Analiza Matematyczna 2.3 A(MAP 1428) 2017/2018

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna 2.3 AMAP 428) 27/28 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 7 części odpowiadających kolejnym ćwiczeniom. Na zajęciach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów. Na końcu listy zadań umieszczono przykładowe zestawy zadań z egzaminu podstawowego i poprawkowego, a także wykaz książek, z których są one zaczerpnięte. Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminie na ocenę celującą z analizy matematycznej 2. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej oraz w książce[4]. Ćwiczenia pierwsze. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ) n 5 ; b) 6 n 2 +3n+2 ; c) n ; d). n! n++ n 2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 +2 ; b) n2 + n 2 +2 ; c) sin π 2 n; d) 2 n +e n e n +4 n; e) 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n n6 ; b) n 2 + n 4 + ; c) e n 3 n ; d) 4 n ln +3 n) ; e) 4. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 26 n 2n)! ; b) 5 n + n 4 + ; c) n! n n; d) n n π n n! ; e) 5. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: 2n+) 2n 2 n +3 n 3n 2 +) n ; b) 3 n +5 n; c) 3 n n n2 ; d) n+) n2 sin n 28!). 3 n +n n3 n +2 n. sinπ/n) sinπ/n 2 ). ) n n arctg. n+ 6. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 26 n n n n lim n 3 n =; b) lim n n!) 2=; c) lim n n! 3n)!4n)! =; d*) lim n 5n)!2n)! =. 7. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ) n ) n2 + n ; b) ) n 2 n 3 n +4 n; c) ) n sin π n ; d) 8. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n 2 n + ; b) ) n n n 2 +2 ; c) ) n 2n ; d) 3n+5 n=4 ) n ne ) ; e) ) n+3n n!. sinn 2 n.

2 Ćwiczenia drugie 9. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: x ) n ne n ; b) 4x 2) n x 3) n ; c) ; d) n! 2x+6) n 3 n 2 n ; e). Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 2x ; b)sinx 2 ; c)x2 e x x 3 ; d) 6+x 2; e)coshx; f)sin2 x.. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f 5) ), fx)=x 2 cosx; b)f 25) ), fx)=xe x ; c)f ) ), fx)= x3 +x 2; d)f) ), fx)=xsin 2x 2. nx+) 2n. n+3 2. Wykorzystując twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów pokazać, że dla każdego x, ) prawdziwe są równości: nx n x = x) 2; b) nn+)x n 2x = x) 3; c) x n n = ln x). 3. Obliczyć sumy szeregów liczbowych: n+)3 n; b) 2n 2 n ; c) Wskazówka. Wykorzystać równości z poprzedniego zadania. nn+) 5 n ; d) n n+)4 n. Ćwiczenia trzecie 4.Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf x,f y funkcjifwewskazanychpunktach: fx,y)= x2 y,,); b)fx,y)= x 6 +y 4,,). 5.Obliczyćpochodnecząstkowef x,f y funkcjifipochodnecząstkoweg x,g y,g z funkcjig: fx,y)= x2 +y 3 xy 2 ; b)fx,y)=arctg xy x+y ; c)fx,y)=ecosx y ; d)fx,y)=y ) x 2 +y 2 ; e)fx,y)=ln x2 +y 2 x ; f)gx,y,z)=x 2 + xz y +yz3 ; x g)gx,y,z)= x 2 +y 2 +z2; h)gx,y,z)=cosxsinycosz)); i)gx,y,z)= x 2 + y 2 + z Sprawdzić, że wskazana funkcja f spełnia podane równania: fx,y)=ln x 2 +xy+y 2), xf x +yf y =2; b)fx,y)= xsin y x, xf x+yf y = f Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z=x 2 y+,,3,z ); b)z=e x+2y, 2,,z ); c)z= arcsinx arccosy, ) 3 2, 2,z ; d)z=2+x 3y) 4,punktwspólnywykresuiosiOz; e)z=e x+y e 4 y,punktwspólnywykresuiosiox. 2

3 8. Nawykresiefunkcjiz =arctg x y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyznyx+y z=5. b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz=x 2 +y 2,którajestprostopadładoprostej x=t,y=t,z=2t,t. 9. Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń:.2) 3.997) 2 ; b) ) ) ) 3 ; c)2.97 e.5 ; d) cos Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Otrzymanoh=35mmoraz r=45mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=2m.obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm. c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z. Ćwiczenia czwarte 2. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: fx,y)= ) x 2 +y 2, x,y )=,), v= 3/2,/2 ; b)fx,y)= 3 ) xy, x,y )=,), v= 2/2, 2/ Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: fx,y)=x 2 +y 2, x,y )= 3,4), v=2/3,5/3); b)fx,y)=x y x 2+y, x,y )=,), v=3/5, 4/5); c)gx,y,z)=e x2 y z, x,y,z )=,, ), v=2/3, 2/3,/3). 23.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)=y x 2 +2lnxy)wpunkcie /2, )wkierunkuwersora vtworzącegokątαzdodatniączęściąosiox.lajakiegokątaαpochodnatamawartość,adlajakiegoprzyjmuje wartość największą? b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjafx,y)= e x x+y 2) wpunkcie,2)mapochodną kierunkową równą. 24. Obliczyć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach: fx,y)=x 3 +xy 2 +2,, 2); b)fx,y)=lnx+lny),e,); c)fx,y)=+xy) y,,); d)gx,y,z)=x y e z lny,,,);e)gx,y,z)= 25. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f i g: x y+sinz,,,π);f)gx,y,z)= x+ y+ z,,,). fx,y)=cos x 2 +y 2) ; b)fx,y)=ye xy ; c)fx,y)=x 2 + y3 x ; d)fx,y)=yln x y ; e)gx,y,z)= y +x2 +z 2; f)gx,y,z)=ln x+y 2 +z 3 + ). Zauważyć, że odpowiednie pochodne cząstkowe mieszane są równe. 26.Sprawdzić,żepodanefunkcjespełniająwarunekf xx +f yy =równanielaplace a): fx,y)=arctg x y ; b)fx,y)=ln x 2 +y 2) ; c)fx,y)=cosxcoshy. 3

4 Ćwiczenia piąte 27. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: fx,y)=x 3 +3xy 2 5x 24y; b)fx,y)=xe y + x +ey ; c)fx,y)=xy 2 2 x y)x,y>); d)fx,y)=y x y 2 x+6y; e)fx,y)=e 3 +y 3 3xy; f)fx,y)= 8 x +x y +yx,y>); g)fx,y)=xy+lny+x 2 ; h)fx,y)=e x 2y +e y x +e 6+y ; i)fx,y)=e x2 y 5 2x+y). 28. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: fx,y)=x 2 +y 2,3x+2y=6; b)fx,y)=x 2 +y 2 8x+,x y 2 +=; c)fx,y)=x 2 y+lnx,8x+3y=; d)fx,y)=2x+3y,x 2 +y 2 =. 29. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach lub w ich dziedzinach naturalnych: fx,y)=2x 3 +4x 2 +y 2 2xy, = { x,y) 2 :x 2 y 4 } ; b)fx,y)= y x 2 + x y 2 ; c)fx,y)= x x 2 +y 2 ); d)fx,y)=x 2 y 2, trójkątowierzchołkach,),,2),,2); e)fx,y)=x 4 +y 4, = { x,y) 2 :x 2 +y 2 9 } ; f*)fx,y)=x+y)e x 2y, = { x,y) 2 :x,y }. 3.WtrójkącieowierzchołkachA=,5),B=,4),C=2, 3)znaleźćpunktM=x,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: { x+y =, k: z+ =, l: { x y+3 =, z 2 =. d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=26m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m 2,dobudowypodłogiwcenie4zł/m 2,asufituwcenie2zł/m 2.Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy. f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne. Następnie sprzedaje je odpowiednio po 5 zł i 2 zł za sztukę. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi Kx,y)=x 2 xy+y 2 [zł]. Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? g)naparaboliy=x 2 /2wyznaczyćpunkt,któregoodległośćodpunktuP=4,)jestnajmniejsza. Ćwiczenia szóste 3. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: x+xy x 2 2y ) dy,=[,] [,]; b) dy c) x+y+) 3,=[,2] [,]; e) e 2x y dy,=[,] [,]; d) f) 4 xdy y 2,=[,2] [2,4]; xsinxy))dy,=[,] [π,2π]; x+y)dy e x,=[,] [,].

5 32. Całkę podwójną równaniach: y=x 2, y=x+2; fx, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o b)x 2 +y 2 =4, y=2x x 2, x=x,y ); c)x 2 4x+y 2 +6y 5=; d)x 2 y 2 =, x 2 +y 2 =3x<). 33. Obliczyć całki iterowane: 2 x2 y x2dy; b) x 4 Narysować obszary całkowania. 2x x x 2 y xdy; c) x 2 x 3 +y 3) dy; d) 34. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: d) 2 2 x fx,y)dy; dy y2 2 y 2 b) fx,y); e) π π 2 2 x 2 fx,y)dy; c) sinx cosx fx,y)dy; f) 4 e 2 x 4x x 2 lnx 3 y dy fx,y)dy; fx,y)dy. y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: xy 2 dy, :y=x,y=2 x 2 ; b) x 2 ydy, :y= 2,y= x,y= x; c) e x y dy, :y= x,x=,y=; d) xy+4x 2 ) dy, :y=x+3,y=x 2 +3x+3; e) x 2 e xy dy, :y=x,y=,x=; f) xdy x 2 +y2, :x=2,y=x,y=x/2; g) e x2 dy, :y=,y=2x,x= ln3; h) 2x 3y+2)dy, :y=,y=π,x=,x=siny. 36. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ fx,y)=sinxcosy,=[,π], π ] ; b)fx,y)=2x y,: y π, x siny. 2 Ćwiczenia siódme 37. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: xydy,: x 2 +y 2 x, 3 y 3x; b) xy 2 dy,: x, x 2 +y 2 2; c) y 2 e x2 +y 2 dy,: x,y,x 2 +y 2 ; d) x 2 dy,: x 2 +y 2 2y; e) x 2 +y 2) dy,: y,y x 2 +y 2 x; f) yy,: x 2 +y 2 2xy ). Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich. 38. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y 2 =4x, x+y=3, y=y ); b)x 2 +y 2 2y=, x 2 +y 2 4y=; c)x+y=4, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; d)x 2 +y 2 =2y, y= 3 x. 5

6 39. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: z= 25 x 2 +y 2 ),z=x 2 +y 2 3; b)x 2 +y 2 +z 2 =4,z=z ); c)x 2 +y 2 2y=,z=x 2 +y 2,z=; d)z=5 x 2 y 2,z=,z=4; e*)x ) 2 +y ) 2 =,z=xy,z=; f*)2z=x 2 +y 2,y+z=4. 4. Obliczyć pola płatów: z=x 2 +y 2,x 2 +y 2 ; b)x 2 +y 2 +z 2 = 2,x 2 +y 2 x,z ; c)z= x 2 +y 2, z 2; d)częśćsferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącawewnątrzparaboloidyz= x 2 +y 2) /2. 4. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { x,y) 2 :x 2 y 9 } ; b)= { x,y) 2 : x π, y sin 2 x } ; c)= { x,y) 2 : x, y e x} ; d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; e) trójkątrównobocznyoboku2a,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicy. 42. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi lub punktów: ćwiartka koła o promieniu, oś symetrii; b) odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h, oś symetrii; c)kwadratobokua,przekątna; d)trójkątrównobocznyobokua,podstawa; e)kołoośrednicy,środek. Przykładowe zadania z kolokwiów. Zbadać zbieżność szeregu n2 n + n3 n Uzasadnić zbieżność szeregu ) nlnn+). n 3. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego x+5) n n+2. 4.Funkcjęfx)= x2 +4x rozwinąćwszeregmaclaurina.podaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności. 5.Narysowaćdziedzinęfunkcjifx,y)= y x ln 9 x 2 y 2) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu. 6.Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchnix+2) 2 +y 3) 2 +z 2 =6wpunkcie,2, ). 7.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)= x 2 y ) e 2y x wpunkciex,y )=,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox. x 8. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji fx, y) = w kierunku wersora ) y 2/2, 2/2 przyjmujewartość. 9.Znaleźćwszystkieekstremafunkcjifx,y)= x y +y+. x.znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjifx,y)=x 2 y 2 wtrójkącieowierzchołkach,),3,),,3).. Uzasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej. 6

7 2. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4x 2 x fx,y)dy. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącejwewnątrzparaboloidy2z=x 2 +y 2.Sporządzić rysunek. ydy 4. Obliczyć całkę x 2 +y 2 ) 3,gdzie={ x,y) 2 : x 2 +y 2 9,y }. 5.ObliczyćobjętoścbryłyUograniczonejpowierzchniami:x 2 +y 2 =,z=x 2 +y 2 3,z=5 x 2 +y 2. 6.Jednorodnafiguraskładasięzkwadratuoboku2idołączonegodoniegopółkolaopromieniu.Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 7. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii. Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzeniapodać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólnez wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Egzamin podstawowy Zestaw A. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 2.Funkcjęfx)= zbieżności. 3 n 2 3x)n. 4 x 2 orazjejdrugąpochodnąrozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich 3.Wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnifx,y)=x 3 +y 2 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x 2y z=. 4.Wyznaczyćnajwiększąwartośćfunkcjifx,y)=xy+xnazbiorzeograniczonymłukamiparaboly= x 2 iy=x 2 x. 5.Obliczyćobjętośćobszaruograniczonegopowierzchniamiz=3 y 2,z=2y,x=,x=.Sporządzić rysunek. 6.Obliczyćpoleczęścipowierzchniz=x 2 +y 2 leżącejmiędzypłaszczyznamiz=iz=4.sporządzićrysunek. Zestaw B. Zbadać zbieżność szeregu n2 n + n3 n +. 2.Znaleźćekstremalokalnefunkcjifx,y)=y x+ y x + 8 y 2. 7

8 3.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)= e x x+y 2) wpunkcie,2+ ) 2 w kierunku wersora v tworzącegokąt π 4 zdodatnimzwrotemosiox.wktórymzośmiugeograficznychkierunków:n,w,s,e, NW,NE,SW,SEszybkośćwzrostufunkcjifwpunkcie,2+ ) 2 jest największa? Uwaga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód. 4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 5.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 25 x 2 +y 2 ),z=+ x 2 +y 2. 6 log 2 x log 4 x fx,y)dy. 6. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku 2 i dołączonego do niego półkola o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. Egzamin poprawkowy Zestaw A. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n+ 4+2x) n. n 2.Napisaćrozwinięciefunkcjifx)= x2 3x 2 2 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf7) ),f 8) ). 3.Wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnifx,y)=x 3 +y 2 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x 2y z=. 4.Wyznaczyćekstremalokalnefunkcjifx,y)=lnx 4 +lny 2 4y 2 x. 5.Napłaszzczyźniezaznaczyćobszarograniczonykrzywymix=y 2,x=2 y 2.Obliczyćcałkępodwójną xy dy. 6.Narysowaćbryłęograniczonąpowierzchniamiz=2 x 2 +y 2,z=3 x 2 y 2 iobliczyćjejobjętość. Zestaw B. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 2. Zbadać zbieżność szeregu 5 n +3 n. n! n 22x+4)n. 3.Wyznaczyćnajmniejsząwartośćfunkcjifx,y)=y 2 xy ynazbiorzeograniczonymparaboląx y 2 += iprostąx=. 4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej 2+x 2 fx,y)dy. x 5.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącejwewnątrzparaboloidy2z=x 2 +y 2.Sporządzić rysunek. 6. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym. 8

9 Egzamin na ocenę celującą Zestawz26r.. Zbadać zbieżność szeregu 3ln n 2 + ) 2ln n 3 + )). 2. Wafelek do loda ma kształt stożka wydrążonego o wysokości H z jednakową grubością ścianekrysunek). Masalodowastożek)wypełniającawafelekmawysokośćhh<H).Przyjmując,żewafelekimasasą jednorodne, a gęstość masy jest 2 razy większa od gęstości wafelka, wyznaczyć położenie środka masy całego loda. h H 3. Kątem nachylenia gładkiej powierzchni w ustalonym jej punkcie nazywamy kąt ostry między płaszczyzną styczną w tym miejscu, a poziomem. Obliczyć średni kąt nachylenia wzgórza o równaniu z= 4 x2 y 2 z ). 4. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta oraz jak powinien być on ukształtowany, aby miał największe pole? Źródła zadań [] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. efinicje, twierdzenia, wzory, Wrocław 26. [2] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Wrocław 26. [3] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Kolokwia i egzaminy, Wrocław 22. [4] Z.Skoczylas, Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą, Wrocław 26. 9