8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
|
|
- Radosław Bednarczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w zborze Y. Defcja cągu fukcyjego. Nech X R, X. Fukcję określoą a zborze N o wartoścach w zborze fukcj R X azywamy cągem fukcyjym ozaczamy (f ) N lub (f ) lub f : X R, = 1, 2,..., pszemy róweż (f ) N R X lub (f ) R X. Defcja zbeżośc cągu fukcyjego. Nech (f ) R X. Mówmy, że cąg fukcyjy (f ) jest zbeży, gdy steje fukcja f : X R taka, że dla każdego x X zachodz f(x) = lm f (x). Fukcję f azywamy gracą cągu (f ) pszemy f = lm f. Cąg fukcyjy, który e jest zbeży, azywamy rozbeżym. Uwaga Nech (f ), (g ) R X bądą cągam fukcyjym zbeżym odpowedo do f, g : X R. Wprost z własośc grac cągów lczbowych dostajemy, że: suma (f + g ), różca (f g ) loczy (f g ) są cągam zbeżym odpowedo do f + g, f g fg. Jeśl poadto g(x) 0, g (x) 0 dla x X oraz N, to cąg ( ) f jest zbeży do f. g g Defcja szeregu fukcyjego. Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Cąg fukcyjy s = f f, = 1, 2,... azywamy cągem sum częścowych cągu (f ). Szeregem fukcyjym azywamy parę uporządkowaą ((f ), (s ) ) ozaczamy f. Wtedy cąg (s ) azywamy cągem sum częścowych szeregu f. Defcja zbeżośc szeregu fukcyjego. Szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X azywamy zbeżym, gdy zbeży jest jego cąg sum częścowych. Jeśl s : X R jest 183
2 184 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE gracą cągu sum częścowych szeregu s, fukcję s zaś azywamy sumą tego szeregu pszemy s = f, to mówmy, że szereg te jest zbeży do Szereg fukcyjy, który e jest zbeży azywamy rozbeżym. Uwaga Nech f (x) = x, x ( 1, 1],,2,... Cąg te jest zbeży do fukcj g : ( 1, 1] R określoej wzorem g(x) = 0 dla x ( 1, 1) oraz g(1) = 1. Szereg fukcyjy zaś f (x) jest rozbeży, gdyż rozbeży jest w pukce x = 1. Szereg te rozważay w zborze ( 1, 1) jest zbeży jego sumą jest x. 1 x Uwaga Przypomjmy, że dla k Z ozaczamy Z k = {m Z : m k}. Podobe jak w przypadku cągów szeregów lczbowych, w welu zagadeach wygode jest rozważać cąg szereg fukcyje w eco ogólejszym sese, gdze wskaźk przebegają zbór Z k. Dokładej, ech X R, X. Fukcję określoą a zborze Z k o wartoścach w zborze fukcj R X azywamy cągem fukcyjym ozaczamy (f ) Zk lub (f ) =k lub f : X R, = k, k + 1,... lub f k, f k+1,..., pszemy róweż (f ) =k R X. Podobe postępujemy dla szeregów fukcyjych. Nech (f ) =k R X będze cągem fukcyjym. Cąg fukcyjy s = f k + + f, = k, k + 1,... azywamy cągem sum częścowych cągu (f ) =k. Szeregem fukcyjym azywamy parę uporządkowaą ((f ) =k, (s ) =k) ozaczamy f. Wtedy cąg (s ) =k azywamy cągem sum częścowych szeregu f. =k Podobe jak wyżej deujemy pojęca zbeżośc cągu szeregu fukcyjego. W dalszym cągu ograczymy sę główe do cągów szeregów których wskaźk przebegają zbór lczb aturalych (wyjątek staową szereg potęgowe). Wprowadzoe dalej pojęca udowodoe twerdzea przeoszą sę łatwo a ogóly przypadek. 8.2 Jedostaja zbeżość cągu fukcyjego Defcja jedostajej zbeżośc cągu fukcyjego. Mówmy, że cąg fukcyjy (f ) R X jest jedostaje zbeży, gdy steje fukcja f : X R taka, że dla każdego ε > 0 steje N R, że dla każdego N takego, że > N oraz dla każdego x X zachodz f (x) f(x) < ε. Wtedy mówmy, że cąg (f ) jest jedostaje zbeży do fukcj f pszemy f f. Uwaga Nech (f ) R X oraz ech f : X R. Z defcj zbeżośc mamy oraz f. f = lm f x X ε>0 N R >N f (x) f(x) < ε f f ε>0 N R >N x X f (x) f(x) < ε Różca mędzy defcją zbeżośc cągu fukcyjego zbeżośc jedostają polega a tym, że w perwszej defcj doberamy N do x oraz do ε, w drugej zaś doberamy N do ε, wspóle dla wszystkch x X =k
3 8.2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO 185 Bezpośredo z defcj dostajemy astępującą własość. Własość Jeśl cąg fukcyjy (f ) R X jest jedostaje zbeży do fukcj f : X R, to cąg te jest zbeży do f. Uwaga Defcje zbeżośc zbeżośc jedostajej e są rówoważe. Na przykład cąg fukcyjy f : R R, N określoy wzorem f (x) = x, x R jest zbeży do fukcj f(x) = 0 dla x R. Cąg te e jest jedak zbeży jedostaje do fukcj f. Podobe jak dla szeregów lczbowych dostajemy Własość Nech (f ), (g ) R X oraz ech f, g : X R. Jeśl f f g g,to (f + g ) (f + g) oraz (f g ) (f g). Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, g g, to steje N R, że dla każdego > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε 2 oraz g (x) g(x) < ε 2. Wówczas dla > N oraz x X mamy f (x) + g (x) f(x) g(x) f (x) f(x) + g (x) g(x) < ε oraz To daje tezę. f (x) g (x) f(x) + g(x) f (x) f(x) + g (x) g(x) < ε. Własość Nech (f ), (g ) R X oraz f, g : X R. Jeśl f f, g g oraz steje M R, M > 0, że f (x), g (x) M dla wszystkch x X oraz N, to (f g ) (fg). Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, g g, to steje N R, że dla każdego > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε 2M oraz g (x) g(x) < ε 2M. Poeważ g (x) M dla x X oraz N, węc przechodząc do gracy mamy g(x) M dla x X. W kosekwecj dla > N oraz x X mamy f (x)g (x) f(x)g(x) f (x) g (x) g(x) + g(x) f (x) f(x) < M ε 2M +M ε 2M = ε. To daje tezę. Uwaga W powyższej własośc założea, że fukcje f, g są ograczoe e moża opuścć. Maowce cąg f (x) = x, g (x) = 1, x R, N są jedostaje zbeże lecz cąg (f g ) e jest jedostaje zbeży. Poadto cąg (f ) e jest ograczoy.
4 186 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Podobe jak własość dowodzmy Własość Nech (f ) R X oraz f f, gdze f : X R. Jeśl g : X R jest fukcją ograczoą, to (f g) (fg). Własość Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym oraz ech f : X R. Ozaczmy M = sup{ f (x) f(x) : x X} dla N. Wówczas astępujące waruk są rówoważe: (a) f f. (b) steje m N, że M R dla m oraz lm M = 0. Dowód. Ad. (a) (b) Poeważ f f, węc steje m N, że dla każdego m oraz x X mamy f (x) f(x) < 1. Zatem 0 M 1, a węc M R dla m. Weźmy dowole ε > 0. Wówczas, wobec (a), steje N m take, że dla > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε. Stąd z określea M 2 dla > N mamy M 0 = M ε < ε. To daje, że lm M 2 = 0. Ad. (b) (a) Weźmy dowole ε > 0. Wówczas, wobec (b), steje N m, że dla > N zachodz M < ε. Poeważ z określea M dostajemy, że dla x X zachodz f (x) f(x) M, węc dla > N oraz x X mamy f (x) f(x) < ε. To daje jedostają zbeżość cągu (f ) do fukcj f. Twerdzee (waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego). Nech (f ) będze cągem fukcyjym, gdze f : X R dla N. Wówczas cąg (f ) jest jedostaje zbeży wtedy tylko wtedy, gdy speła astępujący waruek Cauchy ego: (8.1) ε>0 N R,l>N x X f (x) f l (x) < ε. Dowód. Załóżmy ajperw, że cąg (f ) jest jedostaje zbeży, powedzmy do fukcj f : X R. Weźmy dowole ε > 0. Wtedy steje N R, że dla > N oraz x X mamy f (x) f(x) < ε. Zatem dla każdych, l > N oraz x X mamy 2 f (x) f l (x) f (x) f(x) + f(x) f l (x) < ε 2 + ε 2 = ε. To daje, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego (8.1). Załóżmy teraz, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego (8.1). Wówczas dla każdego x X cąg lczbowy (f (x)) speła waruek Cauchy ego. Zatem a podstawe twerdzea Cauchy ego dla każdego x X steje skończoa graca lm f (x). Ozaczając tę gracę przez f(x) dla x X mamy określoą fukcję f : X R do której jest zbeży cąg (f ). Pokażemy, że f f. Weźmy dowole ε > 0. W myśl (8.1) steje N R, że dla, l > N oraz x X zachodz f (x) f l (x) < ε. Zatem przechodząc do gracy przy 2 l dostajemy, że dla > N oraz x X zachodz f (x) f(x) ε < ε. To daje 2 f f.
5 8.3. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ SZEREGU FUNKCYJNEGO 187 ZADANIA Zadae Nech (f ) (g ) będą cągam fukcyjym, gdze f, g : X R dla N. Nech f f, g g, gdze f, g : X R. Wówczas jeśl steją M, K R, M, K > 0 że g (x) M, f(x) K dla x X oraz N, to f g f g. 8.3 Jedostaja zbeżość szeregu fukcyjego Defcja jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego. Mówmy, że szereg fukcyjy f, gdze f : X R dla N, jest jedostaje zbeży, gdy cąg sum częścowych tego szeregu jest jedostaje zbeży. Bezpośredo z defcj dostajemy astępującą własość. Własość Każdy szereg fukcyjy zbeży jedostaje jest zbeży. Z własośc dostajemy atychmast Własość Nech szereg (f ), (g ) R X. Wówczas (a) szereg (f + g ), (f g ) są zbeże jedostaje. f (b) jeśl fukcja g : X R jest ograczoa, to szereg g będą zbeże jedostaje, przy czym f g jest zbeży jedostaje. Z waruku Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego dostajemy Twerdzee (waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej szeregu fukcyjego). Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Wówczas szereg f jest jedostaje zbeży wtedy tylko wtedy, gdy speła astępujący waruek Cauchy ego: m (8.2) ε>0 N R m l>n x X f (x) < ε. Udowodmy kryterum Weerstrassa jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego Twerdzee (kryterum Weerstrassa jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Jeśl steje cąg lczbowy (M ) tak, że dla każdego N zachodz f (x) M dla x X oraz szereg lczbowy M jest zbeży, to szereg f jest jedostaje zbeży. Dowód. Pokażemy, że szereg f speła waruek Cauchy ego (8.2). Istote, weźmy dowole ε > 0. Poeważ szereg lczbowy =l M jest zbeży, węc z twerdzea
6 188 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Cauchy ego 5.1.6, steje N R, że dla każdych m l > N mamy M l + + M m < ε. Zatem dla każdego m l > N oraz x X mamy f l (x) + + f m (x) f l (x) + + f m (x) M l + + M m < ε. To daje, że szereg dostajemy tezę. f speła waruek Cauchy ego (8.2). Stąd z twerdzea Uwaga Ne zachodz twerdzee odwrote do kryterum Weerstrassa. Na przykład szereg ( 1) x jest w przedzale [0, 1] zbeży jedostaje (co czytelk sprawdz bez trudu) lecz dla x (0, 1], szereg te e jest zbeży bezwzględe. Udowodmy kryterum Abela jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego. Twerdzee (kryterum Abela jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ), (g ) R X będą cągam fukcyjym. Jeśl () steje M R, M > 0, że dla każdego N oraz x X zachodz f (x) M, () dla każdego x X cąg (f (x)) jest malejący, () szereg to szereg g jest jedostaje zbeży, f g jest zbeży jedostaje. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ, wobec (), szereg g jest zbeży jedostaje, węc z waruku Cauchy ego steje N N, że dla każdego m l N oraz x X zachodz m g (x) < ε 4M. Ustalmy l N. Zatem, ozaczając mamy =l A (x) = g j (x) dla x X, = l, l + 1,..., j=l (8.3) A (x) < ε 4M dla = l, l + 1,... Stosując przekształcee Abela (patrz dowód kryterum Drchleta 5.4.1) uwzględając (8.3), () oraz () dla m > l oraz x X dostajemy m m 1 f (x)g (x) = A (x)(f (x) f +1 (x)) + A m (x)f m (x) =l m 1 =l m 1 =l =l A (x) f (x) f +1 (x) + A m (x) f m (x) ε (f 4M (x) f +1 (x)) + ε f 4M m(x) = ε f 4M l(x) ε f 4M m(x) + ε f 4M m(x) ε 4M M + ε 4M M + ε 4M M < ε.
7 8.4. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A CIĄGŁOŚĆ 189 Dla m = l zaś mamy m f (x)g (x) = f l g l M ε =l 4M < ε. Reasumując szereg =k f g speła waruek Cauchyego zbeżośc jedostajej szeregów 8.3.3, węc jest to szereg zbeży jedostaje. To kończy dowód. Powtarzając dowód kryterum Drchleta zbeżośc szeregu lczbowego dostajemy Twerdzee (kryterum Drchleta jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ), (g ) R X będą cągam fukcyjym. Jeśl m () steje M R, że dla każdego m N oraz x X zachodz f (x) M, () dla każdego x X cąg (g (x)) jest malejący, () Cąg (g ) jest jedostaje zbeży do fukcj tożsamoścowo rówej zeru, to szereg f g jest zbeży jedostaje. 8.4 Zbeżość jedostaja a cągłość Twerdzee Nech cąg fukcyjy (f ) R X, gdze X R, będze zbeży jedostaje do fukcj f : X R. Jeśl wszystke fukcje f, N, są cągłe w pukce x 0 X, to f jest fukcją cągłą w pukce x 0. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, węc steje N N, że dla każdego N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε. W szczególośc dla = N mamy 3 (8.4) f N (x) f(x) < ε 3 dla x X. Poeważ f N jest fukcją cągłą, węc steje δ > 0, że dla każdego x X takego, że x x 0 < δ mamy (8.5) f N (x) f N (x 0 ) < ε 3. Reasumując z (8.4) (8.5) dla każdego x X takego, że x x 0 < δ mamy f(x) f(x 0 ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. To daje cągłość fukcj f w pukce x 0. Z twerdzea dostajemy atychmast Twerdzee Jeśl cąg (f ) R X, gdze X R, fukcj cągłych jest zbeży jedostaje do fukcj f : X R, to f jest fukcją cągłą.
8 190 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Aalogcze jak twerdzea dowodzmy Twerdzee Jeśl cąg (f ) R X, gdze X R, fukcj jedostaje cągłych jest zbeży jedostaje do fukcj f : X R, to f jest fukcją jedostaje cągłą. Z twerdzea dostajemy Twerdzee Nech (f ) R X, gdze X R, będze cągem fukcyjym zbeżym jedostaje do fukcj f : X R. Nech x 0 będze puktem skupea zboru X oraz dla każdego N steje skończoa graca a = lm f (x). Wówczas cąg (a ) x x0 jest zbeży, fukcja f ma gracę skończoą w pukce x 0 oraz lm f(x) = lm a ( 1 ). x x 0 Dowód. Dla N określmy fukcje h : X {x 0 } R wzoram h (x) = f (x) dla x X \ {x 0 } oraz h (x 0 ) = a. Wtedy z założea, że a = x x0 lm f (x) dostajemy, że fukcje h są cągłe w pukce x 0. Pokażemy, że cąg fukcyjy (h ) jest jedostaje zbeży. Istote, weźmy dowole ε > 0. Poeważ cąg (f ) jest jedostaje zbeży, węc z waruku Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego dostajemy, że steje N R, że dla każdych m, l N oraz x X zachodz f m (x) f l (x) < ε 2. Przechodząc w powyższej erówośc do gracy przy x x 0 dostajemy h m (x 0 ) h l (x 0 ) ε < ε dla m, l N. Stąd mamy 2 h m (x) h l (x) < ε dla x X {x 0 }, m, l N. Zatem z twerdzea dostajemy jedostają zbeżość cągu (h ). W szczególośc cąg (a ) jest zbeży. Nech a = lm a. Określmy fukcję h : X {x 0 } R wzoram h(x) = f(x) dla x X \ {x 0 } oraz h(x 0 ) = a. Wówczas cąg (h ) jest zbeży do h. Poeważ cąg te jest jedostaje zbeży, węc jest o jedostaje zbeży do h. W kosekwecj z twerdzea wyka cągłość fukcj h w pukce x 0. Poadto To kończy dowód. Z twerdzea dostajemy Wosek Jeśl szereg fukcyjy lm f(x) = lm h(x) = h(x 0 ) = a. x x 0 x x0 f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są cągłe w pukce x 0 X, to suma tego szeregu jest fukcją cągłą w pukce x 0. 1 aczej lm x x 0 ( lm f (x)) = lm ( lm x x 0 f (x)).
9 8.5. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A RÓŻNICZKOWALNOŚĆ 191 Dowód. Istote, sumy częścowe szeregu f są fukcjam cągłym w pukce x 0, jako sumy skończoej lośc fukcj cągłych w pukce x 0. Zatem z twerdzea dostajemy tezę. Z wosku dostajemy Wosek Jeśl szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są cągłe, to suma tego szeregu jest fukcją cągłą. Wobec faktu, że suma fukcj jedostaje cągłych jest jedostaje cągła, z twerdzea dostajemy Wosek Jeśl szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są jedostaje cągłe, to suma tego szeregu jest fukcją jedostaje cągłą. 8.5 Zbeżość jedostaja a różczkowalość Twerdzee Nech (f ) będze cągem fukcj różczkowalych a przedzale [a, b]. Jeśl cąg (f ) jest jedostaje zbeży (a [a, b]) oraz dla pewego x 0 [a, b] cąg (f (x 0 )) jest zbeży, to (a) cąg (f ) jest jedostaje zbeży do pewej fukcj różczkowalej f : [a, b] R, (b) f = lm f, to zaczy f (x) = lm f (x) dla x [a, b]. Dowód. Poeważ cąg (f ) jest zbeży jedostaje oraz cąg (f (x 0 )) jest zbeży, węc z waruku Cauchy ego dostajemy, że dla każdego ε > 0 steje N ε R, że (8.6) f m(x) f l (x) < ε 2(b a) dla każdych m, l > N ε oraz x [a, b], (8.7) f m (x 0 ) f l (x 0 ) < ε 2 dla każdych m, l > N ε. Pokażemy, że cąg (f ) jest zbeży jedostaje w [a, b]. Istote, wystarczy pokazać, że cąg te speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej. Weźmy węc dowole ε > 0 ech N = N ε. Zauważmy, że (8.8) f m (x) f l (x) < ε dla każdych m, l > N oraz x [a, b]. Istote, ech m, l > N. Dla x = x 0 (8.8) wyka z (8.7). Dla x [a, b]\{x 0 } z twerdzea Lagrage a o wartośc średej steje c leżący mędzy x x 0, że (f m (x) f l (x)) (f m (x 0 ) f l (x 0 )) = (f m(c) f l (c))(x x 0 ),
10 192 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE węc z (8.6), Stąd z (8.7) mamy f m (x) f l (x) f m (x 0 ) + f l (x 0 ) < ε 2(b a) x x 0 ε 2. f m (x) f l (x) f m (x) f l (x) f m (x 0 ) + f l (x 0 ) + f m (x 0 ) f l (x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε. To daje (8.8). Z dowolośc ε > 0 oraz z (8.8) wyka, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągów fukcyjych, węc z twerdzea jest to cąg zbeży jedostaje. Nech węc f : [a, b] R będze gracą cągu (f ). Pokażemy teraz, że (8.9) f (x) = lm f (x) dla x [a, b]. Istote, weźmy dowoly x 1 [a, b] rozważmy lorazy różcowe ϕ (x) = f (x) f (x 1 ) x x 1, ϕ(x) = f(x) f(x 1) x x 1, x [a, b] \ {x 1 }, N. Z określea fukcj f dostajemy, że (8.10) lm ϕ (x) = ϕ(x) dla x [a, b] \ {x 1 }. Poadto z założea o różczkowalośc fukcj f dla N mamy (8.11) lm x x1 ϕ (x) = f (x 1 ) dla N. Pokażemy, że cąg (ϕ ) jest zbeży jedostaje. Istote, weźmy dowole η > 0 ech ε > 0 będze take, że ε 2(b a) < η. Nech N = N ε, gdze N ε jest dobrae a początku dowodu tak, że zachodz (8.6). Nech m, l > N. Wówczas, z twerdzea Lagrage a o wartośc średej, dla dowolego x [a, b] \ {x 1 } steje c leżący mędzy x x 1 tak, że f m (x) f l (x) f m (x 1 ) + f l (x 1 ) = f m(c) f l (c) x x 1 < ε 2(b a) x x 1 < η x x 1, węc f m (x) f l (x) f m (x 1 ) + f l (x 1 ) ϕ m (x) ϕ l (x) = x x 1 < η x x 1 = η. x x 1 To daje, że cąg (ϕ ) speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego w kosekwecj jest to cąg jedostaje zbeży. To, wraz z (8.10) daje, że cąg (ϕ ) jest jedostaje zbeży do ϕ. Stąd, wobec (8.11), mamy spełoe wszystke założea twerdzea Zatem steje skończoa graca lm f (x 1 ) oraz f (x 1 ) = lm x x1 ϕ(x) = lm f (x 1 ). To daje, że fukcja f jest różczkowala oraz zachodz (b). W kosekwecj, wobec jedostajej zbeżośc cągu (f ) do f, mamy (a). To kończy dowód.
11 8.6. SZEREGI POTĘGOWE 193 Uwaga W twerdzeu e moża opuścć założea o jedostajej zbeżośc cągu (f ), awet kosztem wzmocea założea o zbeżośc cągu (f ). Istote, rozważmy cąg fukcyjy f : R R, N określoy wzoram f (x) = 2 x dla x 1 Moża pokazać, że oraz f (x) = 2 x dla x < 1. (a) cąg (f ) jest jedostaje zbeży do fukcj f(x) = 2 x, x R, która e jest różczkowala, (b) cąg pochodych jest zbeży do fukcj g : R R określoej wzoram g(x) = 2 dla x < 0, g(0) = 0 oraz g(x) = 2 dla x > 0. Wosek Nech [a, b]. Jeśl szereg szereg (a) szereg różczkowalą, (b) s = f f (x 0 ) jest zbeży, to f będze szeregem fukcj różczkowalych a przedzale f jest jedostaje zbeży (a [a, b]) oraz dla pewego x 0 [a, b] jest jedostaje zbeży jego suma s : [a, b] R jest fukcją f, to zaczy s (x) = 8.6 Szereg potęgowe f (x) dla x [a, b]. W pukce 5.9 wprowadzlśmy pojęce szeregu potęgowego. W śwetle wprowadzoych w tym rozdzale pojąć, jest to szereg fukcyjy postac (8.12) =0 Borąc ϱ =lm sup a (x x 0 ), x R gdze (a ) =0 jest ustaloym cągem lczbowym oraz x 0 ustaloym puktem. a, zgode z (5.10), promeem zbeżośc szeregu (8.12) jest 0 dla ϱ = +, R = 1/ϱ dla 0 < ϱ < +, + dla ϱ = 0. Z twerdzea Cauchy ego-hadamarda wadomo, że szereg (8.12) jest zbeży bezwzględe w przedzale {x R : x x 0 < R} (zwaym przedzałem zbeżośc szeregu potęgowego) oraz rozbeży dla x R takch, że x x 0 > R. Twerdzee Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12). Wówczas dla każdego r R takego, że 0 < r < R, szereg (8.12) jest jedostaje zbeży w przedzale {x R : x x 0 r}.
12 194 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Dowód. Weźmy dowole r R take, że 0 < r < R. Wówczas x 0 + r ależy do przedzału zbeżośc szeregu (8.12). Poeważ szereg potęgowy jest zbeży bezwzględe w swom przedzale zbeżośc, węc szereg a r jest zbeży. Poadto dla x R takch, =0 że x x 0 r mamy a (x x 0 ) a r dla 0. Zatem z kryterum Weerstrassa zbeżośc jedostajej szeregów dostajemy zbeżość jedostają szeregu (8.12) w {x R : x x 0 r}. To daje tezę. Defcja. Szeregem pochodych szeregu (8.12) azywamy szereg a (x x 0 ) 1. Uwaga Szereg pochodych szeregu potęgowego moża traktować jako szereg potęgowy, bowem moża go zapsać w postac ( + 1)a +1 (x x 0 ). =0 Własość Promee zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) szeregu pochodych a (x x 0 ) 1 są rówe. Dowód. Poeważ lm = 1, węc lm sup a =lm sup Zatem promee zbeżośc szeregu (8.12) szeregu x x 0 szereg pochodych =0 =0 a. =0 a (x x 0 ) są rówe. Dla a (x x 0 ) jest zbeży wtedy tylko wtedy, gdy zbeży jest szereg a (x x 0 ) 1 = a (x x 0 ) 1. Reasumując mamy tezę. Twerdzee Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) oraz ech f będze sumą tego szeregu w przedzale zbeżośc P = {x R : x x 0 < R}. Wówczas fukcja f jest klasy C w P oraz (8.13) f (k) (x) = =k!a ( k)! (x x 0) k dla x P. Dowód. W myśl własośc 8.6.3, promee zbeżośc szeregu (8.12) szeregu pochodych a (x x 0 ) 1 są rówe. Pokażemy (8.13) dla k = 1. Istote, weźmy dowoly x 1 P ech r R będze take, że x 1 x 0 < r < R. Wobec twerdzea 8.6.1, szereg (8.12) jego szereg pochodych są jedostaje zbeże w przedzale otwartym {x R : x x 0 < r}. Zatem z wosku dostajemy (8.13) dla k = 1. Postępując dalej dukcyje dostajemy (8.13) dla wszystkch k N. W kosekwecj f jest fukcją klasy C. To daje tezę. Z twerdzea dostajemy atychmast Wosek Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) oraz ech f będze sumą tego szeregu w przedzale zbeżośc P = {x R : x x 0 < R}. Wówczas fukcja f jest cągła w P.
13 8.6. SZEREGI POTĘGOWE 195 Defcja rozwęca fukcj w szereg potęgowy. Jeśl fukcja f w pewym otoczeu puktu x 0 R jest sumą szeregu potęgowego o środku x 0 postac, (8.14) f(x) = a (x x 0 ) w pewym otoczeu puktu x 0, =0 to mówmy, że fukcja f rozwja sę w otoczeu puktu x 0 w szereg potęgowy lub w szereg Taylora. Wtedy szereg w (8.14) azywamy rozwęcem fukcj f w szereg potęgowy w otoczeu puktu x 0 lub rozwęcem w szereg Taylora. Twerdzee Jeśl fukcja f rozwja sę w pewym otoczeu puktu x 0 w szereg potęgowy f(x) = a (x x 0 ), to rozwęce to jest określoe jedozacze, poadto =0 (8.15) a = f () (x 0 )! dla = 0, 1,... W szczególośc rozwęce fukcj f w szereg Taylora jest szeregem Taylora tej fukcj. Dowód. W myśl twerdzea mamy, że f jest fukcją klasy C w pewym otoczeu puktu x 0, poadto, z (8.13) mamy f (k) (x 0 ) = k!a k dla k N oczywṡce f(x 0 ) = a 0. To daje (8.15), że współczyk rozwęca fukcj w szereg potęgowy są określoe jedozacze, a węc rozwęce jest określoe jedozacze. Uwaga Fukcja f : R R określoa wzoram f(x) = e 1 x dla x > 0 oraz f(x) = 0 dla x 0 jest klasy C, poadto f () (0) = 0 dla = 0, 1,..., węc suma szeregu Taylora tej fukcj zka tożsamoścowo. Zatem, wobec twerdzea fukcja ta e rozwja sę w szereg potęgowy w otoczeu puktu 0 Twerdzee Rozwęcem fukcj f(x) = l(1 + x), x ( 1, 1), w szereg potęgowy w otoczeu zera jest ( 1) +1 (8.16) l(1 + x) = x dla x ( 1, 1). ( 1) Dowód. Poeważ lm +1 = 1, węc z twerdzea Cauchy ego-hadamarda dostajemy, że szereg potęgowy po prawej stroe (8.16) jest zbeży w ( 1, 1). Zatem z twerdzea 8.6.4, suma g : ( 1, 1) R tego szeregu jest różczkowala oraz g (x) = ( 1) +1 x 1 = x dla x ( 1, 1). Z drugej stroy f (x) = 1 dla x ( 1, 1), węc f = g. Stąd z wosku , fukcja 1+x f g jest stała w ( 1, 1). Poeważ f(0) = 0 g(0) = 0, węc f = g. To daje tezę. Defcja fukcj aaltyczej. Nech X R będze zborem otwartym oraz f : X R. Mówmy, że f jest fukcją aaltyczą w pukce x 0 X, gdy f rozwja sę w szereg potęgowy w otoczeu puktu x 0. Mówmy, że f jest fukcją aaltyczą, gdy f jest fukcją aaltyczą w każdym pukce zboru X.
14 196 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Uwaga Wprost z defcj fukcj sus cosus mamy, s x = =0 Zatem dla każdego x 0 R mamy ( 1) (2 + 1)! x2+1, cos x = =0 ( 1) (2)! x2 dla x R. s x = s(x x 0 ) cos x 0 + cos(x x 0 ) s x 0 = a (x x 0 ), =0 x R gdze a 2+1 = ( 1) cos x 0 oraz a (2+1)! 2 = ( 1) s x 0 dla = 0, 1,... Stąd wyka, że fukcja (2)! sus jest aaltycza. Aalogcze pokazujemy, że fukcja cosus jest aaltycza. Uwaga Z twerdzea mamy e x = x 0 R mamy e x = e x x 0 e x 0 = =0 =0 x! dla x R. Zatem dla każdego e x 0! (x x 0), x R. W kosekwecj fukcja f(x) = e x, x R jest aaltycza. Uwaga W uwagach fukcje aaltycze w R rozwjały sę w szereg potęgowy zbeży w całym zborze R. Ne mus to zachodzć dla każdej fukcj aaltyczej. Na przykład moża sprawdzć, że fukcja f(x) = 1, x R, jest aaltycza lecz jej 1+x 2 rozwęce w otoczeu puktu 0 jest postac 1 x = =0 ( 1) x 2 x ( 1, 1). Promeem zbeżośc powyższego szeregu potęgowego jest 1, węc szereg te e jest zbeży w całym zborze R. 8.7 Rozwęce fukcj potęgowej w szereg potęgowy Defcja cągu reszt we wzorze Taylora. Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C oraz x 0 (a, b). Dla N, fukcję R : (a, b) R taką, że 1 (8.17) f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R (x) dla x (a, b) k! azywamy -tę resztą we wzorze Taylora. Cąg fukcyjy (R ) azywamy cągem reszt we wzorze Taylora. Uwaga Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C oraz x 0 (a, b). Ze wzoru Taylora I, II, III (twerdzea 7.5.4, , ) mamy stee reszt R. Poadto moża przyjąć R (x 0 ) = 0 oraz dla x x 0 reszta w postac Lagrage a ma postać R (x) = f () (c) (x x 0 ), gdze c jest pewym puktem leżącym mędzy x x 0,!
15 8.7. ROZWINIĘCIE FUNKCJI POTĘGOWEJ W SZEREG POTĘGOWY 197 reszta w postac Cauchy ego ma zaś postać R (x) = f () (c)(1 θ) 1 (x x 0 ), ( 1)! gdze c jest pewym puktem leżącym mędzy x x 0 oraz θ = c x 0 x x 0, Bezpośredo z defcj (8.17) dostajemy Twerdzee Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C, x 0 (a, b) oraz (R ) będze cągem reszt we wzorze Taylora. Wówczas fukcja f rozwja sę w otoczeu Ω (a, b) puktu x 0 w szereg potęgowy wtedy tylko wtedy, gdy dla każdego x Ω zachodz lm R (x) = 0. Defcja. Nech α R. Wówczas przyjmujemy ( ) α = α(α 1) (α + 1)! dla N oraz ( ) α = 1. 0 Uwaga Dla α R oraz Z, 0, symbol ( ) α jest aturalym uogóleem symbolu Newtoa. Naturalym uogóleem wzoru dwumeego Newtoa jest astępujące Twerdzee Nech α R. Wówczas ( ) α (8.18) (1 + x) α = x dla x ( 1, 1). =0 Dowód. Nech f(x) = (1 + x) α, x ( 1, 1). Dla x = 0 rówość (8.18) jest oczywsta. Pokażemy (8.18) dla x ( 1, 1) \ {0}. ) Jeśl α Z, α 0, to teza wyka ze wzoru dwumeego Newtoa, gdyż wtedy = 0 dla > α. Załóżmy węc, że α R e jest lczbą całkowtę eujemą. Wtedy ( α ( α ) 0 dla Z, 0. Stosując kryterum d Alemberta zbeżośc szeregów dostajemy, że szereg jest zbeży dla x ( 1, 1). Zatem z waruku koeczego zbeżośc szeregów mamy (8.19) lm ( ) α x = 0 dla x ( 1, 1). Idukcyje pokazujemy, że dla x ( 1, 1) mamy f () (x) = α(α 1) (α + 1)(1 + x) α, N, węc a mocy wzoru Taylora III dla N mamy 1 (8.20) f(x) = k=0 ( ) α x k + R (x) dla x ( 1, 1) \ {0}, k =0 ( α ) x
16 198 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE gdze R jest resztą w postac Cauchy ego. Weźmy dowoly x ( 1, 1) \ {0}. Wówczas dla każdego N steje c R leżący mędzy x 0, że kładąc mamy 0 < θ < 1 oraz θ = c x, (8.21) R (x) = f () (c )(1 θ ) 1 x = ( 1)! ( ) α x (1 θ ) 1 (1 + c ) α. Jeśl x (0, 1), to c (0, 1), węc 1 + c > 1 dla α mamy 0 < (1 + c ) α 1. Poadto 0 < (1 θ ) 1 1, węc 0 < (1 θ ) 1 (1 + c ) α 1 dla α. Zatem wobec (8.19) mamy lm R (x) = 0. Stąd z (8.20) dostajemy (8.18) dla x (0, 1). Załóżmy, że x ( 1, 0). Poeważ x < c < 0, węc 0 < 1 θ 1+c 1, zatem W kosekwecju (1 θ ) 1 (1 + c ) α = ( ) 1 1 θ (1 + c ) α 1 (1 + c ) α c (1 θ ) 1 (1 + c ) α 1, gdy α 1, (1 θ ) 1 (1 + c ) α (1 + x) α 1, gdy α 1. Reasumując z (8.21) (8.19) dostajemy lm R (x) = 0. Stąd z (8.20) dostajemy (8.18) dla x ( 1, 0). To kończy dowód. 8.8 Twerdzee Weerstrassa o aproksymacj Każda fukcja aaltycza jest lokale sumą szeregu potęgowego, węc lokale jest gracą jedostaje zbeżego cągu welomaów. W pukce tym udowodmy twerdzee Weerstrassa mówące o tym, że każda fukcja cągła w przedzale domkętym jest gracą jedostaje zbeżego cągu welomaów. Jest to uogólee wspomaego faktu. Jedak pojęce aaltyczośc ese zacze wększe kosekwecje ż zapowadae twerdzee Weerstrassa. Twerdzee (erówość Schwarza). Jeśl a 0,..., a, b 0,..., b R, to (8.22) Dowód. Nech A = a 2, B = 2 a b a 2 b 2, C = b 2. a b. Wówczas mamy (Ba Cb ) 2 = B 2 a 2 2BC a b + C 2 b 2 = B 2 A BC 2 = B(AB C 2 ).
17 8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 199 Poeważ perwsza suma w powyższym wzorze jest eujema, węc B(AB C 2 ) 0. Jeśl B = 0, to b 0 = = b = 0, węc C = 0 teza jest oczywsta. Jeśl zaś B > 0, to AB C 2 0, co daje (8.22) kończy dowód. Lemat Dla każdego N oraz x [0, 1] zachodz erówość (8.23) ( ) x x (1 x) 1 2. (8.24) oraz (8.25) Dowód. Ze wzoru dwumeego Newtoa mamy ( ) x (1 x) = 1 dla x R ( ) e y (1 x) = (e y + (1 x)) dla x, y R. Różczkując dwukrote względem y rówość (8.25), otrzymujemy ( ) e y (1 x) = e y (e y + (1 x)) 1, ( ) 2 e y (1 x) = e y (e y + (1 x)) 1 + ( 1)e 2y (e y + (1 x)) 2. Stąd dla x = e y, a węc dla x > 0 mamy (8.26) ( ) x (1 x) = x, ( ) 2 x (1 x) = x + ( 1)x 2. Powyższe rówośc zachodzą róweż dla x = 0. Z (8.26) (8.24) dla x 0 dostajemy ( ) ( x) 2 x (1 x) = ( ) 2 x (1 x) 2x ( ) x (1 x) + 2 x 2 = x + ( 1)x 2 2xx + 2 x 2 = x(1 x). Dzeląc tę rówość przez 2 dostajemy ( ) ( x)2 x (1 x) = 1 x(1 x). ( ) x (1 x) Stąd z erówośc x(1 x) 1 4 dla x [0, 1], mamy (8.27) ( ) ( )2 x x (1 x) 1, x [0, 1]. 4
18 200 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Ozaczając a = x ( ) ( ) x (1 x), b = x (1 x), = 0,...,, z erówośc Schwarza dostajemy ( ) x x (1 x) ( ) 2 x x (1 x) Stąd, z (8.24) (8.27) wyka (8.23). To kończy dowód. ( ) x (1 x). Defcja modułu cągłośc fukcj. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b]. Modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b] azywamy fukcję ω : (0, + ) R określoą wzorem: ω(δ) = sup{ f(x ) f(x ) : x, x [a, b], x x < δ}, gdze δ > 0. Uwaga Defcja modułu cągłośc jest poprawa, bowem fukcja cągła a zborze zwartym jest ograczoa. Własość Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b] oraz ω będze modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b]. Wówczas lm δ 0 ω(δ) = 0. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f jest fukcją cągłą a zborze zwartym [a, b], węc jest to fukcja jedostaje cągła, a węc steje δ 0 > 0 taka, że dla każdego 0 < δ < δ 0 każdych x, x [a, b] takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε 2. Zatem, z defcj modułu cągłośc mamy ω(δ) 0 ε 2 < ε dla 0 < δ < δ 0. To daje tezę. Lemat Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b] oraz ω będze modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b]. Wówczas dla każdych x 1, x 2 [a, b] mamy (8.28) f(x 1 ) f(x 2 ) ( x 1 x 2 1 δ + 1)ω(δ) dla każdego δ > 0. Dowód. Weźmy dowole x 1, x 2 [a, b]. Jeśl x 1 = x 2, to (8.28) jest oczywste. Zatem, bez zmejszea ogólośc możemy założyć, że x 1 < x 2. Weźmy dowole δ > 0 ech N będze take, że (8.29) (x 2 x 1 ) 1 δ < (x 2 x 1 ) 1 δ + 1. Oczywśce taka lczba steje. Połóżmy a = x 1 + (x 2 x 1 ) dla = 0,...,. Wówczas x 1 = a 0 < a 1 < < a = x 2 z (8.29) mamy a a +1 < δ, węc f(a ) f(a +1 ) ω(δ) dla = 0,..., 1. Zatem, f(x 1 ) f(x 2 ) = (f(a 0 ) f(a 1 )) + (f(a 1 ) f(a 2 )) + + (f(a 1 ) f(a )) f(a 0 ) f(a 1 ) + f(a 1 ) f(a 2 ) + + f(a 1 ) f(a ) ω(δ).
19 8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 201 Stąd z (8.29) dostajemy f(x 1 ) f(x 2 ) ( x 1 x 2 1 δ + 1)ω(δ), czyl mamy (8.28). Defcja welomaów Berstea. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [0, 1]. Weloma ( ) ( B (x) = f x ) (1 x) azywamy -tym welomaem Berstea dla fukcj f ( 2 ). Twerdzee Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [0, 1]. Wówczas cąg {B } welomaów Berstea dla fukcj f jest jedostaje zbeży do fukcj f w przedzale [0, 1]. Poadto (8.30) B (x) f(x) 3 ( ) 1 2 ω dla x [0, 1], gdze ω jest modułem cągłośc fukcj f a przedzale [0, 1]. Dowód. Wobec własośc , wystarczy wykazać erówość (8.30). Ze wzoru dwumeego Newtoa mamy Zatem z lematu dla x [0, 1], dostajemy ( ) x (1 x) = 1 dla x [0, 1]. B (x) f(x) = ( ) [ ( ) ] f f(x) x (1 x) ω ( ) [ ( ) ] x x (1 x). Poeważ z lematu mamy ( ) x x (1 x) 1 2 dla x [0, 1], węc dostajemy (8.30). Udowodmy teraz tytułowe twerdzee tego puktu Twerdzee (Weerstrassa). Każda fukcja f cągła w przedzale domkętym [a, b] jest gracą pewego jedostaje zbeżego w [a, b] cągu welomaów. Dowód. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale domkętym [a, b]. Weźmy fukcję ϕ : [0, 1] [a, b] określoą wzorem 2 Przyjmujemy tutaj 0 0 = 1 ϕ(t) = a + t(b a) dla t [0, 1].
20 202 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Łatwo sprawdzamy, że ϕ jest homeomorfzmem fukcją odwrotą do ϕ jest weloma ϕ 1 (x) = 1 b a x a b a, x [a, b]. Zatem f ϕ jest fukcją cągłą w przedzale [0, 1] z twerdzea steje cąg welomaów {B } zbeży jedostaje w przedzale [0, 1] do fukcj f ϕ. Ozaczmy M = sup{ B (t) f ϕ(t) : t [0, 1]} dla N. Wówczas z własośc mamy (8.31) lm M = 0. Fukcje 1 W (x) = B ( b a x a ), x R, b a są welomaam, poadto W (ϕ(t)) = B (t) dla t [0, 1]. Zatem sup{ W (x) f(x) : x [a, b]} = sup{ B (t) f ϕ(t) : t [0, 1]} = M dla N. Stąd, z (8.31) własośc dostajemy, że cąg welomaów {W } jest jedostaje zbeży w [a, b] do fukcj f. To kończy dowód. Uwaga Moża pokazać, że jeśl fukcja f : [0, 1] R jest klasy C p, to dla cągu -tych pochodych, p, welomaów Berstea, mamy B () f () w [0, 1]. 8.9 Twerdzee Ascolego-Arzel Defcja ograczoej rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R jest ograczoa w pukce x 0 X, gdy steje M R, że dla każdej fukcj f R zachodz f(x 0 ) M. Mówmy, że rodza R jest ograczoa, gdy steje M R, że dla każdej fukcj f R oraz każdego x X zachodz f(x) M. Defcja jedakowo cągłej rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R R X jest jedakowo cągła, gdy dla każdego ε > 0 steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz każdych x, x X takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε. Udowodmy twerdzee Ascolego-Arzel. Zaczjmy od dwóch lematów. Lemat Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P o końcach a, b R, a < b. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą, to dla każdego ε > 0 steją l N, l 2, lczby a 0,..., a l R, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz dla każdej fukcj f R (8.32) dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < ε.
21 8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 203 Dowód. Weźmy dowoly ε > 0. Poeważ R jest rodzą jedakowo cągłą, węc steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz dla każdych x, x P takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε. Nech, wobec zasady Archmedesa, l N będze taką lczbą, że b a < δ. l Połóżmy (b a) a = a +, = 0,..., l. l Wtedy a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz a 1 a < δ dla = 1,..., l. Zatem dla każdego x P, takego, że a 1 x a +1 mamy x a < δ w kosekwecj f(x) f(a ) < ε. Reasumując mamy (8.32). Lemat Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pewym pukce x 0 przedzału P, to R jest rodzą ograczoą. Dowód. Z założea, że rodza R jest ograczoa w pukce x 0, steje M R, że (8.33) dla każdej fukcj f R zachodz f(x 0 ) M. Weźmy ε = 1 ech a, b R, a < b będą końcam przedzału P. W myśl lematu steje l N, l 2, lczby a 0,..., a l R, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz (8.34) dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < 1 2. Weźmy dowolą fukcję f R. Z (8.34) dostajemy, że (8.35) f(a ) M + l 2 dla = 0,..., l. Istote, z wyboru lczb a 0,..., a mamy, że steje 0 {1,..., l 1}, że a 0 1 x 0 a Jeśl 0, to z (8.34) (8.33) dostajemy f(a ) f(a ) f(a 1 ) + + f(a 0 ) f(x 0 ) + f(x 0 ) l 2 + M. jeśl < 0, to aalogcze dostajemy f(a ) f(a ) f(a +1 ) + + f(a 0 ) f(x 0 ) + f(x 0 ) l 2 + M. Zatem udowodlśmy (8.35). Weźmy dowoly x P. Wówczas steje {1,..., l 1}, że a 1 x a. Wówczas z (8.34) (8.35) wyka, że f(x) f(x) f(a ) + f(a ) M + l 2. To daje tezę.
22 204 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Twerdzee (Ascolego-Arzel). Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pewym pukce x 0 P, to z każdego cągu (f ) R tej rodzy moża wybrać podcąg jedostaje zbeży. Dowód. Poeważ P jest przedzałem ograczoym R rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pukce x 0 P, węc z lematu 8.9.2, rodza R jest ograczoa. Nech E = P Q. E jest zborem gęstym w P przelczalym. Isteje węc bjekcja σ : N E. Ozaczając e m = σ(m) dla m N, mamy E = {e m : m N}. Weźmy dowoly cąg (f ) R. Pokażemy, że steje rodza podcągów (f k,j) k=1, j N, cągu (f ) takch, że (8.36) każdy cąg (f k,j) k=1 jest podcągem cągu (f k,j 1) k=1 dla j > 1, (8.37) każdy cąg (f k,j(e m )) k=1 jest zbeży dla j m. Istote, poeważ (f (e 1 )) jest cągem ograczoym, węc z twerdzea Bolzao- Weerstrassa steje podcąg (f k,1) k=1 cągu (f ) tak, że cąg (f k,1(e 1 )) k=1 jest zbeży. Aalogcze steje podcąg (f k,2) k=1 cągu (f k,1) k=1 tak, że cąg (f k,2(e 2 )) k=1 jest zbeży. Wtedy róweż cąg (f k,2(e 1 )) jest zbeży. Postępujęc dalej dukcyje, dostajemy (8.36) (8.37) ( 3 ). Weźmy podcąg (f k ) k=1 cągu (f ) określoy wzorem f k = f k,k dla k N. Pokażemy, że podcąg (f k ) k=1 jest jedostaje zbeży. Wystarczy pokazać, że podcąg te speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego (patrz twerdzee 8.2.9). Weźmy dowole ε > 0 ech a, b R, a < b będą końcam przedzału P. Z lematu steje l N, l 2 oraz lczby a 0,..., a l R take, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < ε 6 dla wszystkch f R. Zatem dla każdej fukcj f R oraz każdych x, x P, (8.38) jeśl x, x [a 1, a +1 ], to f(x ) f(x ) < ε 3. Zbór E jest gęsty w P, węc w każdym przedzale (a 1, a +1 ), gdze {1,..., l 1} steje elemet b zboru E. W kosekwecj cąg (f k (b )) k=1 jest zbeży, węc z własośc jest cągem Cauchy ego. Zatem steje N N, że (8.39) f p (b ) f r (b ) < ε 3 dla p, r N, p, r N oraz = 1,..., l 1. Weźmy dowoly x P. Wówczas steje {1,..., l 1}, że a 1 x a +1, zatem z (8.39) (8.38) dla p, r N mamy f p (x) f r (x) f p (x) f p (b ) + f p (b ) f r (b ) + f r (b ) f r (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. To daje tezę. 3 Zakładając, że steje podcąg (f k,j) k=1 cągu (f k,j 1) k=1 zbeży w puktach e 1,..., e j, wobec ograczoośc cągu (f k,j) k=1, zajdzemy podcąg (f k,j+1) k=1 cągu (f k,j) k=1, zbeży w puktach e 1,..., e j+1. W te sposób określmy rodzę cągów (f k,j) k=1 dla j N takch, że każdy astępy jest podcągem poprzedego oraz każdy cąg (f k,j(e m )) k=1 dla j m jest zbeży.
23 8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 205 Uwaga W twerdzeu Ascolego-Arzel założea o ograczoośc przedzału P e moża opuścć. Istote, cąg (f ) określoy wzoram f (x) = 0 dla x, f (x) = x dla x (, + 1) oraz f (x) = 1 dla x jest rodzą ograczoą jedakowo cągłą (dla każdego ε > 0 wystarczy przyjąć δ = ε). Poadto lm f (x) = 0 dla x R oraz M = sup{ f (x) 0 : x R} = 1. Zatem wobec własośc cąg (f ) e jest jedostaje zbeży w R. Wprowadza sę róweż pojęce jedakowej cągłośc w pukce rodzy fukcj. Defcja jedakowo cągłej w pukce rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R R X jest jedakowo cągła w pukce x 0 X, gdy dla każdego ε > 0 steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz każdego x X takego, że x x 0 < δ zachodz f(x) f(x 0 ) < ε. Uwaga Moża pokazać, astępującą ogólejszą wersję twerdzea Ascolego-Arzel: (Ascolego-Arzel). Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze zwartym X R. Wówczas z każdego cągu (f ) R tej rodzy moża wybrać podcąg jedostaje zbeży, wtedy tylko wtedy, gdy rodza ta jest jedakowo cągłą w każdym pukce zboru X jest ograczoa w każdym pukce zboru X.
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowo5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim
5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoMatematyka II. x 3 jest funkcja
Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Bardziej szczegółowoIV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj
Bardziej szczegółowoWykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej. Literatura. W. Rudin: Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
Wyłady z Aalzy rzeczywstej zespoloej w Matematyce stosowaej Lteratura W Rud: Podstawy aalzy matematyczej, PWN, Warszawa, 1982 W Rud: Aalza rzeczywsta zespoloa, PZWS, Warszawa, 1986 W Szabat: Wstęp do aalzy
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowoPojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
Bardziej szczegółowoOszacowania dolne dla współczynników Dirichleta odwrotności funkcji z wybranych podklas klasy Selberga
Uwersytet m. Adama Mckewcza w Pozau Karol Gerszewsk Oszacowaa dole dla współczyków Drchleta odwrotośc fukcj z wybraych podklas klasy Selberga Rozprawa doktorska apsaa pod kerukem profesora Jerzego Kaczorowskego
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI
Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak
Bardziej szczegółowop Z(G). (G : Z({x i })),
3. Wykład 3: p-grupy twerdzena Sylowa. Defncja 3.1. Nech (G, ) będze grupą. Grupę G nazywamy p-grupą, jeżel G = dla pewnej lczby perwszej p oraz k N. Twerdzene 3.1. Nech (G, ) będze p-grupą. Wówczas W
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Bardziej szczegółowoTeoria i metody optymalizacji
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f( : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Bardziej szczegółowon R ZałóŜmy, Ŝe istnieje d, dla którego: Metody optymalizacji Dr inŝ. Ewa Szlachcic otwarte otoczenie R n punktu x, Ŝe
Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f() : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji rangowej badanie zależności między preferencjami
Współczyk korelacj ragowej badae zależośc mędzy preferecjam Przemysław Grzegorzewsk Istytut Badań Systymowych PAN ul. Newelska 6 01-447 Warszawa E-mal: pgrzeg@bspa.waw.pl Pla referatu: Klasycze metody
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.
Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :
Bardziej szczegółowoTemat: Ciągi i szeregi funkcyjne
Emilia Domińczyk Aleksandra Chrzuszcz Temat: Ciągi i szeregi unkcyjne 1.Co to jest ciąg unkcyjny? Co to jest szereg unkcyjny? Podać przykłady. Deinicja ciągu unkcyjnego Niech X c R, X Ø. Funkcję określoną
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoi = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3
35 Iterpoaca Herte a 3 f ( x f ( x,,, 3, 4 f ( x,,, 3 f ( x,, 3 f ( x, 4 f ( x 33,5,698,87,5!, 34,83,785,9,3 36,598,877,95 38,475,97 4,447 Na podstawe wzoru (38 ay zate 87,, 5, L4 ( t 335, +, 698t+ t(
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoProjekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 26 listopada 2015
Lsta 6 Kaml Matuszews 6 lstopada 5 4 5 6 7 8 9 4 5 X X X X X X X X X X X D X X N Gdze X-spsae, D-Delarowae, N-edelarowae. Zadae Zadae jest westą odpowedego pomalowaa. Weźmy sobe szachowcę x, poumerujmy
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoMODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część
WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoA B - zawieranie słabe
NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoR j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.
c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo