F - wypadkowa sił działających na cząstkę.

Transkrypt

1 PRAWA ZACHOWAIA Podstawowe termny Cała tworzące uład mechanczny oddzałują mędzy sobą z całam nenależącym do uładu za omocą: Sł wewnętrznych Sł zewnętrznych - Sł dzałających na dane cało ze strony nnych cał tego samego uładu, - Sł dzałających na dane cało ze strony cał nenależących do rozatrywanego uładu. Uład odosobnony - Uład, w tórym ne wystęują sły zewnętrzne. Energa netyczna cząst Rozatrzmy ruch cząst o mase m w uładze nercjalnym od wływem sł. Ruch ta odlega drugemu rawu ewtona d dυ d m = F F - wyadowa sł dzałających na cząstę. dt Prawa zachowana

2 Energa netyczna cząst, cd. d dυ d m = F dt Pomnóżmy obe strony tego równana rzez nfntezymalne rzesunęce ds d d dυ d d d m υ dt = F ds dt Przeształcając to równane borąc od uwagę, że ( ) ( ) υυ = υ otrzymujemy d dd dυ d d d d ( υυ) mυ m υdt = mυdυ = m = d = de dt gdze E = d υ dt d d d d d d d d d υυ = dυ υ + υdυ = υdυ oraz że mυ = - energa netyczna cząst. Otrzymujemy węc de = F d d ds Jeśl wyadowa sł dzałających na cząstę jest równa zero ( F = 0), to energa netyczna E cząst ozostaje stała. Dla F 0 d d de = F ds = dw dw - raca wyonana rzez słę F na drodze ds d Prawa zachowana

3 Energa netyczna cząst, cd. Otrzymalśmy d d de = F ds = dw zaczynającej sę w unce, a ończącej sę w unce dw = de Scałujmy to równane obustronne o dowolnej drodze dw = W, de = E E W = E E - Praca sły wyadowej zamena sę na rzyrost energ netycznej cząst. Pole sł zachowawczych Jeżel w ażdym unce rzestrzen cząsta jest oddana dzałanu nnych cał, to mówmy, że cząsta znajduje sę w olu sł. Pole stacjonarne - Pole, tóre ne zmena sę w czase. Pole zachowawcze - Pole stacjonarne, w tórym raca wyonana nad cząstą rzez sły ola zależy tylo od oczątowego ońcowego ołożena cząst, ne zależy natomast od drog, o tórej orusza sę cząsta. Prawa zachowana 3

4 Pole sł zachowawczych, cd. Praca sł zachowawczych na drodze zamnętej jest równa zeru. W = ( W ) + ( W ) = ( W ) ( W ) = 0 I II I II Zachowawczość sły cężośc Sła cężośc jest słą zachowawczą. W ogranczonym obszarze rzestrzen można rzyjąć, że sła ta ma w dowolnym unce tę samą wartość, ten sam erune ten sam zwrot. Praca wyonana rzez sły ola na drodze od untu do untu wynos d d d d d d W = F ds = F ds = F s Prawa zachowana 4

5 Zachowawczość sły cężośc, cd. W = Fs = mgs = mg( s ) = mg( h h ) g W ne zależy od ształtu toru łączącego unty, a węc F jest tu słą zachowawczą. Można oazać, że słą zachowawczą jest równeż ażda sła centralna F= Fre () r. Energa otencjalna cząst w olu sł W zachowawczym olu sł ażdej cząstce umeszczonej w dowolnym unce ola można rzysać wartość ewnej funcj E( xyz,,, ) taą, że raca sł ola rzy rzenesenu tej cząst z untu do untu równa jest ubytow tej funcj (rzyrostow ze znaem mnus): W = ( E E ) Funcja E( xyz,, ) nazywana jest energą otencjalną cząst. Prawa zachowana 5

6 Energa otencjalna cząst w zewnętrznym olu sł, cd. Energa otencjalna oreślona jest z doładnoścą do ewnej neznanej stałej addytywnej W = ( E E ) E = E W = E F d d ds Znając sły ola możemy oreślć tylo różnce energ otencjalnej cząst w oszczególnych untach ola, ale ne wartośc bezwzględne tej energ. Zależność sł ola od energ otencjalnej Znając ostać funcj E( xyz,, ) dla danej cząst można oreślć słę, tóra dzała na cząstę w ażdym unce ola. Poneważ dla dowolnych dwóch untów mamy W = ( E E ) = ( E ), węc zachodz d d F ds = ( de ) d ds [ ( de ) d ds oznacza ubyte E na drodze ds d ] lub naczej F dx + F dy + F dz = ( de ) + ( de ) + ( de ) x y z dx dy dz Prawa zachowana 6

7 Zależność sł ola od energ otencjalnej, cd. Otrzymalśmy F dx + F dy + F dz = ( de ) + ( de ) + ( de ) x y z dx dy dz Możemy węc nasać ( de) dx E E Fx = =, Fy =, F dx x y Znając sładowe Fx, Fy, F z, można oreślć wetor sły E E E F= Fe + Fe + Fe = e e e x y z x x y y z z x y z z E = z Wetor o sładowych ϕ x, ϕ y, ϕ, gdze ϕ jest salarną funcją wsółrzędnych,, z xyz, nazywamy gradentem funcj ϕ oznaczamy symbolem gradϕ lub ϕ. - oerator nabla, ϕ czytamy gradent f. Sła zachowawcza jest równa gradentow energ otencjalnej ze znaem mnus. F = E Prawa zachowana 7

8 PRAWO ZACHOWAIA EERGII MECHAICZEJ Poazalśmy, że raca sły zachowawczej wąże sę ze zmaną energ otencjalnej cząst W = ( E E ) oraz, że raca dowolnej sły (zachowawczej lub nezachowawczej) owoduje zmanę energ netycznej cząst W = E E Porównując te dwa wyrażena otrzymujemy E E = E E E + E = E + E Wdzmy węc, że w olu sł zachowawczych całowta energa mechanczna E cząst zdefnowana jao E = E + E jest taa sama w ażdym unce tego ola. Prawa zachowana 8

9 Prawo zachowana energ mechancznej, cd. Dla ojedynczej cząst oazalśmy, że w dowolnym unce ola nezmenna jej jest całowta energa E = E + E Podobny wnose możemy wysnuć dla uładu cząste, na tóre dzałają tylo sły zachowawcze. ależy jedna wząć od uwagę, że energa otencjalna uładu jest sumą energ otencjalnych zewn E oszczególnych cząste w olu sł zewnętrznych owęszoną o sumę otencjalnych energ wzajemnych oddzaływań cząste za omocą sł wewnętrznych. Energa netyczna uładu jest sumą energ netycznych oszczególnych cząste. E E E zewn wewn = + j = j= j>, E = E F d d dr wewn (0) j j j j 0 r j E m υ E = = = = Prawo zachowana energ mechancznej Całowta energa mechanczna uładu cał, na tóre dzałają tylo sły zachowawcze, jest stała. Prawa zachowana 9

10 PRAWO ZACHOWAIA PĘDU Rozważmy uład wzajemne oddzaływujących ze sobą cząste F - sła wewnętrzna dzałająca na -tą cząstę, ochodząca od cząst -tej. F - wyadowa sł zewnętrznych dzałających na -tą cząstę Równane ruchu dla -tej cząst ma ostać d d d d d d d d d = F + F F F + F = F + F dt Sumując wszyste owyższe równań stronam uwzględnając, że F d d d d d d d d ( ) = F + F F = F dt = Wrowadzając ęd uładu = = mυ otrzymujemy d d dt = = d F = = = d Przy brau sł zewnętrznych zachodz d / dt = 0 = F otrzymujemy, czyl ęd uładu odosobnonego jest stały Uład odosobnony - Dowolny wyzolowany od otoczena uład, na tóry ne dzałają żadne sły zewnętrzne. Prawa zachowana 0

11 Prawo zachowana ędu, cd. Prawo zachowana ędu Pęd odosobnonego uładu untów materalnych jest stały. Pęd jest stały równeż w rzyadu uładu neodosobnonego, o le wyadowa sł zewnętrznych jest równa zeru. PRAWO ZACHOWAIA MOMETU PĘDU Moment ędu względem untu O, ramę wetora ędu względem untu O L= r - moment ędu masy m względem untu O. L= rsnα = l l = rsnα - ramę wetora ędu względem untu O. Prawa zachowana

12 Moment ędu uładu cząste względem untu O L = r = = L r - moment ędu -tej cząst względem untu O. - moment ędu uładu cząste względem untu O. Moment ędu względem os Rzut wetora L na ewną oś z rzechodzącą rzez unt O, względem tórego jest oreślony wetor L, nazywamy momentem ędu cząst względem tej os. L = ( r ) z z L = ( r ) z z - moment ędu -tej cząst względem os z, L = L = ( r ) z z z = = - moment ędu uładu untów materalnych względem os z. Prawa zachowana

13 Moment sły względem untu O, ramę wetora sły względem untu O M = r F - moment sły względem untu O, M = rfsnα = Fl l = rsnα - ramę wetora sły względem untu O, Wyadowy moment sł względem untu O M = r F - moment sły F względem untu O, M = r F - wyadowy moment sł względem untu O. = Moment sły względem os Rzut wetora M na ewną oś z rzechodzącą rzez unt O, względem tórego jest oreślony wetor M nazywamy momentem sły względem tej os, M = ( r F ). z z Prawa zachowana 3

14 Moment sły względem os, cd. M = ( r F ) - moment sły F względem os z, z z M = ( r F ) z z = - wyadowy moment sł dzałających na uład względem os z. Moment sły względem os charateryzuje zdolność sły do obracana cała względem tej os. Prawo zachowana momentu ędu Można oazać, że d dl zewn dt = d M Pochodna o czase momentu ędu jest równa sume momentów sł zewnętrznych. d dl Przy brau momentów sł zewnętrznych 0 dt = Prawo zachowana momentu ędu Moment ędu odosobnonego uładu cząste jest stały. Moment ędu jest stały równeż dla uładu neodosobnonego, o le całowty moment sł zewnętrznych jest równy zeru. Prawa zachowana 4