetrycznych na V ú czyli wk V Swój odpowiednik wektorowy ma teø konstrukcja iloczynu zewnítrznego W jízyku tensorowym mamy oraz v v 2 v k ÿ v w w w w v œs k sgn v () v (2) v (k) Poniewaø (V V ) ú ƒ V ú V ú moøemy obliczyê na v w È v wí È v w w ví (v) (w) (w) (v) (v) (w)+ (w) (v) 2[ (v) (w) (w) (v)] i ogólnie È 2 k v v 2 v n Í k! ÿ œs k sgn (v () ) k (v (k) ) Oznacza to øe jeúli e i sπ parπ baz dualnych w V i V ú to uk ady e i e i2 e ik j j2 j k dla i <i 2 < <i k j <j 2 < <j k nie sπ parπ baz dualnych Gdzieú trzeba podzieliê przez k! Majπc iloczyn skalarny g na V moøemy utoøsamiaê wektory z kowektorami przy pomocy izomorfizmu G Iloczyn skalarny moøemy wprowadziê takøe na V ú g(v w) (v w) ÈG(v)wÍ G ij v i v j g( ) ( ) È G ( )Í G ij i j Zgodnie z konwencjπ G ij to wyrazy macierzowe macierzy odwrotnej do G Izomorfizmy G i G moøemy rozszerzyê na dowolne iloczyny tensorowe Na przyk ad jeúli œ V ú V ú to G ( ) G ( ) G ( ) œ V V Zak adajπc øe rozszerzenie jest liniowe otrzymujemy G ( i i 2 i k i i 2 i k ) i i 2 G i j G i 2j2 G i kj k e j e j2 e jk Korzystajπc z rozszerzenia G i G definiujemy iloczyn skalarny na przestrzeni kform wk V ú wzorem ( 2 k 2 k ) k! ÈG ( ) G ( 2 ) G ( k ) 2 k Í na dowolne wieloformy (niekoniecznie proste) rozszerzamy poprzez warunek liniowoúci Gwiazdka Hodge a Na rozmaitoúci M z metrykπ g mamy iloczyn skalarny na kaødej przestrzeni stycznej zatem wszystko o czym by a mowa prawdziwe jest punkt po punkcie Jeúli 62

2 dodatkowo rozmaitoúê jest zorientowana i w zwiπzku z tym wyposaøona w kanonicznπ formí objítoúci zdefiniowaê moøna przydatne odwzorowanie ú apple k (M) æ apple n k (M) wzorem ú k! ı G ( )apple Mamy tu do czynienia z pewnπ kolizjπ oznaczeò apple k oznacza zbiór kform ma M i jednoczeúnie apple jest formπ objetoúci MyúlÍ jednak øe damy radí odróøniaê o którπ omegí kiedy chodzi Sprawdümy najpierw jak nasza definicja dzia a w praktyce Zaczniemy od najprostszego przypadku M R 3 orientacja kanoniczna iloczyn skalarny kanoniczny G appledx dx 2 dx 3 údx ı G (dx )dx dx 2 dx 3 ıˆdx dx 2 dx 3 dx 2 dx 3 údx 2 ı G (dx 2 )dx dx 2 dx 3 ıˆ2dx dx 2 dx 3 dx dx 3 údx 3 ı G (dx 3 )dx dx 2 dx 3 ıˆ3dx dx 2 dx 3 dx dx 2 ú(dx dx 2 ) 2 ı G (dx dx 2 )dx dx 2 dx 3 ıˆ ˆ2dx dx 2 dx dx3 Popatrzmy teraz na rachunki w uk adzie sferycznym appler 2 sin Ë dr dë dï G S W U údr ıˆrapple r 2 sin Ë dë dï r r 2 sin 2 Ë údë ı r 2 ˆrapple r 2 ıˆëapple sin Ëdr dï údï ıˆïapple dr dë r 2 sin 2 Ë sin Ë údr dë 2 r ıˆr ˆËapple sin ËdÏ 2 T X V Zauwaømy øe Z drugiej strony na R 2 úúdx údx 2 dx 3 dx 3 úúdr dï ú 4 sin Ë dë dr dï údx dx 2 údx 2 dx úúdx údx 2 dx Wydaje sií wiíc øe z oøenie úú jest równe identycznoúci z dok adnoúciπ do znaku Znak ten musi mieê coú wspólnego z rzídem formy i wymiarem przestrzeni Fakt 4 Zachodzπ nastípujπce równoúci ú apple 63

3 2 úapple 3 úú ( ) k(n k) œ apple k (M) 4 ú ( )apple œ apple k (M) Dowód Zauwaømy øe ú jest operacjπ punktowπ zatem moøna wybraê wygodny uk ad wspó rzídnych W tym przypadku jest to taki uk ad wspó rzídnych dla którego w ustalonym punkcie baza (ˆˆ2ˆn) jest ortonormalna PracowaÊ bídziemy w takim uk adzie wspó rzídnych Wtedy G (dx i )ˆi Zaczynamy od dowodu punktu (3) Kaøda kforma jest kombinacjπ liniowπ form bazowych dx i dx i2 dx i k z funkcyjnymi wspó czynnikami ú jest liniowa nad funkcjami wiíc moøna sprawdziê tylko na formach bazowych Za óømy øe i <i 2 < <i k údx i dx i2 dx i k k! ıˆi ˆi2 ˆik dx dx n sgn dx i k+ dx i k+2 dx in gdzie i k+ <i k+2 < <i n oraz jest permutacjπ A 2 k k + n i i 2 i k i k+ i n B Aplikujemy ú drugi raz úúdx i dx i2 dx i k úsgn dx i k+ dx i k+2 dx in sgn sgn fl dx i dx i2 dx i k Permutacja fl ma postaê A 2 n k n k + n fl i k+ i k+2 i n i i k B Pozostaje do obliczenia sgn sgn fl PamiÍtajπc øe znak jest homomorfizmem grupy permutacji w grupí { } z mnoøeniem zauwaøamy øe sgn sgn fl sgnfl sgn sgnfl sgn sgn(fl ) Ostatnie z oøenie jest permutacjπ A fl i i 2 i k n i k n+ n i k+ i k+2 i n i i k B której znak jest równy ( ) k(n k) Dla dowodu punktu (2) zauwaømy øe G (apple) ˆ ˆ2 ˆn dalej úapple n! ı(ˆ ˆ2 ˆn)apple n! n! Punkt () wynika z (3) i (2) a w aúciwie jest jedynπ sensownπ definicjπ gwiazdki zeroformy która pasuje do pozosta ych wzorów W punkcie (4) zauwaømy øe obie strony sπ dwuliniowe moøna wiíc sprawdzaê na formach bazowych Niech wiíc dx i dx i2 dx i k i dx j dx j2 dx j k Forma ú jest z dok adnoúciπ do znaku iloczynem zewnítrznym róøniczek 64

4 dx j k+ dx j k+2 dx j n gdzie {j j 2 j k j k+ j n } { 2n} W tej sytuacji ú jest róøna od zera jedynie gdy {i i k } {j j k } Jeúli dodatkowo za oøymy naturalne uporzπdkowanie indeksów oznacza to øe i l j l dla l k and Podobnie ( ) jest róøna od zera jedynie gdy gdyø ( ) k! ıˆi dx j dx j2 dx j k ˆik Ostatecznie gdy prawa strona to ( )apple apple a lewa ú sgn dx i dx i2 dx ik dx i k+ dx i k+2 dx in (sgn ) 2 apple Dla porzπdku zapiszmy øe jet permutacjπ A 2 k k + n i i 2 i k i k+ i n B 9 Róøniczkowanie pól i form 9 Pochodna Liego Zanim przejdziemy do w aúciwej czíúci wyk adu wypada wspomnieê osobí kora uøyczy a nazwiska badanemu dziú przez nas pojíciu Marius Sophus Lie ( ) by matematykiem norweskim Jego badania i osiπgniícia stanowiπ podstawí dzisiejszej geometrii róøniczkowej Sophus Lie zajmowa sií miídzy innymi badaniem równaò róøniczkowych zwyczajnych i czπstkowych Studiowanie struktury a zw aszcza symetrii równaò róøniczkowych da o poczπtek miídzy innymi teorii grup i algebr Liego W geometrii róøniczkowej interesuje nas czísto jak dane pole tensorowe zmienia sií od punktu do punktu na rozmaitoúci A w aúciwie czíúciej chodzi o to czy sπ jakieú kierunki w których sií nie zmienia Tu jednak napotykamy na pierwszπ pojíciowπ trudnoúê zazwyczaj nie wiadomo jak porównywaê rozmaite pola (pola wektorowe formy róøniczkowe) miídzy punktami na rozmaitoúci Moøemy porównywaê wartoúci funkcji w róønych punktach ale nie moøemy porównywaê wartoúci pola wektorowego w róønych punktach Wiadomo co to znaczy funkcja f jest sta a na M ale nie wiadomo co to jest sta e pole wektorowe Na przyk ad na sferze dwuwymiarowej we wspó rzídnych (Ë Ï) pole wektorowe X ˆÏ bylibyúmy byê moøe sk onni uznaê za sta e ale to samo pole wektorowe we wspó rzídnych stereograficznych wyglπda juø zupe nie inaczej ˆÏ xˆy + yˆx i pomys z nazwaniem go sta ym polem wydaje sií cokolwiek dziwny Róønica polega na tym øe wiπzka M R æ M której ciíciem jest funkcja jest trywialna i wartoúci funkcji w roønych punktach naleøπ do tej samej przestrzeni Wiπzka której ciíciem jest pole wektorowe M TM æ M juø trywialna nie jest wartoúci w róønych punktach naleøπ do róønych przestrzeni stycznych Przestrzenie te sπ co prawda izomorficzne ale nie 65

5 DEFINICJA Jednoparametrowq ayfeomorfiamor grupq M me y Rxm (r ) ttelr (2) faster (3) tq y ( 0 M takie ze yty It ) jest dyfeomarfismem tqe M y ( s 448 ) ( ytj Yes Ylttsi 8) ' y ± wektonowe dyfeomorfizmow defininge pole gvupe yo idm ton %) q Jednoparametrowa gradkie naaywamy Odwsovowanie Hq)oFt o YHPD Pole to jest Ts( l9 ' rjestotuarty wynazeeeie kmywa 2e wzglgdu me )a l oys(9d9'foothills Odwsovaoanie takze mieamiennicse y R po pvawq defining pole otocseniu dyfeomorfiamow i 0 jest test Tys ( (qdx( yscq ) ) # (9) tofzhohlyslql ) ( lokalne tez do olyfeomarfizmor grupq jest spetniony lewejswonie wektorowe e w (3) waounek M tzn y waounek a (2) owwby wyubyi wektona sdefiuiowauie odwnotnie Wg pole wektonowe jesli Istotnie Yscql ) Ro{ ojxm spetuiony wteay gay Lokalnegrupa olyfeomovfizmow stycsnego wystarcsy defining e lokaluq µ Krociutka qrupq "

6 3 3 Wzor now ndznicskq jedhoformy J wetqm xerym ) X lr2 M it koxti0 ) f# # to "x(to ) settles okcoiw) ftpgl/lhiodt0mxttodoysygoc&(xlqsdt40k(osdrachunkiemwewsp5lmqdnyohspraw0bamyzewzivjestpoprawny&xicx)dxitoisxtiwwtfxtxilts)jesttakiezeofxi(90)viexicqqwitaax(qs)ztxilasoeit0mxfto)3fxicto)3xiokgwtootthfdilxltodzsxittpdoistsokfxcasdeoxkasd3ftztxkcqoo3xicqo+ailx6pdetsxil0p3fi3fx99dexyop)+ 3dg dj( ( 90) }s t t( 00 ) (a) okwi upraszaasigmeskuteksymewii pahoduycli wlvt 3ft ( (at agstkowych (a) ) vkwi ok dmgich Jak to siq vizniodwsoru Cartons?

7 Collin POCHODNA LIEGO OEDNOFORMY DEFNKOA x( g) figo ftpyxcovl 49 ) ) TWIERDZENIE x DOWJD dixxtixdd Niech JETQM niechtakze s 86 ) bgdzie Kmywqveprezeutujpcg v Weoimy XA s)q( Ks ) ) yx ** # se I Htm tn#tpdgtsho4cxgsdttyn0k(0sd y+(q fxcs ) off Cixdxkv )dx( Hq ) vj h K( XHM ) k 4407 o H( rls )) Hhs )) ) X( Hs ) ) oek 4iYo > < ) rs cixda v)o h 4 in < die 'd > adid+ixd& A

8 Jest doúê oczywiste øe L X f Xf df(x) ı(x)df Sprawdzimy teraz jak pochodna Liego dzia a na iloczyn f Iloczyn funkcji i jednoformy to teø jednoforma wiíc moøemy uøyê úwieøo wyprowadzonego wzoru L X (f )ı(x)d(f )+dı(x)(f )ı(x)(df + fd )+d(fı(x) ) (ı(x)df) (ı(x) )df + fı(x)d + ı(x) )df + fd(ı(x) ) Uzyskaliúmy coú w rodzaju regu y Leibniza (L X f) + f (ı(x)d + d(ı(x) )) (L X f) + fl X L X (f )(L X f) + fl X o Pora rozszerzyê pojície pochodnej Liego na wieloformy Formalnie definicja wyglπda identycznie Definicja 26 Pochodnπ Liego kformy Ê w kierunki pola X nazywamy kformí której wartoúê w punkcie q dana jest wzorem (L X Ê)(q) lim t ((Ïú t Ê)(q) Ê(q)) Zobaczmy jak to dzia a na iloczynie zewnítrznym L X ( ) lim (Ï ú t ( ) ) lim (Ï ú t Ï ú t Ï ú t + Ï ú t ) lim (Ï ú t (Ï ú t )++(Ï ú t ) ) A B Ï lim Ï ú ú 3 t t Ï ú 4 + lim t t t (L X ) + L X ( ) Tym razem to juø nie coú w rodzaju tylko poprostu regu a Leibniza Wyglπda na to øe pochodna Liego jest róøniczkowaniem algebry zewnítrznej form róøniczkowych Ze wzglídu na przemiennoúê d i pullbacku obowiπzuje takøe wzór L X dê dl X Ê Wzór wyprowadzony wczeúniej dla jednoform okazuje sií obowiπzywaê takøe dla wieloform Rachunek przeprowadzimy na wspó rzídnych i skorzystamy z liniowoúci L X (fdx i dx i k ) (L X f)(dx i dx i k )+f dx i L X dx ij dx i k j (Xf)dx i dx i k + f dx i dx ij dx i k (28) j 70

9 ı(x)d(fdx i dx i k )ı(x)df dx i dx i k Q R (Xf)dx i dx i k + df a ( ) j X i j dx i dx i j dx i k b (29) d(ı(x)fdx i dx i k ) j d(f ( ) j X i j dx i dx i j dx i k j Q R df a ( ) j X i j dx i dx i j dx i k b + f dx i dx ij dx i k (30) j j Dodajπc (29) i(30) otrzymujemy (28) gdyø wyrazy zaznaczone na zielono upraszczajπ sií Poodsumujmy w asnoúci pochodnej Liego w dzia aniu na formy róøniczkowe Fakt 5 Pochodna Liego kformy jest kformπ 2 Pochodna Liego jest operacjπ liniowπ tzn dla a b œ R L X (a + b ) al X + bl X 3 Spe niona jest regu π Leibniza L X ( ) (L X ) + L X 4 W dzia aniu na formy prawdziwy jest wzór L X ı(x)d + dı(x) Pozostaje sprawdzenie jak pochodna Liego dzia a na pola wektorowe Definicja 27 L X Y lim t (TÏ t(y (Ï t (q))) Y (q)) Zgodnie z definicjπ transportujemy wartoúê pola Y z punktu Ï t (q) do punktu q Tymrazem musimy uøyê odwzorowania stycznego TÏ t Powsta π krzywa jest krzywπ w przestrzeni wektorowej T q M WartoúÊ pochodnej Liego to wektor styczny do tej krzywej Fakt 6 Dowód L X Y [X Y ] (L X Y )f lim t (TÏ t(y (Ï t (q)))f Y (q)f) lim t (TÏ t(y (Ï t (q)))f Y (Ï t (q))f + Y (Ï t (q))f Y (q)f) Fragment zaznaczony na czerwono to lim t (Y (Ï t(q))f Y (q)f) X(Yf) Fragment zaznaczony na niebiesko to A B f lim t (TÏ Ï t f t(y (Ï t (q)))f Y (Ï t (q))f) lim Y (Ï t (q))) Y (Xf) t Ostatecznie Z dowolnoúci f wynika teza L X Yf X(Yf) Y (Xf)[X Y ]f 7

10