Analiza Matematyczna 2 (2015/2016)

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna (5/6) MAP44, 45, 49, 56, 5, 359 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana3jednostekplusdwakolokwianaćwiczeniachnależy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania Pozostałe podpunkty przeznaczone są do samodzielnej pracy studentów Trudniejsze zadania oznaczone są gwiazdką Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów Na końcu listy zadań umieszczono przykładowe zestawów zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego zdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celującą z analizy matematycznej Zadania z egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Lista 4 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: x x x ; (b) x+ ; (c) xcosx; (d) e x ; (e) x +6x+5 ; (f) π xe x Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) x( x+) ; (b) ( x +) 3 x ; (e) + 4 π ( ; (c) x+) (x+sinx) x 3 ; (f) 4 x(x+) x 4 +x+ ; (3+cosx) x+ 3 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: ( x+) ; (b) x(x+) 5 x ) (e x5 3 ; (c) x ; (d) sin x ; (e) x x 3 sinx 4Obliczyćpoleobszaruograniczonegokrzywąy= x +9 orazosiąox (b)obliczyćobjętośćbryłypowstałejzobrotuwokółosioxobszaru= { (x,y) R :x, y e x} (c)zasadnić,żepolepowierzchnipowstałejzobrotuwykresufunkcjiy= x x (x )wokółosioxmaskończoną wartość 5 Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: e lnx π 5 ; (b) ; (c) x(x+) x sinx ; (d) x x 8 ; (e) π 3 x(x+) ZadaniazaczerpniętozksiążekAnalizamatematycznaefinicje,twierdzenia,wzory;Przykładyi zadania oraz Kolokwia i egzaminy

2 6 Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 4 arctgx x e x 4 ; (b) x x 3 ; (c) x + x ; (d*) 6 x 4 7 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: ( x 3 + ) π x(x +) ; (b) sin 3 x (e x ) π x 4 ; (c) ; (d*) ; (e*) x 3 sinx x x 8 Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: Lista n= x 3 cosx x ; (b) +4 e x e x + ; (c) e x+5 ; (d) 9 4 π ; (e) x sinx x 9 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność: ( ) n 5 ; (b) 6 n +3n+ ; (c) n ; (d) n! n++ n n= Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów: n +9 ; (b) n= n n +n ; (c) n= lnn n ; (d) n n+ ; (e) Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów: 3n+ n 3 + ; (b) n + n + ; (c) sin π n; (d) n= n= n +e n e n +4 n; (e) e n e n + 3 n +n n3 n + n Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów: n + n6 ; (b) n + n 4 + ; (c) e n 3 n ; (d) 4 n ln ( +3 n) 3 Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów: 6 n (n)! ; (b) 5 n + n 4 + ; (c) n! n n; (d) n n π n n! 4 Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów: (n+) n n +3 n (3n +) n ; (b) 3 n +5 n; (c) 3 n n n ; (d) (n+) n n= arccos n 3 n 5 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności szeregów uzasadnić podane równości: n 6 n n n n lim n 3 n =; (b) lim n (n!) =; (c) lim n n! (3n)!(4n)! =; (d*) lim n (5n)!(n)! = 6 Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów: ( ) n( ) n + n ; (b) ( ) n n 3 n +4 n; (c) ( ) n sin π n ; (d) n= Lista 3 n= n= 7 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów: ( ) n n + ; (b) ( ) n n n + ; (c) ( ) n n ; (d) 3n+5 n= n=4 ( ) n( ne ) ; (e) n= ( ) n+3n n! sinn n

3 8 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych: (x ) n ne n ; (b) (4x ) n (x 3) n ; (c) ; (d) n! n= n= (x+6) n 3 n n ; (e) 9 Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności: 5 x ; (b)sinx ; (c)x e x x 3 ; (d) 6+x ; (e)coshx; (f)sin x Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne: f (5) (), f(x)=x cosx; (b)f (5) (), f(x)=xe x ; (c)f () (), f(x)= x3 +x ; (d)f() (), f(x)=xsin x Wyznaczyćszeregipotęgowef (x)oraz f(x)= +x 3; (b)f(x)=sin( x ) ; (c*)f(x)=e x n= x n= f(t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem: n(x+) n n+3 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów: (n+)3 n; (b) n n(n+) n n ; (c) 5 n ; (d) (n+)4 n Lista 4 n= 3 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji: y f(x,y)=ln(y sinx); (b)f(x,y)= x+ ; (c)f(x,y)= x y x y ; +y 9 (d)f(x,y)=lnx 6 x y ; (e)g(x,y,z)= x+ z; (f)g(x,y,z)=arccos ( x +y +z 9 ) 4 Naszkicować wykresy funkcji: f(x,y)= x +y ; (b)f(x,y)= 3+x x y ; (c)f(x,y)=x +x+y 6y+3; (d)f(x,y)=cosx; (e)f(x,y)=y +; (f*)f(x,y)= x + y * 5 Obliczyć granice: sin ( x 4 y 4) cos ( x +y ) lim (x,y) (,) x +y ;(b) lim (x,y) (,) (x +y ) ;(c) lim (x,y) (,) xy x +y;(d) lim (x,y) (,) x cos x 4 +y 4 6Korzystajączdefinicjiobliczyćpochodnecząstkowepierwszegorzęduf x,f y funkcjifipochodnecząstkowe g x,g y,g z funkcjigwewskazanychpunktach: f(x,y)= x y,(,); (b)f(x,y)= x 6 +y 6,(,); (c)g(x,y,z)=(x y) z, (,,4) 7Obliczyćpochodnecząstkowef x,f y funkcjifipochodnecząstkoweg x,g y,g z funkcjig: f(x,y)= x +y 3 xy ; (b)f(x,y)=arctg xy x+y ; (c)f(x,y)=ecosx y ; (d)f(x,y)=y ) x +y ; (e)f(x,y)=ln( x +y x ; (f)g(x,y,z)=x + xz y +yz3 ; x (g)g(x,y,z)= x +y +z; (h)g(x,y,z)=cos(xsin(ycosz)); (i)g(x,y,z)= x + y + z + Lista 5 * 8 Sprawdzić, że funkcja f spełnia równania: f(x,y)=ln ( x +xy+y ), xf x +yf y =; (b)f(x,y)= xsin y x, xf x+yf y = f 3

4 9Obliczyćpochodnecząstkowedrugiegorzęduf xx,f xy,f yx,f yy funkcjifipochodnecząstkoweg xx,g xy,g xz, g yx,g yy,g yz,g zx,g zy,g zz funkcjigisprawdzić,żepochodnecząstkowemieszanesąrówne: f(x,y)=cos ( x +y ) ; (b)f(x,y)=ye xy ; (d)f(x,y)=yln x y ; (c)f(x,y)=x + y3 x ; (e)g(x,y,z)= y +x +z ; (f)g(x,y,z)=ln( x+y +z 3 + ) 3Sprawdzić,żepodanefunkcjespełniająwarunekf xx +f yy =(równanielaplace a): f(x,y)=arctg x y ; (b)f(x,y)=ln( x +y ) ; (c)f(x,y)=cosxcoshy 3 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu: ( z=x y+, (,3,z ); (b)z=e x+y, (,,z ); (c)z= arcsinx arccosy, ) 3,,z ; (d)f(x,y)=(+x 3y) 4,przecięciazosiąOz; (e)f(x,y)=e x+y e 4 y,przecięciazosiąox, 3 Nawykresiefunkcjiz =arctg x y wskazaćpunkty,wktórychpłaszczyznastycznajestrównoległado płaszczyznyx+y z=5 (b)wyznaczyćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjiz=x +y,którajestprostopadładoprostej x=t,y=t,z=t,t R Lista 6 33Wysokośćipromieńpodstawywalcazmierzonozdokładnością±mmOtrzymanoh=35mmoraz r=45mmzjakąwprzybliżeniudokładnościąmożnaobliczyćobjętośćvtegowalca? (b)krawędzieprostopadłościanumajądługościa=3m,b=4m,c=mobliczyćwprzybliżeniu,jakzmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o cm (c)oszacowaćbłądwzględnyδ V objętościprostopadłościamuv,jeżelipomiarujegobokówx,y,zdokonanoz dokładnościąodpowiednio x, y, z * 34 Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania: z=f ( x +y ), yz x xz y =; (b)z=xf(sin(x y)), z x +z y = z x ; ( y (c)z=x n f, xz x +yz y =nz(n N); (d*)z= x) x ( y ) y g(x)+h, xyz xy +y z yy +xz x +yz y = x 35 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: f(x,y)= ( ) 3 x +y, (x,y )=(,), v=, ; ( ) (b)f(x,y)= 3 xy, (x,y )=(,), v=, 36 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach: ( ) f(x,y)=x +y, (x,y )=( 3,4), v= 3,5 ; 3 (b)f(x,y)=x y ( ) 3 x +y, (x,y )=(,), v= 5, 4 ; 5 ( ) (c)g(x,y,z)=e xy z, (x,y,z )=(,, ), v= 3, 3, 3 37 Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)=y x +ln(xy)wpunkcie ( ), wkierunku wersoravtworzącegokątαzdodatnimzwrotemosioxlajakiegokątaαpochodnatamawartość,adla jakiego przyjmuje wartość największą? (b)wyznaczyćwersoryv,wkierunkuktórychfunkcjaf(x,y)= e x( x+y ) wpunkcie(,)mapochodną kierunkową równą 4

5 Lista 7(kolokwium- przykładowe zestawy) Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju Zbadać zbieżność szeregu n n + n3 n + 3 Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego 3 x n= (x+5) n n+ 4 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcjif(x, y) = arc sin Zestaw B przecięcia z osią Oz Zbadać zbieżność całki niewłaściwej x + x 3 + zasadnić zbieżność szeregu ( ) nln(n+) n n= ( ) +x y w punkcie jego 3Funkcjęf(x)= x +4x rozwinąćwszeregmaclaurinapodaćwrazzuzasadnieniemprzedziałzbieżności 4Narysowaćdziedzinęfunkcjif(x,y)= y x ln ( 9 x y ) iobliczyćjejpochodnecząstkowepierwszego rzędu Zestaw C Zbadać zbieżność całki niewłaściwej drugiego rodzaju Korzystając z kryterium całkowego uzasadnić zbieżność szeregu (x+) x(+ x) arctgn 4n + 3Napisaćrozwinięciefunkcjif(x)= ex + e 3x wszeregmaclaurina,anastępnieobliczyćf () () 4Napisaćrównaniepłaszczynystycznejdopowierzchni(x+) +(y 3) +z =6wpunkcie(,, ) Zestaw Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregu n+ ( ) n n Funkcjęf(x)= 4x + orazjejpochodnąf (x)rozwinąćwszeregimaclaurinaipodaćpromienieich zbieżności Następnie obliczyć sumę szeregu ( ) nn 4 n 3Napowierzchniz=yln ( +x+y ) znaleźćtakipunkt,abypłaszczyznastycznadotejpowierzchniwtym punkciebyłarównoległadopłaszczyznyz yln= x 4 Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f(x) = w kierunku wersora ( ) y /, / przyjmujewartość 5

6 Lista 8 38 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: f(x,y)=x 3 +3xy 5x 4y; (b)f(x,y)=xe y + x +ey ; (c)f(x,y)=xy ( x y)(x,y>); (d)f(x,y)=y x y x+6y; (e)f(x,y)=e 3 +y 3 3xy; (g)f(x,y)=xy+lny+x ; (f)f(x,y)= 8 x +x y +y(x,y>); (h)f(x,y)=e x y +e y x +e 6+y ; (i)f(x,y)=e x y (5 x+y) 39 Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki: f(x,y)=x +y,3x+y=6; (b)f(x,y)=x +y 8x+,x y +=; (c)f(x,y)=x y lnx,8x+3y=; (d)f(x,y)=x+3y,x +y = 4 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach: f(x,y)=x 3 +4x +y xy, = { (x,y) R :x y 4 } ; (b)f(x,y)=x y, trójkątowierzchołkach(,),(,),(,); (c)f(x,y)=x 4 +y 4, = { (x,y) R :x +y 9 } 4WtrójkącieowierzchołkachA=(,5),B=(,4),C=(, 3)znaleźćpunktM=(x,y ),dlaktórego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza (b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V, aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza? (c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi: k: { x+y =, z+ =, l: { x y+3 =, z = (d)prostopadłościennymagazynmamiećobjętośćv=6m 3 obudowyścianmagazynuużywanesąpłytyw cenie3zł/m,dobudowypodłogiwcenie4zł/m,asufituwceniezł/m Znaleźćdługośća,szerokośćbi wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy (f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 5 zł i zł za sztukę Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi K(x,y)=x xy+y [zł] Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk? Lista 9 4 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach: ( x+xy x y ) dy dy,r=[,] [,]; (b) (x+y+) 3,R=[,] [,]; R R (c) (xsin(xy))dy,r=[,] [π,π]; (d) e x y dy,r=[,] [,] R 43 Całkę podwójną f(x, y) dy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar ograniczony jest krzywymi o równaniach: y=x, y=x+; R (b)x +y =4, y=x x, x=(x,y ); (c)x 4x+y +6y 5=; (d)x y =, x +y =3(x<) 44 Obliczyć całki iterowane: x y xdy; (b) x 4 Narysować obszary całkowania x x x y xdy; (c) 4 x ( x 3 +y 3) dy; (d) 3 y dy y +6 6

7 45 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach: (d) x f(x,y)dy; dy y y (b) f(x,y); (e) π π x f(x,y)dy; (c) sinx cosx f(x,y)dy; (f) 4 e x 4x x lnx f(x,y)dy; f(x,y)dy 46 Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi: xy dy, :y=x,y= x ; (b) x ydy, :y=,y= x,y= x; ( (c) e x y dy, :y= x,x=,y=; (d) xy+4x ) dy, :y=x+3,y=x +3x+3; (e) x e xy dy, :y=x,y=,x=; (f) (xy+x)dy, :x=,y=,y=3 x (x ); (g) e x dy, :y=,y=x,x= ln3; (h) (x 3y+)dy, :y=,y=π,x=,x=siny * 47 Obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach: min(x,y)dy,=[,] [,]; (b) x+y dy,=[,] [,]; (c) x y dy,= { (x,y) R :x, y 3 x } ; (d) sgn ( x y + ) dy,= { (x,y) R :x +y 4 } waga Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei u oznacza część całkowitą liczby u 48 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach: [ f(x,y)=sinxcosy,=[,π], π ] ; (b)f(x,y)=x y,: y π, x siny Lista 49 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach: xydy,: x +y x, 3 y 3x; (b) xy dy,: x, x +y ; (c) y e x +y dy,: x,y,x +y ; (d) x dy,: x +y y; (e) ( x +y ) dy,: y,y x +y x; (f) yy,: x +y x(y ) Obszar naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych 5 Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: y =4x, x+y=3, y=(y ); (b)x +y y=, x +y 4y=; (c)x+y=4, x+y=8, x 3y=, x 3y=5; (d)x +y =y, y= 3 x 5 Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami: z= 5 (x +y ),z=x +y 3; (b)x +y +z =4,z=(z ); (c)x +y y=,z=x +y,z=; (d)z=5 x y,z=,z=4; (e*)(x ) +(y ) =,z=xy,z=; (f*)z=x +y,y+z=4 7

8 5 Obliczyć pola płatów: z=x +y,x +y ;(b)x +y +z =R,x +y Rx,z ;(c)z= x +y, z 53 Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych: = { (x,y) R :x y 9 } ; (b)= { (x,y) R : x π, y sin x } ; (c)= { (x,y) R : x, y e x} ; (d) trójkątrównoramiennyopodstawieaiwysokościh; (e) trójkątrównobocznyobokua,doktóregodołączonopółkoleopromieniua; (f) kwadratoboku,zktóregowyciętopółkoleośrednicy 54 Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi lub punktów: ćwiartka koła o promieniu R, oś symetrii; (b) odcinek paraboli o szerokości a i wysokości h, oś symetrii; (c) kwadrat, przekątna; (d) trójkąt równoboczny o boku a, podstawa; (e)kołoośrednicy,środek Lista 55 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach: xdydz,=[,] [,e] [,e]; yz (b) (x+y+z)dydz,=[,] [,3] [3,4]; (c) sinxsin(x+y)sin(x+y+z)dydz,=[,π] [,π] [,π]; (d) (x+y)e x+z dydz,=[,] [,] [,] 56Całkępotrójnązfunkcjig(x,y,z)poobszarzezamienićnacałkiiterowane,jeżelijestograniczonypowierzchniami o podanych równaniach: z= x +y, z=6; (b)x +y +z =5,z=4,(z 4); (c)z=x +y, z= x y * 57 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania: x 3 3x 3 y 4 x y dy f(x,y,z)dz; (b) dy f(x,y,z)dz; 4 x 4 x y (c) 3 dz z z z x z x f(x,y,z)dy; (d) dy x x +y f(x,y,z)dz 58 Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach: g(x,y,z)=e x+y+z, :x, x y, z x; (b)g(x,y,z)= (3x+y+z+) 4, :x,y, z x y; (c)g(x,y,z)=x +y, :x +y 4, x z x; (d)g(x,y,z)=x y, : x y z 8

9 Lista 59 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach: (x +y +z ) dydz, :x +y 4, z ; (b) xyzdydz, : x +y z x y ; (x (c) +y ) dydz, :x +y +z R,x +y +z Rz; (d) (x+y+z)dydz, :x +y, z x y 6 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach: dydz x +y +z, :4 x +y +z 9; (x (b) +y ) dydz, : x +y z x y ; (c) z dydz, :x +y +(z R) R (R>); (d) x dydz, :x +y +z 4x 6 Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami: x +y =9, x+y+z=, x+y+z=5; (b)z=4 x, z=5+y ; (c)z= +x +y, z=, x +y =4; (d)x +y +z =, y=(y ) 6 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych: półkula o promieniu R; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh; (c): x +y z x y 63 Obliczyć momenty bezwładności obszarów jednorodnych o masie M, względem wskazanych osi: walecopromieniupodstawyriwysokościh,ośwalca; (b)stożekopromieniupodstawyriwysokościh,ośstożka; (c)kulaopromieniur,ośsymetrii; (d) odcinek paraboloidy o średnicy i wysokości H, oś obrotu Lista 3 64 Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace a funkcji: t ; (b)sint; (c)t ; (d)te t ; (e)e t cost; (f)sinht; (g) y (h) y (i) y y=f(t) y=g(t) y=h(t) t t t 9

10 65 Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace a mają postać: s+ ; (b) s s +4s+5 ; (c) s 4s+3 ; s+ (d) (s+)(s )(s +4) ; (e) s + s (s ) ; (f) s+9 s +6s+3 ; (g) s+3 s 3 +4s +5s ; (h) 3s e s (s 3 ; (i) ) s+ 66 Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach: y y=, y()=; (b)y y=sint, y()=; (c)y +y =, y()=,y ()=; (d)y +3y =e 3t, y()=,y ()= ; (e)y y +y=sint, y()=,y ()=; (f)y y +y=+t, y()=,y ()=; (g)y +4y +4y=t, y()=,y ()=; (h)y +4y +3y=te t, y()=,y ()= * 67 Korzystając z własności przekształcenia Laplace a obliczyć transformaty funkcji: sin 4 t; (b)cos4tcost; (c)t cost; (d)tsinh3t; (e)te t cost; (f)e 3t sin t; (g)(t )sin(t ); (h)(t )e t * 68 Obliczyć sploty par funkcji: f(t)=e t, g(t)=e t ; (c)f(t)=(t), g(t)=sint; (b)f(t)=cos3t, g(t)=cost; (d)f(t)=e t, g(t)=t * 69 Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami: (s+)(s+) ; (b) (s ) (s+) ; (c) s (s +) ; (d) s (s +) Lista 4 7 Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji: { sint dla t π, cost dla t π, { t dla x, f(t)= (b)f(t)= dla t >π; dla t > π (c)f(t)= ; dla x >; { t dla t, (d)f(t)= (e)f(t)=e t ; (f*)f(t)=e at,a dla t >; π Wskazówka(f*) Wykorzystać równość e at dt= a 7Niechc,h Rorazδ>WyznaczyćtransformatęFourierafunkcji h y c c δ c+ δ 7Pokazać,żejeżeliF{f(t)}=ˆf(ω),to: F{f(t)cosαt}= ] [ˆf(ω α)+ˆf(ω+α) ; (b)f{f(t)sinαt}= ] [ˆf(ω α) ˆf(ω+α) i 73 Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty funkcji: f(t)=e 3 t ; (b)f(t)=te t ; (c)f(t)=e 4t 4t ; { cos t { dla t π, cost dla t π, (d)f(t)= (e)f(t)= (f)f(t)=[(t) (t 4)] t; dla t >π; dla t >π; (g)f(t)=(t) e t cost; (h)f(t)=e t cos t ; (i)f(t)=e t sint t

11 { dla t<, waga (t) = dla t funkcja Heaviside a * 74 Korzystając z zadania 8 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji: (b) y y t t * 75 W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym(rys) + x(t) Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t) 76ObliczyćtransformatęFourierafunkcjit f (t)+f (t),jeżeliˆf(ω)= 77 Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać: +iω ; (b) 4+ω ; (c) e iω +iω ; (e)sinωcosω ; (f) ω R L C y(t) +ω (+ω )(4+ω ) ; + 78 Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera: f(t)=g(t)=(t) (t ), (b)f(t)=(t) (t ),g(t)=(t+) (t), (c)f(t)=(t) e t,g(t)=(t) e t, (d)f(t)=g(t)=e t Lista 5(kolokwium- przykładowe zestawy) Zestaw A Obliczyćpochodnąkierunkowąfunkcjif(x,y)= ( x y ) e y x wpunkcie(x,y )=(,)wkierunku wersoratworzącegokątα=π/3zdodatniączęściąosiox Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)= x y +y+ x 3JednorodnafiguraskładasięzkwadratuobokuidołączonegodoniegopółkolaopromieniuWyznaczyć położenie środka masy tej figury 4 Obliczyć objętośc bryły ograniczonej powierzchniami: Zestaw B x +y =,z=x +y 3,z=5 x +y Znaleźćwartościnajmniejsząinajwiększąfunkcjif(x,y)=x y wtrójkącie T= { (x,y) R :x,y,x+y 4 } Cienka jednorodna płytka o masie M ma kształt trójkąta równobocznego o boku a Obliczyć moment bezwładności płytki względem jej osi symetrii ydy 3 Obliczyć całkę (x +y ) 3,gdzie={ (x,y) R : x +y 9,y } 4ObliczyćtransformatęLaplace afunkcjif(t)=e t

12 Zestaw C zasadnić, że wśród wszytkich prostopadłościanów o objętości V, sześcian ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej Zmienić kolejność całkowania w całce dy + y y f(x,y)naszkicowaćobszarcałkowania 3Obliczyćcałkęzfunkcjif(x,y,z)=zpoobszarzeV ograniczonympłaszczyznamix+y=,x+y=, x=,y=,z=,z=naszkicowaćobszarv 4Rozwiązaćrównanieróżniczkowey +y +5y= 5zzerowymiwarunkamipoczątkowymi Zestaw Sprawdzić,żefunkcjaz=arctg y x spełniawarunekx z xx +xyz xy +y z yy =,gdziex,y> Całkępodwójnązfunkcjif(x,y),poobszarzeograniczonymkrzywymiy= x,x= y,y= zamienić na całki iterowane na dwa sposoby Narysować obszar 3Obliczyćpoleczęścipowierzchnisferyx +y +z =3leżącejwewnątrzparaboloidyz=x +y Sporządzić rysunek 4Obliczyćcałkępotrójnązfunkcjif(x,y,z)=xpoobszarzeV :x +y +z 6,x,y,z Sporządzić rysunek Zastosować współrzędne sferyczne

13 Przykładowe zestawy zadań z egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia(podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne(z wyjaśnieniem oznaczeń) Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane Egzamin podstawowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą e x +e x Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego n= 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=y x+ y x + 8 y 3 n (x ) n n+ 4Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniami:z= 5 (x +y ),z=+ x +y 5 Jednorodna figura składa się z trójkąta równobocznego o boku i dołączonego do niego półkola o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6ZnaleźćprzekształcenieLaplace afunkcjif(t)=t Zestaw B Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z=x +y,z= 9 + ( x +y ) Sporządzić rysunek Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=x+y ln(xy) 3 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce 4 Zbadać zbieżność szeregu (n!) (n)! 6 log x log 4 x f(x,y)dy 5 Jednorodna figura ma kształt kwadratu o polu 4, z którego boku wycięto półkole o promieniu Wyznaczyć położenie środka masy tej figury 6MetodątransformatyLaplace arozwiązaćzagadnieniepoczątkowey +y=e t,y()= Egzamin poprawkowy Zestaw A Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu x x n +3 n n! 3Znaleźćekstremalokalnefunkcjif(x,y)=e 3 y +e x +e y x 4 Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania w całce iterowanej +x f(x,y)dy x 3

14 5 Wyznaczyć położenie środka masy jednorodnego półpierścienia o promieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R 6Obliczyćobjętośćbryłyograniczonejpowierzchniamiorównaniach:x +y =,z=4 ( x +y ),z= Zestaw B Obliczyć całkę niewłaściwą Zbadać zbieżność szeregu x x arcctgn 3Znaleźćwszystkieekstremafunkcjif(x,y)=(y+) x+ 4 xy 4 Narysować obszar całkowania i nastepnie zmienić kolejność całkowania w całce 5 Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami o równaniach z= x +y,z=6 ( x +y ) 4 Sporządzić rysunek x x x 3 f(x,y)dy 6Znaleźćrównaniepłaszczyznystycznejdowykresufunkcjif(x,y)=y 3 + x y wpunkciejegoprzecięcia zosiąoy Egzamin na ocenę celującą Zestawz3r Jednorodnabryłajestograniczonaparaboloidąz=a ( x +y ) (a>)orazpłaszczyznąz=(rysunek) la jakich wartości parametru a bryła ta, dowolnie położona na boku, powróci do stanu z pionową osią symetrii, czyli będzie wańką-wstańką Przekątne czworokąta wypukłego mają długość p i q oraz są prostopadłe W jakim stosunku powinny się one przecinać, aby obwód czworokąta był najmniejszy? ( 3 Zbadać zbieżność szeregu nn ) n n= 4Niech[a,b],[c,d]będąprzedziałamiwRPokazać,żejeżelidladowolnegowielomianuWstopnia3zachodzi równość to[a,b]=[c,d] ZestawAz4r b a W(x)= d c W(x), Samochód firmy Google z kamerą do fotografowania otoczenia jedzie drogą(oś Ox) Równolegle do drogi, w odległości, stoi reklama o długości 4

15 Reklama αn n Kamera x Niechα n (n N)oznaczakątwidzeniareklamywchwili,gdykamerajestwpunkciendrogizasadnić,że szereg α n jestzbieżnyiwyznaczyćjegosumę Pokazać,żefunkcjaf(x,y)=y +x (+y) 3 matylkojedenpunktstacjonarny,awnim minimumlokalne właściwe,alewr nieprzyjmujewartościnajmniejszej 3 Obliczyć całkę π dϕ ( sinϕ+ cosϕ ) 4 4 Jednorodny czworościan foremny o masie M ma krawędź a Obliczyć moment bezwładności czworościanu względem prostej zawierającej jego wysokość ZestawBz4r Symbol{x}oznaczaczęśćułamkowąliczbyx,tj{x}=x x Zbadaćzbieżnośćszeregu: {log 5 (3 n +4 n +5 n )} Wjazd na parking położony na wysokości h ma kształt powierzchni śrubowej, która przebiega między walcami opromieniachrir(r<r)(rysunek)obliczyćpoletejdrogi z h r y R 3 Zbadać zbieżność całki 4Pokazać,żezewzorów 5 x3 x4 x x C = x +x ++x n, y C = y +y ++y n (n 3) n n można wyznaczyć współrzędne środka masy dowolnego jednorodnego n-kąta wypukłego z wierzchołkami (x,y ),(x,y ),(x n,y n )tylkodlan=3 5