C1. Który z poniøszych zbiorów wraz ze wskazanym dzia aniem jest grupπ? Jeøeli tak, to wskaø element neutralny

Transkrypt

1 GAL (Informatyka), grupa. 02/0/205-07/0/205 Zadania z. i 2. ÊwiczeÒ. Grupy, cia a, liczby zespolone Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Który z poniøszych zbiorów wraz ze wskazanym dzia aniem jest grupπ? Jeøeli tak, to wskaø element neutralny liczby ca kowite parzyste z dzia eniem dodawania, liczby ca kowite nieparzyste z dzia eniem dodawania, zbiór wszystkich potíg naturalnych danej liczby rzeczywistej dodatniej a z dzia aniem mnoøenia, zbiór wszystkich potíg ca kowitych danej liczby rzeczywistej dodatniej a z dzia aniem mnoøenia zbiór wektorów 2-wymiarowych o rzeczywistych wspó czynnikach z dzia aniem dodawania wektorów, C2. Podgrupπ grupy (G, ù,e) nazywamy taki podzbiór H µ G, øee œ H oraz (H, ù,e) teø jest grupπ. Które z podzbiorów poniøej sπ podgrupami? liczby naturalne w grupie (Z, +, 0), liczby wymierne w grupie (R, +, 0) liczby wymierne w grupie (R ú,, 0) C3. Zbadaj, czy zbiór liczb ca kowitych Z z dzia aniem ù zdefiniowanym wzorem a ù b = a + ab + b jest grupπ. C4. Jak okreúliê strukturí grupy na okrígu? C5. (tw.. w skrypcie) Za óømy, øe (G, ù,e) jest grupπ i x œ G. Pokaø, øe istnieje dok adnie jeden element x Õ œ G taki, øe x ù x Õ = e i wówczas takøe x Õ ù x = e. C6. Prawo skracania. Za óømy, øe (, ù) jest grupπ, x, y, z œ oraz x ù z = y ù z. Pokaø, øe x = y. C7. (G, ù,e) jest grupπ i a, b œ G. Pokaø, øe (a ù b) = b ù a. C8. Ile róønych dzia aò ù moøna okreúliê na zbiorze 2-elementowym = {a, e} 3-elementowym = {a, b, e}

2 tak, aby (, ù,e) by o grupπ? C9. Niech n bídzie liczbπ pierwszπ, Z ú n = Z n \{0}. Na zbiorze Z ú n rozwaøamy dzia enie jako mnoøenie modulo n. Pokaø, øe (Z ú n,, ) jest grupπ abelowπ. C0. Czy dzia anie w grupie permutacji ( n,, id) jest przemienne? C. Cyklem d ugoúci k w grupie permutacji n nazywamy takπ permutacjí p, øe dla pewnych róønych elementów a,a 2,...,a k zachodzi p(a )=a 2,p(a 2 )=a 3,...,p(a k )=a k,p(a k )=a, natomiast dla a = a j,dlaj =, 2,...,k, zachodzi p(a) =a. Pokaø, øe kaøda permutacja jest z oøeniem pewnej skoòczonej liczby cykli i rozk ad taki, pomjajπc kolejnoúci cykli, jest jednoznaczny. C2. (G, ù,e) jest grupπ majπcπ skoòczenie wiele elementów, a œ G. Niech a k = aùaù...ùa (dzia anie wykonujemy k razy) oznacza k-tπ potígí elementu a. Pokaø, øe istnieje liczba naturalna n taka, øe a n = e. C3. porzπdü tabelki dzia aò dla cia a 4-elementowego. C4. Oblicz C5. Przedstaw w postaci a + bi liczby (2 + i)(3 i)+(2+3i)(3 4i). 3+i 2 3i, ( + iô 2) 5, 3 4 +i 3, ( + i) 64 i C6. Niech z œ C. Pokaø, øe (i) z + z = 2Rez, (ii) z z = z 2, (iii) jeøeli z = 0, to z = z z 2. C7. Pokaø, øe dla dowolnych liczb z,w œ C Podaj interpretacjí geometrycznπ. C8. Niech z,w œ C. Pokaø, øe (i) z w = z w, (ii) z + w z + w, (iii) - - z w - - z w. z + w 2 + z w 2 =2 z 2 +2 w 2. C9. Znajdü wszystkie liczby zespolone z takie, øe z 3 + z 2 + z =0. C20. yznacz wszystkie liczby zespolone z takie, øe liczba zespolona jest rzeczywista. +z z 2

3 Zadania uzupe niajπce: U. Który z poniøszych zbiorów wraz ze wskazanym dzia aniem jest grupπ? Jeøeli tak, to wskaø element neutralny zbiór wszystkich ca kowitych wielokrotnoúci danej liczby rzeczywistej a z dzia aniem dodawania, zbiór dodatnich liczb wymiernych z dzia aniem mnoøenia; zbiór liczb wymiernych z dzia aniem dodawania; zbiór liczb wymiernych z dzia aniem odejmowania; U2. Czy zbiór liczb zespolonych o module z dzia aniem mnoøenia jest grupπ? U3. Czy zbiór urojonych z dzia aniem dodawania jest grupπ? U4. Czy zbiór Z ú 6 = {, 2, 3, 4, 5} z dzia aniem mnoøenia modulo 6 i elementem neutralnym jest grupπ? U5. Zbadaj, czy zbiór liczb wymiernych Q, z dzia aniem ù zdefiniowanym wzorem a ù b = a ab + b jest grupπ. U6. (G, ù,e) jest grupπ majπcπ skoòczenie wiele elementów, a œ G. Niech H oznacza zbiór wszystkich potíg pewnego elementu a œ G. Pokaø, øe H jest podgrupπ w G. U7. Czy zbiór wielomianów p stopnia nie wiíkszego niø 3 takich, øe p() = 0, jest podgrupπ w zbiorze wszystkich wielomianów stopnia nie wiíkszego niø 3 z dzia aniem dodawania wielomianów i wielomianem zerowym jako elementem neutralnym? U8. Ile róønych dzia aò ù moøna okreúliê na zbiorze 4-elementowym = {e, a, b, c} tak, aby (, ù,e) by o grupπ? kaødym przypadku sporzπdü tabelkí dzia ania grupowego. Moøesz nie uwzglídniaê przypadków, które powstajπ z innych w tylko w wyniku przestawieò elementów a, b, c. U9. Za óømy, øe (G, ù,e) jest grupπ majπcπ skoòczonπ liczbí elementów, H µ G jest podgrupπ i a œ G. Dlaa œ G niech aùh = {aùh : h œ H}. Niech a, b œ G. Pokaøe, øe a ù H = b ù H lub a ù H fl b ù H = ÿ, Niech a, b œ G. Pokaø, øe zbiory a ù H i b ù H majπ tyle samo elementów. U0. ranzpozycjπ nazywamy permutacjí bídπcπ cyklem d ugoúci 2. Pokaø, øe kaøda permutacja jest z oøeniem pewnej liczby transpozycji. Czy taki rozk ad jest jednoznaczny? U. w. Lagrange a Za óømy, øe (G, ù,e) jest grupπ, majπcπ n < Œ elementów i H µ G jest podgrupπ, majπcπ m elementów. Pokaø, øe m jest dzielnikiem n. 3

4 U2. Przedstaw w postaci a + bi liczby 2+i 2 3i, ( + iô 3) 6, 3 4 +i 3. i U3. Pokaø, øe ( i) 4n =( 4) n. U4. Niech z,w œ C. Pokaø, øe (i) z + w = z + w, (ii) z =(z), (iii) zw = z w, (iv) gdy w = 0, to z -w - = z w. U5. Niech z œ C. Pokaø, øe liczba z jest rzeczywista wtedy i tylko wtedy, gdy z = z, U6. Pokaø, øe dla dowolnych liczb zespolonych u, v +u v 2 + u v 2 =(+ u 2 )( + v 2 ), u v 2 u v 2 =( u 2 )( v 2 ) Zadania na kartkówkí 4/0/205: K. Czy podany zbiór wraz ze wskazanym dzia aniem jest grupπ? Jeøeli tak, to wskaø element neutralny. zbiór liczb wymiernych postaci k 2 n, gdzie k œ Z, n œ N z dzia aniem dodawania, zbiór liczb wymiernych postaci k 2 n, gdzie k œ Z,k > 0, n œ N z dzia aniem mnoøenia, zbiór wielomianów stopnia 2 z dzia aniem dodawania wielomianów, zbiór wielomianów stopnia co najwyøej 2 z dzia eniem dodawania wielomianów Uzasadnij odpowiedü. K2. Czy zbiór liczb zespolonych {z œ C ú :Rez =0lubImz =0} (gdzie C ú = C \{0}) z dzia aniem mnoøenia jest grupπ? K3. yznacz wszystkie liczby zespolone z takie, øe z = z 3. K4. yznacz wszystkie liczby zespolone z takie, øe +z - iz - =. K5. Pokaø, øe dla dowolnych liczb zespolonych u, v: u( + v 2 ) v( + u 2 ) 2 = u v 2 u v 2 (u v ūv) 2. 4

5 GAL (Informatyka), grupa. 09/0/205-4/0/205 Zadania z 3. i 4. ÊwiczeÒ. Liczby zespolone, wielomiany Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Oblicz sumí kπtów + + na rysunku poniøej. C2. Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby 2, 3, +i, +i Ô 3, +i Ô 3 3. C3. Zapisz liczbí 3 4 +i 25 Ô 3+i w postaci a + ib C4. Rozwiπø w liczbach zespolonych równania z 2 +4iz 3=0, z 2 +(2i 7)z + 3 i =0. C5. yraü cos 5 isin5 poprzez cos isin. C6. Liczby z i z 2 sπ róønymi zespolonymi rozwiπzaniami równania z 2 ( + 2i)z +3i =0. yznacz czíúê rzeczywistπ i urojonπ liczby z z 2 C7. Niech z 0,z,...,z n to wszystkie zespolone pierwiastki z jednoúci stopnia n. Obliczz 0 + z z n oraz z 0 z...z n. C8. Niech n œ N, n > iu 0,u,...,u n oznaczajπ wszystkie zespolone pierwiastki z jednoúci stopnia n +. Dla k œ N oblicz sumí u k 0 + uk u k n. C9. yznacz wszystkie liczby zespolone z, bídπce rozwiπzaniami równania z 2 z 6 = 256.

6 C0. årodkiem ciíøkoúci pewnego trójkπta równobocznego na p aszczyünie zespolonej jest liczba + i, jeden z wierzcho ków tego trójkπta znajduje sií w punkcie 0. yznacz liczby zespolone odpowiadajπce pozosta ym wierzcho kom tego trójkπta. C. Za óømy, øe z = z 2 = z 3 > 0. Pokaø, øe liczby z,z 2,z 3 sπ wierzch kami trójkπta równobocznego wtedy i tylko wtedy, gdy z +z 2 +z 3 = 0. C2. Dane sπ dwie liczby zespolone x = 2(cos fi 3 +i sin fi 3 ) oraz y = Ô 2 Ô 2 i. Czy jest prawdπ, øe (a) x 205 y = ; (b) dla pewnego k œ N zachodzi Re((xy) k ) = 0; (c) dla pewnego k œ N zachodzi Re(x k ) = 0. C3. Podaj interpretacjí geometrycznπ nastípujπcych podzbiorów p aszczyzny zespolonej: (a) {z : z a = z b }, a, b œ C, a = b; (b) {z :(z +2i)( z 2i) =4} (c) {z :0 Re(iz) < } ; (d) z : z + -z - <; < C4. yznacz zespolone pierwiastki stopnia 4 z liczby, C5. yznacz zespolone pierwiastki stopnia 3 z liczby i. C6. Rozstrzygnij, dla jakich liczb ca kowitych n równanie z ( + i) n = z ma rozwiπzanie w dziedzinie zespolonej. C7. Roz óø wielomiany p(z) =z 3 +z 2 +z 3 iq(z) =z 5 +z 4 +z 3 +z 2 +z + na czynniki (a) rzeczywiste, (b) zespolone jak najniøszego stopnia. C8. Za óømy, øe p jest wielomianem o wspó czynnikach rzeczywistych i liczba z jest jego pierwiastkiem zespolonym (czyli p(z) = 0). Pokaø, øe p(z) = 0. C9. Niech p(x) =x 4 +2x 3 3x 2 4x+. Korzystajπc ze schematu Hornera oblicz p( 2) i wyznacz resztí z dzielenia p przez dwumian x + 2. Zadania uzupe niajπce: U. Zapisz w postaci trygonometrycznej liczby Ô 3 +i 3, 2+Ô 3+i. U2. Niech œ R. Znajdü postaê trygonometrycznπ liczb cos i sin, sin + i cos. 2

7 U3. Rozwiπø w liczbach zespolonych równania z 2 =3 4i, z 2 5z i =0, z 2 ( + i)z +6 3i =0. U4. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczbí ( Ô 3+3i) 40 ( Ô 3+i) 20. U5. Czy istnieje liczba naturalna n taka, øe czíúê urojona liczby AÔ Ô B n 2+i 2 i Ô 3 wynosi 0? Jeøeli odpowiedü jest twierdzπca, to wyznacz najmniejsze takie n. U6. Za óømy, øe z k =dlak =, 2, 3, 4. Pokaø, øe liczby zespolone z k sπ wierzcho kami prostokπta wtedy i tylko wtedy, gdy z +z 2 +z 3 +z 4 = 0. U7. yznacz zespolone pierwiastki stopnia 4 z liczby + i U8. yznacz zespolone pierwiastki stopnia 3 z liczb, + i. U9. yznacz wszystkie liczby zespolone z takie, øe liczba z 5 (z) 3 jest rzeczywista. U0. yznacz wszystkie zespolone rozwiπzania z równania (z + i) 4 = z 8 8. U. Dany jest wielomian p œ R[z] 2. Pokaø, øe suma kwadratów wszystkich (zespolonych) pierwiastków wielomianu p jest liczbπ rzeczywistπ. Czy jest to prawdπ, gdy n>2ip œ R[z] n? U2. Liczby zespolone z,z 2,z 3 odpowiadajπ trzem kolejnym wierzcho kom pewnego równoleg oboku. yznacz liczbí z 4, która odpowiada czwartemu wierzcho kowi tego równoleg oboku. U3. Liczby zespolone u, v odpowiadajπ dwóm przeciwleg ym wierzcho kom kwadratu. yznacz liczby odpowiadajπce pozosta ym dwóm wierzcho kom tego kwadratu. U4. Niech p(x) =5x 5 9x 3 7x 2 +9x+3. Korzystajπc ze schematu Hornera oblicz p(2) i wyznacz resztí z dzielenia p przez dwumian x 2. U5. Zapisz wielomian p(x) =x 4 8x x 2 50x + 90 jako sumí potíg dwumianu x 2. ykorzystaj schemat Hornera. Zadania na kartkówkí 4/0/205: K6. Znajdü czíúê rzeczywistπ i urojonπ liczby A Ô B i 3 +i 3

8 K7. yznacz zespolone pierwiastki stopnia 4 z liczby 6 + 6i Zadania na kartkówkí 2/0/205: K. Roz óø na czynniki rzeczywiste i zespolone moøliwie niskiego stopnia wielomiany z 4 + z 2 +iz

9 GAL (Informatyka), grupa. 6/0/205-2/0/205 Zadania z 5. i 6. ÊwiczeÒ. Macierze. Uk ady równaò. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Oblicz C 2 D U0 4 V. 0 2 C2. Niech, 2,... n œ K. yznacz macierze k k (a). U.., (b) V U.... V 0 n n 0 C3. åladem macierzy kwadratowej A =[a j,k ] j,k œ K n,n, nazywamy sumí jej elementów na g ównej przekπtnej, tzn. skalar zdefiniowany wzorem nÿ trace(a) = a j,j. j= Udowodnij, øe dla dowolnych macierzy A, B œ K m,n macierze AB A B sπ kwadratowe oraz trace(ab ) = trace(a B). i C4. Pokaø, øe macierz A œ K n,n, majπca zerowy wiersz (zerowπ kolumní) jest osobliwa. C D a b C5. Pokaø, øe macierz A = œ K c d 2,2 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ad bc = 0 i wówczas C D A d b =. ad bc c a C6. Macierze A, B œ K n,n sπ nieosobliwe. Pokaø, øe macierz AB teø jest nieosobliwa i (AB) = B A. C7. yznacz macierze operacji elementarnych na wierszach i kolumnach. C8. yznacz macierze odwrotne do macierzy 0 0 U 0 V, i 0 0. U V

10 C9. Niech n =, 2, 3... yznacz macierze F H F i F dla F = È Ëe i 2fik l n n œ k,l=0 Cn,n. C0. Niech œ C i G( ) µ C n,n jest to podzbiór sk adajπcy sií z macierzy, dla których suma elementów w kaødym wierszu jest równa. Zbadaj, dla jakich zachodzi implikacja A, B œ G( ) = AB œ G( ). C. Pokaø, øe macierz A œ K n,n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy uk ad równaò A x = b ma jednoznacznie rozwiπzanie dla kaødego wektora b œ K n. C2. Pokaø, øe macierz trójkπtna górna (dolna) jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej elementy na przekπtnej sπ róøne od zera. C3. Uk ad równaò Y _] _[ x + 2x 2 + x 3 = 3, 3x + 5x 2 + 2x 3 = 0, x + 3x 2 4x 3 = 24, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania x = [x,x 2,x 3 ]. C4. Uk ad równaò I 2x 3x 2 + 5x 3 =, 4x 6x 2 + 7x 3 = 5, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania. C5. Uk ad równaò Y _] _[ 2x + 3x 2 + x 3 + 2x 4 =, 4x + 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3, 6x + 9x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 5, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania. Zadania uzupe niajπce: U. Podaj przyk ad niezerowej macierzy A œ R n,n, n>, takiej, øe A 2 = 0. U2. yznacz macierze (k =, 2,...) (a) k , (b).. U 0 0 V 0 k U 0 V 0 0 2

11 U3. Niech (f n ) Œ n=0 to ciπg Fibonacciego, czyli f 0 =0, f =, f n+2 = f n+ + f n dla n =, 2,... C D Dla F = oblicz F 0 k dla k =0,, 2, 3. Jaki jest zwiπzek miídzy elementami macierzy F n i wyrazami ciπgu Fibonacciego dla dowolnego n. formu uj hipotezí i udowodnij jπ. U4. Macierze permutacji. Niech bídzie permutacjπ zbioru {, 2,...,m} yznacz macierz P takπ, øe dla kaødego wektora x =[x,...,x m ] œ K m P x =[x (),x (2),...,x (m) ]. U5. Niech, bídπ dwiema permutacjami zbioru {, 2,...,m}. Pokaø, øe P =(P ) = P oraz P = P P. U6. Danse sπ dwie macierze A, B œ K n,n takie, øe AB = BA. Pokaø, øe A B nÿ n (A + B) n = A k B n k. k k=0 Czy powyøszy wzór jest prawdziwy bez za oøenia AB = BA? U7. Niech œ K, k =, 2,...ObliczA k dla A = œ K n,n.... U V U8. Pokaø, øe macierz odwrotna do macierzy trójkπtnej górnej (dolnej) jest macierzπ trójkπtnπ górnπ (dolnπ). U9. yznacz macierz odwrotnπ do macierzy trójkπtnej górnej [a i,j ] i,j œ R n,n takiej, øe a i,j =dlawszystkichj j. U0. Macierz kwadratowπ A œ R n,n nazywamy prawπ (lewπ) macierzπ stochastycznπ, gdy wszystkie jej elementy sπ nieujemne i suma elementów w kaødym wierszu (w kaødej kolumnie) jest równa. Udowodnij, øe iloczyn macierzy prawych (lewych) stochastycznych teø jest macierzπ prawπ (lewπ) stochastycznπ. U. Pokaø, øe macierz kwadratowa A, majπca dwa identyczne wiersze (kolumny), jest osobliwa. U2. Pokaø, øe istniejπ macierze nieosobliwe C, D œ K n,n takie, øe dla dowolnej macierzy A œ RIU n,n zachodzi CAD œ RIL n,n. U3. Niech k =, 2,... Ile jest róønych macierzy diagonalnych A œ C n,n takich, øe A k = I n? 3

12 U4. yznacz macierz odwrotnπ do macierzy U5. Pokaø, øe uk ad równaò nie ma rozwiπzaò. Y _] _[ U 3 V x 2x 2 + 3x 3 =, 3x 2 2x 3 =, x + 4x 2 x 3 =, U6. Znajdü wszystkie rozwiπzania uk adów równaò (a) (b) Y _] _[ Y _] _[ 5x + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 = 0, 2x + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 4, x + 7x 2 + 9x 3 + 4x 4 = 2, 2x + 9x 2 + 3x 3 + 0x 4 = 3, 4x + 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3, 8x + 6x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7. Zadania na kartkówkí 2/0/205: K. Roz óø na czynniki rzeczywiste i zespolone moøliwie niskiego stopnia wielomiany z 4 + z 2 +iz K2. Dany jest wielomian p œ R[x] taki, øe p(0) = 0. Niech a oznacza iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków wielomianu p, natomiast b to iloczyn wszystkich zespolonych pierwiastków tego wielomianu. Pokaø, øe ab jest liczbπ rzeczywistπ dodatniπ. K3. yznacz macierz odwrotnπ do macierzy 3 U V Zadania na kartkówkí 04//205: K. Uk ad równaò Y _] _[ x 2x 2 + 3x 3 = 7, 3x 2 2x 3 = 7, x + 4x 2 x 3 = 7, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania x = [x,x 2,x 3 ]. 4

13 GAL (Informatyka), grupa. 23/0/205-28/0/205- Zadania z 7. i 8. ÊwiczeÒ. Macierze jako przekszta Êenia. Przestrzenie liniowe. Liniowa niezaleønoúê. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Znajdü macierze z R 2,2 odpowiadajπce symetrii wzglídem osi 0y, symetrii wzglídem prostej x = y, symetrii wzglídem poczπtku uk adu, jednok adnoúci o skali C2. Czy istnieje macierz œ R 2 taka, øe odwzorowanie x æ x jest przesuniíciem o zadany wektor v œ R 2? C3. Czy jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 2 C D x (a) zbiór wszystkich wektorów takich, øe x + y = y C D x (b) zbiór wszystkich wektorów takich, øe x + y =0 y C D x (c) zbiór wszystkich wektorów takich, øe x ˇ 0,y ˇ 0 y C D (d) zbiór wszystkich wektorów, gdzie y œ R, y C D 0 (e) zbiór wszystkich wektorów, gdzie y œ R? y C4. Który z poniøszych zbiorów wielomianów jest podprzestrzeniπ liniowπ w R[x]? (a) {p : p(0) ˇ 0}, (b) {p : p() = 0}, (c) {p : p() p( ) = 0} (d) {p : p( ) + p() = 0} C5. Które z podzbiorów macierzy w C n,n sπ podprzestrzeniami liniowymi? (a) {A =[a i,j ]: q i,j a i,j =0}, (b) {A : A = A }, (c) {A : A = A H }

14 (d) wszystkie macierze A takie, øe A x = 0 dla pewnego ustalonego wektora x œ C n, C6. Które podzbiory sπ podprzestrzeniami liniowymi w R Œ? (a) zbiór wszystkich ciπgów sta ych, (b) zbiór wszystkich ciπgów rosnπcych, (c) zbiór wszystkich ciπgów geometrycznych, (d) zbiór wszystkich ciπgów arytmetycznych, (e) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe x n 205 dla kaødego n, (f) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe istnieje sta a C>0 taka, øe dla kaødego n zachodzi x n C2 n, (g) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe x n+2 kaødego n. = x n+ + x n dla C7. Pokaø, øe cia o C jest przestrzeniπ liniowπ nad R, wektory oraz i sπ liniowo niezaleøne, natomiast dowolny uk ad 3 wektorów z C musi byê liniowo zaleøny. C8. Zbadaj, czy podany uk ad wektorów w R 3 jest liniowo niezaleøny (a) U2V, U5V, U7V, (b) U 2V, U V, U V C9. Czy wielomian x 4 + jest kombinacjπ liniowπ wielomianów x 4, x 4 x 2, x 2, x 2 + x 2. C0. Zbadaj, dla jakich a, b œ R wektor +a U a V b jest kombinacjπ liniowπ wektorów [,, 0] i[ 2,, ]. C. Zbadaj, dla jakich wartoúci a œ R wektory 0 U a V, U 2a V, U a 2 V œ R 3 a a + a 2 sπ liniowo niezaleøne. C2. Pokaø, øe funkcje f (x) =, f 2 (x) =sinx, f 3 (x) = cos x sπ liniowo niezaleøne w R R. C3. Pokaø, øe zbiór V = { x œ R 5 : x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 =0} jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 5 i znajdü uk ad liniowo niezaleønych wektorów v,..., v k takich, øe V = span( v,..., v k ). 2

15 C4. ektory v, v 2,..., v n zpewnejprzestrzeniliniowej sπ liniowowo niezaleøne. Rozstrzygnij, czy wektory v, v + v 2,..., v +..., v n teø sπ liniowo niezaleøne. Zadania uzupe niajπce: U. Które podzbiory sπ podprzestrzeniami liniowymi w R Œ? (a) zbiór wszystkich ciπgów ograniczonych, (b) zbiór wszystkich ciπgów monotonicznych, (c) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe x n + x n+ + x n+2 =0dla kaødego n, (d) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe dla kaødego n zachodzi x n 2 n, (e) zbiór wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe istnieje sta a C>0 taka, øe dla kaødego n zachodzi x n Cn. (f) zbiórw wszystkich ciπgów (x n ) takich, øe x n = 0 dla dostatecznie duøych n. U2. Które podzbiory sπ podprzestrzeniami liniowymi w przestrzeni liniowej R R? (a) zbiór wszystkich funkcji okresowych, (b) zbiór wszystkich funkcji o okresie 2fi, (c) zbiór wszystkich funkcji dodatnich, (d) zbiór wszystkich funkcji parzystych, (e) zbiór wszystkich funkcji nieograniczonych, (f) zbiór wszystkich funkcji f takich, øe f() = 0, (g) zbiór wszystkich funkcji f takich, øe f(k) = 0 dla kaødego k œ Z, (h) zbiór wszystkich funkcji f takich, øe istnieje sta a C taka, øe f(x) C x dla x = 0, (i) zbiór wszystkich funkcji f takich, øe istnieje sta a M taka, øe f(x) =0dla x >M. U3. Czy wektory 0 0 U V, U 7 V, 2 U V œ R sπ liniowo niezaleøne? U4. prawdü, dla jakich wartoúci a, b œ R wektory 2+a U V, U 3a V 2 a + b sπ liniowo niezaleøne. U5. prawdü liniowπ niezaleønoúê uk adu wielomianów p (t) = t 2, p 2 (t) =+t 3, p 3 (t) = t 3, p 4 (t) =+t+t 2 +t 3. 3

16 U6. Dla jakich a œ R wektory 0 0 x = U 0 V, x 0 2 = U V, x 3 = UaV, x 0 4 = UV œ R a sπ liniowo niezaleøne? U7. Uk ad wektorów x,...,x k zprzestrzeniliniowej jest liniowo niezaleøny. Pokaø, øe dowolny poduk ad tego uk adu teø jest liniowo niezaleøny. U8. Uk ad wektorów x,...,x k zprzestrzeniliniowej zawiera poduk ad liniowo zaleøny. Pokaø, øe uk ad x,...,x k teø jest liniowo zaleøny. U9. Uk ad wektorów x,...,x k zprzestrzeniliniowej jest liniowo niezaleøny. Zbadaj, czy uk ad wektorów x,x 2 + x,x 3 + x,...,x n + x teø jest liniowo niezaleøny. Zadania na kartkówkí 04//205: K. Uk ad równaò Y _] _[ x 2x 2 + 3x 3 = 7, 3x 2 2x 3 = 7, x + 4x 2 x 3 = 7, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania x = [x,x 2,x 3 ]. K2. Czy zbiór macierzy nieosobliwych w C n,n jest podprzestrzeniπ liniowπ? Uzasadnij odpowiedü. K3. Zbadaj, dla jakich liczb zespolonych z wektory UV, U2+z 2 V, U V œ C 3 +z 4 sπ liniowo niezaleøne. K4. Pokaø, øe zbiór V = { x œ R 3 : x x 2 =2x 3 } jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 3 i znajdü liniowo niezaleøny uk ad wektorów rozpinajπcy V. K5. Liczby a, b, c œ C sπ róøne. Zbadaj liniowπ niezaleønoúê uk adu wielomianów (z a)(z b), (z b)(z c), (z c)(z a). 4

17 GAL (Informatyka), grupa. 30/0/205-04//204 Zadania z 9. i 0. ÊwiczeÒ. Uk ady liniowo niezaleøne. Baza i wymiar przestrzeni liniowej. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Pokaø, øe uk ad wektorów v = C D, v 2 = C D jest bazπ w R 2.Znajdü, 2 œ R takie, øe C D = 3 v + 2 v 2. C2. Pokaø, øe uk ad wielomianów p (x) =+x, p 2 (x) =+x 2, p 2 (x) =2x jest bazπ w R[x] 2.Znajdü, 2, 3 œ R takie, øe C3. R 5 dany jest podzbiór x 2 = p (x)+ 2 p 2 (x)+ 3 p 3 (x). = { x œ R 5 : x +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = x 2x 2 +3x 3 4x 4 +5x 5 =0}. Pokaø, øe jest przestrzeniπ liniowπ. skaø bazí i okreúl wymiar. C4. Zbiór Y = {p œ R[x] 4 : p(0) = p() i p( ) = 0} jest podprzestrzeniπ liniowπ w R[x] 4. Okreúl wymiar i wskaø bazí tej podprzestrzeni. C5. Za óømy, øe x,x 2,...,x k œ. Pokaø, øe nastípujπce warunki sπ równowaøne: (i) uk ad x,x 2,...,x k jest bazπ przestrzeni, (ii) uk ad x,x 2,...,x k jest maksymalnym (w sensie inkluzji) uk adem liniowo niezaleønym w przestrzeni, (iii) uk ad x,x 2,...,x k jest minimalnym (w sensie inkluzji) uk adem rozpinajπcym przestrzeò. C6. Niech µ R Œ bedzie zbiorem wszystkich ciπgów (x n ) Œ n= takich, øe dla pewnej sta ej C < Œ i kaødego n =, 2,... zachodzi oszacowanie x n <C. Pokaø, øe jest podprzestrzenia liniowπ w R Œ idim = Œ. C7. Pokaø, øe dla kaødego n uk ad funkcji f k : C æ C, f k (x) = x k (k =0,,...,n) jest liniowo niezaleøny w C[x] (lubc C ). NastÍpnie udowodnij to samo dla przestrzeni R[x] ir R.

18 C8. Niech oznacza zbiór wszystkich ciπgów rzeczywistych (x n ) Œ n=0 spe niajπcych zaleønoúê rekurencyjnπ x n+2 = x n+ + x n, n =0,, 2,... (a) Pokaø, øe jest przestrzeniπ liniowπ nad R, znajdü jej wymiar i wskaø bazí. (b) Pokaø, øe posiada bazí z oøonπ z ciπgów geometrycznych. (c) Znajdü jawny wzór na n-ty wyraz ciπgu (x n ) Œ n=0 zprzestrzeni, takiego, øe x 0 = 0, x =. C9. przestrzenir 2,3 rozwaøamy podzbiór = {A œ R 2,3 : A [,, 2] =0}. Pokaø, øe jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 2,3, wskaø jej bazí i okreúl wymiar. C0. Czy zbiór = {A œ C n,n : A = A H } jest przestrzeniπ liniowπ nad C? Czy jest przestrzeniπ liniowπ nad R? Jeúli tak, to okreúl wymiar. C. Dane sπ parami róøne liczby zespolone x 0,x,...,x n i l k (z) = Ÿ 0 j n j =k z x j x k x j. Pokaø, øe uk ad l 0,...,l n jest bazπ przestrzeni C[z] n.dlak =0,,...,n znajdü wspó czynniki a 0,k,...,a n,k œ C takie, øe nÿ z k = a j,k l j (z). j=0 C2. przestrzenik n dana jest baza z oøona z wektorów v,..., v n. Pokaø, øe uk ad macierzy v k v l, k, l =, 2,...,n jest bazπ przestrzeni Kn,n. Jaki uk ad macierzy otrzymamy, gdy v k = ę k? Zadania uzupe niajπce: U. przestrzenir 4 dane sπ wektory ų = UV, v = U V, w = U V. Pokaø, øe uk ad ų, v, w jest liniowo niezaleøny. Znajdü wektor x œ R 4 taki, øe uk ad ų, v, w, x jest bazπ w R 4. U2. przestrzenir[t] 3 dany jest podzbiór Z = {p œ R[t] 3 : p( ) + p() = 2p(0)}. Pokaø, øe Z jest podprzestrzeniπ liniowπ w R[t] 3, okreúl jej wymiar i znajdü jej bazí. 2

19 U3. przestrzenir 4 dana jest podprzestrzeò V = { x œ R 4 : x 2x 2 =3x 3 x 4 i x 2 + x 3 = x 4 }. Znajdü bazí podprzestrzeni V i dope nij jπ do bazy przestrzeni R 4. U4. Uk ad a,a 2,...,a n jest bazπ pewnej przestrzeni liniowej nad cia em K. Czy uk ad kÿ b k = a j, k =, 2,...,n teø jest bazπ? j= U5. Pokaø, øe zbiór V = {A œ K n,n : A = A } jest podprzestrzeniπ liniowπ w K n,n. skaø bazí i okreúl wymiar. U6. Dane sπ wielomiany p,...,p k œ K[x], przy czym kaødy z nich jest innego stopnia. Pokaø, øe uk ad p,...,p k jest liniowo niezaleøny. U7. przestrzeni liniowej nad cia em C dane sπ liniowo niezaleøne wektory x, y, z. Dla jakich a, b, c œ C uk ad wektorów jest liniowo niezaleøny? a x b y, c y a z, b z c x U8. Niech a œ K. Pokaø, øe nieskoòczony uk ad wielomianów q 0 (x) =, q k (x) =(x a) k, dla k =, 2, 3,... jest bazπ przestrzeni K[x]. U9. Pokaø, øe uk ad ciπgów e k =(0, 0,...,0,, 0, 0,...) na k-tym miejscu jest liniowo niezaleøny w R Œ, ale nie jest on bazπ. U0. przestrzenir 2,2 rozwaøamy podzbiór I U = M œ R 2,2 :[2, ]M C D J =0. 3 Pokaø, øe U jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 2,2. yznacz dim U i wskaø bazí tej przestrzeni. U. ektory x,x 2,...x n sπ bazπ pewnej przestrzeni liniowej nad cia em K. Czy wektory x,x + x 2,...,x n + x n teø sπ bazπ przestrzeni? C D C D U2. Dane sπ macierze A = oraz B =.przestrzeni 0 0 liniowej R 2,3 rozwaøamy podzbiór Ó Ô Z = M œ R 2,3 : A M B = B M. Pokaø, øe Z jest podprzestrzeniπ liniowπ, okreúl jej wymiar i znajdü bazí. 3

20 U3. Pokaø, øe zbiór wszystkich ciπgów arytmetycznych o wyrazach w K jest podprzestrzeniπ liniowπ w K Œ. Jaki jest jej wymiar? skaø bazí. U4. yznacz wszystkie macierze A œ R n,n takie, øe macierze A i A sπ liniowo zaleøne. Zadania na kartkówkí 04//205: K. Uk ad równaò Y _] _[ x 2x 2 + 3x 3 = 7, 3x 2 2x 3 = 7, x + 4x 2 x 3 = 7, zapisz w postaci macierzowej i znajdü wszystkie jego rozwiπzania x = [x,x 2,x 3 ]. K2. Czy zbiór macierzy nieosobliwych w C n,n jest podprzestrzeniπ liniowπ? Uzasadnij odpowiedü. K3. Zbadaj, dla jakich liczb zespolonych z wektory UV, U2+z 2 V, U V œ C 3 +z 4 sπ liniowo niezaleøne. K4. Pokaø, øe zbiór V = { x œ R 3 : x x 2 =2x 3 } jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 3 i znajdü liniowo niezaleøny uk ad wektorów rozpinajπcy V. K5. Liczby a, b, c œ C sπ róøne. Zbadaj liniowπ niezaleønoúê uk adu wielomianów (z a)(z b), (z b)(z c), (z c)(z a). K6. Niech µ R Œ bedzie zbiorem wszystkich ciπgów (x n ) Œ n= takich, øe dla pewnej sta ej C < Œ i kaødego n =, 2,... zachodzi oszacowanie x n < C n. Pokaø, øe jest podprzestrzenia liniowπ w R Œ idim = Œ. 4

21 GAL (Informatyka), grupa. 06//205 Zadania z. ÊwiczeÒ. PrzeciÍcie, suma i suma prosta podprzestrzeni. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. R 3 wyznacz bazíypodprzestrzeni U fl V i U + V dla C2. R 4 dane sπ podprzestrzenie U = {ų œ R 3 : x x 2 +2x 3 =0}, V = { v œ R 3 :2x + x 2 2x 3 =0}. V = span([, 2, 0, ], [2,,, 0], [, 8, 2, 3] ), = { x œ R 4 : x + x 2 x 3 x 4 = x x 2 2x 3 2x 4 =0}. yznacz bazy podprzestrzeni U fl V i U + V. C3. przestrzeniliniowej dane sπ podprzestrzenie U, V. Pokaø, øe U + V = U fi V wtedy i tylko wtedy, gdy U µ V lub V µ U. C4. n-wymiarowej przestrzeni liniowej dana jest podprzestrzeò V wymiaru n i wektor w œ. Pokaø, øe = V ü span(w) wtedyi tylko wtedy, gdy w/œ V. C5. przestrzenic n dane sπ podprzestrzenie liniowe: U = {ų œ C n : u + u u n =0}, V = { v œ C n : v = v 2 =...= v n }. Pokaø, øe C n = U ü V. Dla danego wektora x œ C n wyznacz wektory ų œ U oraz v œ V takie, øe x = v + ų. C6. NastÍpujπce podzbiory w R n,n sπ podprzestrzeniami liniowymi: = {A œ R n,n : A = A }, = {A œ R n,n : A = A } Pokaø, øe R n,n = +.CzyR n,n = ü? C7. Dany jest ciπg róønych liczb zespolonych x,x 2,x 3,...ipodprzestrzenie w C[z] n : V k = {p œ C[z] n : p(x k )=0}, k =, 2, 3,... Okreúl wymiar i wskaø bazí podprzestrzeni w zaleønoúci od m i n. k=,...,m C8. Niech a, b œ R. R 3 dane sπ podprzestrzenie V k U = { x œ R 3 : x 2x 2 + x 3 =0} V = span([2,a, 0] t, [,,b] ). Zbadaj, dla jakich wartoúci a, b (a) R 3 = U + V (b) R 3 = U ü V.

22 Zadania uzupe niajπce: U. R 5 dana jest podprzestrzeò V = { x œ R 5 : x + x 2 + x 3 + x 4 = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 =0} Znajdü bazí V i znajdü bazí podprzestrzeni µ R 5 takiej, øe V ü = R 5. U2. przestrzeniliniowejr 4 dane sπ podprzestrzenie U = { x œ R 4 : x + x 2 = x 2 + x 3 = x 3 + x 4 =0} V = { x œ R 4 : x + x 2 + x 3 = x 2 + x 3 + x 4 =0}, gdzie x =[x,x 2,x 3,x 4 ]. Znajdü bazí przestrzeni U + V iuzupe nij jπ do bazy ca ej przestrzeni R 4.CzysumaU + V jest prosta? U3. R 4 znajdü bazy podprzestrzeni fl Y i + Y dla = span([3, 2,, 0], [4, 3, 0, 2], [, 2, 2, 3] ) Y = { x œ R 4 :2x +3x 2 +2x 3 6x 4 =0}. U4. jest przestrzeniπ liniowπ wymiaru n<œ i V µ jest podprzestrzeniπ liniowπ. Pokaø, øe istnieje podprzestrzeò µ taka, øe = V ü. U5. PrzestrzeÒ liniowa ma wymiar 0, U, V µ sπ podprzestrzeniami liniowymi i dim U = 4, dim V = 6. Jakie sπ moøliwe wymiary podprzestrzeni U fl V i U + V? U6. Niech = {p œ C[x] 5 : p(0) = p() = p( )}. Pokaø, øe jest podprzestrzeniπ liniowπ w C[x] 5, znajdü wymiar i wskaø bazí. skaø bazí podprzestrzeni Y µ C[x] 5 takiej, øe C[x] 5 = ü Y. U7. Zbiór Y = {p : p(0) = p()} jest podprzestrzeniπ liniowπ w R[x] 4. (a) Znajdü podprzestrzeò Z µ R[x] 4 takπ, øe R[x] 4 = Y ü Z i wskaø bazy podprzestrzeni Y oraz Z. (b) yzancz wielomiany p œ Y, q œ Z takie, øe x 4 = p(x)+q(x). (c) yznacz w znalezionej wczeúniej bazie podprzestrzeni Y wspó rzídne wielomianu x 2 x + a, a œ R. U8. Pokaø, øe przestrzeò funkcji R R jest sumπ prostπ podprzestrzeni funkcji parzystych i funkcji nieparzystych. Zadania na kartkówkí 8//205: K. R 4 dane sπ podprzestrzenie V = span([3, 2,, 0], [, 2, 2, 3], [0, 4, 5, 9] ), = { x œ R 4 : x x 3 + x 4 =0}. yznacz bazy podprzestrzeni U fl V i U + V. K2. przestrzenir[x] 2 dane sπ podprzestrzenie = {p œ R[x] 2 : p( ) = p(0) = p()}, Y = { x œ R 4 : p( ) + p(0) + p() = 0}. Czy R[x] 2 = ü Y? Uzasadnij odpowiedü. 2

23 GAL (Informatyka), grupa. 3//205 Zadania z 2. i 3 ÊwiczeÒ. Obraz, jπdro i rzπd macierzy. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. yznacz bazy jπdra i obrazu macierzy U 2 3 0V C2. Pokaø, øe (a) Operacje elementarne na wierszach nie zmieniajπ jπdra macierzy. (b) Operacje elementarne na kolumnach nie zmieniajπ obrazu macierzy. (c) Operacje elementarne na wierszach i kolumnach nie zmieniajπ rzídu macierzy. C3. przestrzenik m dane sπ podprzestrzenie U = span(ą,...,ą k ), V = span( b,..., b l ) i M =[ą,...,ą k, b,..., b l ] œ K m,k+l. (a) Pokaø, øe rank M =dim(u + V ) (b) Pokaø, øe dim(ker M) ˇ dim(u fl V ). Kiedy zachodzi równoúê? (c) Pokaø, øe [,..., k,,..., l ] œ ker M wtedy i tylko wtedy, gdy ą k ą k = ( b l bl ) œ U fl V. C4. R 4 dane sπ podprzestrzenie: = span([2,, 3, 4], [3, 9, 3, 9], [, 7, 3, ] ) Y = span([, 3, 3, 0], [2, 5, 3, 5], [, 8, 0, 5] ) Znajdü bazy podprzestrzeni fl Y i + Y C5. Za óømy, øe n ˇ 4 i wektory x, y œ R n sa liniowo niezaleøne. yznacz bazí jπdra macierzy [ x, x + y, x y, y ] œ R n,4. C6. Dane sπ macierze A, B œ K n,n takie, øe AB = 0. Pokaø, øe ranka + rankb n. C7. Niech A œ K k,l, B œ K l,m. Pokaø, øe rank(ab) min(rank A, rank B).

24 C8. Dana jest macierz A œ C 205,205 taka, øe ranka <000. Pokaø, øe dim(ker(a + A )) > 5. C9. R 5 dana jest podprzestrzeò linowa V wymiaru 3. R 6,5 rozwaøamy podzbiór = {A œ R 6,5 : V µ kera}. Pokaø, øe jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 6,5 i znajdü jej wymiar. C0. R 5 dana jest podprzestrzeò liniowa wymiaru 3. R 5,4 rozwaøamy podzbiór V = {A œ R 5,4 :ima µ }. Pokaø, øe V jest podprzestrzeniπ liniowπ w R 5,4 i znajdü jej wymiar. Zadania uzupe niajπce: U. R 4 dane sπ podprzestrzenie: = { x œ R 4 : x +2x 2 5x 3 +3x 4 =2x 4x 2 + 0x 3 6x 4 =0} Y = { x œ R 4 :2x + x 2 x 3 +4x 4 =3x x 2 +2x 3 + x 4 =0}. Znajdü bazy podprzestrzeni fl Y i + Y. U2. yznacz w zaleønoúci od a, b œ R rzπd macierzy b b b a Ua b b a V œ R 3,3. a + b b 0 U3. Rozwaøamy nastípujπce podzbiory przestrzeni R m,n : Y Z ] nÿ ^ = [ A =[a i,j] œ R m,n : a i,j =0dlai =, 2,...m \, Y = I B =[b i,j ] œ R m,n : j= mÿ i= b i,j =0dlaj =, 2,...n (a) ykaø, øe i Y sπ podprzestrzeniami liniowymi i wskaø przyk ady baz. (b) Dla jakich m, n R m,n = ü Y? U4. Dana jest macierz U 2 6 V yznacz bazy przestrzeni im A oraz ker A. Czy macierz A jest nieosobliwa? J. 2

25 U5. Dane sπ macierze A = 4 4 2, B = U 3 5V U V Znajdü bazy podprzestrzeni im A +imb,im A fl im B µ R 5 oraz podprzestrzeni ker A +kerb,ker A fl ker B µ R 4. U6. yznacz, w zaleønoúci od a œ R, rzπd macierzy a 0 0 a 0 a U a 0 a V. 0 0 a 3 U7. ektory x, y, z œ R 203 sπ liniowo niezaleøne. yznacz bazy obrazu i jπdra macierzy A =[ x + y, x y, x + z, x z, x + y + z ] œ R 203,5. U8. Dana jest macierz B œ K l,m i rank B = r. przestrzenik m,n rozwaøamy podzbiór = {M œ K m,n : BM =0}. Pokaø, øe jest podprzestrzeniπ liniowπ i okreúl jej wymiar. U9. Za óømy, øe A œ R 0,0, x, x 2,..., x 7 œ R 0, wektory x, x 2,..., x 7 sπ liniowo niezaleøne oraz (a) (3 pkt.) Pokaø, øe rank A 4. A x = A x 2 =...= A x 7. (b) (3 pkt.) Pokaø, øe macierz A + A jest osobliwa. U0. Dana jest macierz nieosobliwa A œ K n,n i macierze B,C œ K n,n takie, øe A = BC. Pokaø, øe macierze B i C teø sπ nieosobliwe. U. Niech A, B œ K m,n. Pokaø, øe rank(a + B) rank A + rank B. U2. Dana jest macierz A œ R m,n. Pokaø, øe ker A =ker(a A) oraz rank A = rank(a A) = rank(aa ). U3. Niech A œ K m,n. Pokaø, øe nastípujace warunki sπ równowaøne (i) ker A = {0} (ii) dla dowolnego liniowo niezaleønego uk adu wektorów x,..., x r œ K n uk ad A x,...,a x n jest liniowo niezaleøny w K m. U4. Za óømy, øe A œ K m,n. Pokaø, øe K n =kera ü im A H K m =kera H ü im A. 3

26 Zadania na kartkówkí 8//205: K. R 4 dane sπ podprzestrzenie V = span([3, 2,, 0], [, 2, 2, 3], [0, 4, 5, 9] ), = { x œ R 4 : x x 3 + x 4 =0}. yznacz bazy podprzestrzeni U fl V i U + V. K2. przestrzenir[x] 2 dane sπ podprzestrzenie = {p œ R[x] 2 : p( ) = p(0) = p()}, Y = { x œ R 4 : p( ) + p(0) + p() = 0}. Czy R[x] 2 = ü Y? Uzasadnij odpowiedü. K3. yznacz rzπd i bazy jπdra oraz obrazu macierzy 3 A = U 2 2V

27 GAL (Informatyka), grupa. 20//205 Zadania z 5. i 6 ÊwiczeÒ. Istnienie i jednoznacznoúê rozwiπzaò uk adów równaò liniowych. yznacznik macierzy. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Okreúl, dla jakich wartoúci parametru a œ R uk ad równaò Y _] ax + y + z = x + ay + z = _[ x + y + az = jest sprzeczny/niesprzeczny/oznaczony. C2. Oblicz wyznaczniki (a) det 3 U 2 3V, (b)det 4 U V C3. Oblicz wyznacznik n n n n n n det n n n.... U nv (n ) 0 C4. Oblicz wyznacznik Vandermonde a x 0 x x n 0 x x 2... x n V n (x 0,x,...,x n )=det n x 2 x x n 2, U... V x n x 2 n... x n n gdzie x 0,x,...,x n œ C. C5. Dla a =, 2, 4 oblicz wyznacznik a a a d n (a) =det n.... U a V a

28 C6. Dane sπ liczby rzeczywiste a,...,a n,b. Oblicz wyznaczniki macierzy a + b b... b b a 2 + b... b U... V b b... a n + b C7. Macierz A œ C 2n+,2n+ jest antysymetryczna. Pokaø, øe A jest osobliwa. C8. Niech A œ C n,n. Pokaø, øe istnieje x œ C takich, øe macierz A xi n jest osobliwa. Jak duøo takich liczb x moøe byê? C9. Niech A œ K n,n. Macierz dope nieò algebraicznych macierzy A jest to macierz C A =[c i,j ] œ K n,n, gdzie Pokaø, øe A (C A ) =det n A I n i c i,j =( ) i+j det n A i,j. A = det n A (C A). C0. (zory Cramera) Za óømy øe macierz kwadratowa A =[ą,...,ą n ] œ K n,n jest nieosobliwa, b œ K n i x =[x,...,x n ] œ K n jest rozwiπzaniem uk adu równaò A x = b. Pokaø, øe Zadania uzupe niajπce: x j = det n[ą,...,ą j, b, ą j+,...,ą n ]. det n A U. Okreúl dla jakich œ R dany uk ad równaò jest sprzeczny, niesprzeczny, oznaczony. Y _] x 5y + 2 z = 3 2x + 2y 2 z = 3 _[ 4x + 3y + z = 5 U2. PermutacjÍ p œ 7 p =[3,, 5, 7, 2, 6] roz óø na (a) cykle roz πczne, (b) transpozycje. Jaki jest znak permutacji p? U3. PermutacjÍ p przedstawiono jako iloczyn k cykli roz πcznych o d ugoúciach l,l 2,...,l k. Jaki jest znak permutacji p? U4. Znamy rozk ad na cykle roz πczne permutacji p œ n. Jak wyglπda taki rozk ad dla permutacji p? U5. Niech q œ n i P q œ K n bídzie takπ macierzπ, øe dla kaødego wektora x =[x,...,x n ] Pokaø, øe P =[p i,j ], gdzie Pq x =[xq(),xq(2),...,xq(n)]. p i,j = I P q nazywamy macierzπ permutacji q. gdy j = p(i), 0 gdy j = p(i). 2

29 U6. Dla q œ n P q oznacza macierz tej permutacji. (a) ile wynosi det n P q?, (b) jak wyglπda macierz P q? (c) pokaø, øe P r q = P r P q. U7. Oblicz wyznacznik macierzy U V U8. Niech Oblicz det(a 205 ). C D 8 5i 6 A =. 4 5i 3+5i U9. Macierz A œ C n,n spe nia warunek AA H = I n. Jakie wartoúci moøe przyjmowaê det n A? U0. Macierz A œ C n,n spe nia warunek A k = I n. Jakie wartoúci moøe przyjmowaê det n A? U. Oblicz wyznacznik (a 0 + b 0 ) n (a 0 + b ) n... (a 0 + b n ) n (a det + b 0 ) n (a + b ) n... (a + b n ) n n+ U... V, (a n + b 0 ) n (a n + b ) n... (a n + b n ) n gdzie a i,b i œ C dla i =0,...,n. skazówka: korzystaj z tw. Cauchy ego o wyznaczniku iloczynu macierzy. U2. Oblicz wyznacznik n n n n n n det n n n.... U n nv n U3. Dla a œ R oblicz wyznacznik macierzy a 2 a 3 a 4 Ua + a a 3 V. a 4 a 7 a 0 U4. Dana jest macierz A =[a i,j ] n i,j= taka, øe a i,j = I 2 gdy i = j, gdy i = j. Oblicz det n (A). 3

30 U5. Dane sπ liczby rzeczywiste a,...,a n,b. Oblicz wyznaczniki macierzy a + b a 2... a n a a 2 + b... a n U... V. a a 2... a n + b U6. macierzy A œ K n,n na przeciíciach pewnych k wierszy z pewnymi l kolumnami znajdujπ sií elementy równe 0, przy czym k +l >n. Pokaø, øe macierz A jest osobliwa. Zadania na kartkówkí 25//205 K. Okreúl dla jakich wartoúci paramteru b œ R uk ad równaò Y _] ( + b)x + y + z = x + (+b)y + z = b _[ x + y + (+b)z = b 2 jest sprzeczny/niesprzeczny/oznaczony. K2. Dana jest macierz nieosobliwa A œ K n,n i macierze B,C œ K n,n takie, øe A = BC. Pokaø, øe macierze B i C teø sπ nieosobliwe. K3. Macierz A œ K n,n jest osobliwa. Zbadaj prawdziwoúê poniøszych stwierdzeò. Uzasadnij odpowiedzi. ówczas macierz A 2 teø jest osobliwa. ówczas istnieje taki wektor b œ K n, øe uk ad równaò A x = b jest sprzeczny. ówczas istnieje taki wektor b œ K n, øe uk ad równaò A x = b jest oznaczony. Dla dowolnych wektorów ų,...,ų n œ K n wektory Aų,...Aų n sπ liniowo zaleøne. 4

31 GAL (Informatyka), grupa. 27//205, 02/2/205 Zadania z 7. i 8 ÊwiczeÒ. Iloczyny skalarne i normy. OrtogonalnoúÊ wektorów. Macierz Gramma. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Która z poniøszych funkcji jest iloczynem skalarnym na R 3? (a) È x, y Í = x y + x 2 y 2, (b) È x, y Í = x y +2x 2 y 2 +3x 3 y 3, (c) È x, y Í = x y +2x 2 y 2 3x 3 y 3, (d) È x, y Í = x y 2 + x 2 y 3 + x 3 y C2. Która z poniøszych funkcji jest iloczynem skalarnym na C 3? (a) È x, y Í = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 (b) È x, y Í = x y 2 + x 2 y + x 2 y 3 + x 3 y 2 (c) È x, y Í = x y +3 x 2 y 2 +2 x 3 y 3 +2i( x 2 y 3 x 3 y 2 ) C3. przestrzenir 4 ze standardowym iloczynem skalarnym znajdü moøliwie duøo wzajemnie prostopad ych wektorów, które sπ jednoczeúnie prostopad e do wektorów [,, 0, 3],[0,, 2, 2]. C4. prawdü, øe uk ad wektorów v =[,, ], v 2 =[, 2, ], v 3 =[, 0, ] jest bazπ ortogonalnπ w R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Zapisz wektor x =[, 3, 5] jako kombinacjí liniowπ v, v 2, v 3. C5. przestrzeni unitarnej (, È, Í) dany jest uk ad ortonormalny u,u 2, u 3,u 4. Niech x = u 2u 2 +4u 4, y = u + u 2 + u 3.ObliczÈx, yí oraz ÎxÎ, ÎyÎ. C6. w. Pitagorasa. przestrzeni z iloczynem skalarnym (,È, Í) dany jest ortogonalny uk ad wektorów x,...,x k. Pokaø, øe 2 kÿ Îx k Î 2 kÿ = x k... j= C7. Pokaø, øe w przestrzeni euklidesowej, dwa wektory x, y spe niajπ ÎxÎ = ÎyÎ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x+y i x y sπ ortogonalne. C8. Kulπ jednostkowπ w przestrzeni(,è, Í) nazywamy zbiór j= B = B = {x œ : ÎxÎ }. Pokaø, øe kula jednostkowa jest zbiorem wypuk ym, tzn. jeøeli x, y œ B,0, i + =, to x + y œ B.

32 C9. Pokaø, øe dla dowolnych liczb zespolonych z,z 2,...,z n zachodzi nierównoúê nÿ - k= z k k 2 A ÿ n - k= B A n B ÿ k 2 z k 2. k= C0. Niech x 0,...x n œ K bídπ róønymi punktami. Dla p, q œ K[x] n okreúlamy nÿ Èp, qí = p(x k )q(x k ). k=0 Pokaø, øe jest to iloczyn skalarny na przestrzeni K[x] n.czybídzie to prawda, jeøeli weümiemy k + róønych punktów x 0,x...,x k dla k = n? C. R n rozwaøamy standardowy iloczyn skalarny È x, y Í = x y. Niech A œ R n,n. Pokaø, øe A A = I n wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaødego ortonormalnego uk adu wektorów ų,...,ų n œ R n uk ad Aų,...,Aų n teø jest ortonormalny. C2. przestrzeni z iloczynem skalarnym (,È, Í) dany jest uk ad wektorów v,...,v k. Macierz G = G(v,...,v k )=[Èv i,v j Í] k i,j= nazywamy macierzπ Gramma uk adu v,...,v k. Udowodnij, øe uk ad wektorów v,...,v k jest liniowo niezaleøny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz G(v,...,v k ) jest nieosobliwa. Zadania uzupe niajπce: U. prawdü, øe uk ad wektorów v =[,,, 0], v 2 =[, 3, 2, ], v 3 =[, 0,, ] jest ortogonalny w R 4 ze standardowym iloczynem skalarnym i uzupe nij go do bazy ortogonalnej przestrzeni R 4. Zapisz wektor x = [,,, ] jako kombinacjí liniowπ wektorów z tej bazy. U2. C 3 z iloczynem skalarnym È x, y Í = x H y rozwaøamy zbiór U = { x œ C 3 : x [, +i, i] }. Pokaø, øe U jest podprzestrzeniπ liniowπ. yznacz bazí U. U3. Pokaø, øe funkcja È, Í : R 2 R 2 æ R postaci È x, y Í = ax y + bx 2 y 2 + bx 2 y + cx 2 y 2 jest iloczynem skalarnym na R 2 wtedy i tylko wtedy, gdy a > 0i ac > b 2. U4. Na przestrzeni R[x] 2 zdefiniowano iloczyn skalarny Èp, qí = p( )q( ) + p(0)q(0) + p()q(). yznacz wszystkie wielomiany w ortogonalne do wielomianu p(x) = +x + x 2. Oblicz normí wielomianu p. 2

33 U5. przestrzenieuklidesowej(, È, Í) dane sπ wektory x, y. Pokaø, øe (a) Îx + yî 2 + Îx yî 2 =2ÎxÎ 2 +2ÎyÎ 2, (b) Èx, yí = 4 (Îx + yî2 Îx yî 2 ). (Powyøej ÎuÎ = apple Èu, uí dla u œ.) U6. Pokaø, øe dla dowolnych wektorów x, y z przestrzeni unitarnej (, È, Í) Èx, yí = Îx + yî2 Îx yî 2 + i Îx + iyî 2 i Îx iyî 2. 4 U7. Pokaø, øe dwa wektory x, y z pewnej przestrzeni unitarnej sπ ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych skalarów, Î x + yî 2 = Î xî 2 + Î yî 2. U8. Niech p, q > 0ip + q =. Pokaø, øe dla dowolnych liczb rzeczywistych x,x 2,...,x n zachodzi nierównoúê A ÿ n B 2 A ÿ n x n k= k= B A n B x 2p ÿ k x 2q k. k= U9. Pokaø, øe dla dowolnego wektora x =[x,...,x n ] œ C n prawdziwe jest oszacowanie x x n Ôn ÎxÎ, gdzie ÎxÎ 2 = x x. U0. Dane sπ liczby rzeczywiste dodatnie a,a 2,...,a n przetrzenieuklidesowej R n rozwaøamy zbiór E = { x œ R n : x a, x 2 x 2,..., x n a n }. Czy zbiór E jest wypuk y? Zadania na kartkówkí 09/2/205 K. Oblicz wyznacznik 3 2 det 4 U V K2. przestrzenieuklidesowejr 3 z iloczynem skalarnym È x, y Í = x y znajdü 2 wzajemnie prostopad e wektory, które sπ prostopad e do wektora [, 2, 2]. K3. przestrzeni unitarnej (, È, Í) dany jest uk ad ortogonalny u,u 2,u 3, przy czym Èu,u Í = Èu 2,u 2 Í =iîu 3 Î = 2. Niech x = u 2u 2, y = u + u 2 +4u 3.ObliczÈx, yí oraz ÎxÎ. 3

34 GAL (Informatyka), grupa. 04/2/205 Zadania z 9. i 20. ÊwiczeÒ. Ortogonalizacja Grama-chmidta. Dope nienie ortogonalne. Rzut ortogonalny. Rozk ad ortogonalny przestrzeni. Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. przestrzenir 3 ze standardowym iloczynem skalarnym przeprowadü ortogonalizacjí Grama-chmidta uk adu wektorów x r, 2, 2s, x 2 r 2,, 7s, x 3 r5, 0, 2s. Czy otrzymany uk ad jest bazπ ortogonalnπ? Jeøeli tak, to zapisz wektor ę za pomocπ wektorów z tej bazy. C2. przestrzenir 3 znajdü bazy ortogonalne podprzestrzeni V t x P R 3 : x 3x 2 ` x 3 0u ipodprzestrzeniv K. Znajdü rzuty ortogonalne wektora x r 2,, 4s na te podprzestrzenie. C3. Niech n. przestrzeni euklidesowej R n rozwaøamy podprzestrzeò V t x P R n : x ` x 2 `...` x n 0u. (a) Znajdü bazí ortogonalnπ podprzestrzeni V K. (b) yznacz rzut ortogonalny wektora x rn, 0,...,0s na podprzestrzeò V. C4. Pokaø, øe nierównoúê chwarza xx, yy }x} }y} staje sií równoúciπ wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sπ liniowo zaleøne. C5. Udowodnij, øe w skoòczenie wymiarowej przestrzeni z iloczynem skalarnym p, x, yq rzut ortogonalny P Z pxq wektora x P na podprzestrzeò liniowπ Z spe nia nierównoúê }x P Z pxq} }x z} dla kaødego wektora z P Z. Pokaø, øe równoúê zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z P Z pxq. C6. skoòczenie wymiarowej przestrzeni z iloczynem skalarnym p,x, yq dane sπ podprzestrzenie U, V. Pokaø, øe (a) pu K q K U, (b) jeøeli U Ä V,toV K Ä U K, (c) pu ` V q K U K V K, (d) pu V q K U K ` V K.

35 C7. przestrzenik n ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrzeò V. Uk ad wektorów v,..., v k jest bazπ ortonormalnπ podprzestrzeni V. Niech A v v H `...` v k v H k. (a) Pokaø, øe dla kaødego wektora x P K n P V p x q A x. (b) Jaki jest rzπd macierzy A? yznacz podprzestrzenie im A oraz ker A. C8. R n wyznacz kosinus kπta miídzy wektorem ę k, k, 2,...,n,i podprzestrzeniami V t x P R n : x ` x 2 `...` x n 0u. C9. Oblicz kosinus kπta miídzy przekπtnπ n-wymiarowej kostki regularnej, a jej úcianπ k - wymiarowπ. C0. przestrzeni z iloczynem skalarnym p,x, yq dany jest uk ad wektorów v,...,v k. Macierz G Gpv,...,v k q rxv i,v j ys k i,j nazywamy macierzπ Gramma uk adu v,...,v k. Udowodnij, øe uk ad wektorów v,...,v k jest liniowo niezaleøny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz Gpv,...,v k q jest nieosobliwa. Jak wyglπda macierz Gramma ortogonalnego (ortonormalnego) uk adu wektorów? C. Pokaø, øe macierz Gramma jest hermitowska. C2. Za óømy, øe w przestrzeni z iloczynem skalarnym p,x, yq dana jest baza ortonormalna u,...,u n, oraz wektory x,...,u k P, przyczym x j nÿ a i,j u i, a i,j P K, j,...,k i Niech A ra i,j spk n,k. ówczas Gpv,...,v k q A H A. C3. przestrzeni z iloczynem skalarnym p, x, yq dane sπ wektory x,...,x k, k i wektor z jest rzutem ortogonalnym wektora x k na podprzestrzeò spanpx,...,x k q K. Pokaø, øe det k Gpx,...,x k q det k Gpx,...,x k q }z} 2. C4. Pokaø, øe wyznaczniki Gramma liniowo niezaleønego uk adu wektorów x,...,x k i uk adu z,...,z k otrzymanego w wyniku ortogonalizacji Gramma-chmidta uk adu x,...,x k sπ równe. C5. R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym dane sπ trzy liniowo niezaleøne wektory ų, v, w. Pokaø, øe objítoúê równoleg oúcianu wyznaczonego przez te wektory (czyli takiego, którego wierzcho ki to 0, ų, v, ų ` v, w, ų ` w, v ` w, ų ` v ` w )jestrówna a det 3 Gpu, v, wq. 2

36 Zadania uzupe niajπce: U. Uk ad x,...,x k w przestrzeni z iloczynem skalarnym p, x, yq jest ortonormalny. Udowodnij nierównoúê Bessela: dla dowolnego wektora y P kÿ xx i,yy 2 }y} 2. i U2. przestrzenieuklidesowejr 4 ze stanardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrzeò liniowa: x x, y y x y t x P R 4 : x x 2 x 4 x 2 ` x 3 x 4 0u. Znajdü bazy ortogonalne podprzestrzeni i K. yznacz rzuty ortogonalne wektora r3, 3, 3, 3s na podprzestrzenie i K. U3. przestrzenir 4 ze standardowym iloczynem skalarnym x x, y y x y przeprowadü ortogonalizacjí Grama - chmidta uk adu wektorów» fi» fi» fi 3 6 v fl, v 2 fl, v 3 4 2fl. 3 0 Uzyskany uk ad wektorów uzupe nij do bazy ortogonalnej przestrzeni R 4 i wyznacz wspó rzídne wektora ę w tej bazie. U4. przestrzenirrxs 2 z iloczynem skalarnym xp, qy pp qqp q`pp0qqp0q`ppqqpq przeprowadü ortogonalizacjí Grama - chmidta uk adu wielomianów t 2, t `, t`. U5. przestrzenirrts 2 rozwaøamy iloczyn skalarny xp, qy pp qqp q`pp0qqp0q`ppqqpq. yznacz wszystkie wielomiany q P Rrxs 2 ortogonalne do wielomianu ppxq x 2. Podaj przyk ad bazy ortogonalnej w przestrzeni Rrts 2 z podanym iloczynem skalarnym. U6. przestrzenir 4 ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest podprzestrzeò V spanpr,,, s, r0, 3,, 0s q. Znajdü rzuty ortogonalne wektora x r, 0,, 0s na podprzestrzenie V i V K. U7. przestrzenik n rozwaøamy standardowy iloczyn skalarny. Niech A P K n,n i za óømy, øe kolumny macierzy A tworzπ uk ad ortonormalny. Uzasadnij, øe macierz A jest nieosobliwa. Jak wyglπda macierz A? 3

37 U8. R n znajdü bazí ortogonalnπ podprzestrzeni V t x P R n : x ` x 2 `...` x n 0u. U9. p,x, yq jest przestrzeniaπ z iloczynem skalarnym skoòczonego wymiaru. Pokaø, øe K t0u i t0u K. U0. Jak wyglπda macierz Grama ortogonalnego (ortonormalnego) uk adu wektorów? U. Pokaø, øe na przestrzeni K m,n moøna okreúliê iloczyn skalarny w nastípujπcy sposób: xa, By tracepab H q. Zapisz wzór na normí macierzy pochodzπcπ od powyøszego iloczynu skalarnego. U2. R n,n z iloczynem skalarnym xa, By tracepab q wyznacz dope nienie ortogonalne podprzestrzeni liniowej (a) macierzy trójkπtnych górnych, (b) macierzy o zerowym úladzie, (c) macierzy antysymetrycznych. U3. Niech p, x, yq bídzie przestrzeniπ euklidesowπ i uk ad x, u,...,u k P jest liniowo niezaleøny. Niech U spanpu,...,u k q. Pokaø, øe }x P U pxq} det k`gpu,...,u k,xq. det k Gpu,...,u k q U4. Niech p, x, yq bídzie przestrzeniπ euklidesowπ i u,...,u k P. Pokaø, øe det k Gpu,...,u k q }u }... }u k } i równoúê zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy uk ad u,...,u k jest ortogonalny lub zawiera wektor zerowy. U5. R n wyznacz liczbí przekπtnych n-wymiarowej kostki o krawídzi, prostopad ych do danej przekπtnej tej kostki. U6. Uk ad u,...,u n jest bazπ ortonormalnπ przestrzeni euklidesowej p, x, yq i x P. Pokaø, øe nÿ pcosp?px, u k qq 2. k U7. Pokaø, øe wyznacznik Gramma liniowo niezaleønego uk adu wektorów jest liczbπ rzeczywistπ dodatniπ. U8. Uk ad v,...,v k jest liniowo niezaleøny i dla pewnego j, j k, wektor v j zapisano jako v j x j`w j,przyczymx j P spanpv,...,v j q, y j P spanpv,...,v j q K. Pokaø, øe det k rv,...,v k s det k rv,...,v j,w j,v j`,...,v k s. 4

38 Zadania na kartkówkí 09/2/205 K. Oblicz wyznacznik» fi 3 det fl K2. przestrzenieuklidesowejr 3 z iloczynem skalarnym xx, yy x y znajdü 2 wzajemnie prostopad e wektory, które sπ prostopad e do wektora r, 2, 2s. K3. przestrzeni unitarnej p, x, yq dany jest uk ad ortogonalny u,u 2,u 3, przy czym xu,u y xu 2,u 2 y i}u 3 } 2. Niech x u 2u 2, y u ` u 2 ` 4u 3.Obliczxx, yy oraz }x}. K4. przestrzenir 4 ze standardowym iloczynem skalarnym wyznacz rzuty ortogonalny wektora v r8, 3, 2, 5s na podprzestrzeò oraz na podprzestrzeò V K. V t x P R 4 : x 2x 2 ` 4x 3 2x 4 0u 5

39 GAL (Informatyka), grupa. /2/205 Zadania z 2. i 22. ÊwiczeÒ. Przekszta cenia liniowe Pawe Bechler Zadania z ÊwiczeÒ: C. Które z poniøszych odwzorowaò f : R 3 Ñ R 2 sπ przekszta ceniami liniowymi? (a) fprx,x 2,x 3 s q rx 3x 2 2, 4x ` 2x 2 7s (b) fprx,x 2,x 3 s q rx x 2 ` 3x 3, 5x 4x 2 ` 2x 3 s (c) fprx,x 2,x 3 s q r0, x 2 x 2 x 3 s (d) fprx,x 2,x 3 s q rx 2,x 2 x,x 3 x 2 s C2. Które z poniøszych odwzorowaò F : Krts Ñ Krts sπ przekszta ceniami liniowymi? (a) F ppqptq ppat ` bq, a, b P K to ustalone skalary. (b) F ppqptq ppt ` q pptq, (c) F ppqptq q 0 ptq fptq, gdzie q 0 P Krts jest ustalonym wielomianem. (d) F ppqptq fpfptqq. C3. Dane jest przekszta cenie liniowe f P LpR 2, R 3 q takie, øe fpr3, s q r4, 5, s, fpr7, 2s q r 3, 0, 5s. Znajdü macierz A P R 3,2 takπ, øe dla kaødego x P R 2 fp x q A x. C4. Przekszta cenie liniowe f : Rrxs 2 Ñ R 2 spe nia warunki fp ` tq r, 7s, fp2 tq r 5, 2s, fp 3t ` t 2 q r2, 4s. yznacz fpt 2 q. C5. Niech f P Lp, Y q i g P LpY,Zq, gdzie, Y, Z sπ przestrzeniami liniowymi nad cia em K. Pokaø, øe odwzorowanie h g f, hpxq gpfpxqq, x P jest przekszta ceniem liniowym z w Z, czylih P Lp, Zq. C6. Znajdü macierz przekszta cenia f P LpR 3, R 2 q fprx,x 2,x 3 s x x q 2 ` 3x 3 5x 4x 2 ` 2x 3 (a) w bazach ę,ę 2,ę 3 wdziedzinier 3 i ę,ę 2 wprzeciwdziedziner 2, (b) w bazach ę,ę 2,ę 3 wdziedzinieię,ę ` ę 2 wprzeciwdziedzinie, (c) w bazach r,, s, r0,, s, r2, 0, s wdziedzinieir, s, r, s wprzeciwdziedzinie.