W technice często interesuje nas szybkość wykonywania pracy przez dane urządzenie. W tym celu wprowadzamy pojęcie mocy.

Transkrypt

1 .. Moc Wykład 5 Informatyka 0/ W technice często interesuje nas szybkość wykonywania racy rzez dane urządzenie. W tym celu wrowadzamy ojęcie mocy. Moc (chwilową) definiujemy jako racę wykonaną w jednostce czasu: P dw dt [P]WJ/s KM746W dw F dr dr P F F dt dt dt v P F v, Znając moc jako funkcję czasu PP(t) możemy znaleźć racę wykonaną w określonym rzedziale czasu: W t t P( t) dt

2 Przykład Wykład 5 Informatyka 0/ Porsche Carrera: masa m5 kg, wsółczynnik tarcia tocznego kół f 0,05, siła ooru owietrza: F o bv, b0,40 N s /m. Siła otrzebna do zrównoważenia oorów ruchu w czasie jazdy ze stałą szybkością o oziomej nawierzchni: F sil F tar + F o fmg + bv 80 N + (0,40 N s /m ) v Moc silnika otrzebna do jazdy z szybkością: v 36 km/h : F sil 0 N P F sil v 0 N 0 m /s, kw,9 KM v 0 km/h : F sil 540 N P F sil v 540 N 30 m /s 6 kw KM

3 .3. Siły zachowawcze Wykład 5 Informatyka 0/ Wiemy, że oddziaływania między ciałami rzenoszą się w rzestrzeni za ośrednictwem ól fizycznych. Jeśli raca wykonana rzez siły ola rzy rzemieszczaniu ciała zależy tylko od oczątkowego i końcowego ołożenia ciała, a nie zależy od drogi, o której ciało się oruszało, to ole nazywamy zachowawczym. O siłach takiego ola mówimy, że są zachowawcze. Pole grawitacyjne Księżyca W rzyadku sił zachowawczych kształt toru, o którym orusza się ciało nie ma wływu na wielkość wykonanej racy. W B Fs ds s s F s ds s s B Praca wykonana rzez siłę zachowawczą o zamkniętej ętli jest równa zeru. s B W W + W F ds B B s s 0 3

4 Wykład 5 Informatyka 0/ Praca wykonana rzez siłę ciężkości na drodze zamkniętej: W D mgh h dr D dr W B mg 0 W CD 0 mg dr C dr m g B W BC mgh dw F s F d r F s ds, F cos ( F, dr ) W W + W + W + W mg dr B BC CD D s 0 Praca wykonana rzez siłę ciężkości, która jest siłą zachowawczą, o zamkniętej ętli jest równa zeru. 4

5 Polami zachowawczymi są wszystkie ola centralne, tj. ola w których siła da się rzedstawić w ostaci: F f ( r) r F g G Wykład 5 Mm r rˆ Informatyka 0/ F f r ( r) r Przykładem ól centralnych (a tym samym zachowawczych) są: ole grawitacyjne, ole kulombowskie. Siły ooru lekiego, siła tarcia kinetycznego nie są siłami zachowawczymi. Praca tych sił zależy od drogi. F bv F bv F f N wawa47.jg 5

6 Wykład 5 Informatyka 0/.4. Energia kinetyczna Zmiana rędkości ciała wymaga wykonania racy. W B Zaiszmy racę elementarną i srowadźmy ją do ostaci: dw B B F dr mv dv dv F dr m dr dt dv m v dt mv dv. dt Obliczmy teraz racę na skończonej drodze od do B: mv B mv Wielkość wystęującą o rawej stronie wyrażenia daną wzorem: mv E k nazywamy energią kinetyczną ciała. 6

7 Wykład 5 Informatyka 0/ E k mv Energia kinetyczna jest tylko funkcją rędkości ciała. Przysieszający ojazd kosmiczny energia kinetyczna rośnie. Energia kinetyczna jest zawsze dodatnia lub równa zeru (ciała w soczynku). Zmiana energii kinetycznej wiąże się z racą sił, które rozędzają (W>0) lub hamują (W<0) ciało. Położenie i rędkość określają stan mechaniczny ciała są to arametry stanu. E k W Energia kinetyczna zależy tylko od rędkości, czyli jest funkcją stanu. Lądowanie romu kosmicznego jego energia kinetyczna maleje. 7

8 .3. Energia otencjalna Wykład 5 Informatyka 0/ F Podczas odnoszenia kamienia ze stałą rędkością jego energia kinetyczna nie ulega zmianie, ale wykonana rzez sortowca raca zmienia jego stan mechaniczny zmienia się ołożenie kamienia. Podnosząc kamień działa on stałą siłą równoważącą jego ciężar: F mg mg Lub ze wzoru i wykonuje racę: W B F r mg r Uwaga: cosinus kąta między wektorami i jest równy. W B B B F dr mg dr mgh. dr g 0 mg H dr Wyrażenie, które otrzymaliśmy o rawej stronie: mgh kojarzy się zaewne każdemu z energią otencjalną. mgh 8

9 Wykład 5 Informatyka 0/ Energię związaną z ołożeniem jakiegoś ciała względem innego ciała nazywamy jego energią otencjalną. Jeśli raca wykonana rzez siłę zachowawczą ola (będącą jedynie funkcją ołożenia) rzy rzemieszczeniu cząstki da się wyrazić w ostaci: to funkcję E r E W (r ) B F dr nazywamy energią otencjalną ciała w F(r ) ołożeniu, w olu siły zachowawczej. F [ E ( B) E ( ) ] F(r ) gdzie E jest jednoznaczną funkcją skalarną ołożenia, niezależną od czasu, ciągłą i mającą ciągłe ochodne, r Z owyższej definicji widać, że zmiana energii otencjalnej E ciała jest równa ujemnej racy wykonanej rzez siłę zachowawczą rzy zmianie ołożenia cząstki z unktu do B: E E B ( B) E ( ) F dr. 9

10 Wykład 5 Informatyka 0/ Jeśli ustalimy unkt oczątkowy to raca siły zachowawczej zależy tylko od unktu końcowego B i jest tylko funkcją ołożenia tego unktu r. Czyli energia otencjalna ciała w ołożeniu B zależy od wyboru unktu i jest liczona względem tego unktu odniesienia. W dowolnym unkcie P E E P ( P) F dr E ( ) + i jeśli rzyjmiemy, że w unkcie odniesienia P ( P) F dr + E ( ) F dr + const. E ( ) const, to: ( ) Często unkt wybieramy tak, żeby można było rzyjąć, że. Zaamiętajmy: fizyczny sens mają jedynie zmiany E ; addytywna stała, z dokładnością do której jest określona E, nie jest istotna! E 0 0

11 Grawitacyjna energia otencjalna (gdy g const): E ( P) mgh Wykład 5 mg Informatyka 0/ h E () 0 Grawitacyjna energia otencjalna: P E ( P) Fg dr + E ( ) E ( P) G mm r mm G r r r dr

12 Wykład 5 Grawitacyjna energia otencjalna rzyjmuje zawsze wartości ujemne. Jej zmiany mogą być dodatnie! Informatyka 0/ E E G mm r r I dodatnia zmiana energii otencjalnej romu Ujemna zmiana energii otencjalnej jeźdźca

13 Srężysta energia otencjalna Siła srężysta dana jest wzorem: F s k r kx i gdzie r jest wychyleniem z ołożenia równowagi końca srężyny. Wykład 5 Informatyka 0/ 0 x Obliczmy energię otencjalną siły srężystej względem ołożenia równowagi: E ( P) x E ( P) ( kxi ) dr + E (0) kx. 0 kx. Podczas rozciągania srężyny i odczas jej ściskania energia otencjalna rośnie. kiedy maleje? 3

14 Zaamiętaj: Wyrażenie na energię otencjalną: E mgh Wykład 5 Informatyka 0/ nie definiuje energii otencjalnej w ogólności! Postać wzoru na energie otencjalną zależy od oddziaływania z jakim mamy do czynienia. N. E G mm r, E ( P) kx. 4

15 Wykład 5 Informatyka 0/ Zmiana energii otencjalnej a raca siły zewnętrznej Zmiana energii otencjalnej ciała nastąi również wówczas, gdy racę wykona siła zewnętrzna równoważąca w każdym unkcie siły ola. E E F zew F ola Zmiana energii otencjalnej ciała jest równa dodatniej racy wykonanej rzez siły zewnętrzne: B ( B) E ( ) F dr. Przekonaliśmy się o tym obliczając racę wykonaną rzez sortowca odnoszącego kamień: zew E F r mg r mgh. Rozciągając srężynę wykonamy racę i zmienimy jej energię otencjalną o : E W zew B x x B kxi dr kx B kx. F zew mg 5

16 Wykład 5 Informatyka 0/ DEMONSTRCJE 6

17 Wykład 5 Informatyka 0/ Zderzenia elastyczne i nieelastyczne wagoników. W zderzeniach srężystych zachowywana jest energia kinetyczna i ęd układu. m + v 0 + mv 0 mv mv m v 0 + m v 0 m v + m v W zderzeniach niesrężystych zachowywany jest jedynie ęd układu! m v 0 + mv 0 mv mv 7

18 Wykład 5 Układy nieinercjalne tj oruszające się z rzysieszeniem względem referencyjnego układu inercjalnego. Informatyka 0/ Wsiadamy do windy, która w ewnym momencie się urywa i sada swobodnie. Co odczuwamy Pasażerowie windy jadącej z rzysieszeniem odczuwają działanie siły bezwładności, która zmienia ich ozorny ciężar: Qoz mg + F bez, W sadającej swobodnie windzie z rzysieszeniem g : F bez mg, mg mg 0, Q oz Siły bezwładności znoszą ciężar ciała! Mamy do czynienia z ozornym stanem nieważkości. W rzyadku sadającej srężyny slinky nie jest ona rozciągana rzez siłę ciężkości, onieważ ciężar srężyny jest równoważony rzez siłę bezwładności. W układach swobodnie sadających słuszne I i II rawo Newtona. g 8

19 Wahadło Newtona Wykład 5 Informatyka 0/ Dla małych wychyleń możemy z dobrym rzybliżeniem traktować ruch kulek jako ruch liniowy. Ruch kulek tłumaczy zasada zachowania ędu układu i energii kinetycznej: Zawsze tyle samo kulek odskoczy, co zostanie wychylonych na oczątku. n i n i E n 0i ki i n ocz ki i E, koń ki. 9

20 Wykład 5 Informatyka 0/ 0 L L k const Moment bezwładności I rośnie o wyciągnięciu ramion z obciążnikami o ~mr, stąd musi zmaleć rędkość kątowa: I 0 ω 0 I k ω k 0

21 Informatyka 0/ Wykład 5 L J L kj ω kj ω J L kj ω kj L J L kj oczątkowy końcowy

22 Wykład 5 Informatyka 0/ mgh mg( R) + mv to Siły działające na wózek (u nas kulkę) w czasie okonywania ętli są równe sile dośrodkowej : N mv F doś R Siła reakcji szyny N to musi być większa od 0: to to 5 to + mg mg > 0 h mv R mv R R W dolnym unkcie: N to N bot mgh mv bot mv Nbot mg R N bot?mg bot

23 Kulka sadająca i wystrzelona oziomo Wykład 5 Informatyka 0/ Dotkną odłoża zawsze o tym samym czasie, bo o czasie sadku decyduje a y -g! Inna wersja tego okazu, to Małka i myśliwy Linia strzału Odległość, na którą małka sadła oniżej linii strzału tor Myśliwy zawsze trafia w sadającą małkę! Małka i kula mają to samo rzysieszenie w kierunku ionowym: a y -g. Jeśli małka sadnie w dół o ygt /, to kula straci wysokość odowiadającą tej wielkości. Ruch kuli w kierunku oziomym jest ruchem jednostajnym rostoliniowym i czas, o którym kula trafi w małkę zależy od odległości w oziomie myśliwy-małka. 3

24 Srzątanie stołu Imuls siły. Wykład 5 Informatyka 0/ Z drugiej zasady dynamiki: d dt F t k t 0 Fdt, Gdzie o rawej mamy wielkość zwaną imulsem siły (oędem siły): I I F t t k t 0 Fdt, Imuls siły, jakiego doznaje obiekt na serwecie zależy od czasu działania siły: Imuls siły zmienia ęd obiektu na serwecie. Siła działająca na obiekt zależy od siły tarcia i rawie nie zależy od szybkości obiektu (wsółczynniki tarcia statycznego i kinetycznego mają zbliżone wartości): F gdzie siła normalna N jest stała. f N Zatem wartość imulsu zależy tylko od czasu działania siły. Dla krótkiego czasu, jest on mały i mała zmiana ędu obiektu, który nie zdąży się rozędzić. 4