Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Transkrypt

1 Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu

2 Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc e ozacza jedak określea tylko jedego parametru (p. średej), ależy bowem pamętać, że m mej parametrów wykorzystujemy do opsu, tym węcej tracmy formacj o zborowośc. Stosowae w aalzach parametry dzel sę a: Mary położea Mary zmeośc Mary asymetr Mary kocetracj Szczególe waże w aalzach ekoomczych są parametry ależące do mar położea mar zmeośc. Zajomość rozkładu cechy (jej obraz grafczy) pozwala przy tym a dobór odpowedch parametrów z tych grup.

3 Mary położea Średe Przecęte pozycyje

4 Mary położea Klasycze Pozycyje Średa arytmetycza Średa harmocza Średa geometrycza Kwatyle Modala Kwartyl perwszy Kwartyl drug (medaa) Kwartyl trzec Decyle

5 Średe: są welkoścam ajczęścej wykorzystywaym do charakteryzowaa zborowośc, ch cechą wspólą jest to, że oblczae są a podstawe wszystkch wartośc szeregu.

6 Średa arytmetycza średa arytmetycza eważoa (prosta), jest to suma wartośc wszystkch obserwacj badaej zborowośc podzeloa przez jej lczebość. Oblcza sę ją dla daych przedstawoych w postac szeregów szczegółowych. średa arytmetycza ważoa, jest wyzaczaa w szeregach rozdzelczych puktowych w szeregach rozdzelczych z przedzałam klasowym. gdze: - środek przedzału klasowego, k - lczba klas. k lub k

7 Jeżel zamy średe arytmetycze dla pewych r-grup a tej podstawe chcemy wyzaczyć średą arytmetyczą dla wszystkch grup łącze, wówczas wykorzystujemy wzór: gdze: N - średą arytmetycza dla wszystkch grup łącze, - średą arytmetycza dla -tej grupy, - lczebość -tej grupy, N - suma lczebośc we wszystkch r-grupach. N r r

8 Średą arytmetyczą ważoą wyzaczaą a podstawe średch cząstkowych ; A B, otrzymuje sę podstawając w mejsce wag wskaźk struktury. k lub k

9 Wybrae własośc średej arytmetyczej:. Suma wartośc cechy jest rówa loczyow średej arytmetyczej lczebośc zborowośc: atomast dla szeregu rozdzelczego:. Średa arytmetycza speła waruek: m ma 3. Suma odchyleń poszczególych wartośc cechy od średej rówa sę zero: k k k 0 lub 0

10 4. Suma kwadratów odchyleń poszczególych wartośc cechy od średej jest mejsza od mmalej: m lub k m 5. Średą arytmetyczą oblcza sę dla szeregów o zamkętych przedzałach klasowych. Jeżel lczebość w otwartym przedzale klasowym staow ewelk odsetek badaej zborowośc (około 5%), wówczas możlwe jest domkęce tych przedzałów klasowych, a węc oblczee średej.

11 6. Średej arytmetyczej e moża oblczać w szeregach, w których udzał lczebośc w przedzałach klasowych otwartych jest duży. Do określea przecętego pozomu zjawska stosuje sę wówczas parametry pozycyje. 7. Średa arytmetycza z próby, przy zachowau waruków, że próba jest reprezetacyja, staje sę dobrym przyblżeem wartośc przecętej w zborowośc geeralej. 8. Średa arytmetycza jest wrażlwa a skraje wartośc cechy (p. a wartośc cechy jedostek przypadkowo włączoych do próby - obserwacje przypadkowe).

12 Średa harmocza Oblcza sę ją wzoram: -dla szeregu szczegółowego: H - dla szeregu rozdzelczego: H gdze: - -ta wartość badaej zmeej, lub środek -tego przedzału klasowego k k

13 Średą harmoczą stosuje sę wtedy, gdy wartośc cechy podae są w przelczeu a stałą jedostkę ej zmeej, czyl w postac wskaźków atężea, wag atomast - w jedostkach lczków tych cech (dzela wskaźka atężea). Przykładem takch cech może być : prędkość pojazdu w km/h; pracochłoość w m/szt.; gęstość zaludea w osobach/km ; spożyce w kg/osobę; cea jedostkowa w zł/szt/(w-zł).

14 Średa geometrycza stosuje sę ją do rozkładów, w których zachodzą zacze różce mędzy wartoścam. średa ta jest mej wrażlwa a wartośc krańcowe (etypowe) ż średa arytmetycza. zajduje zastosowae przy badau średego tempa zma zjawsk, w przypadku gdy zjawska są ujmowae dyamcze.

15 Średą geometryczą określa sę wzorem: gdze:,, 3,, wartośc zmeej badaej zborowośc statystyczej. Jeżel atomast wartośc badaej zborowośc ujęte będą w szereg rozdzelczy o k klasach, wówczas średa geometrycza wyraża sę wzorem: G k k G k 3 3

16 Uwaga!!! Należy pamętać, że dla każdego przypadku powo sę oblczać tylko jedą średą klasyczą, bowem tylko jeda jest odpoweda, a e tracą ses.

17 Przecęte pozycyje Domata Kwatyle

18 Moda (modala, domata, wartość ajczęstsza) Moda jest to wartość cechy statystyczej, która w daym rozkładze empryczym występuje ajczęścej, a węc zajmuje szczególą pozycję w szeregu. Ozacza sę ją symbolem Mo lub D. W szeregach szczegółowych rozdzelczych puktowych jest to ta wartość cechy, której odpowada ajwększa lczebość (częstość). Wartość modala może być parametrem użyteczym, mającym sesową terpretację tylko wtedy, gdy obserwacj jest dostatecze dużo gdy są oe pogrupowae w postac szeregu rozdzelczego. Przyblżoą wartość modalej wyzacza sę z wzoru terpolacyjego lub grafcze z hstogramu lczebośc (częstośc).

19 W szeregach rozdzelczych domatę wyzacza sę według wzoru: M o (lub D) 0m m m m m m m h m gdze: m umer przedzału (klasy), w którym występuje modala, om dola graca przedzału, w którym występuje modala, m lczebość przedzału modalej, tz. klasy o umerze m, m- ; m+ lczebość klasy: poprzedzającej przedzał modalej astępującej po tym przedzale, h m rozpętość przedzału klasowego, w którym zajduje sę modala

20 Kwatyle * Kwatyle są to wartośc cechy badaej zborowośc przedstawoej w postac szeregu statystyczego, które dzelą zborowość a określoe częśc pod względem lczby jedostek. Częśc te pozostają do sebe w określoych proporcjach. * Do kwatyl ależą take pochode jak: * procetyle, (zway często cetylem), * decyl stosoway w przypadku aalzy struktury zborowośc bardzo lczych, * kwartyl, którego szczególym przypadkem jest medaa.

21 om Q Kwartyl perwszy Q dzel zborowość a dwe częśc w te sposób, że 5% jedostek zborowośc ma wartośc cechy ższe bądź rówe kwartylow perwszemu Q, a 75% rówe bądź wyższe od tego kwartyla. Pozycja kwartyla dla szeregu rozdzelczego wyraża sę wzorem: N Q 4 Dla szeregu rozdzelczego z przedzałam klasowym mamy: Q N m m h m gdze: m- umer przedzału (klasy), w którym występuje kwartyl, om - dola graca przedzału, m - lczebość przedzału, - lczebość skumulowaa do przedzałów poprzedzającego kwartyl, h m - rozpętość przedzału klasowego, N Q - pozycja kwartyla.

22 Kwartyl drug (medaa Me) dzel zborowość a dwe rówe częśc. Połowa jedostek ma wartośc cechy mejsze bądź rówe medae, a połowa wartośc cechy rówe bądź wększe od Me. Pozycja meday : Medaę wyzaczamy ze wzorów: a) w szeregach szczegółowych: Me 0m N Me m m N Me m Me b) w szeregach rozdzelczych przedzałowych: h,gdy jest eparzyst e, gdy jest parzyste m umer przedzału (klasy), w którym występuje medaa, om dola graca przedzału, m lczebość przedzału meday, tz. klasy o umerze m, suma lczebośc przedzałów poprzedzających przedzał meday czyl lczebość skumulowaa, h m rozpętość przedzału klasowego, w którym zajduje sę medaa. N Me pozycja meday.

23 Kwartyl trzec Q 3 dzel zborowość a dwe częśc w te sposób, że 75% jedostek zborowośc ma wartośc cechy ższe bądź rówe Q 3, a 5% rówe bądź wyższe od tego kwartyla. W szeregach rozdzelczych pozycja kwartyla trzecego wyos: 3 N Q 3 4 Do szeregów rozdzelczych z przedzałam klasowym stosujemy wzory: gdze: m m umer przedzału (klasy), w którym Q3 om N Q 3 występuje kwartyl, h om dola graca przedzału, m m m lczebość przedzału, lczebość skumulowaa do przedzałów poprzedzającego kwartyl, h m rozpętość przedzału klasowego, N Q3 pozycja kwartyla.

24 W przypadku szeregów szczegółowych kwartyle perwszy trzec wyzacza sę aalogcze jak medaę. Moża bowem przyjąć, że zborowość podzelmy a dwe częśc: perwszą, której jedostk przyjmują wartośc mejsze od meday drugą złożoą z pozostałych jedostek. Dla każdej z tych częśc moża wyzaczyć poowe medaę. Dla perwszej częśc wartość jej będze odpowadała kwartylow perwszemu, a dla drugej częśc kwartylow trzecemu.

25 Uwag!!! Medaa obok średej arytmetyczej jest ajczęścej stosowaym parametrem statystyczym: może być oblczaa w tych przypadkach, w których oblczee średej arytmetyczej jest emożlwe (p. szereg o otwartych przedzałach klasowych), a także modalej (gdy występują róże rozpętośc przedzałów klasowych) medaa e reaguje a zmay wartośc cechy skrajych jedostek, czyl a obserwacje etypowe (przypadkowe), jeżel rozkład cech jest symetryczy, wówczas: Me Mo

26 Własość meday: Me m Gdy badaą zborowość traktujemy jako próbę pobraą z populacj geeralej, wówczas przy zmae próby medaa ulega wększym zmaom ż średa arytmetycza.

27 Mary zmeośc Rozproszea Dyspersj

28 Mary zmeośc (rozproszea, dyspersj) Przy ch pomocy baday pozom zróżcowaa wartośc cechy w badaej zborowośc. W przypadku cechy stałej zróżcowae e występuje. Badae zróżcowaa dotyczy cechy zmeej.

29 Mary zmeośc klasycze pozycyje waracja rozstęp odchylee stadardowe odchylee przecęte odchylee ćwartkowe współczyk zmeośc współczyk zmeośc

30 Waracja Waracja - jest to średa arytmetycza kwadratów odchyleń poszczególych wartośc cechy od średej arytmetyczej zborowośc. Waracja dla szeregu szczegółowego s ( ) średa arytmetycza dla szeregu rozdzelczego puktowego dla szeregu rozdzelczego z przedzałam klasowym s s ( ^ ( ) ) ^ lczebość środek przedzału

31 W oparcu o wcześejsze wzory przekształcea algebracze, wzory a warację moża przedstawć w postac: dla szeregu szczegółowego dla szeregu rozdzelczego puktowego Jeżel w mejsce wag podstawmy wskaźk struktury to otrzymamy: s s ( ) s k s k

32 Odchylee stadardowe s Odchylee stadardowe s - jest to perwastek kwadratowy z waracj. Staow marę zróżcowaa o mae zgodym z maem badaej cechy, określa przecęte zróżcowae poszczególych wartośc cechy od średej arytmetyczej. Odchylee stadardowe dla szeregu szczegółowego (lub s) s ( ) dla szeregu rozdzelczego (lub s) s ( ) Typowy obszar zmeośc cechy - około /3 wszystkch jedostek badaej zborowośc statystyczej posada wartośc cechy w tym przedzale: s typ s

33 Własośc odchylea stadardowego: Jako klasycza mara zmeośc wyzaczaa jest a podstawe wszystkch wartośc cechy. Odczytae stadardowe to ajczęścej wykorzystywae mary zmeośc Przyjmuje wartośc eujeme S() 0 Wartość rówą 0 przyjmuje w przypadku cechy stałej. Jeśl w szeregu rozdzelczym wszystke lczebośc pomożymy przez tą samą welkość lub podzelmy, to odchylee stadardowe przy tak zmeoych wartoścach będze detycze jak odchylee stadardowe perwote.

34 Odchylee przecęte d Odchylee przecęte d - jest to średa arytmetycza bezwzględych odchyleń wartośc cechy od średej arytmetyczej. Określa o le jedostk daej zborowośc różą sę średo, ze względu a wartość cechy, od średej arytmetyczej. Odchylee przecęte dla szeregu szczegółowego d dla szeregu rozdzelczego d Pomędzy odchyleem przecętym stadardowym, dla tego samego szeregu, zachodz relacja: d < s.

35 Współczyk zmeośc Współczyk zmeośc jest lorazem bezwzględej mary zmeośc cechy średej wartośc tej cechy. Jest welkoścą emaowaą, ajczęścej podawaą w procetach. Przyjmuje sę, że jeżel współczyk zmeośc jest pożej 0% to cechy wykazują zróżcowae statystycze estote. Duże wartośc tego współczyka śwadczą o ejedorodośc zborowośc. W przypadku aalzy struktury korzysta sę z różych mar przecętych mar zmeośc, dlatego współczyk zmeośc dzel sę a: s klasycze: V d s oraz pozycyje: Q Me oraz 3 V Q V Q, Q 3 Q3 Q Współczyk zmeośc stosuje sę w porówaach zróżcowaa: u klku zborowośc pod względem tej samej cechy, u tej samej zborowośc pod względem klku różych cech. V d Q Q

36 Rozstęp (ampltuda wahań) Rozstęp jest to różca pomędzy wartoścą maksymalą, a mmalą cechy - jest marą charakteryzującą empryczy obszar zmeośc badaej cechy, e daje o jedak formacj o zróżcowau poszczególych wartośc cechy w zborowośc. Rozstęp ma postać: R ma m Przykład Mając day szereg rozdzelczy wyzaczyć rozstęp. 0 ;, ;,3 ; 0, ; 0, ; ; 3 ;,6 ;,8 ;,3 ;,4 ;, R ma m 3 0 3

37 Odchylee ćwartkowe Q Odchylee ćwartkowe Q - jest to parametr określający odchylee wartośc cechy od meday. Merzy pozom zróżcowaa tylko częśc jedostek; po odrzuceu 5% jedostek o wartoścach ajmejszych 5% jedostek o wartoścach ajwększych. Q ( Q3 Me) ( Me Q ) Q3 Q Typowy obszar zmeośc cechy: Me Q typ Me Q

38 Uwag!!! a) Odchylee stadardowe jest obok średej arytmetyczej ajczęścej stosowaym parametrem statystyczym, b) Odchylee stadardowe jest welkoścą oblczaą a podstawe wszystkch obserwacj daego szeregu, c) Im zborowość jest bardzej zróżcowaa tym wększa jest waracja odchylee stadardowe. Na rysuku obok przedstawoo krzywe lczebośc symetryczych rozkładów cechy w dwóch zborowoścach o różej zmeośc. Wdać z tego wykresu, że jeżel zmeość jest mała (odchylee stadardowe cechy dla perwszej krzywej jest dwukrote mejsze ż dla drugej), to przeważająca część obserwacj skupoa jest wokół średej arytmetyczej. Kocetracja cech wokół średej arytmetyczej dla perwszej krzywej jest wyższa ż dla drugej krzywej.

39 d) Z odchyleem stadardowym wąże sę tzw. reguła trzech sgm oparta a erówośc Czebyszewa, która mów, że wystąpee obserwacj o wartośc cechy poza przedzałem ( 3 ; 3 ) jest mało prawdopodobe. W przypadku rozkładu ormalego lub zblżoego do ormalego (praktycze w przypadku rozkładów o ewelkej asymetr) tylko około l/3 obserwacj wykracza poza typowy przedzał wyzaczoy przez średą arytmetyczą jedo odchylee stadardowe, a tylko około 5% obserwacj poza przedzał ( ; ) Ilustruje to rysuek obok.

40 Dla zborowośc, których rozkłady odchyleń e różą sę stote od rozkładu ormalego wyzacza sę odchylea prawdopodobe, zawarte w gracach opsaych erówoścą : e e pm pma gdze epma, epm ozaczają gracze wartośc takch odchyleń, że prawdopodobeństwo tego, że dowole odchylea e zawerają sę w przedzale wyzaczoym przez powyższą erówość wyos: P{ e e } P{ e ( e, e oraz wysoce prawdopodobe, zawarte w przedzale: wm wma gdze ewma, ewm ozaczają gracze wartośc takch odchyleń, że prawdopodobeństwo tego, ż dowole odchylea e zawerają sę w przedzale wyzaczoym przez erówość powyżej wyos: P{ e e } P{ e ( e, e e )} )} 0,6868 e 0,95550 e e

41 Dla rozkładów odchyleń różących sę stote od rozkładu ormalego szacuje sę gracze wartośc odchyleń prawdopodobych wysoce prawdopodobych, przyjmując ajmejsze ajwększe wartośc odchyleń ze zboru odchyleń rzeczywstych {e} który tworzy sę po odrzuceu 0 lczby skrajych odchyleń. W przypadku odchyleń prawdopodobych : gdy, 0 5, 8 wówczas p=0,6 0,79. 0 W przypadku odchyleń wysoce prawdopodobych : gdy, 0 5, 3 wówczas p=0,8 0,89. 0

42 Mary asymetr (skośośc)

43 Mary asymetr Często waże jest, czy obserwacje są rówomere rozłożoe wokół wartośc przecętej. Problem te moża rozwązać za pomocą mar asymetr (skośośc).

44 Klasyczy współczyk asymetr Klasyczy współczyk asymetr (skośośc) jest marą asymetr rozkładu jedej zmeej, opartą a wartoścach wszystkch obserwacj oblczaą ze wzoru: s s A Natomast dla zmeych uporządkowaych w szereg rozdzelczy współczyk asymetr oblcza sę ze wzoru: s s A gdze: As klasyczy współczyk symetr, s, odchylee stadardowe.

45 Zak współczyka śwadczy o keruku skośośc. Dla rozkładów prawostro asymetryczych przyjmuje wartośc dodate, atomast dla lewostroe asymetryczych jest welkoścą ujemą. Gdy rozkład jest symetryczy, przyjmuje o wartość zero. Klasycza mara skośośc e formuje w wystarczający sposób o bezwzględej sle asymetr, poeważ może przyjmować wartośc z przedzału [-,+ ].

46 Pozycyjy współczyk asymetr Pozycyjy współczyk asymetr (skośośc) jest zbudoway a podstawe kwartyl: Q3 Me Me Q Q3 Q A Q Q Me Me Q Q 3 Me Moża zauważyć że: W szeregu symetryczym odległość obu kwartyl od meday jest taka sama, W szeregu o asymetr dodatej (prawostroej) kwartyl perwszy zajduje sę blżej meday ażel kwartyl trzec, W szeregu o asymetr ujemej (lewostroej) kwartyl perwszy jest bardzej oddaloy od meday ż kwartyl trzec.

47 Pozycyja mara skośośc ma tę zaletę, że jest uormowaa czyl przyjmuje wartość z przedzału [-; ]. Moża zatem tą marą merzyć atężee asymetr. Jeśl przyjmuje oa wartość blską zeru śwadczy to o rozkładze zblżoym do symetryczego. Jeśl zaś przyjmuje wartośc co do modułu blske jedośc to moża mówć o slej asymetr (prawostroej lub lewostroej).

48 Mary kocetracj

49 Mary kocetracj Mary kocetracj umożlwają uzupełć ops kształtu struktury, który wcześej został opsay przez mary asymetr.

50 Isteje ścsły zwązek mędzy kocetracją wartośc cechy wokół średej a ch zróżcowaem. Im wększe jest zróżcowae, tym mejsza jest kocetracja. Marą skupea poszczególych obserwacj wokół średej jest współczyk skupea (kurtoza). K m s 4 4 Dla szeregu szczegółowego: Dla szeregu rozdzelczego: m 4 k 4 m 4 k 4

51 Im wyższa wartość współczyka K, tym bardzej wysmukła jest krzywa lczebośc, a zatem wększa kocetracja wartośc cech wokół średej. Małe wartośc wskazują atomast a spłaszczee rozkładu zborowośc względem badaej cechy. Przyjmuje sę, że jeżel zborowość ma: rozkład ormaly, to K=3, rozkład bardzej spłaszczoy od ormalego to K<3, rozkład bardzej wysmukły od ormalego to K>3. Z tego właśe względu współczyk kocetracj K podaje sę w postac: K m 4 ' 4 s 3