Pęd i moment pędu. dp/dt = F p = const, gdy F = 0 (całka pędu) Jest to zasada zachowania pędu. Moment pędu cząstki P względem O.

Transkrypt

1 Zasady zachowania Pęd i moment pędu Praca, moc, energia Ruch pod działaniem sił zachowawczych Pęd i energia przy prędkościach bliskich prędkości światła

2 Pęd i moment pędu dp/dt = F p = const, gdy F = 0 (całka pędu) Jest to zasada zachowania pędu Moment pędu cząstki P względem O L = r p = mr v L = mrv sinθ

3 Pęd i moment pędu i i i x y z L = Lx, Ly, Lz = r p = x y z = ypz- zp y, zpx- xp z, xpy- ypx p p p x y z Szczególny przypadek: ruch po okręgu ω L L = mr (v r + v θ ) = mr v θ L = mr v θ = mr (dθ/dt) r v L = mr ω = Iω I = mr - moment bezwładności

4 Pęd i moment pędu dl/dt = (dr/dt) p + r (dp/dt) = r F = M Moment siły F względem punktu O

5 M = 0 L = const Zachowanie momentu pędu 1. F = 0 (cząstka swobodna) L = mvr sin θ = mvb = const. Siła F równoległa do r, czyli F = f(r) i r (siła centralna) Przykłady: siła grawitacji f(r) = Gm 1 m /r siła kulombowska f(r) = Q 1 Q /4πε o r siła sprężysta f(r) = kr Ruch pod działaniem siły centralnej jest ruchem płaskim

6 Prędkość polowa ds = ( OAB) =!r dθ =!r dr ds/dt =!r ( dθ/dt) = L/m = const Prędkość polowa w ruchu pod działaniem siły centralnej jest stała II Prawo Keplera: W jednakowych odstępach czasu promień wodzący planety zakreśla jednakowe pola S 1 = S dla t 1 = t

7 O r dr F t θ F Praca, moc, energia Praca siły F przy przesunięciu dr dw = F dr = F cosθ ds = F t ds Siła normalna do przesunięcia wykonuje pracę = 0 Przykłady: siła Lorentza, siła dośrodkowa Praca na drodze między A i B W = F 1 dr 1 + F dr +... B W = F dr A

8 Ogólnie praca W AB zależy od drogi, po której odbywa się przesunięcie między A i B Siłę F oraz drogę l możemy przedstawić w funkcji parametru, np. długości łuku s F = F (s), r = r (s) Moc P = dw/dt = F(dr/dt) = F v Jednostka pracy: dżul (J) 1 J = 1 N 1 m = 1 kg m /s Jednostka mocy: wat (W) 1 W = 1 J/ 1 s = 1 kg m /s 3

9 Praca i energia kinetyczna Fdr = F t ds = m(dv/dt)ds = m dv (ds/dt) = mv dv A B B A B 1 1 t B A k, B k, A k A W = F ds = mvdv = mv mv = E E = E Niezależnie od postaci siły F i drogi praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała w punktach końcowym B i początkowym A drogi Przykład: ruch pod działaniem stałej siły F = const (np. ruch w polu grawitacyjnym blisko powierzchni Ziemi) B A B W = Fdr = F d r = F( r r ) A B A Jest to szczególny przykład sił zachowawczych (konserwatywnych)

10 Siły zachowawcze i energia potencjalna B W = F d r = E E A p,a p,b Siły zachowawcze są takimi funkcjami F(r) że pracę można wyrazić przez różnicę wielkości E p (r) na początku i na końcu drogi B Jeżeli droga jest zamknięta, to praca jest równa zeru A! Fdr = 0 Cyrkulacja (krążenie) wektora F B A F d r = E E = (E E ) = de p,a p,b p,b p,a B A p zatem Fdr = de p

11 Energia potencjalna Ep Ep Ep F x = ;F y = ;Fz = x y z Ep Ep Ep F = ix + iy + iz grad Ep E x y z = = = ix + iy + iz x y z operator różniczkowy nabla p s θ in powierzchnie ekwipotencjalne centrum siły gradient ma kierunek normalny do powierzchni ekwipotencjalnej E E = = θ n s p p grad E p i n ; gradep cos (pochodna kierunkowa)

12 B A ( ) ( ) k p B Zasada zachowania energii W = Fdr = E -E = E -E k,b k k,a p A p,a p,b E+E = E+E = E = const Przykład 1: siła sprężysta Przykład : F E = kr = r energia całkowita 1 Ep = krdr = kr + C k kdr k F= ; E p = = +C r r r k = GMm siła grawitacyjna ( ) GMm GMm GMm h GMm GMm Ep = = 1 h h R+h R(1+ R ) R = R + R R p const mgh

13 Wykorzystanie zasady zachowania energii do rozwiązywania zagadnień ruchu Przykład: Ruch prostoliniowy pod działaniem zachowawczej siły F Mamy E p = E p (x) ( dx) 1 E = m + E p(x) = constans dt dx = E E x dt m ( ( )) p 1 x 0 x dx E E x m ( ( )) p 1 t = dt = t 0 Jeżeli znamy E p (x), to stąd znajdujemy związek między x i t

14 Przypadek F = constans; de p = Fdx E p = Fx 1 dx m E + Fx x 0 = t E + Fx E = m t F F ( ) 1 F E x = t + t m m a v 0 {E = mv / + Fx; stąd E = mv 0 / jeśli x = 0 dla t = 0}

15 Ruch w polu zachowawczej siły centralnej Zachowanie energii: E = mv / + E p (r) = constans Zachowanie momentu pędu: L = mrv θ = constans ( ) 1 dr L E = m + + E p(r) dt mr energia odśrodkowa energia potencjalna pola siły centralnej E p,ef (r) efektywna energia potencjalna Nazwa energia odśrodkowa pochodzi stąd, że siła związana z tą energią ma zwrot od centrum siły F d L L d o = = = mr 3 θ = dr = = mr mr dt

16 Ruch w polu zachowawczej siły centralnej Można rozwiązać osobno zagadnienie części radialnej ruchu dr = E E r dt m ( ) () p,ef To równanie określa granice zmienności r podczas ruchu r 0 r dr E E r m ( ) () p,ef = 0 t dt = t r(t) Dwie możliwości: r r min ruch nieskończony r max r r min tor w obszarze ograniczonym

17 Ruch w polu zachowawczej siły centralnej część kątowa ruchu ze związku L = mr (dθ/dt) θ θ = dθ = 0 θ t L mr dt θ 0 0 dr dr dt ( ) mr = = E E θ θ L p,ef d dtd m L θ mr dr constans = + ( E E ) p,ef m Równanie toru we współrzędnych biegunowych

18 Ruch w polu zachowawczej siły centralnej θ = r max r min dr mr E E p,ef L m ( ) zmiana kąta biegunowego przy przejściu od r max do r min i z powrotem Tor będzie krzywą zamkniętą, jeżeli Δθ = π(m/n), gdzie m, n są liczbami całkowitymi r max r min Występuje to tylko dla dwóch pól E p (r) r 1 E p (r) r

19 Ruch w polu E p (r) = kr 1 (k > 0, siła przyciągająca) Przykład: ruch planet, komet itd. Przy energii E 1 ruch nieskończony po hiperboli, r > r A Przy energii E ruch skończony po elipsie r max = r C r r B = r min Przy energii E 3 ruch skończony po okręgu r = r 0 = r max = r min

20 Ruch w polu E p (r) = kr 1 (k > 0, siła przyciągająca) L mr dr= r 0 ( ) E E k L p,ef m E + θ θ = dr = m r mr = () d d r r p = () () me mk 1 1 ε L L r r p r p L p = mk parametr orbity (krzywej stożkowej) ε= E < 0, ε < 1 elipsa EL 1 + mimośród orbity E = 0, ε = 1 parabola mk E > 0, ε > 1 hiperbola L

21 Ruch w polu E p (r) = kr 1 (k > 0, siła przyciągająca) dx = arccos x r = 1 x 1 + εcos( θ θ0 ) p równanie krzywej stożkowej we współrzędnych biegunowych ε = r/ab a = r max + r min = = p/(1 ε ) = k/ E b = p(1 ε )! = L(m E )!

22 W ruchu po elipsie odległość od centrum siły zmienia się od r min (w pericentrum) do r max (w apocentrum). Energia ruchu po elipsie zależy wyłącznie od wielkiej półosi elipsy, natomiast moment pędu - od małej półosi

23 W szczególnym przypadku r min = r max = r mamy ruch po okręgu Innym szczególnym przypadkiem elipsy jest odcinek linii prostej o długości a. Wartość b = 0 odpowiada zerowemu momentowi pędu L = 0

24 Dla szczególnego przypadku E = 0 torem ruchu ciała jest parabola. Ruch jest nieskończony, a ciało nie jest związane przez centrum siły.

25 Dla E > 0 ruch jest nieskończony; ciało osiąga największe zbliżenie do centrum siły w punkcie r A = r min Jest to stan niezwiązany. Przykład: orbity komet nieperiodycznych

26 parabola E = 0 elipsa E < 0 hiperbola E > 0 okrąg E < 0 Orbity ciał o jednakowej masie m i jednakowej wartości momentu pędu L, lecz o różnych wartościach energii E względem centrum O siły przyciągającej

27 Ruch w polu E p (r) = kr 1 (k > 0, siła odpychająca) Przykład: rozpraszanie cząstek alfa na jądrach atomowych

28 model potencjału przyciągającego typu kr 1 (k > 0) model potencjału odpychającego typu kr 1 (k > 0)

29 Przykład: ruch kulki w lejku o kącie rozwarcia α

30 E p /V 0 = exp( r/r 0 ) E p /V 0 = E p /V 0 = exp( r/r 0 ) 1 dla r/r 0 < 1 0 dla r/r 0 > 1 różne typy potencjałów przayciągających E p /V 0 = (r/r 0 )exp( r/r 0 )

31 Potencjał Lennarda-Jonesa oddziaływania między cząsteczkami (sił Van der Waalsa)

32

33 Energia i pęd w teorii relatywistycznej Związek między pędem i siłą F dp d m v 0 = = dt dt 1 v c v v v d mv mv E = Fdr = dr = vd = k 0 0 dt v v c 0 c v v mc 1 0 mc c 0 v v v c 0 c c = mv mvdv = mv + = mc 0 = mc = 0 ( m m0) c 1 v c E = m 0 c - energia spoczynkowa E = mc - energia całkowita

34 1 4 ( ) v 1v 3v m = m 1 0 = m 1... c c 8c v 1 E = m v + m +... m v dla v << c k c 4 p 3 p p E = k m 8 m c m γ = γ β γ = 1 β 1 mcγ mcβ γ = mc E - p c = m 0 c 4

35 p = m c 0 Transformacja energii i pędu E = niezmiennik c E p + p + p = p + p + p x y z c E c ',,, x y z,,, Podobieństwo do transformacji Lorentza współrzędnych i czasu p x x, p y y, p z z, E/c ct,, ( ) p = γ p VE/c p p,, x x, y, z = = p p y z ( ) ' E = γ E Vpx Do tych wzorów można dojść na podstawie transformacji prędkości

36 Ze wzorów E p c = m 0 c 4 oraz p = γm 0 v można otrzymać v = c 1 mc 4 0 E 4 mc 0 1 log v = log c + log 1 E dv mc de mc de = v E m c E E E Dla bardzo dużych energii E >> m 0 c, zatem można nadawać ciału coraz większą energię nie zwiększając praktycznie jego prędkości. de p dp W podobny sposób można otrzymać = E m c + p p 0 i dla ultrawysokich energii de/e dp/p Dla cząstek o m 0 = 0 (fotony) E = pc = hν czyli p = hν/c