W. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "W. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1"

Transkrypt

1 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych spełiających jedocześie astępujące trzy waruki: w rozważaych liczbach występują wyłączie cyfry 1, i 3, każda cyfra 1, i 3 występuje co ajmiej jede raz, cyfry występują w rozważaej liczbie w kolejości iemalejącej, tz. wszystkie cyfry 1 występują przed wszystkimi cyframi i 3 oraz wszystkie cyfry występują przed wszystkimi cyframi 3. Przykładowe takie liczby: , 13, Zadaie 3. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych spełiających jedocześie astępujące dwa waruki: w rozważaych liczbach występują wyłączie cyfry 1, i 3, cyfry występują w rozważaej liczbie w kolejości iemalejącej, tz. wszystkie cyfry 1 występują przed wszystkimi cyframi i 3 oraz wszystkie cyfry występują przed wszystkimi cyframi 3. Przykładowe takie liczby (oprócz trzech przykładowych liczb pokazaych w zadaiu : , , 3. Oczywiście zadaia i 3 są podobe. Co jedak ma z imi wspólego zadaie 1? Okaże się, że istieje wspóla metoda rozwiązaia tych trzech zadań. Na razie jedak zajmijmy się ajbardziej aturalymi rozwiązaiami tych zadań. W rozwiązaiach tych trzech zadań będziemy korzystać z dwóch reguł kombiatoryczych (reguły dodawaia i reguły możeia oraz z pojęcia współczyika dwumiaowego (tzw. symbolu Newtoa. Reguły dodawaia i możeia zostały dokładie opisae w omówieiu zadaia 41 z Iformatora (część podstawowa. Tutaj omówię własości współczyików dwumiaowych. Współczyiki dwumiaowe możemy defiiować a wiele sposobów. Jede sposób polega a zdefiiowaiu ich wzorem: ( k! k! ( k! dla i k takich, że 0 k. Iy polega a zdefiiowaiu współczyika ( k jako liczby k-elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego (często przy tym używamy termiologii kombiatoryczej, mówiąc o k-elemetowych kombiacjach ze zbioru -elemetowego. W pierwszym sposobie defiiowaia współczyików dwumiaowych ie podkreśla się w ależyty sposób, że jest to pojęcie ie tyle algebraicze, ale kombiatorycze. Drugi sposób defiiowaia wymaga od uczia zapozaia się z pojęciem zbioru i podzbioru. Oczywiście te pojęcia będziemy musieli wprowadzić w czasie auki

2 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy kombiatoryki, ale chyba dydaktyczie lepiej jest ie opierać jedej z ajważiejszych defiicji a pojęciach, które dla ucziów są owe i iedostateczie przyswojoe. Opiszę tutaj mój ulubioy sposób wprowadzaia współczyików dwumiaowych. Po raz pierwszy ucziowie stykają się ze współczyikami dwumiaowymi przy okazji wzorów skrócoego możeia. Najpierw wyprowadzam wzory a kwadrat i sześcia sumy: (a + b a + ab + b, (a + b 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3. Następie proszę ucziów, by w domu w podoby sposób wyprowadzili kilka astępych wzorów: (a + b 4 a 4 + 4a 3 b + a b + 4ab 3 + b 4, (a + b 5 a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5, (a + b a + a 5 b + 15a 4 b + 0a 3 b a b 4 + ab 5 + b, (a + b 7 a 7 + 7a b + 1a 5 b + 35a 4 b a 3 b 4 + 1a b 5 + 7ab + b 7, (a + b 8 a 8 + 8a 7 b + 8a b + 5a 5 b a 4 b 4 + 5a 3 b 5 + 8a b + 8ab 7 + b 8. Ucziowie dostrzegają regułę. Po prawej stroie wzoru a (a + b mamy zawsze sumę podobie wyglądających składików: pierwszym jest a (czyli a b 0, w każdym astępym potęgi a maleją, a potęgi b rosą i tak aż do ostatiego składika, którym jest b (czyli a 0 b. Zagadką atomiast pozostają współczyiki. Wyjaśiam ucziom, że oe biorą się z tzw. trójkąta Pascala, który wypisujemy a tablicy: Podaję wtedy ucziom zasadę tworzeia kolejych wierszy: zaczyamy i kończymy każdy wiersz jedyką; każda z pozostałych liczb jest sumą dwóch liczb sąsiadujących z ią jede wiersz wyżej. Nie podaję wtedy wzoru a współczyiki dwumiaowe; zostawiam to a późiej, gdy zaczyam uczyć kombiatoryki. Naukę kombiatoryki rozpoczyam od wprowadzeia reguł możeia i dodawaia (jak wspomiałem wyżej, opisałem je dokładiej w omówieiu zadaia 41 z Iformatora.

3 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 3 Lekcję dotyczącą współczyików dwumiaowych rozpoczyam od wprowadzeia pojęcia ciągu zerojedykowego: jest to ciąg liczb, którego każdy wyraz jest zerem lub jedyką. Dopuszczale jest też, by któraś z tych liczb w ciągu ie wystąpiła. Takie ciągi zapisujemy bez przecików oddzielających koleje wyrazy. Po kilku przykładach proszę ucziów, by w domu wypisali wszystkie ciągi zerojedykowe długości, 3, 4 i 5 (czasem awet też długości oraz pogrupowali je według liczby jedyek w ciągu oraz odpowiedzieli a pytaie, ile jest ciągów zerojedykowych długości (gdzie 1 5, w których jest k jedyek (gdzie 0 k. Łatwo grupujemy ciągi długości 1 i : oraz Ciągi długości 3 grupujemy w czterech kolumach: Dla przykładu pokażę jeszcze pogrupowae ciągi długości 5: Ucziowie, którzy prawidłowo wykoają zadaie domowe (a więc a przykład ie zgubią iektórych ciągów, co często się zdarza, zauważają, że zalezioe liczby tworzą zay im trójkąt Pascala. Teraz wprowadzam ozaczeie: symbol ( k ozacza liczbę stojącą w wierszu o umerze a miejscu o umerze k; zwracam uwagę a to, że umeracja wierszy zaczya się od jedyki, a umeracja liczb w wierszach zaczya się od zera. Mamy zatem: ( 5 0 ( 1 ( 1 ( 0 1 ( ( ( ( 3 ( 3 ( 3 ( ( 4 ( 4 ( 3 ( 4 0 ( ( 5 ( 3 ( 5 (

4 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 4 Mamy także kombiatoryczą defiicję współczyika dwumiaowego: liczba ( k jest rówa liczbie ciągów zerojedykowych długości, w których jest k jedyek. Przypomiam zasadę tworzeia trójkąta Pascala: każdy wiersz zaczya się i kończy jedyką oraz każda z pozostałych liczb w daym wierszu jest sumą dwóch liczb sąsiadujących z ią jede wiersz wyżej. Tę zasadę możemy sformułować w postaci twierdzeia. Twierdzeie 1. Dla dowolego 1 mamy: ( ( 1. 0 Poadto dla dowolego i dowolego k takiego, że 0 < k < mamy ( ( ( k k 1 k Dowód. Rówość ( 0 1 wyika stąd, że istieje dokładie jede ciąg zerojedykowy długości ( mający 0 jedyek, miaowicie ciąg składający się z samych zer. Podobie 1, bo tylko jede ciąg zerojedykowy długości ma jedyek; jest to ciąg składający się z samych jedyek. Przypuśćmy teraz, że mamy liczby i k takie, że oraz 0 < k <. Wyobrażamy sobie, że wszystkie ciągi zerojedykowe długości i mające k jedyek wypisujemy w dwóch kolumach. W pierwszej kolumie zajdą się te ciągi, w których ostati wyraz jest rówy 1. W drugiej kolumie zajdą się te ciągi, w których ostati wyraz jest rówy 0. Popatrzmy a przykład. Niech i k 4. Oto wszystkie ciągi zerojedykowe długości, w których występują 4 jedyki: Ostatie wyrazy tych ciągów zostały oddzieloe kreską. W pierwszej kolumie mamy ciągi kończące się jedyką, w drugiej mamy ciągi kończące się zerem. Zauważmy, że przed kreską mamy w pierwszej kolumie wszystkie możliwe ciągi zerojedykowe długości 5 z trzema jedykami, a w drugiej wszystkie możliwe ciągi zerojedykowe długości 5 z czterema jedykami. A więc w aszym przykładzie mamy rówość ( ( ( Popatrzmy teraz a te ciągi w całej ogólości. Najpierw we wszystkich ciągach z pierwszej kolumy skreślmy ostatią jedykę otrzymamy wszystkie możliwe ciągi zerojedykowe długości 1 mające k 1 jedyek (pamiętajmy, że jedą z k jedyek

5 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 5 skreśliliśmy. Następie we wszystkich ciągach w drugiej kolumie skreślmy ostatie zero otrzymamy wszystkie ciągi zerojedykowe długości mające k jedyek. Zatem z defiicji współczyika dwumiaowego wyika, że w pierwszej kolumie zajduje się ( 1 k 1 ( ciągów zerojedykowych, a w drugiej zajduje się 1 ciągów. Podsumujmy: w obu kolumach razem mamy wszystkie ciągi zerojedykowe długości, w których jest k jedyek, zatem w obu kolumach razem zajduje się ( k ciągów, w pierwszej kolumie zajduje się ( 1 k 1 ciągów, w drugiej kolumie zajduje się ( 1 k ciągów, żade ciąg ie występuje w obu kolumach. Z reguły dodawaia wyika zatem, że ( ( 1 + k k To kończy dowód twierdzeia. ( 1. k 1 Ciągi zerojedykowe mają wiele dobrych iterpretacji. Ciąg zerojedykowy długości, w którym jest k jedyek wskazuje pewie sposób wybieraia k obiektów spośród obiektów. Numerujemy miaowicie wszystkie obiekty liczbami od 1 do i wybieramy obiekty o tych umerach, a których miejscach w aszym ciągu zerojedykowym stoi jedyka. Zatem współczyik dwumiaowy ( k jest rówy liczbie sposobów wybraia k obiektów spośród obiektów. Iaczej mówiąc, jest to liczba k-elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. Naturalym pytaiem jest to, w jaki sposób możemy obliczać współczyiki dwumiaowe. Dla małych możemy po prostu wypisać kilka początkowych wierszy trójkąta Pascala. Chcielibyśmy jedak mieć wzór pozwalający obliczać dowole współczyiki dwumiaowe. Taki wzór wyprowadzam z astępującego twierdzeia. Twierdzeie. Dae są liczby aturale k i takie, że 1 k. Wówczas ( ( 1 k. k k 1 Dowód. Rozważamy wszystkie ciągi zdefiiowae w astępujący sposób: ciąg ma długość oraz wśród jego wyrazów jest k 1 jedyek, jeda dwójka i wszystkie pozostałe wyrazy są zerami. Pomysł rozumowaia polega a tym, by tak zdefiiowae ciągi zliczyć dwoma sposobami. Poieważ liczba tych ciągów ie zależy oczywiście od sposobu zliczaia, więc otrzymae dwie liczby będą rówe. Oba sposoby zliczaia polegają tak aprawdę a tym, by policzyć, a ile sposobów możemy taki ciąg skostruować. Sposób 1. Najpierw tworzymy ciąg zerojedykowy długości, w którym jest k jedyek (z defiicji współczyika dwumiaowego możemy to zrobić a ( k sposobów, a astępie jedą jedykę zamieiamy a dwójkę (poieważ jest k jedyek, więc iezależie od tego, a których miejscach oe stoją w aszym ciągu, możemy to zrobić a k sposobów. Z reguły możeia wyika, że istieje k ( k ciągów rozważaej postaci. k

6 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy Sposób. Najpierw wybieramy miejsce, a którym wpiszemy dwójkę. Możemy to miejsce wybrać a sposobów. Pozostaje 1 miejsc; możemy je potraktować jako miejsca, w które wpiszemy wyrazy ciągu zerojedykowego długości 1, w którym jest k 1 jedyek. Z defiicji współczyika dwumiaowego wiemy, że istieje ( 1 k 1 takich ciągów. Zów korzystamy z reguły możeia i stwierdzamy, że istieje ( 1 k 1 ciągów rozważaej postaci. Jak wspomiałem, iezależie od sposobu zliczaia elemetów, musimy otrzymać te sam wyik. Mamy zatem rówość ( ( 1 k, k k 1 co kończy dowód twierdzeia. Powyższy dowód prowokuje do astępującego kometarza. Użycie ciągów zerojedykowych pozwala a pokazaie w trakcie dowodu łatwego przykładu dobrze ilustrującego główy pomysł. Oczywiście moża zrobić to samo z podzbiorami zbioru sześcioelemetowego, ale moim zdaiem użycie ciągów jest bardziej czytele dla uczia. Wiosek. Dae są liczby aturale k i takie, że 1 k. Wówczas ( ( 1 k k. k 1 Z tego wiosku wyprowadzam kilka wzorów, z których korzystamy ajczęściej (zakładam tutaj, że 3: ( ( , 0 ( ( 1 ( 1 ( 1, 1 ( ( ( 1( ( 1(. 3 Te sposób obliczaia współczyików dwumiaowych ilustruję jedym zadaiem. Zadaie. Na ile sposobów moża wybrać różych liczb spośród liczb od 1 do 49? Rozwiązaie. Z defiicji wiemy, że liczba takich podzbiorów jest rówa ( 49. Korzystając kilkakrotie z powyższego wzoru oraz ze zaego am już wzoru ( 0 1, otrzymujemy: ( ( ( ( ( ( (

7 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 7 Po skróceiu ułamka (bo: 48 4 oraz , otrzymujemy ( Nietrudo uogólić to rozumowaie, by otrzymać wzór ogóly a współczyik dwumiaowy ( k. Ścisłe rozumowaie wymaga idukcji matematyczej. Ale możemy przekoać ucziów o słuszości wzoru a podstawie kilku przykładów pokazujących w istocie to samo rozumowaie lub za pomocą obliczeia: ( ( 1 k k k 1 k 1 ( k 1 k k 1 k 1 ( 3 k k 3... k 1 k 1 k... k k 1 k 1 k... k ( k k k 1 ( 1 (... ( k + 1. k! Zajomość wzoru ogólego jest oczywiście bardzo przydata w obu postaciach: ( ( 1 (... ( k + 1 k k! oraz ( k ( 1 (... ( k + 1 k! ( 1 (... ( k + 1 ( k ( k k! ( k ( k ( 1 (... ( k + 1 ( k ( k k! ( k!! k! ( k!. Proszę jedak ucziów, by zapamiętali kilka szczególych przypadków tego wzoru i by w tych przypadkach ie odwoływali się do wzoru ogólego. Przypomiam te wyprowadzoe wyżej ajważiejsze przypadki: ( ( ( ( 1 ( 1(,,. 1 3

8 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 8 Te wstęp chcę zakończyć kilkoma ogólymi uwagami dotyczącymi auczaia kombiatoryki. Po pierwsze, kombiatoryka to ie tylko permutacje, kombiacje i wariacje (z powtórzeiami lub bez i wzory a liczbę tych obiektów. Tych pojęć a lekcji wręcz ie omawiam. Kombiatoryka (przyajmiej w zakresie obowiązującym w szkole to przede wszystkim sztuka zliczaia elemetów zbiorów skończoych. Chciałbym, by ucziowie auczyli się tej sztuki korzystając z ajprostszych zasad te sposób myśleia przyda im się w dalszej auce kombiatoryki, bardziej iż wyłączie umiejętość rozpozawaia wybraych obiektów kombiatoryczych (wspomiae permutacje, kombiacje i wariacje. Każde zadaie, w którym korzysta się z gotowych wzorów a przykład a liczbę wariacji, moża bardzo łatwo rozwiązać bezpośredio z reguły możeia ale ie a odwrót. Istieje także wiele zadań, które moża łatwo rozwiązać za pomocą rozumowaia kombiatoryczego i trudo rozwiązać iym sposobem. Przykładem jest astępująca tożsamość: ( + 0 ( + 1 ( ( ( (. Dowód polega a zliczaiu dwoma sposobami ciągów zerojedykowych długości mających jedyek. Z jedej stroy jest ich oczywiście (. To jest prawa stroa wzoru. Z drugiej stroy patrzymy a liczbę jedyek wśród pierwszych wyrazów ciągu jest to liczba od 0 do. Dla każdej liczby k takiej, że 0 k policzymy ciągi mające k jedyek. Jeśli wśród pierwszych wyrazów ciągu jest k jedyek, to wśród ostatich wyrazów jest k jedyek. Istieje ( ( k ciągów mających k jedyek. Istieje astępie k ciągów mających k jedyek. Nietrudo zauważyć, że prawdziwa jest rówość ( k (. k Istieje zatem ( k ciągów mających k jedyek. Bierzemy teraz dwa ciągi: jede mający k jedyek i jede mający k jedyek, a astępie łączymy w jede ciąg zerojedykowy długości mający jedyek. Reguła możeia mówi, że możemy to zrobić a ( ( k sposobów. Pokazaliśmy zatem, że istieje k ciągów zerojedykowych długości, w których jest jedyek umieszczoych tak, że w pierwszej połowie ciągu zajduje się k jedyek. Teraz reguła dodawaia mówi, że tak otrzymae liczby mamy dodać; to daje lewą stroę wzoru. W te sposób dowód wzoru został zakończoy. Oczywiście istieje także dowód czysto rachukowy; jest o jedak bardziej skomplikoway. Po tym wstępie przejdźmy do rozwiązaia aszych trzech zadań. Najpierw zajmijmy się zadaiem 1. Jedak zaim je rozwiążemy, popatrzmy a rozwiązaia kilku zadań prostszych. Zadaie 4. Ile jest liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej? Rozwiązaie. Rozważamy dwa przypadki, gdyż sumę cyfr możemy uzyskać a dwa sposoby.

9 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 9 Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba: Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Łączie mamy więc liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr. Powyższe rozwiązaie możemy zapisać ieco iaczej. Sumę cyfr możemy uzyskać a dwa sposoby: + 0, W powyższym zapisie pierwszy składik ozacza pierwszą cyfrę rozważaej liczby; drugi zaś ozacza, że wśród pozostałych pięciu cyfr zajdują się albo same zera (w przypadku pierwszym, albo jeda jedyka (w przypadku drugim. Oczywiście jest tylko jeda możliwość, w której po pierwszej cyfrze rówej występują same zera. Natomiast istieje 5 liczb, w których po pierwszej jedyce występuje jeda jedyka i cztery zera: jedyka może być bowiem a jedym z pięciu miejsc. Zadaie 5. Ile jest liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 3? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 3 możemy uzyskać a cztery sposoby: , 3 + 1, 3 1 +, Mamy zatem 4 przypadki. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba: Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: 10000, 01000, 00100, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: 10000, 10000, 10000, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0.

10 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 10 Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: , , , , , , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Łączie mamy zatem liczb. Zadaie. Ile jest liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 4? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 4 możemy uzyskać a osiem sposobów: , , 4 +, , , , , Mamy zatem 8 przypadków. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 4, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba: Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: 0000, 0000, 0000, 0000 oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11000, 10100, 10010, 10001, 01100, 01010, 01001, 00110, oraz

11 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 11 Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 5. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 3, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11000, 10100, 10010, 10001, 10100, 10010, 10001, 10010, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 7. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11000, 10100, 11000, 11000, 10100, 10100, 10100, 10010, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 8. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: , , , , , , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Łączie mamy zatem liczb. Zadaie 7. Ile jest liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 5 możemy uzyskać a 1 sposobów: ,

12 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy , 5 3 +, , 5 + 3, , , , , , , , , , , Mamy zatem 1 przypadków. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 5, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba: Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 4, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 4, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: 30000, 30000, 30000, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: , , , , , , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 5. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 3, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: 30000, 03000, 00300, oraz

13 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 13 Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 1000, 0100, 0010, 0001, 0100, 0010, 0001, 0010, 0001 oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 7. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 1000, 10100, 1000, 1000, 0100, 0100, 0100, 0010, 0010 oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 8. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11100, 11010, 11001, 10110, 10101, 10011, 01110, 01101, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 9. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 4, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy 5 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 4 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 10. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 3 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: , , , , , , , , oraz

14 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 14 Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 3 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 3 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 11. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i 3 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: , , , , , , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i 3 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000 oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 5 10 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy dwie cyfry (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 13. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych, 1 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11100, 11010, 11001, 10110, 10101, 10011, 10110, 10101, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry, 1 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry, 1 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 14. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11100, 11010, 11001, 11010, 11001, 11001, 10110, 10101, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech

15 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 15 Przypadek 15. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 10 takich liczb: 11100, 11100, 11100, 11010, 11010, 11001, 10110, 10110, oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem czterech rówych 1, są rówe 0. Istieje 5 takich liczb: , , , oraz Iaczej mówiąc: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 i wtedy mamy ( możliwości wyboru czterech miejsc, a których postawimy cztery cyfry 1 (a pozostałym miejscu stawiamy cyfrę 0. Łączie mamy zatem liczb. Zadaie 8. Ile jest liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej? Rozwiązaie tego zadaia pozostawię jako żmude ćwiczeie. Liczbę moża przedstawić w postaci sumy liczb a 3 sposoby. Przeaalizowaie wszystkich powio dać ostateczy wyik rówy 5. W dalszym ciągu zobaczymy metody ogóle, za pomocą których moża szybciej otrzymać tę odpowiedź. Teraz możemy powrócić do zadaia 1 i przedstawić jego rozwiązaie. Rozwiązaie zadaia 1. Tak jak w zadaiu 5 mamy 1 sposobów przedstawieia sumy cyfr 5: , , 5 3 +, , 5 + 3, , , , , , , , , , ,

16 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy Mamy zatem 1 przypadków. W tych przypadkach skorzystamy z astępujących obliczeń: ( , ( , 3 ( Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 5, każda z astępych 19 cyfr jest rówa 0. Istieje tylko jeda taka liczba. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 4, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje 19 takich liczb. Miaowicie a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 4, a astępie mamy 19 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje 19 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy 19 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 5. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 3, są rówe 0. Istieje 19 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy 19 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 7. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 8. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, są rówe 0. Istieje 99 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 9. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 4, są rówe 0. Istieje 19 takich liczb: a pierwszym miejscu

17 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 17 stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy 19 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 4 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 10. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 3 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 3 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 3 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 11. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i 3 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i 3 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych, są rówe 0. Istieje 171 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy dwie cyfry (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 13. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych, 1 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 99 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry, 1 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry, 1 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 14. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 99 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 15. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje 99 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem czterech rówych 1, są rówe 0. Istieje 387 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 i wtedy mamy ( możliwości wyboru czterech miejsc, a których postawimy cztery cyfry 1 (a pozostałych miejscach stawiamy cyfrę 0. Łączie mamy zatem liczb. W dalszym ciągu spróbujemy uogólić rozwiązae zadaia. Przyjrzyjmy się jedak ajpierw otrzymaym wyikom. Popatrzmy zatem jeszcze raz a kilka początkowych wierszy trójkąta Pascala, w którym zostały wytłuszczoe wyiki otrzymae w zadaiach od

18 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 18 4 do 8: Zauważamy, że: istieje ( 1 liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej, istieje ( 7 1 liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 3, istieje ( liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 4, istieje ( liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej 5, istieje ( liczb sześciocyfrowych o sumie cyfr rówej. Będziemy obliczać, ile jest liczb mających + 1 cyfr (tz. takich, że po pierwszej cyfrze mamy jeszcze cyfr i takich, że suma cyfr jest rówa, 3, 4 lub 5. Sprawdzimy, czy otrzymae wyiki rzeczywiście są współczyikami dwumiaowymi. We wszystkich astępych zadaiach zakładamy, że 5. Zadaie 9. Ile jest liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą możemy uzyskać a dwa sposoby: + 0, 1 + 1, Rozważamy zatem dwa przypadki: Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb. Łączie mamy więc + 1 ( +1 1 liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej. Zadaie 10. Ile jest liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej 3? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 3 możemy uzyskać a cztery sposoby: , 3 + 1, 3 1 +,

19 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy Mamy zatem 4 przypadki. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Łączie mamy zatem liczb. ( ( ( + ( + 1 Zadaie 11. Ile jest liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej 4? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 4 możemy uzyskać a osiem sposobów: , , 4 +, , , , , ( + Mamy zatem 8 przypadków. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 4, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0.

20 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 0 Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 5. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 3, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 7. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 8. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1( takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 3 ( 1( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Zatem liczba rozważaych liczb o sumie cyfr rówej 4 jest rówa: ( 1 ( 1( ( + 3( + ( + 1 ( ( 1 + ( 1( Zadaie 1. Ile jest liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej 5? Rozwiązaie. Sumę cyfr rówą 5 możemy uzyskać a 1 sposobów: , , 5 3 +, , 5 + 3, , , ,

21 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy , , , , , , , Mamy zatem 1 przypadków. Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 5, wszystkie astępe są rówe 0. Istieje tylko jeda taka liczba. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 4, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 1, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 4, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 3. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 4. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 3, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 3, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 5. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 3, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 7. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 8. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1( takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę, a astępie mamy ( 3 ( 1( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0.

22 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy Przypadek 9. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem jedej rówej 4, są rówe 0. Istieje takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( 1 możliwości wyboru miejsca, a którym postawimy cyfrę 4 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 10. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 3 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 3 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 3 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 11. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych 1 i 3 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy cyfry 1 i 3 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1 i 3 stawiamy w tej kolejości a wybraych dwóch Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem dwóch rówych, są rówe 0. Istieje ( 1 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1, a astępie mamy ( ( 1 możliwości wyboru dwóch miejsc, a których postawimy dwie cyfry (a pozostałych stawiamy cyfrę 0. Przypadek 13. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych, 1 i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1( takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 oraz mamy ( 3 ( 1( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry, 1 i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry, 1 i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 14. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, i 1 (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1( takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 oraz mamy ( 3 ( 1( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, i 1 (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, i 1 stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 15. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem trzech rówych 1, 1 i (w tej kolejości, są rówe 0. Istieje ( 1( takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 oraz mamy ( 3 ( 1( możliwości wyboru trzech miejsc, a których postawimy cyfry 1, 1 i (a pozostałych stawiamy cyfrę 0; cyfry 1, 1 i stawiamy w tej kolejości a wybraych trzech Przypadek 1. Pierwszą cyfrą rozważaej liczby jest 1, wszystkie astępe, z wyjątkiem czterech rówych 1, są rówe 0. Istieje ( 1( ( 3 4 takich liczb: a pierwszym miejscu stawiamy cyfrę 1 i wtedy mamy ( 4 ( 1( ( 3 4 możliwości wyboru czterech miejsc, a których postawimy cztery cyfry 1 (a pozostałych

23 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 3 miejscach stawiamy cyfrę 0. Zatem liczba rozważaych liczb jest rówa: ( + 4 ( + 3 ( 4 ( 1 ( 1( ( 1( ( ( 1 + 1( 1( + ( 1( ( ( 1( 7 + 1( + ( ( ( 1( ( 1( ( ( Z drugiej stroy zauważmy, że ( + 4( + 3( + ( + 1 ( ( A więc liczba rozważaych liczb jest rówa ( + 4( + 3( + ( ( Zadaie 13. Ile jest liczb mających + 1 cyfr o sumie cyfr rówej? Rozwiązaie tego zadaia pozostawię jako żmude ćwiczeie. Liczbę moża przedstawić w postaci sumy liczb a 3 sposoby. Przeaalizowaie wszystkich powio dać ostateczy wyik rówy ( Mamy zatem rozsądie wyglądającą astępującą hipotezę. Załóżmy, że liczby aturale m i spełiają ierówości 1 m 9 oraz m +1. Wówczas istieje ( +m 1 m 1 liczb mających +1 cyfr, w których suma cyfr jest rówa m.

24 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 4 W dalszym ciągu zobaczymy metody ogóle, za pomocą których moża udowodić powyższą hipotezę. Najpierw jedak zajmiemy się rozwiązaiem zadań i 3. Przypomijmy treść zadaia. Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych spełiających jedocześie astępujące trzy waruki: w rozważaych liczbach występują wyłączie cyfry 1, i 3, każda cyfra 1, i 3 występuje co ajmiej jede raz, cyfry występują w rozważaej liczbie w kolejości iemalejącej, tz. wszystkie cyfry 1 występują przed wszystkimi cyframi i 3 oraz wszystkie cyfry występują przed wszystkimi cyframi 3. Przykładowe takie liczby: , 13, Rozwiązaie. Sposób I. Najbardziej aturaly sposób rozwiązaia tego zadaia polega a rozpatrzeiu 18 przypadków w zależości od liczby jedyek występujących w rozważaej liczbie. Przypuśćmy zatem, że liczba k spełia ierówości 1 k 18. Policzmy, ile jest rozważaych liczb dwudziestocyfrowych, w których występuje dokładie k jedyek. Mamy wówczas 0 k pozostałych cyfr. Co ajmiej jeda z ich jest dwójką i co ajmiej jeda jest trójką. Mamy zatem 0 k 1 19 k możliwych liczb, zawierających od jedej do 19 k dwójek. Teraz z reguły dodawaia wyika, że 18 otrzymaych liczb (dla k od 1 do 18 ależy dodać. Mamy zatem ( ( ( ( liczb Zauważmy, że otrzymay wyik moża zapisać za pomocą współczyika dwumiaowego: ( Zobaczymy, że ie jest to przypadek. Rozwiązaie. Sposób II. Każdą liczbę spełiającą waruki zadaia zakodujemy za pomocą 0 kropek i pioowych kresek. Każda kropka zajdująca się przed pierwszą kreską ozacza cyfrę 1, każda kropka zajdująca się między kreskami ozacza cyfrę, wreszcie każda kropka zajdująca się za drugą kreską ozacza cyfrę 3. Trzy przykładowe liczby zostaą zatem zakodowae w astępujący sposób: Poieważ w rozważaych liczbach muszą wystąpić wszystkie trzy cyfry (1, i 3, więc kreski oddzielające kropki muszą zajdować się w 19 przerwach między kropkami. Pierwsza kreska ie może bowiem zaleźć się przed pierwszą kropką, obie kreski ie mogą

25 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 5 wystąpić obok siebie i wreszcie druga kreska ie może wystąpić za ostatią kropką. Mamy zatem 19 przerw między kropkami możemy w ie wstawić dwie kreski a ( 19 sposobów. Zadaie moża uogólić w astępujący sposób. Zadaie a. Dae są liczby aturale m i takie, że m. Udowodij, że istieje dokładie ( 1 m 1 ciągów długości o astępujących własościach: wyrazami ciągów są liczby aturale z przedziału od 1 do m, w każdym ciągu wyrazy występują w kolejości iemalejącej, każda liczba aturala z przedziału od 1 do m występuje w ciągu co ajmiej jede raz. Rozwiązaie. Ciągi kodujemy za pomocą kropek i m 1 kresek. Kreski mogą zajdować się wyłączie w przerwach między kropkami i ie mogą dwie kreski zaleźć się w tej samej przerwie. Mamy zatem 1 przerw, w których musimy umieścić m 1 kresek. Te przerwy, w których zajdują się kreski możemy wybrać właśie a ( 1 m 1 sposobów. Zadaie 3. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych spełiających jedocześie astępujące dwa waruki: w rozważaych liczbach występują wyłączie cyfry 1, i 3, cyfry występują w rozważaej liczbie w kolejości iemalejącej, tz. wszystkie cyfry 1 występują przed wszystkimi cyframi i 3 oraz wszystkie cyfry występują przed wszystkimi cyframi 3. Przykładowe takie liczby (oprócz trzech przykładowych liczb pokazaych w zadaiu : , , 3. Rozwiązaie. Tym razem kodujemy liczby za pomocą 0 kropek i dwóch kresek bez żadych ograiczeń. Jeśli kreski zajdą się obok siebie, to zaczy, że w kodowaej liczbie ie występuje cyfra. Jeśli pierwsza kreska zajdzie się a początku kodu, to zaczy, że w kodowaej liczbie ie występuje cyfra 1. Wreszcie, jeśli druga kreska zajdzie się a końcu kodu, to zaczy, że w kodowaej liczbie ie występuje cyfra 3. Trzy przykładowe liczby z treści zadaia zostaą zakodowae w astępujący sposób: Mamy zatem łączie zaki: 0 kropek i kreski. Miejsca (licząc od lewej stroy, a których mogą wystąpić dwie kreski, wybieramy spośród możliwości a ( sposobów. Zatem liczba rozważaych liczb jest rówa ( Zadaie 3 także możemy uogólić

26 W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy Zadaie 3a. Dae są dwie liczby aturale m i. Udowodij, że istieje dokładie ciągów długości o astępujących własościach: ( +m 1 m 1 wyrazami ciągów są liczby aturale z przedziału od 1 do m, w każdym ciągu wyrazy występują w kolejości iemalejącej. Rozwiązaie. Ciągi kodujemy za pomocą kropek i m 1 kresek. Kropki i kreski mogą występować w dowolej kolejości. Kropki występujące przed pierwszą kreską kodują wyrazy ciągu rówe 1; jeśli takich kropek ie ma w kodzie, to zaczy, że w ciągu ie ma wyrazów rówych 1. Kropki zajdujące się między pierwszą i drugą kreską kodują wyrazy rówe ; jeśli pierwsze dwie kreski występują obok siebie, to zaczy, że w ciągu ie ma wyrazów rówych i tak dalej. Wreszcie kropki zajdujące się za ostatią kreską kodują wyrazy ciągu rówe m; jeśli takich kropek ie ma, to zaczy, że w ciągu ie ma wyrazów rówych m. Kod składa się zatem z + m 1 zaków: kropek i m 1 kresek. Miejsca w tym ciągu zaków, a których może się zajdować m 1 kresek, moża wybrać spośród + m 1 miejsc a ( +m 1 m 1 sposobów. To kończy rozwiązaie zadaia. Powróćmy teraz do zadaia 1. Przypomijmy jego treść. Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Rozwiązaie. Każdą z rozważaych liczb kodujemy za pomocą 5 kropek i 19 kresek. Liczba kropek przed pierwszą kreską jest rówa pierwszej cyfrze kodowaej liczby. Liczba kropek między pierwszą i drugą kreską jest rówa drugiej cyfrze kodowaej liczby. I tak dalej aż do ostatiej kreski. Liczba kropek za ostatią kreską jest rówa ostatiej cyfrze kodowaej liczby. Widzimy, że istieje tylko jedo ograiczeie a rozmieszczeie kropek i kresek: kod ie może się zacząć od kreski, bo pierwsza cyfra ie może być zerem. Kod zaczya się zatem od kropki, potem mamy 3 zaki: 4 kropki i 19 kresek, występujących w dowolej kolejości. Tak jak w zadaiu 3 mamy ( kodów, a więc tyle jest liczb spełiających waruki zadaia 1. Zadaie 1 moża uogólić. Zadaie 1a. Dae są dwie liczby aturale m i takie, że 1 m + 1. Udowodij, że istieje dokładie ( m+ 1 m 1 ciągów długości +1, spełiających astępujące waruki: wszystkie wyrazy ciągu są liczbami całkowitymi ieujemymi, suma wszystkich wyrazów ciągu jest rówa m. Rozwiązaie. Każdy taki ciąg kodujemy za pomocą m kropek i kresek. Jest tylko jedo ograiczeie: kod ie może rozpoczyać się kreską. Mamy zatem kropkę a pierwszym miejscu, po której astępuje m + 1 zaków: kresek i m 1 kropek. Taki kod możemy utworzyć a ( +m 1 m 1 sposobów. To kończy rozwiązaie zadaia. Dla m 9 mamy oczywiście dowód sformułowaej wyżej hipotezy. Załóżmy, że liczby aturale m i spełiają ierówości 1 m 9 oraz m +1. Wówczas stieje ( +m 1 m 1 liczb mających +1 cyfr, w których suma cyfr jest rówa m.

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Geometrycznie o liczbach

Geometrycznie o liczbach Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,

Bardziej szczegółowo

Rozmieszczenie liczb pierwszych

Rozmieszczenie liczb pierwszych Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.

KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli. KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.

Wykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k. Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ

ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ Opracowała: mgr Ewa Atropik Koiecza Świebodzi 005 r Zastosowaie metody stolików eksperckich a lekcjach matematyki Wstęp

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17 585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012 Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10. Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem: Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa - dodatek

Statystyka opisowa - dodatek Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011

Dwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011 Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017

Kombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017 Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Ciąg geometryczny i jego własności

Ciąg geometryczny i jego własności Ciąg geometryczy Def: Ciągiem geometryczym (a) azywamy ciąg liczbowy co ajmiej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje z pomożeia wyrazu poprzediego przez stałą liczbę q, zwaą

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA ZADANIA

KOMBINATORYKA ZADANIA KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze o szczególnym. rozmieszczeniu cyfr:

Liczby pierwsze o szczególnym. rozmieszczeniu cyfr: Liczby pierwsze o szczególym rozmieszczeiu cyfr Adrzej Nowicki Wydział Matematyki i Iformatyki, Uiwersytetu M. Koperika w Toruiu. (aow @ mat.ui.toru.pl) 30 paździerika 1999 M. Szurek w książce [4] podaje

Bardziej szczegółowo