AnalizaMatematyczna2.1,2.1A,2.2A,2.2B(MAT ,1426) 2017/2018 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas

Transkrypt

1 AnalizaMatematyczna.,.A,.A,.B(MAT4-44,46) 7/8 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas Listazdańobejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana5jednostek ćwiczeńonumerachoddo5.przy czym ćwiczenia 7. oraz 5. zawierają przykładowe zestawy zadań odpowiednio na pierwsze i drugie kolokwium. Na zajęciach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów. Trudniejsze zadania oznaczone są gwiazdką. Na końcu listy umieszczono przykładowe zestawy zadań z egzaminu podstawowego i poprawkowego, a także wykaz książek, z których są one zaczerpnięte. zdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminie na ocenę celującą z analizy matematycznej. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej oraz w książce[5]. Ćwiczenia pierwsze. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x x x ; (b) x+ ; (c) e x xcosx; (d) e x + ; (e) x +6x+5 ; (f) 4 π. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x( x+) ;(b) 4 ( x+3) ;(c) x(x+) x 4 +x+ ;(d) ( x +) 3 x + ;(e) π (x+sinx) x 3 ;(f) 3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( x+) ; (b) x(x+) 5 x ( ) x5 3 ; (c) e /x ; (d) sin x ; (e) 4 x x 3 sinx. xe x. (3+cosx) x+. 4.Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= x +9 orazosiąox. (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioxobszaru= { (x,y) R :x, y e x}. (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= x x (x )wokółosioxmaskończoną wartość. 5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: e lnx π 5 ; (b) ; (c) x(x+) x sinx ; (d) x x 8 ; (e) π 3 x(x+). 6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctgx x ; (b) x e x x 3 ; (c) 4 x + x ; (d*) 6 x Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( x 3 + ) π x(x +) ; (b) sin 3 x (e x ) π x 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) x 3 sinx x x. 8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: x 3 cosx x +4 ; (b) e x e x + ; (c) e x+5 ; (d) 9 4 π ; (e) x sinx x.

2 Ćwiczenia drugie 9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d). n! n++ n n= n= n=. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n= n +9 ; (b) n= n n +n ; (c) n= lnn n ; (d) n= n= n n+ ; (e). Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n=. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n + n6 ; (b) n + n 4 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n ln ( +3 n) ; (e) n= n= n= n= n= n= sin(π/n) sin(π/n ) ; (f) n!+ (n+)!. 3. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: n= n= 6 n (n)! ; (b) n= 5 n + n 4 + ; (c) n= n= n! n n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) n n π n n! ; (e*) 4. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (3n +) n ; (b) 3 n +5 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n= n= n= e n e n +. n= (n!) (n)!. n= 3 n +n n3 n + n. ( ) n n arctg. n+ 5. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 6 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! =. 6. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n sin π n ; (d) n= n= n=4 n= ( ) n+3n n!. Ćwiczenia trzecie 7. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n n + ; (b) ( ) n n n + ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= n= n= 8. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: (x ) n ne n ; (b) (4x ) n (x 3) n ; (c) ; (d) n! n= n= n= ( ) n( ne ) ; (e) n= n= (x+6) n 3 n n ; (e) n= n= sinn n. n(x+) n. n+3

3 9. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 x ; (b)sinx ; (c)x e x x 3 ; (d) 6+x ; (e)coshx; (f)sin x.. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f(x)=x cosx; (b)f (5) (), f(x)=xe x ; (c)f () (), f(x)= x3 +x ; (d)f() (), f(x)=xsin x.. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów potęgowych wyznaczyć szeregi Maclaurina funkcji: f(x)= (+x) ; (b)f(x)=xe x ; (c)f(x)=ln ( +x ) ; (d)f(x)=arctgx.. Wykorzystując twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów potęgowych pokazać, że dla każdego x (,)prawdziwesąrówności: nx n x = ( x) ; (b) n(n+)x n x = ( x) 3; (c) x n n = ln( x). n= n= n= n= 3. Obliczyć sumy szeregów liczbowych: (n+)3 n; (b) n n ; (c) n= Wskazówka. Wykorzystać równości z poprzedniego zadania. n= n(n+) 5 n ; (d) n= n (n+)4 n. Ćwiczenia czwarte 4. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: y f(x,y)=ln(y sinx); (b)f(x,y)= x+ ; (c)f(x,y)= x y x y ; +y 9 (d)f(x,y)=lnx 6 x y ; (e)g(x,y,z)= x+ z; (f)g(x,y,z)=arccos ( x +y +z 9 ). 5. Naszkicować wykresy funkcji: f(x,y)= x +y ; (b)f(x,y)= 3+x x y ; (c)f(x,y)=x +x+y 6y+3; (d)f(x,y)=cosx; (e)f(x,y)= y ; (f*)f(x,y)= y x. * 6. Obliczyć granice: sin ( x 4 y 4) cos ( x +y ) lim (x,y) (,) x +y ;(b) lim (x,y) (,) (x +y ) ;(c) lim (x,y) (,) xy x +y;(d) lim (x,y) (,) x cos x 4 +y 4. 7.Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf x,f y funkcjifwewskazanychpunktach: f(x,y)= x y,(,); (b)f(x,y)= x 6 +y 4,(,). 8. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f i g: f(x,y)= x +y 3 xy ; (b)f(x,y)=arctg xy x+y ; (c)f(x,y)=ecosx y ; (d)f(x,y)=y ) x +y ; (e)f(x,y)=ln( x +y x ; (f)g(x,y,z)=x + xz y +yz3 ; x (g)g(x,y,z)= x +y +z; (h)g(x,y,z)=cos(xsin(ycosz)); (i)g(x,y,z)= x + y + z +. 3

4 Ćwiczenia piąte * 9. Sprawdzić, że funkcja f spełnia równania: f(x,y)=ln ( x +xy+y ), xf x +yf y =; (b)f(x,y)= xsin y x, xf x+yf y = f. 3. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funcji f i g: f(x,y)=cos ( x +y ) ; (b)f(x,y)=ye xy ; (d)f(x,y)=yln x y ; Zauważyć, że odpowiednie pochodne cząstkowe mieszane są równe. (c)f(x,y)=x + y3 x ; (e)g(x,y,z)= y +x +z ; (f)g(x,y,z)=ln( x+y +z 3 + ). 3.Sprawdzić,żepodanefunkcjespełniająwarunekf xx +f yy =(równanielaplace a): f(x,y)=arctg x y ; (b)f(x,y)=ln( x +y ) ; (c)f(x,y)=cosxcoshy. 3. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: ( z=x y+, (,3,z ); (b)z=e x+y, (,,z ); (c)z= arcsinx arccosy, ) 3,,z ; (d)z=(+x 3y) 4,punktwspólnywykresuiosiOz; (e)z=e x+y e 4 y,punktwspólnywykresuiosiox. 33. Nawykresiefunkcjiz =arctg x y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyznyx+y z=5. (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz=x +y,którajestprostopadładoprostej x=t,y=t,z=t,t R. Ćwiczenia szóste 34.Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mm.Otrzymanoh=35mmoraz r=45mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=m.obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm. (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z. * 35. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( x +y ), yz x xz y =; (b)z=xf(sin(x y)), z x +z y = z x ; ( y (c)z=x n f, xz x +yz y =nz(n N); (d*)z= x) x ( y ) y g(x)+h, xyz xy +y z yy +xz x +yz y =. x 36. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(x,y)= ( ) x +y, (x,y )=(,), v= 3/,/ ; (b)f(x,y)= 3 ( ) xy, (x,y )=(,), v= /, /. 37. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(x,y)=x +y, (x,y )=( 3,4), v=(/3,5/3); (b)f(x,y)=x y x +y, (x,y )=(,), v=(3/5, 4/5); (c)g(x,y,z)=e x y z, (x,y,z )=(,, ), v=(/3, /3,/3). 4

5 38.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy)wpunkcie( /, )wkierunkuwersora vtworzącegokątαzdodatniączęściąosiox.lajakiegokątaαpochodnatamawartość,adlajakiegoprzyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(x,y)= e x( x+y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą. 39. Obliczyć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach: f(x,y)=x 3 +xy +,(, ); (b)f(x,y)=ln(x+lny),(e,); (c)f(x,y)=(+xy) y,(,); (d)g(x,y,z)=x y e z lny,(,,);(e)g(x,y,z)= x y+sinz,(,,π);(f)g(x,y,z)= x+ y+ z,(,,). Ćwiczenia siódme(i kolokwium- przykładowe zestawy) Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju. Zbadać zbieżność szeregu n= n n + n3 n Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 x. n= (x+5) n n+. 4. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(x, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz.. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej. zasadnić zbieżność szeregu x + x 3. + ( ) nln(n+). n n= ( ) +x y w punkcie jego 3.Funkcjęf(x)= x +4x rozwinąćwszeregmaclaurina.podaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności. 4.Narysowaćdziedzinęfunkcjif(x,y)= y x ln ( 9 x y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu. Zestaw C. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju. Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (x+) x(+ x). n= arctgn 4n +. 3.Napisaćrozwinięciefunkcjif(x)= ex + e 3x wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () (). 4.Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(x+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, ). 5

6 Zestaw. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n. n n=.funkcjęf(x)= 4x + orazjejpochodnąf (x)rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności. Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n. n= 3.Napowierzchniz=yln ( +x+y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln=. x 4. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f(x, y) = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość. Ćwiczenia ósme 4. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=x 3 +3xy 5x 4y; (b)f(x,y)=xe y + x +ey ; (c)f(x,y)=xy ( x y)(x,y>); (d)f(x,y)=y x y x+6y; (e)f(x,y)=e 3 +y 3 3xy; (g)f(x,y)=xy+lny+x ; (f)f(x,y)= 8 x +x y +y(x,y>); (h)f(x,y)=e x y +e y x +e 6+y ; (i)f(x,y)=e x y (5 x+y). 4. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(x,y)=x +y,3x+y=6; (b)f(x,y)=x +y 8x+,x y +=; (c)f(x,y)=x y+lnx,8x+3y=; (d)f(x,y)=x+3y,x +y =. 4. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach lub w ich dziedzinach naturalnych: f(x,y)=x 3 +4x +y xy, = { (x,y) R :x y 4 } ; (b)f(x,y)= y x + x y ; (c)f(x,y)= x + 4 (x +y ); (d)f(x,y)=x y, trójkątowierzchołkach(,),(,),(,); (e)f(x,y)=x 4 +y 4, = { (x,y) R :x +y 9 } ; (f*)f(x,y)=(x+y)e x y, = { (x,y) R :x,y }. 43.WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(x,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza. (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: { x+y =, k: z+ =, l: { x y+3 =, z =. (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3.obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m.znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy. (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne. Następnie sprzedaje je odpowiednio po 5 zł i zł za sztukę. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(x,y)=x xy+y [zł]. Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? (g)naparaboliy=x /wyznaczyćpunkt,któregoodległośćodpunktup=(4,)jestnajmniejsza. 6

7 Ćwiczenia dziewiąte 44. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( x+xy x y ) dy,r=[,] [,]; (b) R dy (c) (x+y+) 3,R=[,] [,]; R (e) e x y dy,r=[,] [,]; R R (d) R (f) R xdy y,r=[,] [,4]; (xsin(xy))dy,r=[,] [π,π]; (x+y)dy e x,r=[,] [,]. 45. Całkę podwójną f(x, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi: y=x, y=x+; (b)x +y =4, y=x x, x=(x,y ); (c)x 4x+y +6y 5=; (d)x y =, x +y =3(x<). 46. Obliczyć całki iterowane: x y xdy; (b) x 4 Narysować obszary całkowania. x x x y xdy; (c) 4 x ( x 3 +y 3) dy; (d) 47. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) x f(x,y)dy; dy y y (b) f(x,y); (e) π π x f(x,y)dy; (c) sinx cosx f(x,y)dy; (f) 4 e x 4x x lnx 3 y dy f(x,y)dy; f(x,y)dy. y Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: xy dy, :y=x,y= x ; (b) x ydy, :y=,y= x,y= x; ( (c) e x y dy, :y= x,x=,y=; (d) xy+4x ) dy, :y=x+3,y=x +3x+3; (e) x e xy dy, :y=x,y=,x=; (f) xdy x +y, :x=,y=x,y=x/; (g) e x dy, :y=,y=x,x= ln3; (h) (x 3y+)dy, :y=,y=π,x=,x=siny. * 49. Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(x,y)dy,=[,] [,]; (b) x+y dy,=[,] [,]; (c) x y dy,= { (x,y) R :x, y 3 x } ; (d) sgn ( x y + ) dy,= { (x,y) R :x +y 4 }. waga.symbolmin(a,b)oznaczamniejsząspośródliczba,b,asymbol u częśćcałkowitąliczbyu. 7

8 5. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(x,y)=sinxcosy,=[,π], π ] ; (b)f(x,y)=x y,: y π, x siny. Ćwiczenia dziesiąte 5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: xydy,: x +y x, y 3x; (b) xy dy,: x, x +y ; 3 (c) y e x +y dy,: x,y,x +y ; (d) x dy,: x +y y; (e) (g) ( x +y ) dy,: y,y x +y x; (f) yy,: x +y x(y ); sin ( x +y ) dy,: x +y π ; Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich. 5. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: (h) ln ( +x +y ) dy,: x +y 9. y =4x, x+y=3, y=(y ); (b)x +y y=, x +y 4y=; (c)x+y=4, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; (d)x +y =y, y= 3 x. 53. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: z= 5 (x +y ),z=x +y 3; (b)x +y +z =4,z=(z ); (c)x +y y=,z=x +y,z=; (d)z=5 x y,z=,z=4; (e*)(x ) +(y ) =,z=xy,z=; (f*)z=x +y,y+z= Obliczyć pola płatów: z=x +y,x +y ; (b)x +y +z =R,x +y Rx,z ; (c)z= x +y, z ; (d)częśćsferyx +y +z =3leżącawewnątrzparaboloidyz= ( x +y ) /. 55. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (x,y) R :x y 9 } ; (b)= { (x,y) R : x π, y sin x } ; (c)= { (x,y) R : x, y e x} ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicy. 56. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi lub punktów: trójkąt równoboczny o boku a, podstawa; (b) odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h, oś symetrii; (c) kwadrat o boku a, przekątna; (e)kołoośrednicy,środek; ćwiartka koła o promieniu R, oś symetrii; (f)elipsaopółosiacha,b,ośsymetrii. Ćwiczenia jedenaste 57. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: 8

9 xdydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (x+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinxsin(x+y)sin(x+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (x+y)e x+z dydz,=[,] [,] [,]. 58.Całkępotrójnązfunkcjig(x,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= x +y, z=6; (b)x +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z=x +y, z= x y. * 59. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: x 3 3x 3 y 4 x y dy f(x,y,z)dz; (b) dy f(x,y,z)dz; 4 x 4 x y (c) 3 dz z z z x z x f(x,y,z)dy; (d) dy x x +y f(x,y,z)dz. 6. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(x,y,z)=e x+y+z, :x, x y, z x; (b)g(x,y,z)= (3x+y+z+) 4, :x,y, z x y; (c)g(x,y,z)=x +y, :x +y 4, x z x; (d)g(x,y,z)=x y, : x y z. Ćwiczenia dwunaste 6. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: (x +y +z ) dydz, :x +y 4, z ; (b) xyzdydz, : x +y z x y ; (x (c) +y ) dydz, :x +y +z R,x +y +z Rz; (d) (x+y+z)dydz, :x +y, z x y. 6. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz +y +z 9; x +y +z,:4 x (x (b) +y ) dydz,: x +y z x y ; 9

10 (c) z dydz,:x +y +(z R) R (R>); (d) x dydz;:x +y +z 4x. 63. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: x +y =9, x+y+z=, x+y+z=5; (b)z=4 x, z=y 5; (c)z= +x +y, z=, x +y =4; (d)x +y +z =, y=(y ). 64. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: półkulaopromieniur;(b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh;(c):x +y z x y. 65. Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi: walecopromieniupodstawyriwysokościh,ośwalca; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh,ośstożka; (c)kulaopromieniur,ośsymetrii; (d) odcinek paraboloidy o średnicy i wysokości H, oś obrotu. Ćwiczenia trzynaste 66. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t 67. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; (d) s+ (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; t (b)y y=sint, y()=; t (c)y +y =, y()=,y ()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()=. * 69. Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t. * 7. Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (d)f(t)=e t, g(t)=t. * 7. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +).

11 Ćwiczenia czternaste 7. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla x, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla x >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a. dla t >; π Wskazówka.(f*) Wykorzystać równość e at dt= a. 73.Niechc,h Rorazδ>.WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ t 74.Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ] ; (b)f{f(t)sinαt}= i [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) ]. 75. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint. { dla t<, waga. (t) = funkcja Heaviside a. dla t * 76. Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 77. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys.). + x(t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t). 78.ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= 79. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω R L C y(t) +ω. (+ω )(4+ω ) ; +

12 8. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t. Ćwiczenia piętnaste(ii kolokwium- przykładowe zestawy) Zestaw A.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)= ( x y ) e y x wpunkcie(x,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)= x y +y+. x 3.Jednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniu.Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 4. Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B x +y =,z=x +y 3,z=5 x +y..znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(x,y)=x y wtrójkącie T= { (x,y) R :x,y,x+y 4 }.. Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii. ydy 3. Obliczyć całkę (x +y ) 3,gdzie={ (x,y) R : x +y 9,y }. 4.ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t. Zestaw C. zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej.. Zmienić kolejność całkowania w całce Naszkicować obszar całkowania. dy + y y f(x,y). 3.Obliczyćcałkęzfunkcjif(x,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznamix+y=,x+y=, x=,y=,z=,z=.naszkicowaćobszarv. 4.Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi. Zestaw.Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y x spełniawarunekx z xx +xyz xy +y z yy =,gdziex,y>..całkępodwójnązfunkcjif(x,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy= x,x= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby. Narysować obszar. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz=x +y.sporządzić rysunek. 4.Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=xpoobszarzeV :x +y +z 6,x,y,z. Sporządzić rysunek. Zastosować współrzędne sferyczne.

13 Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Egzamin podstawowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą e x. +e x. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=y x+ y x + 8 y. 3 n (x ) n n+. 4.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 (x +y ),z=+ x +y. 5. Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t. Zestaw B. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z=x +y,z= 9 + ( x +y ). Sporządzić rysunek..znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=x+y ln(xy). 3. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4. Zbadać zbieżność szeregu n= (n!) (n)!. 6 log x log 4 x f(x,y)dy. 5. Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu. Wyznaczyć położenie środka masy tej figury. 6.MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()=. Zestaw C.Wyznaczyćnajwiększąwartośćfunkcjif(x,y)=xy+xnazbiorzeograniczonymłukamiparaboly= x iy=x x. ( x) n. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n3 n. n= 3

14 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnix +y +z =4leżącejwewnątrzstożkaz= 3(x +y ).Sporządzić rysunek. 4.Wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnif(x,y)=x 3 +y 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x y z=. 5. Obliczyć całkę niewłaściwą x +x. 6. Jednorodna płytka o masie M ma kształt kwadratu o boku a. Obliczyć moment bezwładności płytki względem przekątnej. Sporządzić rysunek. Zestaw.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy)wpunkcie( /, )wkierunkuwersora vtworzącegokątπ/6zdodatnimzwrotemosiox.wktórymzośmiugeograficznychkierunków:n,w,s, E,NW,NE,SW,SEszybkośćwzrostufunkcjifwpunkcie( /, )jestnajwiększa? waga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód..Napłaszczyźniezaznaczyćobszarograniczonykrzywąx=y +iprostymiy=x,y=iy= 3. Następnie obliczyć całkę podwójną ( ) x + y dy. 3. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych: x+ 3 x ; (b) x+ 3 x. 4.WyznaczyćszeregMaclaurinafunkcjif(x)= x 3x.Określićpromieńjegozbieżnościiobliczyćpochodne f (7) (),f (8) (). 5.Obliczyćobjętośćobszaruograniczonegopowierzchniamiz=3 y,z=y,x=,x=.sporządzić rysunek. 6.Napisaćrównaniepłaszczyznystycznejdopowierzchni(x ) +(y+) +z =6wpunkcie(,, ). Egzamin poprawkowy Zestaw A. Obliczyć całkę niewłaściwą. Zbadać zbieżność szeregu x x n +3 n. n! n= 3.Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e 3 y +e x +e y x. 4. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej +x f(x,y)dy. x 5. Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R. 6.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach:x +y =,z=4 ( x +y ),z=. 4

15 Zestaw B. Obliczyć całkę niewłaściwą. Zbadać zbieżność szeregu x x. arcctgn. n= 3.Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=(y+) x+ 4 xy. 4. Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= x +y,z=6 ( x +y ). 4 Sporządzić rysunek. x x x 3 f(x,y)dy. 6.Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(x,y)=y 3 + x y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy. Zestaw C.Wyznaczyćnajmniejsząwartośćfunkcjif(x,y)=xy x ynazbiorzeograniczonymprostąy=x+i paraboląy=x 4.. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n (x+4)n. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnix +y +z =3leżacejwewnątrzparaboloidyz=x +y.sporządzić rysunek. 4.Wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdopowierzchnif(x,y)=ln ( +x y y ) wpunkcie,wktórym jestonarównoległadopłaszczyznyy+z=. 5. Obliczyć całkę niewłaściwą 4 x 3x. 6. Jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkata prostokątnego o przyprostokątnych p i q. Obliczyć moment bezwładności płytki względem przyprostokątnej p. Sporządzić rysunek. Zestaw n=. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu.funkcjęf(x)= zbieżności. n= lnn n. 4 x orazjejdrugąpochodnąrozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchniz=x +y leżącejmiędzypłaszczyznamiz=iz=4.sporządzićrysunek. 4.Wyznaczyćgradientfunkcjif(x,y)= ( x y ) e x y wpunkcie(,)orazwersorv,dlaktórego f v (,) ma wartość najmniejszą. 5.Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=x+y+z,poobszarzeograniczonympłaszczyznamix+y=, x+y=,y=,z=,z=.narysowaćobszarcałkowania. 6.WykorzystująctransformatęLaplace earozwiązaćrównanieróżniczkowerzędudrugiegoy +y y=z warunkamiy()=,y ()=. 5

16 Egzamin na ocenę celującą Zestawz6r.. Zbadać zbieżność szeregu ( ( 3ln n + ) ln ( n 3 + )). n=. Wafelek do loda ma kształt stożka wydrążonego o wysokości H z jednakową grubością ścianek(rysunek). Masalodowa(stożek)wypełniającawafelekmawysokośćh(h<H).Przyjmując,żewafelekimasasą jednorodne, a gęstość masy jest razy większa od gęstości wafelka, wyznaczyć położenie środka masy całego loda. h H 3. Kątem nachylenia gładkiej powierzchni w ustalonym jej punkcie nazywamy kąt ostry między płaszczyzną styczną w tym miejscu, a poziomem. Obliczyć średni kąt nachylenia wzgórza o równaniu z= 4 x y (z ). 4. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta oraz jak powinien być on ukształtowany, aby miał największe pole? Źródła zadań [] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. efinicje, twierdzenia, wzory, Wrocław 6. [] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Przykłady i zadania, Wrocław 6. [3] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy, Wrocław. [4] M.Gewert, Z.Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Wrocław 6. [5] Z.Skoczylas, Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą, Wrocław 6. 6