Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego

Transkrypt

1 Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka odkształceń sprężystych, pojęcie naprężenia. Prawo Hooke a, moduł Kirchhoffa i jego wpływ na sprężystość materiałów. Budowa i zastosowania wahadła torsyjnego. Okres drgań, moment bezwładności, twierdzenie Steinera. Istota pomiaru modułu sprężystości postaciowej za pomocą wahadła torsyjnego. Znajomość jednostek w układzie SI (jednostki pochodne i wtórne). Zadania do wykonania I. Poznanie podstaw teoretycznych zjawiska odkształceń sprężystych, ze szczególnym uwzględnieniem ścinania prostego. II. Poznanie budowy i zastosowań wahadła torsyjnego. III. Wykonanie pomiarów okresów drgań wahadła torsyjnego dla prętów z różnych materiałów (wraz z pomiarami uzupełniającymi). IV. Zestawienie wyników i obliczenie wartości modułu sprężystości postaciowej różnych materiałów. Wiadomości wprowadzające Siły zewnętrzne działając na element powodują jego odkształcenie, które może być: sprężyste, jeżeli po usunięciu czynnika wywołującego naprężenie ciało powraca do kształtu pierwotnego, plastyczne (trwałe), jeżeli po usunięciu czynnika wywołującego, ciało nie powraca do kształtu pierwotnego. Poszczególne elementy konstrukcyjne w czasie pracy przenoszą pewne obciążenia. Zbyt duże obciążenia mogą doprowadzić do utraty spójności cząstek materiału, czego wynikiem mogą być pęknięcia danego ciała. Siła zewnętrzna przyłożona statycznie lub dynamicznie, skupiona lub rozłożona, powoduje powstanie w ciele sił wewnętrznych działających na umowny przekrój. Wypadkowa sił nosi nazwę siły napięcia danego przekroju. Siła napięcia przypadająca na jednostkę powierzchni danego przekroju nazywa się naprężeniem. Podstawową jednostką naprężenia jest Pascal (Pa = N/m 2 ). Rozważmy przypadek, gdy siły działające na ciało powodują jego odkształcenie sprężyste, a więc takie, gdy deformacja znika po ustąpieniu siły odkształcającej F. W zależności od kąta między wektorem siły działającej a powierzchnią ciała odkształconego, rozróżniamy siły normalne F N, tj. działające prostopadłe do 1

2 powierzchni (ściskające), oraz siły styczne do powierzchni (ścinające), F S (rys. 1). Takimi właśnie siłami zajmować się będziemy w naszym ćwiczeniu. Rys. 1. Odkształcenie prostopadłościanu pod wpływem sił stycznych Naprężenie styczne τ jest to stosunek siły stycznej F S do powierzchni S, na którą ta siła działa: Efekt działania takiego naprężenia nazywamy ścinaniem prostym. Odkształcenie mierzy się wtedy za pomocą tzw. kąta ścinania γ tj. kąta jaki tworzy płaszczyzna pierwotna z płaszczyzną obróconą na skutek ścinania (rys. 1). Między wielkościami γ oraz τ zachodzi związek znany jako prawo Hooke a (które mówi, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na niego siły jest wprost proporcjonalne do tej siły), które przyjmuje postać: Współczynnik G zwany modułem sztywności, modułem sprężystości postaciowej lub modułem Kirchhoffa ma wymiar N/m 2 = Pa. Charakteryzuje on własności sprężyste materiału. Im jest większy, tym trudniej jest zmienić kształt ciała. Wartości jego wahają się od 1, Pa dla gumy miękkiej, do ok. 8, Pa dla stali. Materiały o niskiej wartości modułu sprężystości wykorzystywane są na elementy sprężyste, tj. sprężyny, podkładki sprężyste itp. Materiały o wysokim module wykorzystywane są tam, gdzie odkształcenia sprężyste są niepożądane, a wysoka sztywność materiału konstrukcyjnego jest konieczna np. korpusy i elementy obrabiarek. Naprężenia styczne występują także w skręcanym pręcie, a więc skręcanie jest szczególnym przypadkiem ścinania materiału (rys. 2). Dla uproszczenia w obliczeniach wytrzymałościowych przyjmuje się przeważnie, że rozpatrywane tworzywo jest ośrodkiem jednorodnym i izotropowym (ciało, które we wszystkich kierunkach ma jednakowe własności). Anizotropię uwzględnia się jednak koniecznie w przypadku stosowania drewna oraz tworzyw sztucznych zbrojonych (laminatów). (1) (2) 2

3 Wahadło torsyjne Rys. 2. Odkształcanie elementów skręcanego pręta W wahadle grawitacyjnym moment kierujący wytwarza siła ciężkości. W wahadle torsyjnym powoduje go siła sprężystości pochodząca od skręconego pręta lub innego ciała sprężystego. Wahadłem torsyjnym jest m.in. balans, stosowany jako podstawowy element odmierzający czas w mechanicznych zegarkach ręcznych i kieszonkowych oraz w większości zegarów stołowych (rys. 3). W odróżnieniu od stosowanego w innych zegarach wahadła fizycznego, ruch balansu nie jest związany z obecnością pola grawitacyjnego Ziemi. Może on zatem pracować niezależnie od ustawienia względem pionu, a jego okres ruchu jest niezależny od miejsca na Ziemi. a) b) Rys. 3. a) Zegar stołowy z wahadłem torsyjnym (widocznym pod tarczą zegara); b) zegar z wahadłem fizycznym. 3

4 Po odkształceniu ciała sprężystego o kąt α od położenia równowagi powstają w nim drgania pod wpływem momentu siły skręcającej: M = Dα zwracającego ciało zawsze do położenia równowagi. Współczynnik proporcjonalności D, nazywamy momentem kierującym jest równy: (3) gdzie: r promień skręcanego pręta, L długość skręcanego pręta. Okres drgań takiego układu (a więc najkrótszy czas po jakim wychylenie, prędkość i przyśpieszenie przyjmą tę samą wartość) wyraża się wzorem: (4) gdzie: I momentem bezwładności masy wprawionej w drgania względem osi przechodzącej przez oś pręta. Moment bezwładności I jest miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem wybranej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała. Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu: (5) Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Zwykle mierzy się go w kg m². Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór: (6) 4

5 gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V ciała. ĆWICZENIE 2 Twierdzenie Steinera mówi, że moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi (np. O 1 O 2 patrz Rys. 4) równy jest momentowi bezwładności tej bryły względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości (oś O 1 O 2 patrz Rys. 4) i równoległej do danej osi, powiększonemu o iloczyn masy tej bryły przez kwadrat odległości między osiami a: gdzie: I S moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek ciężkości; a odległości między osiami. (7) Rys. 4. Ciało obracające się względem osi O 1 O 2, oś O 1 O 2 jest osią przechodzącą przez środek ciężkości. Przekształcając to wyrażenie na T znajdujemy wartość modułu sprężystości: (8) Moduł sprężystości wyznaczyć możemy doświadczalnie wywołując drgania torsyjne, posługując się prostym przyrządem pokazanym na rys. 5. Badany pręt o długości L, zamocowany sztywno w uchwycie obciążony jest wibratorem, na którym możemy umieszczać ciężarki. Skręcenie wibratora o niewielki kąt powoduje powstanie w pręcie sił sprężystości, które wywołują drgania harmoniczne całego układu. Wszystkie wielkości występujące we wzorze do obliczenia modułu sprężystości G, poza momentem bezwładności I, możemy łatwo zmierzyć. Wyznaczenie momentu bezwładności takiej bryły, jaką jest wibrator, byłoby rzeczą bardzo 5

6 skomplikowaną. Trudność tę omijamy w następujący sposób. W pierwszej fazie doświadczenia wprawiamy w ruch wibrator nie obciążony lub umieszczamy na nim ciężarki dające obciążenie wstępne (które należy traktować jako wchodzące w skład masy nieobciążonego wibratora) i znajdujemy okres drgań takiego układu: Rys. 5. Laboratoryjny model wahadła torsyjnego (9) Następnie umieszczamy na wibratorze dodatkowe ciężarki (np. w kształcie walca), których moment bezwładności względem osi przechodzącej przez ich środek masy możemy łatwo wyznaczyć (ewentualnie odczytać z tablic) i mierzymy nowy okres drgań T 2 : (10) Odejmując od T 2 wartość T 1 (a więc rozpatrując moment bezwładności pochodzący tylko od dodatkowych ciężarków) i podstawiając wartość D z wcześniejszej zależności oraz przekształcając równanie otrzymujemy: 6

7 ( ) (11) Jeżeli to dodatkowe obciążenie stanowią jednorodne walce (w ilości n) o momencie bezwładności względem osi przechodzącej przez ich środek ciężkości i równoległej do osi pręta wynoszącym I 0 = mr 2 (m jest masą walca, R jego promieniem), i gdy walce te umieścimy w odległości d od osi pręta, to zgodnie z twierdzeniem Steinera: ( ) ( ) (12) Moduł sprężystości wyznaczamy ze wzoru na G po podstawieniu do niego wyrażenia na I z otrzymujemy: ( ) ( ) (13) Jak widać z powyższych zależności znając moduł sprężystości postaciowej, możliwe jest (korzystając z wahadła torsyjnego) wyznaczenie momentów bezwładności skomplikowanych (nieregularnych) brył. Kreseczka nad wielkością oznacza wartość średnią np.: średnia masa wszystkich odważników. Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników 1. Za pomocą suwmiarki mierzymy kilka razy (5 6) w różnych miejscach średnicę badanego pręta (2r). 2. Mierzymy liniałem czynną długość badanego pręta (L) miejscami pomiędzy zaciskami mocującymi pręt. 3. Wprawiamy w ruch wibrator nie obciążony (lub obciążony obciążeniem wstępnym ). Mierzymy czas dwudziestu okresów drgań (20T 1 ), pomiar powtarzamy dwukrotnie. 4. Mierzymy średnice n dodatkowych ciężarków (2R). 5. Ważymy n dodatkowych ciężarków (m) masa podana na odważnikach. 7

8 6. Mierzymy odległość między sztyftami na których umieszczamy te ciężarki (2d), (rys. 5). 7. Po umieszczeniu dwóch, a potem czterech ciężarków na sztyftach ponownie wprawiamy wibrator w drgania. Mierzymy czas dwudziestu okresów drgań (20T 2 ), pomiar powtarzamy dwukrotnie. 8. Po wykonaniu odpowiednich pomiarów, wyznaczamy wartość T 1 i T 2 oraz obliczamy wartości średnie:,,,. Zmierzone wielkości zapisujemy w tabeli: Badany materiał 2r L 20T 1 T 1 2R m 2d 20T 2 T 2 Materiał 1 Materiał 2 Liczba odważników n Wielkość modułu sprężystości postaciowej G obliczamy ze wzoru (13). 10. Powtarzamy pomiary i obliczenia dla pręta wykonanego z innego materiału (wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia). 11. Porównujemy znalezioną wartość G z wartością tablicową (załącznik nr 2). Czy znaleziona przez nas wielkość zgadza się z wartością tablicową? 12. Proszę wyprowadzić jednostkę współczynnika sprężystości G. Otrzymane wyniki przedstawiamy w tabeli: Badany materiał Materiał 1 Materiał 2 Liczba odważników n Wartość G obliczona Wartość średnia z obliczeń Wartość G tablicowa 8

9 ZAŁĄCZNIK NR 2 ĆWICZENIE 2 Wartości współczynników sprężystości [10 11 N/m 2 ] Materiał Moduł Younga E Moduł sprężystości G Glin 0,63 0,72 0,23 0,27 Miedź 0,8 1,3 0,39 0,48 Mosiądz 0,80 1,00 0,27 0,37 Ołów 0,15 0,17 0,064 Stal 2,00 2,20 0,80 0,83 Szkło 0,50 0,80 0,2 0,3 Uniwersytet Rolniczy Wydział leśny Katedra Mechanizacji Prac Leśnych Laboratorium Fizyki instrukcja do ćwiczeń Rok akademicki 2012/2013 9