Przykład Zbiór {0, 2} jest podgrup grupy Z 4, bo elementem odwrotnym do liczby 2 jest ta sama liczba ((2 + 2)mod4 = 0).

Transkrypt

1 Uzuełieia do rozdz. I Zbiór izometrii rzekształcajcych day rostokt ABCD, który ie jest kwadratem a siebie z działaiem składaia rzekształce jest gru abelow. Zbiór rozatrywaych izometrii składa si z elemetów: O 0, O to obroty o kty 0, π odowiedio oraz S a, S b to symetrie wzgldem symetralych oszczególych ar boków. Złoeie izometrii jest izometri, składaie rzekształce jest te łcze. Działaie w tej gruie moa oisa tabelk O 0 O S a S b O 0 O 0 O S a S b O O O 0 S b S a S a S a S b O 0 O S b S b S a O O 0 Przyjmujemy ierwsze argumety Elemetem eutralym jest O 0. Elemetem rzeciwym do dowolego elemetu jest te sam elemet. Jest to grua abelowa bo owysza tabelka jest symetrycza. Zbiór {0, } jest odgru gruy Z, bo elemetem odwrotym do liczby jest ta sama liczba (( + )mod 0). Uwaga. Twierdzeie odwrote do twierdzeia Lagrage a ie jest rawdziwe (istiej gruy dla których ie istieje odgrua rzdu k, chocia k jest dzielikiem rzdu takiej gruy). Sosób składaia ermutacji.,. Pod ierwsz (tz. wykoywaej jako ierwsza) ermutacj umieszczamy doly wiersz drugiej ermutacji.

2 Wtedy, Góry wiersz strzałek jest graficzym obrazem ierwszej ermutacji. Strzałki w drugim wierszu rowadz od kolejych wartoci ierwszej ermutacji do elemetów w ajiszym wierszu zajdujcych si a ozycji wskazaej rzez liczb a ocztku strzałki. Nastie rozatrujemy złoeie strzałek. Sosób odwracaia ermutacji. Aby wyzaczy elemet odwroty do ermutacji zaisujemy jej wiersze w odwrotej kolejoci i orzdkujemy kolumy wg ierwszego wiersza, zatem. Srawdzeie: e

3 e Uwaga. Aby odwróci cykl wystarczy zaisa go w odwrotej kolejoci. Graficzy obraz ermutacji. Kadej ermutacji moa jedozaczie rzyorzdkowa graf,. ermutacji odowiada graf. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sosób rozkładaia ermutacji a cykle rozłcze. Aby rozłoy ermutacj a rozłcze cykle, bierzemy jako ocztek ierwszego cyklu ajmiejsza liczb, która ie rzechodzi a siebie, asty elemet cyklu to liczba a któr rzechodzi ta liczba, itd. a wrócimy do ocztkowej liczby w cyklu. Koleje cykle wyzaczamy odobie, a uwzgldimy wszystkie liczby, które ie rzechodz a siebie. Zatem:

4 ( )( ) ( )( ) Poiewa składaie cykli rozłczych jest rzemiee obydwa rozkłady a cykle s sobie rówe. Liczba ie wystuje w tych cyklach bo ermutacja j zachowuje. Rozkład a owysze cykle dobrze wida a grafie tej ermutacji [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sosób otgowaia cykli. Niech day bdzie cykl długoci k: (,,..., k ). Wtedy jest rówe czyli k k k (doly wiersz rzesuwa si w lewo o jeda ozycj a ierwsza liczba rzechodzi a ostatie miejsce). Koleje otgi otrzymujemy dokoujc kolejych rzesui dolego wiersza. Wiosek: k e. Uwaga. Potga cyklu ie musi by cyklem. N. dla ( ) mamy

5 ) )( ( e Sosób rozkładaia ermutacji a trasozycje. Aby rozłoy ermutacj a trasozycje, rozkładamy j a cykle rozłcze, a kady cykl rozkładamy a trasozycje wg schematu (,,..., k ) (, k )(, k- )... (, )(, ) lub (,,..., k ) (, )(, )(, )... ( k-, k- )( k, k- ) Z obu schematów wyika, e cykl długoci arzystej rozkłada si a iearzyst liczb trasozycji a cykl długoci iearzystej rozkłada si a arzyst liczb trasozycji. Zatem. ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) lub Srawdzeie.

6 Pierwszy rozkład. ( )( )( )( ) Drugi rozkład. ( )( )( )( ) Rozkład tej ermutacji a arzyst liczb trasozycji wiadczy o tym, e jest to ermutacja arzysta. Sosób wyisywaia iwersji daej ermutacji. Aby wyisa iwersje ermutacji

7 bierzemy ierwsz liczb z dolego wiersza tz. i tworzymy ary z liczbami miejszymi zajdujcymi si a rawo od iej, czyli (, ); (, ). Nastie bierzemy kolej liczb z dolego wiersza tz. i jak orzedio wyisujemy iwersj (, ). Koleje liczby daj iwersje: Dla liczby mamy (, ), (, ). Dla liczby mamy (, ), (, ). Dla liczby brak iwersji. Dla liczby mamy (, ). Dla liczby brak iwersji. Razem owysza ermutacja ma osiem iwersji, jest wic ermutacj arzyst. Piercie Z Działaie addytywe Działaie multilikatywe Zauwamy, e jest to iercie rzemiey z jedyk. W iercieiu tym kady elemet jest odwracaly. Brak dzielików zera. Piercie Z jest ciałem. Piercie Z Działaie addytywe Działaie multilikatywe Zauwamy, e jest to iercie rzemiey z jedyk. W iercieiu tym ie kady elemet jest odwracaly. Dzieliki zera to, i. Piercie Z ie jest ciałem.