Analiza Matematyczna II (Mechaniczny- MAT 1645)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna II Mechaniczny- MAT 65) Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista zdań obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 7 części odpowiadających kolejnym ćwiczeniom. Na zajęciach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania. Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów. Na końcu listy zadań umieszczono przykładowe zestawy zadań z kolokwium, egzaminu podstawowego i poprawkowego, a także wykaz książek, z których są one zaczerpnięte. Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminie na ocenę celującą z analizy matematycznej 2. Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej oraz w książce[]. Ćwiczenia pierwsze.korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf x,f y funkcjifwewskazanychpunktach: a)fx,y)= x2 y,,); b)fx,y)= x 6 +y,,). 2.Obliczyćpochodnecząstkowef x,f y funkcjifipochodnecząstkoweg x,g y,g z funkcjig: a)fx,y)= x2 +y 3 xy 2 ; b)fx,y)=arctg xy x+y ; c)fx,y)=ecosx y ; d)fx,y)=y ) x 2 +y 2 ; e)fx,y)=ln x2 +y 2 x ; f)gx,y,z)=x 2 + xz y +yz3 ; x g)gx,y,z)= x 2 +y 2 +z2; h)gx,y,z)=cosxsinycosz)); i)gx,y,z)= x 2 + y 2 + z Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: a)z=x 2 y+,,3,z ); b)z=e x+2y, 2,,z ); c)z= arcsinx arccosy, ) 3 2, 2,z ; d)z=2+x 3y),punktwspólnywykresuiosiOz; e)z=e x+y e y,punktwspólnywykresuiosiox..a)nawykresiefunkcjiz=arctg x y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległadopłaszczyznyx+y z=5. b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz=x 2 +y 2,którajestprostopadładoprostej x=t,y=t,z=2t,t. 5. a)wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnościąmm.otrzymanoh=35mmoraz r=5mm.zjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=m,c=2m.obliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm. c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z. Ćwiczenia drugie 6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: a)fx,y)= ) x 2 +y 2, x,y )=,), v= 3/2,/2 ; b)fx,y)= 3 ) xy, x,y )=,), v= 2/2, 2/2.

2 7. Obliczyć gradienty podanych funkcji we wskazanych punktach: a)fx,y)=x 3 +xy 2 +2,, 2); b)fx,y)=lnx+lny),e,); c)fx,y)=+xy) y,,); d)gx,y,z)=x y e z lny,,,);e)gx,y,z)= x y+sinz,,,π);f)gx,y,z)= x+ y+ z,,,). 8. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: a)fx,y)=x 2 +y 2, x,y )= 3,), v=2/3,5/3); b)fx,y)=x y x 2+y, x,y )=,), v=3/5, /5); c)gx,y,z)=e x2 y z, x,y,z )=,, ), v=2/3, 2/3,/3). 9.a)Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)=y x 2 +2lnxy)wpunkcie /2, )wkierunkuwersora vtworzącegokątαzdodatniączęściąosiox.lajakiegokątaαpochodnatamawartość,adlajakiegoprzyjmuje wartość największą? b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjafx,y)= e x x+y 2) wpunkcie,2)mapochodną kierunkową równą.. Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f i g: a)fx,y)=cos x 2 +y 2) ; b)fx,y)=ye xy ; d)fx,y)=yln x y ; Zauważyć, że odpowiednie pochodne cząstkowe mieszane są równe. c)fx,y)=x 2 + y3 x ; e)gx,y,z)= y +x2 +z 2; f)gx,y,z)=ln x+y 2 +z 3 + )..Sprawdzić,żepodanefunkcjespełniająwarunekf xx +f yy =równanielaplace a): a)fx,y)=arctg x y ; b)fx,y)=ln x 2 +y 2) ; c)fx,y)=cosxcoshy. Ćwiczenia trzecie 2. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: a)fx,y)=x 3 +3xy 2 5x 2y;b)fx,y)=xe y + x +ey ; c)fx,y)=xy 2 2 x y)x,y>); d)fx,y)=y x y 2 x+6y; e)fx,y)=x 3 +y 3 3xy; f)fx,y)= 8 x +x y +yx,y>); g)fx,y)=xy+lny+x 2 ; h)fx,y)=e x 2y +e y x +e 6+y ;i)fx,y)=e x2 y 5 2x+y). 3. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: a) x+xy x 2 2y ) dy,=[,] [,]; b) c) dy x+y+) 3,=[,2] [,]; e) e 2x y dy,=[,] [,]; xdy y 2,=[,2] [2,]; d) xsinxy)dy,=[,] [π,2π]; f) x+y)dy e x,=[,] [,].. Całkę podwójną fx, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: a)y=x 2, y=x+2; b)x 2 +y 2 =, y=2x x 2, x=x,y ); c)x 2 x+y 2 +6y 5=; d)x 2 y 2 =, x 2 +y 2 =3x<). 2

3 5. Obliczyć całki iterowane: a) 2 x2 y x2dy; b) x Narysować obszary całkowania. 2x x x 2 y xdy; c) 2 2 x 2 x 3 +y 3) dy; d) 3 y dy y2 +6. Ćwiczenia czwarte 6. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: a) xy 2 dy, :y=x,y=2 x 2 ; b) x 2 ydy, :y= 2,y= x,y= x; c) e x y dy, :y= x,x=,y=/2,y=; d) xy+x 2 ) dy, :y=x+3,y=x 2 +3x+3; e) x 2 e xy dy, :y=x,y=,x=; g) e x2 dy, :y=,y=2x,x= ln3; f) xdy x 2 +y2, :x=2,y=x,y=x/2; h) 2x 3y+2)dy, :y=,y=π,x=,x=siny. 7. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: a) xydy,: x 2 +y 2 x, y 3x; b) xy 2 dy,: x, x 2 +y 2 2; 3 c) y 2 e x2 +y 2 dy,: x,y,x 2 +y 2 ; d) x 2 dy,: x 2 +y 2 2y; e) x 2 +y 2) dy,: y,y x 2 +y 2 x; f) ydy,: x 2 +y 2 2xy ). Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich. 8. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a)y 2 =x, x+y=3, y=y ); b)x 2 +y 2 2y=, x 2 +y 2 y=; c)x+y=, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; d)x 2 +y 2 =2y, y= 3 x. Ćwiczenia piąte 9. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: a)z= 25 x 2 +y 2 ),z=x 2 +y 2 3; b)x 2 +y 2 +z 2 =,z=z ); c)x 2 +y 2 2y=,z=x 2 +y 2,z=; d)z=5 x 2 y 2,z=,z=; e*)x ) 2 +y ) 2 =,z=xy,z=; f*)2z=x 2 +y 2,y+z=. 2. Obliczyć pola płatów: a)z=x 2 +y 2,x 2 +y 2 ; b)x 2 +y 2 +z 2 = 2,x 2 +y 2 x,z ; c)z= x 2 +y 2, z 2; d)częśćsferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącawewnątrzparaboloidyz= x 2 +y 2) /2. 2. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x a) x 2 x ; b) x+ ; c) e x xcosx; d) ex + ; e) x 2 +6x+25 ; f) 2 2π 3 xe 2x.

4 22. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: a) x x+) ;b) x+3) 2;c) xx+) x +x+ ;d) 2 x +) 3 x + ;e) π x+sinx) x 3 ;f) 23. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: a) x+) ; b) xx+) 5 x 2 ) x5 3 ; c) e /x ; d) 2 sin 2 x ; e) x 2 x 3 sinx. 3+cosx) x+2. 2.a)Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= x 2 +9 orazosiąox. b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioxobszaru= { x,y) 2 :x, y e x}. c)uzasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy = x x x )wokółosioxjest skończone. Ćwiczenia szóste 25. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ) n 5 a) ; b) 6 n 2 +3n+2 ; c) n ; d). n! n++ n n= n= 26. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: a) n= n 2 +9 ; b) n n 2 +n ; c) lnn n 2; d) n= n= n n+ ; e) 27. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ a) n 3 +2 ; b) n2 + n 2 +2 ; c) sin π 2 n; d) n= n= n= n= n= 2 n +e n e n + n; e) e n e 2n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n 2 +2 a) 2n6 ; b) n 2 + n + ; c) e n 3 n ; d) n ln +3 n) ; e) n= n= 29. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: a) n= n= 26 n 2n)! ; b) n= 5 n + n + ; c) n= n= n! n n; d) n= n= n n π n n!. 3. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: 2n+) 2n 2 n +3 n a) 3n 2 +) n ; b) 3 n +5 n; c) 3 n n n2 ; d) n+) n2 n= 3. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: a) ) n ) n2 + n ; b) ) n 2 n 3 n + n; c) sin )n n ; d) n= n= n= n= n= n= 3 n +n n3 n +2 n. n= sinπ/n) sinπ/n 2 ). ) n n arctg. n+ n= ) n+3n n!. Ćwiczenia siódme 32. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ) n a) 2 n + ; b) ) n n n 2 +2 ; c) ) n 2n ; d) 3n+5 n= n= ) n ne ) ; e) n= sinn 2 n.

5 33. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: x ) n a) ne n ; b) x 2) n x 3) n ; c) ; d) n! n= n= n= n= 2x+6) n 3 n 2 n ; e) 3. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 a) 2x ; b)sinx 2 ; c)x2 e x x 3 ; d) 6+x 2; e)coshx; f)sin2 x. 35. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć: a)f 5) ), fx)=x 2 cosx; b)f 2) ), fx)=xe x ; c)f ) ), fx)= x3 +x 2; d)f) ), fx)=xsin 2x 2. n= nx+) 2n. n Wykorzystując twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregów potęgowych pokazać, że dla każdego x,)prawdziwesąrówności: a) nx n x = x) 2; b) nn+)x n 2x = x) 3; c) x n n = ln x). n= n= n= 37. Obliczyć sumy szeregów liczbowych: a) n+)3 n; b) 2n 2 n ; c) n= Wskazówka. Wykorzystać równości z poprzedniego zadania. n= nn+) 5 n ; d) n= n n+) n. Przykładowe zadania z kolokwiów. Obliczyć całkę niewłaściwą e x. +e x 2. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej 3. Zbadać zbieżność szeregu n= n2 n + n3 n +. x+ 3 x.. Uzasadnić zbieżność szeregu ) nlnn+). n 5. Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= x+5) n n+2. 6.Funkcjęfx)= x2 +x rozwinąćwszeregmaclaurina.podaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności. 7.Narysowaćdziedzinęiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzędufunkcjifx,y)= y x ln 9 x 2 y 2). 8.Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchnix+2) 2 +y 3) 2 +z 2 =6wpunkcie,2, ). 9.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)= x 2 y ) e 2y x wpunkciex,y )=,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox. x. Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji fx) = w kierunku wersora ) y 2/2, 2/2 przyjmujewartość..znaleźćwszystkieekstremafunkcjifx,y)= x y +y+. x 5

6 2. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce x 2 x fx,y)dy. 3.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącejwewnątrzparaboloidy2z=x 2 +y 2.Sporządzić rysunek. ydy. Obliczyć całkę x 2 +y 2 ) 3,gdzie={ x,y) 2 : x 2 +y 2 9,y }. 5.ObliczyćobjętoścbryłyUograniczonejpowierzchniami:x 2 +y 2 =,z=x 2 +y 2 3,z=5 x 2 +y 2. Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzeniapodać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólnez wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane. Egzamin podstawowy Zestaw A. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3 n 2 3x)n. 2.Funkcjęfx)= x 2orazjejdrugąpochodnąrozwinąćwszeregiMaclaurina.Podaćpromienieichzbieżności. 3.Wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnifx,y)=x 3 +y 2 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x 2y z=. lnn. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu n. 5.Obliczyćobjętośćobszaruograniczonegopowierzchniamiz=3 y 2,z=2y,x=,x=.Sporządzić rysunek. 6.Obliczyćpoleczęścipowierzchniz=x 2 +y 2 leżącejmiędzypłaszczyznamiz=iz=.sporządzićrysunek. Zestaw B. Zbadać zbieżność szeregu n= n2 n + n3 n +. 2.Znaleźćekstremalokalnefunkcjifx,y)=y x+ y x + 8 y 2. 3.Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjifx,y)= e x x+y 2) wpunkcie,2+ ) 2 w kierunku wersora v tworzącegokąt π zdodatnimzwrotemosiox.wktórymzośmiugeograficznychkierunków:n,w,s,e, NW,NE,SW,SEszybkośćwzrostufunkcjifwpunkcie,2+ ) 2 jest największa? Uwaga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód.. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 6 log 2 x log x fx,y)dy. 5.Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 25 x 2 +y 2 ),z=+ x 2 +y 2. 6

7 x 6. Obliczyć całkę niewłaściwą x +. Egzamin poprawkowy Zestaw A. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n+ +2x) n. n 2.Napisaćrozwinięciefunkcjifx)= x2 3x 2 2 wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf7) ),f 8) ). 3.Wyznaczyćrównaniapłaszczyznstycznychdopowierzchnifx,y)=x 3 +y 2 6xy+5xwpunktach,w którychsąonerównoległedopłaszczyzny6x 2y z=..wyznaczyćekstremalokalnefunkcjifx,y)=lnx +lny 2 y 2 x. 5.Napłaszzczyźniezaznaczyćobszarograniczonykrzywymix=y 2,x=2 y 2.Obliczyćcałkępodwójną xy dy. 6.Narysowaćbryłęograniczonąpowierzchniamiz=2 x 2 +y 2,z=3 x 2 y 2 iobliczyćjejobjętość. Zestaw B. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego 2. Zbadać zbieżność szeregu 5 n +3 n. n! n= n= n= n 22x+)n. 3.Wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdopowierzchnifx,y)=ln 2+x 2 y y 2) wpunkcie,wktórym jestonarównoległadopłaszczyzny2y+z=.. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej 2+x 2 fx,y)dy. x 5.Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx 2 +y 2 +z 2 =3leżącejwewnątrzparaboloidy2z=x 2 +y 2.Sporządzić rysunek. 6. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej x 2 3x korzystajączkryterium:a)ilorazowego;b)porównawczego. Egzamin na ocenę celującą Zestawz26r.. Zbadać zbieżność szeregu 3ln n 2 + ) 2ln n 3 + )). n= 2. Wafelek do loda ma kształt stożka wydrążonego o wysokości H z jednakową grubością ścianekrysunek). Masalodowastożek)wypełniającawafelekmawysokośćhh<H).Przyjmując,żewafelekimasasą jednorodne, a gęstość masy jest 2 razy większa od gęstości wafelka, wyznaczyć położenie środka masy całego loda. 7

8 h H 3. Kątem nachylenia gładkiej powierzchni w ustalonym jej punkcie nazywamy kąt ostry między płaszczyzną styczną w tym miejscu, a poziomem. Obliczyć średni kąt nachylenia wzgórza o równaniu z= x2 y 2 z ).. Trzy boki czworokąta wypukłego mają długość. Jaka powinna być długość czwartego boku czworokąta oraz jak powinien być on ukształtowany, aby miał największe pole? Źródła zadań [] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. efinicje, twierdzenia, wzory, Wrocław 26. [2] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Przykłady i zadania, Wrocław 26. [3] M.Gewert, Z.Skoczylas, Analiza matematyczna 2. Kolokwia i egzaminy, Wrocław 28. [] Z.Skoczylas, Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą, Wrocław 27. 8