MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO NAVIERA

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 3, s , Gliwice 006 MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO NAVIERA EUGENIUSZ ZIENIUK AGNIESZKA BOŁTUĆ Zakład Metod Numeycznych, Uniwesytet w Białymstoku Steszczenie. Głównym celem ezentowanej acy jest zastosowanie kzywych Béziea óżnego stonia do modelowania wielosójnych obszaów w Paametycznym Układzie Równań Całkowych (PURC) dla dwuwymiaowego ównania Naviea. Do definiowania takiej geometii bzegu zadawana jest jedynie niewielka ilość unktów bzegowych, otzebnych do wykeowania wielosójnych obszaów. W zyadku zastosowania kzywych Béziea iewszego stonia wymagane jest jedynie zadanie unktów naożnych wielokątnej geometii bzegu bez względu na ole jej owiezchni. Oznacza to, że liczba danych wejściowych otzebnych do zdefiniowania ozwiązywanego zagadnienia jest oganiczona do minimum.. WSTĘP Rozwiązywanie liniowych oblemów mechaniki sowadza się do ozwiązywania ównania Naviea z zadanymi waunkami bzegowymi. Do ich ozwiązania najczęściej stosowane są metody numeyczne. Ze znanych metod numeycznych najbadziej oulaną jest metoda elementów skończonych (MES) [9] oaz metoda elementów bzegowych (MEB) [,]. Metody te dają duże możliwości modelowania óżnoodnych obszaów w ozwiązywanych zagadnieniach bzegowych. Jest to odyktowane tym, że nawet najbadziej złożone geometycznie obszay (włącznie z obszaami wielosójnymi) aktycznie można odzielić na elementy skończone, ewentualnie tylko bzeg (zewnętzny i wewnętzny) na tzw. elementy bzegowe. Taki sosób modelowania obszaów jest dużą zaletą, ale też staje się wadą w zyadku ozwiązywania złożonych zagadnień wielowymiaowych. Technika taka niejednokotnie owadzi do wowadzania badzo dużej liczby elementów. Ostatecznie z numeycznego unktu widzenia oblem sowadza się do ozwiązywania badzo dużych układów ównań algebaicznych. Wowadzenie dużej liczby elementów jest najczęściej odyktowane koniecznością uzyskania ozwiązań z zadowalającą dokładnością, a nie otzebą wowadzania wielu elementów w celu dokładnego zamodelowania obszau. Niejednokotnie z unktu widzenia modelowania nawet złożonych obszaów należałoby zadać tylko niewielką liczbę elementów. Niedogodność ta jest odyktowana tym, że tadycyjne elementy skończone (lub bzegowe) sełniają jednocześnie dwie funkcje, służą do jednoczesnego modelowania obszaów oaz aoksymacji funkcji będących ozwiązaniem ównania Naviea na tych elementach.

2 508 E. ZIENIUK, A. BOŁTUĆ We własnych acach oszukiwano badziej efektywnych sosobów ozwiązywania zagadnień bzegowych. Efektywności oszukiwano w możliwości ozdzielenia jednoczesnej aoksymacji obszau (lub bzegu) od funkcji będącej ozwiązaniem ównania w obszaze (lub na bzegu). Rozdzielenie takie daje możliwości badzo efektywnego modelowania obszaów bez ingeencji w aoksymację ozwiązania i odwotnie. Innymi słowy, można stosować najbadziej efektywne metody do modelowania obszaów oaz najbadziej efektywne metody do aoksymacji funkcji będących ozwiązaniem ównania óżniczkowego. W tym celu (dla dwuwymiaowego ównania Lalace a) został otzymany Paametyczny Układ Równań Całkowych (PURC) [5,6,7] w któym to nastąiło analityczne ozdzielenie aoksymacji geometii bzegu od funkcji bzegowych. Geometia bzegu jest analitycznie uwzględniona w PURC i może być zdefiniowana za omocą kzywych (dowolnego stonia) stosowanych w gafice komuteowej. Główną zaletą takiego modelowania bzegu jest zadawanie niedużej ilości danych wejściowych. Celem niniejszego acy jest zastosowanie kzywych Béziea do modelowania wielosójnych obszaów w PURC dla dwuwymiaowego ównania Naviea. Dlatego też w celu aktycznego zdefiniowania obszaów zadawane są tylko: unkty naożne w zyadku segmentów liniowych oaz unkty bzegowe do wykeowania segmentów kzywoliniowych. Liczba tych unktów jest znacząco mniejsza niż liczba węzłów w zyadku MEB. Rozwiązane zykłady otwiedzają wysoką efektywność modelowania obszaów oaz wysoka dokładność uzyskiwanych ozwiązań.. PURC ORAZ JEGO NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE W ezentowanej acy do ozwiązywania ównania Naviea z dowolnymi waunkami bzegowymi zaoonowano Paametyczny Układ Równań Całkowych (PURC) oisany za omocą nastęującego wzou [8] n s 0.5u ( s ) = { U ( s, ( P ( s, u ( } J ( ds, s s s, s s s () = s Funkcje odcałkowe U ( s, oaz P ( s, wystęujące w () są zedstawiane są za omocą nastęujących wzoów (3 4ν ) ln( ) = U ( s, 8π ( ν ) µ (3 4ν ) ln( ), () gdzie P P P ( s, =,, =,,... n, 4π ( ν ) P P (3) P = ( ν ) +, P ( ), = ν n n + n n P = ( ν ) n + n, P ( ), = ν + n n

3 MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO = n h h n, n = [ + ] () () () (), = Γ Γ ( ) i h = Γ Γ ( ). ( s ( s ( i) Wystęujące w tych wzoach funkcje Γ (, i =, są aametycznymi kzywymi Béziea dowolnego stonia. Wzoy zedstawione w ostaci maciezowej () i (3) są odowiednio odstawowym oaz osobliwym ozwiązaniem bzegowym, uwzględniającym w swoim fomalizmie matematycznym geometię bzegu zdefiniowaną za omocą kzywych Béziea dowolnego stonia. PURC () może być ozwiązywany dowolnymi metodami numeycznymi służącymi do ozwiązywania układów ównań całkowych. Jedną z najostszych metod (bo wymagających jednokotnego całkowania) jest metoda seudosektalna [4,6]. Rozwiązanie PURC sowadza się tylko do aoksymacji jednej z niewiadomych funkcji bzegowych, funkcje te w PURC nie są bezośednio związane z aoksymacją geometii bzegu. Uniezależnienie aoksymacji geometii bzegu od aoksymacji funkcji bzegowych ułatwia oaz zwiększa możliwości badziej efektywnego aoksymowania funkcji bzegowych oaz modelowania geometii bzegu. W acy do aoksymacji funkcji bzegowych u (, ( na oszczególnych segmentach zastosowano nastęujące szeegi aoksymujące gdzie ( k ) ( k ) N (k) (k) ( k ) ( k ) ( = T (, u ( = u T (, (4) k= 0 u, są oszukiwanymi wsółczynnikami, N jest liczbą tych wsółczynników w szeegach na oszczególnych segmentach oaz T k ( jest tzw. funkcją bazową, w ozatywanym zykładzie są to wielomiany Czebyszewa dowolnego stonia. Podstawiając (4) do () oaz zaisując otzymane wyażenie w unktach kolokacji otzymamy układ ównań algebaicznych względem oszukiwanych wsółczynników ( k ) ( k ) u, ( k ) ( k) T AX = B gdzie X = { u, }. (5) Nastęnie, odstawiając te wsółczynniki do szeegów aoksymujących (4), otzymamy wyażenie, na odstawie któego możemy wyznaczyć ozwiązanie w dowolnych unktach na oszczególnych segmentach. Mając ozwiązanie na bzegu możemy łatwo znaleźć składowe wektoa naężeń σ ( x) = σ, σ, τ w dowolnym unkcie ozważanego obszau Ω na odstawie { } T x y xy tożsamości całkowej n s { = s σ( x) = D ˆ ( S ˆ u ( J ( ds. (6) ˆ ˆ Funkcje odcałkowe D oaz S otzymuje o zóżniczkowaniu zemieszczeń w obszaze względem wsółzędnych []. N k = 0 }

4 50 E. ZIENIUK, A. BOŁTUĆ 3. PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE PURC W zykładzie iewszym oonowaną metodę zastosowano do zamodelowano geometii obszau znanego zagadnienia Lame go [3]. Do dokładnego, aktycznego zamodelowania obszau okazanego na ys. zadano tylko 6 unktów bzegowych P i ( i = 0,..., 5) w celu teoetycznego wykeowania kubicznych kzywych Beziea. Ważną zaletą takiego sosobu modelowania jest to, że liczba tych unktów jest niezależna od długości omienia a i b, w zeciwieństwie do liczby węzłów zadawanych w zyadku zastosowania tadycyjnej MEB lub MES. W ozwiązywanym zykładzie analizowano cylinde z otwoem o omieniu wewnętznym a = 5 cm, zewnętznym b = 0cm oaz zyłożonym ciśnieniem wewnątz cylinda o watości = 00MPa. Za stałe mateiałowe zyjęto nastęujące watości 5 E = 0 MPa oaz ν = Rys.. Modelowanie cylindycznego obszau wielosójnego unktami bzegowymi Rozwiązania uzyskane za omocą PURC w wybanych unktach ozważanego zekoju w oównaniu z ozwiązaniami analitycznymi [3] zedstawiono w Tabeli. Tabela. Rozwiązania uzyskane w wybanym zekoju ozważanego obszau Punkt Rozwiązania dokładne PURC Błąd względny [%] σ σ v σ σ v σ σ v Śedni błąd względny [%] Jak wynika z owyższej tabeli, ozwiązania dla naężeń uzyskane za omocą oonowanej metody są wynikami o wysokiej dokładności. Śedni błąd względny obu ozważanych składowych wektoa naężeń nie zekacza 0.5% i wynosi odowiednio: 0.35% oaz 0.%. Należy ównież odkeślić, iż metoda okazała się badzo efektywna w

5 MODELOWANIE OBSZARÓW WIELOSPÓJNYCH W PURC DLA DWUWYMIAROWEGO... 5 zyadku modelowania geometii bzegu, gdyż nie wymaga tadycyjnej dysketyzacji, a jedynie zadanie niewielkiej ilości unktów Béziea, któe w sosób dokładny definiują żądaną geometię. W zykładzie dugim do zamodelowania obszau okazanego na ys. zastosowano kzywe Béziea iewszego i tzeciego stonia. Kzywe iewszego stonia zastosowano do zamodelowania bzegu zewnętznego, natomiast tzeciego stonia do zamodelowania bzegu wewnętznego. Paktycznie jak okazano na ys. bzeg zewnętzny zamodelowano za omocą zadania jedynie 4 unktów naożnych P i ( i = 0,...,3), zaś bzeg wewnętzny za omocą 4 unktów bzegowych. Łączna ilość danych wejściowych to wsółzędne 8 unktów bzegowych. Do ozwiązania zdania zyjęto nastęujące stałe 9 mateiałowe E = 00 0 Pa, ν = Rys.. Modelowanie obszau wielosójnego unktami naożnymi i bzegowymi. W Tabeli zedstawiono ozwiązania uzyskane (w zekoju y = 0, < x < 0 ) za omocą PURC w oównaniu z ozwiązaniem analitycznym [4]. Tabela. Rozwiązania uzyskane w wybanym zekoju ozważanego obszau σ θ Błąd względny analityczne PURC [%] Śedni błąd względny [%] Pzedstawione w Tabeli wyniki otwiedzają wysoką dokładność metody. Śedni błąd względny uzyskany w badanym zekoju wyniósł 0.98%.

6 5 E. ZIENIUK, A. BOŁTUĆ 4. WNIOSKI W acy zaoonowano efektywny sosób modelowania wielosójnej geometii bzegu za omocą kzywych Béziea w PURC dla dwuwymiaowego ównania Naviea. Zbadano czy ezentowany sosób jest efektywny oaz czy wyniki uzyskane o ozwiązaniu tak zdefiniowanego zagadnienia są wynikami dokładnymi. W tym celu uzyskiwane ozwiązania oównywane były z ozwiązaniami dokładnymi. Okazało się, iż teoetyczne modelowanie geometii bzegu za omocą kzywych Béziea w PURC oaz aktyczne ich definiowanie za omocą zadawania unktów bzegowych znacznie oganicza ilość danych wejściowych. Dane wejściowe to minimalny zbió unktów niezbędnych do dokładnego wykeowania zeczywistej geometii bzegu. Rozwiązania uzyskane dla analizowanych zykładów chaakteyzują się badzo wysoką dokładnością, śedni błąd względny jest nie większy niż 0.98%. Paca naukowa finansowana ze śodków budżetowych na naukę w latach jako ojekt badawczy (3TF058) LITERATURA. Bebbia C. A, Telles J. C. F, Wobel, L. C.: Bounday element techniques, theoy and alications in engineeing. New Yok, Singe Couch S. L, Stafield A.M., Bounday element method in Solid Mechanics. Geoge and Unwin Publishes Schnack, E., Chen, H., A multi-vaiable non-singula BEM in D elasticity, Eu. J. Mech. A. Solids, 0, 00, s Timoshenko, S.P., Goodie, J.N., 970. Theoy of elasticity. McGaw-Hill, Tokyo. 5. Zieniuk, E., A new integal identity fo otential olygonal domain oblems descibed by aametic linea functions. Engineeing Analysis with Bounday Elements, 6, 0, 00, s Zieniuk, E., Potential oblems with olygonal boundaies by a BEM with aametic linea functions. Engineeing Analysis with Bounday Elements, 5, 3, 00, s Zieniuk, E., Bézie cuves in the modification of bounday integal equations (BIE) fo otential bounday-values oblems. Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 40, 9, 003, s Zieniuk, E., Bołtuć, A., Non-element method of solving D bounday oblems defined on olygonal domains modeled by Navie equation. Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 006 (o wstęnej ecenzji). 9. Zienkiewicz O.: The finite element methods. London, McGaw-Hill 977. MODELING OF MULTI-CONNECTED DOMAINS IN THE PIES FOR TWO-DIMENSIONAL DIFFERENTIAL NAVIER EQUATION Summay. A main uose of this ae is to aly Bézie cuves of any degee fo modeling of multi-connected domains in aametic integal equation system (PIES) fo two-dimensional Navie equation. To define such geomety, only small numbe of bounday oints is equied. These oints ae equied fo accuate modeling of Bézie cuve. In the case of using Bézie cuves of the fist degee we ose only cone oints of olygonal domain. It means, that numbe of inut data, which ae necessay fo solving of bounday oblem, is educed to minimum.