Analiza Matematyczna 2.4A (2017/2018)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna.A (7/8) Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielo na 7 ćwiczeń plus kolokwium zaliczeniowe. Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania przeznaczonego na dany tydzień zajęć. Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów. Trudniejsze zadania oznaczone są gwiazdką. Na końcu listy zadań umieszczono przykładowe zestawy zadań z egzaminu podstawowego i poprawkowego, a także wykaz książek, z których zaczerpnięte są zadania. zdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminie na ocenę celującą z analizy matematycznej. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej oraz w książce[5]. Ćwiczenia pierwsze. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x x x ; (b) x+ ; (c) e x xcosx; (d) e x + ; (e) x +6x+5 ; (f) π. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x( x+) ;(b) ( x+3) ;(c) x(x+) x +x+ ;(d) ( x +) ;(e) 3 x + π (x+sinx) ;(f) x 3 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( x+) ; (b) x(x+) 5 x ( ) x5 3 ; (c) e /x ; (d) sin x ; (e). Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: x(x+) ; (b) e lnx ; (c) x π π sinx ; (d) 5 3 x x Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +9 ; (b) n n +n ; (c) lnn n ; (d) n= n= n n+ ; (e) 6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n + n; (e) e n e n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n + n6 ; (b) n + n + ; (c) e n 3 n ; (d) n ln ( +3 n) ; (f) n= 3 n +n n3 n + n. x x 3 sinx. sin(π/n) sin(π/n ). xe x. (3+cosx) x+. Ćwiczenia drugie 8. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 6 n (n)! ; (b) 5 n + n + ; (c) n! n n; (d) n n π n n!.

2 9. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (3n +) n ; (b) 3 n +5 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n + n; (c) ( ) n sin π n ; (d) n= n= n=. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: (x ) n ne n ; (b) (x ) n (x 3) n ; (c) ; (d) n! n= n= ( ) n n arctg. n+ (x+6) n 3 n n ; (e). Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 x ; (b)sinx ; (c)x e x x 3 ; (d) 6+x ; (e)coshx; (f)sin x. ( ) n+3n n= n!. n(x+) n. n+3 Ćwiczenia trzecie 3.Obliczyćpochodnecząstkowef x,f y funkcjifipochodnecząstkoweg x,g y,g z funkcjig: f(x,y)= x +y 3 xy ; (b)f(x,y)=arctg xy x+y ; (c)f(x,y)=ecosx y ; (d)f(x,y)=y ) x +y ; (e)f(x,y)=ln( x +y x ; (f)g(x,y,z)=x + xz y +yz3 ; x (g)g(x,y,z)= x +y +z; (h)g(x,y,z)=cos(xsin(ycosz)); (i)g(x,y,z)= x + y + z +..Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf xx,f xy,f yx,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg xx,g xy,g xz, g yx,g yy,g yz,g zx,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(x,y)=cos ( x +y ) ; (b)f(x,y)=ye xy ; (d)f(x,y)=yln x y ; (c)f(x,y)=x + y3 x ; (e)g(x,y,z)= y +x +z ; (f)g(x,y,z)=ln( x+y +z 3 + ). 5. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: z=x y+, (,3,z ); (b)z=e x+y, (,,z ); (c)z= arcsinx ( arccosy, /, 3/,z ); (d)z=(+x 3y),punktwspólnywykresuiosiOz; (e)z=e x+y e y,punktwspólnywykresuiosiox. 6.Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Otrzymanoh=35mmoraz r=5mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm. (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z. 7. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(x,y)=x +y, (x,y )=( 3,), v=(/3,5/3); (b)f(x,y)=x y x +y, (x,y )=(,), v=(3/5, /5); (c)g(x,y,z)=e x y z, (x,y,z )=(,, ), v=(/3, /3,/3). *8.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy)wpunkcie( /, )wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatniączęściąosiox.lajakiegokątaαpochodnatamawartość,adlajakiego

3 przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(x,y)= e x( x+y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą. Ćwiczenia czwarte 9. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=x 3 +3xy 5x y; (b)f(x,y)=xe y + x +ey ; (c)f(x,y)=xy ( x y)(x,y>); (d)f(x,y)=y x y x+6y; (e)f(x,y)=e 3 +y 3 3xy; (g)f(x,y)=xy+lny+x ; (f)f(x,y)= 8 x +x y +y(x,y>); (h)f(x,y)=e x y +e y x +e 6+y ; (i)f(x,y)=e x y (5 x+y).. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach lub w ich dziedzinach naturalnych: f(x,y)=x 3 +x +y xy, = { (x,y) R :x y } ; (b)f(x,y)= y x + x y ; (c)f(x,y)= x + (x +y ); (d)f(x,y)=x y, trójkątowierzchołkach(,),(,),(,); (e)f(x,y)=x +y, = { (x,y) R :x +y 9 } ; (f*)f(x,y)=(x+y)e x y, = { (x,y) R :x,y }..WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,),C=(, 3)znaleźćpunktM=(x,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: { x+y =, k: z+ =, l: { x y+3 =, z =. (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwceniezł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy. (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(x,y)=x xy+y [zł]. Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? (g)naparaboliy=x /wyznaczyćpunkt,któregoodległośćodpunktup=(,)jestnajmniejsza. Ćwiczenia piąte. Obliczyć całki podwójne po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: (+xy)dy,:x=y=,x=y=; (b) xy dy, :y=x,y= x ; (c) x ydy, :y=,y= x,y= x; (d) e x/y dy, :y= x,x=,y=; 3

4 (e) ( xy+x ) dy, :y=x+3,y=x +3x+3; (f) x e xy dy, :y=x,y=,x=; (g) (xy+x)dy, :x=,y=,y=3 x (x ); (h) e x dy.:y=,y=x,x= ln3. 3. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) x f(x,y)dy; dy y y (b) f(x,y); (e) π π x f(x,y)dy; (c) sinx cosx f(x,y)dy; (f) e x x x lnx f(x,y)dy; f(x,y)dy.. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: xydy,: x +y x, 3 y 3x; (b) xy dy,: x, x +y ; (c) y e x +y dy,: x,y,x +y ; (d) x dy,: x +y y; (e) ( x +y ) dy,: y,y x +y x; (f) yy,: x +y x(y ). Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. 5. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =x, x+y=3, y=(y ); (b)x +y y=, x +y y=; (c)x+y=, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; (d)x +y =y, y= 3 x. Ćwiczenia szóste 6. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: z= 5 (x +y ),z=x +y 3; (b)x +y +z =,z=(z ); (c)x +y y=,z=x +y,z=; (d)z=5 x y,z=,z=; (e*)(x ) +(y ) =,z=xy,z=; (f*)z=x +y,y+z=. 7. Obliczyć pola płatów: z=x +y,x +y ; (b)x +y +z =R,x +y Rx,z ; (c)z= x +y, z ; (d)częśćsferyx +y +z =3leżącawewnątrzparaboloidyz= ( x +y ) /. 8. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (b) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (c) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicy. 9. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi lub punktów: ćwiartka koła o promieniu R, oś symetrii; (b) odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h, oś symetrii; (c) kwadrat o boku a, przekątna; (d) trójkąt równoboczny o boku a, podstawa; (e)kołoośrednicy,środek.

5 3. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: xdydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) e x+y+z dydz, :x, x y, z x; dydz (c) (3x+y+z+), :x,y, z x y; (x (d) +y ) dydz, :x +y, x z x; (e) x y dydz, : x y z. Ćwiczenia siódme 3. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: (x +y +z ) dydz, :x +y, z ; (b) xyzdydz, : x +y z x y ; (x (c) +y ) dydz, :x +y +z R,x +y +z Rz; (d) (x+y+z)dydz, :x +y, z x y. 3. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz x +y +z, : x +y +z 9; (x (b) +y ) dydz, : x +y z x y ; (c) z dydz, :x +y +(z R) R (R>); (d) x dydz, :x +y +z x. 33. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: x +y =9, x+y+z=, x+y+z=5; (b)z= x, z=5+y ; (c)z= +x +y, z=, x +y =; (d)x +y +z =, y=(y ). 3. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: półkula o promieniu R; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh. 35. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi: walecopromieniupodstawyriwysokościh,ośwalca; 5

6 (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh,ośstożka; (c)kulaopromieniur,ośsymetrii; (d) odcinek paraboloidy o średnicy i wysokości H, oś obrotu. 36. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (b)y y=sint, y()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +y +y=t, y()=,y ()=; (h)y +y +3y=te t, y()=,y ()=. Przykładowe zadania z kolokwiów. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej 3. Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n +. x + x zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+). n n= 3 x. 5. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu 6. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= (x+5) n n+. arctgn n +. 7.Funkcjęf(x)= x +x rozwinąćwszeregmaclaurina.podaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności. 8.Narysowaćdziedzinęfunkcjif(x,y)= y x ln ( 9 x y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu. 9.Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(x+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, )..Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)= ( x y ) e y x wpunkcie(x,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox. x. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f(x) = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)= x y +y+. x 3.Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(x,y)=x y wtrójkącieowierzchołkach(,),(3,), (,3).. zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej. 5. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 6 x x f(x,y)dy.

7 6.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz=x +y.sporządzić rysunek. ydy 7. Obliczyć całkę (x +y ) 3,gdzie={ (x,y) R : x +y 9,y }. 8.Obliczyćobjętoścbryłyograniczonejpowierzchniami:x +y =,z=x +y 3,z=5 x +y. 9.Jednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniu.Wyznaczyć położenie środka masy tej figury.. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii..obliczyćcałkęzfunkcjif(x,y,z)=zpoobszarzev ograniczonympłaszczyznamix+y=,x+y=, x=,y=,z=,z=.naszkicowaćobszarv..obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=xpoobszarzev :x +y +z 6,x,y,z. Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne. 3.Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi. Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Egzamin podstawowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą e x. +e x. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=y x+ y x + 8 y. 3 n (x ) n n+..obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 (x +y ),z=+ x +y. 5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t. Zestaw B. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z=x +y,z= 9 + ( x +y ). Sporządzić rysunek..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=x+y ln(xy). 3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 7 6 log x log x f(x,y)dy.

8 . Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)!. 5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu, z którego boku wycięto półkole o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()=. Zestaw C.Wyznaczyćnajwiększąwartośćfunkcjif(x,y)=xy+xnazbiorzeograniczonymłukamiparaboly= x iy=x x. ( x) n. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n3 n. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnix +y +z =leżącejwewnątrzstożkaz= 3(x +y ).Sporządzić rysunek..wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnif(x,y)=x 3 +y 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x y z=. 5. Obliczyć całkę niewłaściwą x +x. 6. Jednorodna płytka o masie M ma kształt kwadratu o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem przekątnej. Sporządzić rysunek. Zestaw.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy)wpunkcie( /, )wkierunkuwersora vtworzącegokątπ/6zdodatnimzwrotemosiox.wktórymzośmiugeograficznychkierunków:n,w,s, E,NW,NE,SW,SEszybkośćwzrostufunkcjifwpunkcie( /, )jestnajwiększa? waga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód..Napłaszczyźniezaznaczyćobszarograniczonykrzywąx=y +iprostymiy=x,y=iy= 3. Następnie obliczyć całkę podwójną ( ) x + y dy. 3. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych: x+ 3 x ; (b) x+ 3 x..wyznaczyćszeregmaclaurinafunkcjif(x)= x 3x.Określićpromieńjegozbieżnościiobliczyćpochodne f (7) (),f (8) (). 5.Obliczyćobjętośćobszaruograniczonegopowierzchniamiz=3 y,z=y,x=,x=.sporządzić rysunek. 6.Napisaćrównaniepłaszczyznystycznejdopowierzchni(x ) +(y+) +z =6wpunkcie(,, ). Egzamin poprawkowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą x x +. 8

9 . Zbadać zbieżność szeregu 5 n +3 n. n! 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e 3 y +e x +e y x.. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej +x f(x,y)dy. x 5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R. 6.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach:x +y =,z= ( x +y ),z=. Zestaw B. Obliczyć całkę niewłaściwą. Zbadać zbieżność szeregu x x. arcctgn. 3.Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=(y+) x+ xy.. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= x +y,z=6 ( x +y ). Sporządzić rysunek. x x x 3 f(x,y)dy. 6.Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(x,y)=y 3 + x y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy. Zestaw C.Wyznaczyćnajmniejsząwartośćfunkcjif(x,y)=xy x ynazbiorzeograniczonymprostąy=x+i paraboląy=x.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n (x+)n. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnix +y +z =3leżacejwewnątrzparaboloidyz=x +y.sporządzić rysunek..wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdopowierzchnif(x,y)=ln ( +x y y ) wpunkcie,wktórym jestonarównoległadopłaszczyznyy+z=. 5. Obliczyć całkę niewłaściwą x 3x. 6. Jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkata prostokątnego o przyprostokątnych p i q. Obliczyć moment bezwładności płytki względem przyprostokątnej p. Sporządzić rysunek. Zestaw. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu.funkcjęf(x)= zbieżności. n= lnn n. x orazjejdrugąpochodnąrozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchniz=x +y leżącejmiędzypłaszczyznamiz=iz=.sporządzićrysunek. 9

10 .Wyznaczyćgradientfunkcjif(x,y)= ( x y ) e x y wpunkcie(,)orazwersorv,dlaktórego f v (,) ma wartość najmniejszą. 5.Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=x+y+z,poobszarzeograniczonympłaszczyznamix+y=, x+y=,y=,z=,z=.narysowaćobszarcałkowania. 6.WykorzystująctransformatęLaplace earozwiązaćrównanieróżniczkowerzędudrugiegoy +y y=z warunkamiy()=,y ()=. Egzamin na ocenę celującą Zestawz6r.. Zbadać zbieżność szeregu ( ( 3ln n + ) ln ( n 3 + )).. Wafelek do loda ma kształt stożka wydrążonego o wysokości H z jednakową grubością ścianek(rysunek). Masalodowa(stożek)wypełniającawafelekmawysokośćh(h<H).Przyjmując,żewafelekimasasą jednorodne, a gęstość masy jest razy większa od gęstości wafelka, wyznaczyć położenie środka masy całego loda. h H 3. Kątem nachylenia gładkiej powierzchni w ustalonym jej punkcie nazywamy kąt ostry między płaszczyzną styczną w tym miejscu, a poziomem. Obliczyć średni kąt nachylenia wzgórza o równaniu z= x y (z ).. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta oraz jak powinien być on ukształtowany, aby miał największe pole? Źródła zadań [] Analiza matematyczna. efinicje, twierdzenia, wzory [] Analiza matematyczna. Przykłady i zadania [3] Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy [] Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady zadania [5] Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą