O ŁĄCZENIU TRZECH RYNKÓW

Transkrypt

1 tudia Ekonomiczne eszyty Naukowe Uniwesytetu Ekonomicznego w Katowicach IN - N zkoła Główna Handlowa w Waszawie Kolegium Analiz Ekonomicznych Kateda Matematyki i Ekonomii Matematycznej jutkin@sghwawl O ŁĄCENIU TRECH RYNKÓW teszczenie: Celem acy jest ozszezenie łączenia ynków o -unktowym ozkładzie awdoodobieństwa na modele W każdym modelu składowym jest odzaj instumentu yzykownego (łącznie: odzaje akcji i odzaj obligacji wielookesowej i instument bezieczny o danej wsólnej stoie ocentowej Piewsza część acy dotyczy ozkładu awdoodobieństwa zeczywistego tójki cen instumentów yzykownych akładając niezależność stochastyczną a cen: akcji każdego odzaju i obligacji otzymuje się ozkład o dwóch aametach Dołączając óźniej założenie o koelacji a nastęnie o niezależności cen akcji eliminuje się aamet Jednoznaczne okeślenie ozkładu jest konsekwencją założenia niezależności zmiennych losowych w ozkładzie -wymiaowym Duga część acy dotyczy badania ozkładu awdoodobieństwa matyngałowego -wymiaowej zmiennej cen zy założeniu zuełności i baku możliwości abitażu w modelach składowych Rozważany model łączony jest niezuełny Udowodniono że domknięcie zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego jest nieuste Podano zykład zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego łowa kluczowe: ynek niezuełny ynek łączony dwuunktowy ozkład awdoodobieństwa JEL Classification: C9 Wowadzenie Paca jest oświęcona ozszezeniu koncecji łączenia dwóch ynków o dwuunktowym ozkładzie awdoodobieństwa [Utkin ] na tzy modele Istotą modelu ynku łączonego jest wykozystanie ozkładów awdoodobieństwa zeczywistego cen instumentów yzykownych danych na ynkach składowych jako odowiednich ozkładów bzegowych wielowymiaowych zmiennych losowych na ynku łączonym Łącząc tzy ynki składowe dane

2 ozkłady awdoodobieństwa cen otaktujemy jako - wymiaowe ozkłady bzegowe zmiennej - wymiaowej W celu zbadania konsekwencji stochastycznej niezależności lub koelacji a [Utkin ] należy ich ozkłady owiązać z danymi ozkładami z tzech ynków składowych W obabilistycznym modelu ynku kaitałowego do wyceny lub oszacowania watości wyłat końcowych stosuje się awdoodobieństwo matyngałowe bió ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego dla ynku łączonego ozatuje się zy założeniu zuełności i baku możliwości abitażu na ynkach składowych W zyadku dwóch modeli składowych zbió ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego został wyznaczony elicite [Utkin ] W zyadku tzech modeli składowych zbadamy za omocą twiedzeń ogamowania liniowego domknięcie zbioów ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego tj jego istnienie i ostać W zykładzie zedstawimy zastosowanie domknięcia do wyznaczenia zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego Rozkłady awdoodobieństwa W chwilach t i t ozważamy tzy modele ynków kaitałowych o dwuunktowych ozkładach awdoodobieństwa [Hoek i Elliott ] W każdym modelu wystęuje bezieczne konto bankowe o wsólnej stoie ocentowej Oócz tego w każdym modelu wystęuje jeden odzaj yzykownego instumentu finansowego ędziemy mówić o akcjach dwóch odzajów któych ceny oznaczamy zez t i t oaz o wielookesowej obligacji zeokuonowej o cenie oznaczonej t W każdym z modeli w chwili t walo yzykowny zyjmuje jedną z dwóch cen Ceny w stanie hossy oznaczamy i a w stanie bessy i Inteesuje nas ozkład awdoodobieństwa zeczywistego lub matyngałowego tójwymiaowej zmiennej losowej ( Osiem watości awdoodobieństwa zeczywistego i (lub matyngałowego i i zyoządkujemy tójkom cen losowych ( według ay tabel: tabela zedstawia ozkład dla a tabela ozkład dla i

3 O łączeniu tzech ynków 9 Tabela Rozkład awdoodobieństwa zmiennej -wymiaowej dla Tabela Rozkład awdoodobieństwa zmiennej -wymiaowej dla Rozkłady bzegowe awdoodobieństwa zeczywistego Rozkłady awdoodobieństwa zeczywistego cen tzech instumentów yzykownych w modelach składowych są dane za omocą nastęujących liczb z zedziału (: awdoodobieństwo zyjęcia ceny awdoodobieństwo zyjęcia ceny awdoodobieństwo zyjęcia ceny mienna losowa ( ma tzy -wymiaowe ozkłady bzegowe ą one okeślone za omocą tzech układów ównań dla kolejnych zmiennych losowych w któych awdoodobieństwa ochodzą z modeli ynków składowych Mianowicie: ( (

4 mienna losowa ( ma ównież tzy -wymiaowe ozkłady bzegowe Pzedstawimy je za omocą tabel ozkładów zmiennych -wymiaowych w ozkładzie zmiennej -wymiaowej (tabele Wykozystamy zy tym układy ( ( ( Otzymujemy nastęujące -wymiaowe ozkłady bzegowe: Tabela Rozkład awdoodobieństwa zeczywistego zmiennej ( Tabela Rozkład awdoodobieństwa zeczywistego zmiennej ( Tabela Rozkład awdoodobieństwa zeczywistego zmiennej ( ( Niezależność a cen Łączeniu a ynków oświęcona jest aca Utkin [] w któej zbadane są możliwości łączenia dwóch ynków zy założeniu znajomości dwuunktowych ozkładów awdoodobieństwa na ynkach składowych oaz wsółczynnika koelacji cen instumentów yzykownych Wyeksonowany jest tam ważny zyadek niezależności stochastycznej obu waloów yzykownych W niniejszym odozdziale zbadamy konsekwencje założenia stochastycznej niezależno-

5 O łączeniu tzech ynków ści a cen akcji każdego odzaju i obligacji wielookesowej Na koniec uwzględnimy ozostałe założenia niezależności stochastycznej godnie z ezultatami w acy Utkin [] stochastyczna niezależność zmiennych i w ozkładzie zedstawionym w tabeli owadzi do układu ównań: ( ( ( ( ( a stochastyczna niezależność zmiennych i w ozkładzie z tabeli - do układu ównań: ( ( ( ( ( Układ ównań ( ( z niewiadomymi i i ma nieusty zbió ozwiązań Wsółzędne ozwiązania można zedstawić w nastęującej ostaci aametycznej: ( ( ( ( ( ( ( ( ( β α β α β α β α ( gdzie: { } { } { } { } min ma min ma β α

6 Wniosek Pzy założeniu stochastycznej niezależności a cen akcji i obligacji zbió ozkładów awdoodobieństwa zeczywistego jest nieusty Rozkłady zależą od dwóch aametów Ceny akcji obu odzajów i mogą być na ogół skoelowane do czego nawiążemy w zyadku ozkładu awdoodobieństwa ( Wówczas awdoodobieństwo jednoczesnej hossy obu akcji jest ówne α β ( ( Dla danego wsółczynnika koelacji k cen akcji i awdoodobieństwo ich jednoczesnej hossy jest zgodne z wynikami w acy Utkin [] i ( ówne: ( k ( ( α β ( ałożenie stochastycznej niezależności cen akcji i wzoowane na założeniu standadowego modelu lacka-cholesa [Jakubowski i in s ] owadzi w zyadku ( do nastęującego ównania wiążącego α i β mianowicie: α β ( ( (9 tąd o eliminacji β azyste wsółzędne z układu ( zyjmą ostać: α α ( ( ( ( ( ( ( a nieazyste wsółzędne w ( ozostają bez zmiany α α ( Wniosek Pzy założeniu stochastycznej niezależności wszystkich a cen instumentów yzykownych ozkłady awdoodobieństwa zeczywistego zależą od jednego aametu Niezależność a cen ozwala okeślić ozkład awdoodobieństwa zeczywistego zależnego od jednego aametu Doieo założenie niezależności tójki ( wyażające się ozez ozkład każdego awdoodobieństwa i i na odowiedni iloczyn tzech czynników ozwoli jednoznacznie zedstawić Jednak zy wcześniej zyjętych założeniach

7 O łączeniu tzech ynków do niezależności a cen wystaczy dołączyć jedno ównanie ozkładu na czynniki n ównanie awdoodobieństwa otójnej hossy ( zyównania iewszego ównania ( i ( otzymujemy ( ( α ( sełniające wymagane oganiczenie W konsekwencji w dalszym ciągu otzymujemy: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( najomość ozkładu awdoodobieństwa zeczywistego w danym modelu ynku jest otzebna do ozwiązywania oblemów otymalizacyjnych na zykład maksymalizacji oczekiwanej użyteczności majątku końcowego inwestoa Rozkład awdoodobieństwa matyngałowego akładamy że istnieje ozkład awdoodobieństwa zeczywistego zmiennej ( akładamy ównież że ceny waloów wystęujących na ynkach składowych są dodatnie i sełniają nieówności ( ( ( ( Wtedy każde z ównań o niewiadomej odowiednio ( ( ( ( ( ( (

8 ma dokładnie jedno ozwiązanie należące do ( któe inteetujemy jako awdoodobieństwo matyngałowe hossy w danym modelu składowym Każdy z ynków składowych jest zatem zuełny i ozbawiony możliwości abitażu akładamy onadto że cztey instumenty finansowe: bezieczne konto bankowe akcje dwóch odzajów i obligacja wielookesowa są iewotne tj żaden nie jest otfelem ozostałych Inteesują nas ozkłady awdoodobieństwa matyngałowego na ynku łączonym zukamy więc dodatnich liczb i w tabelach i i sełniających układ ównań ( ( ( ( ( ( ( ( ( i i ( Eliminując za omocą ( ceny oczątkowe waloów yzykownych i kozystając z założeń o cenach otzymujemy z ( układ ównań: i i ( zukamy zatem wektoów R o dodatnich wsółzędnych sełniających układ ównań: b A ( gdzie: A b (9 Wniosek za bió ozwiązań układu ównań ( jest -wymiaową ozmaitością liniową w R Rozważany model ynku łączonego jest niezuełny

9 O łączeniu tzech ynków Maciez A może być sowadzona do ostaci bazowej względem kolumn i mienne bazowe układu (: wyażamy za omocą aametów w nastęujący sosób: ( Nas inteesuje zbió ozwiązań układu ( o dodatnich wsółzędnych Jest to zbió M ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego w ozatywanym modelu łączonym o stanach końcowych Pogamowanie liniowe dostacza twiedzeń o zbioze ozwiązań nieujemnych któy jest domknięciem zbiou M czyli ClM R : A b ( { } Ogólnie domknięcie zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego na ynku zuełnym i ozbawionym możliwości abitażu jest zbioem jednoelementowym Ponieważ model ynku łączonego jest niezuełny będziemy szukać zbiou ClM o wielu elementach ( wynika że ClM jest wielościennym zbioem wyukłym Własności zbiou są zebane w oniższych wnioskach i twiedzeniu Domknięcie ClM jest odzbioem jednostkowego symleksu w R a zatem jest to zbió oganiczony Wniosek ClM jest oganiczony Można byłoby otzymać ClM jako owłokę wyukłą zbiou wiezchołków gdyby ( był zbioem nieustym Pzyjmując w ( aamety ówne otzymujemy ozwiązanie bazowe Jednak tylko w zyadku sełnienia nieówności mamy do czynienia z nieujemnym ozwiązaniem bazowym W celu wykazania że ClM jest zbioem nieustym osłużymy się wnioskiem z lematu Fakasa godnie z nim dokładnie jeden z układów ma ozwiązanie: T A b A z lub ( T b z > Jeżeli maciez A i wekto b są dane za omocą (9 to z R

10 Układ nieówności A T z możemy zaisać w nastęujący sosób: z z z z z z z ( z z z z z z z z z z z z z Ponieważ układ ( jest sełniony w niedodatnim othancie R więc zbió ozwiązań układu ( jest nieusty Na zbioze ozwiązań ( badamy watość fomy liniowej T b z z z z z ( gdzie są danymi liczbami z ( Dla ozwiązań układu ( w któych z otzymujemy z i i więc b T z ( Dla ozwiązań układu ( w któych z wsółzędne z i i mogą mieć óżne znaki Wtedy watości fomy ( można oszacować z góy omijając wyazy zawieające te sośód z i i któe są niedodatnie a sumę wyazów zawieających ozostałe z i dodatnie oszacować z góy zez z skąd b T z z z ( atem ClM jest nieusty Twiedzenie ClM Nieusty oganiczony wielościenny zbió wyukły ClM jest wielościanem wyukłym bió ten może być okeślony za omocą swoich wiezchołków wniosku wynika że są one ewnymi ozwiązaniami bazowymi układu ( Wniosek ( ClM e jest zbioem nieujemnych ozwiązań bazowych układu ( Wniosek ClM conv ClM (( e

11 O łączeniu tzech ynków Jeżeli zbió ( ClM e ma więcej niż jeden element to ozkłady awdoodobieństwa matyngałowego otzymujemy jako dodatnie kombinacje wyukłe jego elementów Wniosek W ozważanym modelu ynku łączonego zbió ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego M jest zbioem dodatnich wyukłych kombinacji wiezchołków jego domknięcia ( Pzykład akładamy że Wówczas zbió ( ma tylko ięć wiezchołków onieważ cztey z nich są zdegeneowane ą to nieujemne ozwiązania bazowe układu ( któe oznaczamy zez n a ich n wsółzędne zamieszczamy w kolumnach w tabeli Tabela Wiezchołki zbiou ClM n auważmy że zbió M składa się z tych elementów ClM któe nie leżą na bzegu jednostkowego symleksu w R : n M an : a n n n a > a > a > a > a > Wybó zykładu został oaty na edukcji liczby wiezchołków zbiou ClM będącej efektem wielokotnych degeneacji naczącą edukcję otzymujemy też n zakładając sumowanie się tzech stałych do jedności jednak wtedy liczba wiezchołków nie będzie mniejsza niż sześć najomość zbiou ( ClM e jest odstawą szacowania watości danej wyłaty Mianowicie za ich omocą wyznaczamy cenę kuna i cenę szedaży dla wyłaty nieosiągalnej lub cenę dla wyłaty osiągalnej

12 Podsumowanie Paca dotyczyła ozszezenia metody łączenia dwóch ynków na tzy ynki składowe eezentowane zez tzy odzaje instumentów yzykownych Instument bezieczny w modelu łączonym był wsólny Pzedstawiony model ynku łączonego miał osiem stanów końcowych badano ozkłady awdoodobieństwa zeczywistego w zyadkach niezależności stochastycznej a cen instumentów yzykownych zaczeniętych z teoii łączenia a ynków Doieo założenie niezależności stochastycznej tójki cen ozwoliło na jednoznaczne wyażenie ozkładu awdoodobieństwa zeczywistego W modelu zbudowanym w wyniku ołączenia tzech ynków zeowadzono badanie zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego Domknięcie tego zbiou zedstawiono jako zbió nieujemnych ozwiązań ewnego układu ównań liniowych o ośmiu niewiadomych Po wyznaczeniu wiezchołków wymienionego domknięcia zbió ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego otzymano jako zbió dodatnich wyukłych kombinacji tych wiezchołków W acy zedstawiono zykładową konstukcję zbiou ozkładów awdoodobieństwa matyngałowego Liteatua Hoek van de J Elliott RJ ( inomial models in finance inge New Yok Jakubowski J Palczewski A Rutkowski M tettne Ł ( Matematyka finansowa Instumenty ochodne WNT Waszawa Utkin J ( Łączenie modeli ynków o dwuunktowych ozkładach awdoodobieństwa tudia Ekonomiczne eszyty Naukowe Uniwesytetu Ekonomicznego w Katowicach (zyjęty do ublikacji ON JOINING OF THREE MARKET MODEL ummay: The aim of the ae is to enlage the joining idea of the maket models with the -oint obability distibution on models In each comonent model thee is kind of isky instument ( kinds of stocks and kind of multieiod bond and isk-fee instument with a given common ate The fist at of the ae deals with the eal obability distibution of the ices of isky instuments Unde the assumtion of the stock and bond ices we obtain the distibution with aametes y adding the assumtion on the coelation and net the indeendence of stock ices we educe aamete The uniue distibution is the conseuence of the indeendence of vaiables in the -dimensional distibution The second at concens the analysis of the matingale obability distibution of the -dimensional ice vaiable while each comonent model

13 O łączeniu tzech ynków 9 is comlete and abitage-fee The consideed joined maket is an incomlete model We ove that the closue of the obability distibutions set is non-emty We give the eamle of a set of the matingale obability distibutions Keywods: incomlete maket joined maket two-oint obability distibution