Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Transkrypt

1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów komputerowych zawera procedury umerycze geerujące lczby losowe o rozkładze rówomerym w przedzale 0 do r 0. Stosując odpowede algorytmy możemy take lczby przekształcć w lczby losowe o dowolym rozkładze. Załóżmy że chcemy geerować lczby losowe o pewym rozkładze (gęstośc prawdopodobeństwa Dystrybuatą (x f (x F zmeej losowej azywamy fukcję x F ( x P( t x f ( t dt której wartośc są rówe prawdopodobeństwu że wartość t zmeej losowej e przekracza x. Jeżel y F(x to oczywśce y 0 prawdopodobeństwo że a przykład y > 06 y 0 7 wyos 0 ( 0 % jest take samo dla każdego ego przedzału o szerokośc 0 zawartego w 0. Ozacza to że trasformacja y F(x przekształca zmeą losową x w zmeą y o rozkładze rówomerym w przedzale 0. Wyka z tego dalej że trasformacja odwrota x F ( r przekształca zmeą losową o rozkładze rówomerym r 0 w zmeą x o żądaym rozkładze f (x. Przykład. Zmeą o rozkładze wykładczym f ( t e możemy otrzymać stosując trasformację. t l(r

2 Metoda Mote-Carlo e zagadea Wyka to z faktu że dystrybuata zmeej wykładczej ma postać t F( t fdt e 0 co dalej ozacza że zarówo r e jak r e mają rozkład rówomery w przedzale 0. Zatem rzeczywśce jeżel r e ma rozkład rówomery to t l(r ma rozkład wykładczy. Metoda trasformacj wykorzystująca fukcję odwrotą do dystrybuaty pożądaego rozkładu jest zupełe ogóla możemy ją praktycze stosować bez kłopotów wszędze tam gdze zaa jest aaltycza postać fukcj odwrotej F. Jeżel postać aaltycza e jest zaa to rozkład f (x możemy całkować umerycze zaleźć w te sposób rozwązae rówaa r F(x. Jeżel całkowae umerycze jest emożlwe lub epraktycze to możemy zastosować geometryczy warat metody trasformacj. Rozważymy w tym celu rozkład f (x o wartoścach ezerowych w przedzale 0 tak że f x < a parę lczb losowych ( r ( w tym przedzale. Geerujemy x o rozkładze rówomerym w przedzale 0. Jeżel r a f (x to wartość x pozostawamy w przecwym przypadku odrzucamy. Pozostawoe wartośc x tworzą zbór o pożądaym rozkładze f (x.

3 Metoda Mote-Carlo e zagadea 3 Geerowae ormalych lczb losowych. x x o rozkładze rówomerym w przedzale (0 to przekształcee y l x cos πx. Jeżel weźmemy parę lczb losowych ( daje parę lczb losowych ( N (0. ( ( πx y l x s y y ezależych o rozkładze ormalym. Wartość średa dyspersja zmeej o rozkładze rówomerym w przedzale (0 wyoszą µ Zatem zmea z rówa sume takch lczb losowych mus 6 z x 6 ma średą µ z 0 dyspersję z a mocy twerdzea graczego ma rozkład zblżoy do ormalego.

4 Metoda Mote-Carlo e zagadea 4 Testowae zgodośc średch waracj Mamy dwa ezależe zbory wyków pomarów tej samej welkośc: { x x x x } oraz { x x x x } o lczeboścach odpowedo. Każdy z ch charakteryzuje sę swoją średą waracją: x µ s ( x µ x s ( x Chcemy wedzeć czy różce mędzy średm waracjam są statystycze stote.. Test zgodośc waracj Zmea F ma wartość: s F. s Przy założeu że prawdzwa jest hpoteza zerowa F staje sę rówe s F s ma rozkład F (Fshera-Sydecora o lczbach stop swobody. Jeżel pozom stotośc ma wyosć α (zwykle 005 to P ( F α F F( α α ( prawdopodobeństwo że przypadkowo wartość F wyjdze poza przedzał ufośc wyos α. Jeżel wylczoa dla aszych zborów wartość F e wypada poza przedzałem ufośc to hpotezę o rówośc waracj przyjmujemy. W przecwym przypadku odrzucamy ją przyjmujemy alteratywą o stotej różcy waracj.

5 Metoda Mote-Carlo e zagadea 5. Test zgodośc średch dla rówych waracj Jeżel waracje obu cągów wyków są jedakowe to oblczamy średą ważoą warację ( x + ( x s +. Zmea D + µ t s D ma rozkład Studeta o + stopach swobody w przypadku kedy oba cąg pochodzą z tej samej populacj (mają te same rozkłady. Jeżel hpotezę zerową o rówośc średch µ µ testujemy a pozome stotośc α to szukamy przedzału ufośc ( t + α t t( + α α ( P. Jeżel wartość statystyk t wypada w tym przedzale to przyjmujemy hpotezę zerową µ µ. W przecwym przypadku odrzucamy ją uzajemy średe za stote róże. 3. Test zgodośc średch dla różych waracj W takm przypadku welkość t s µ + s ma w przyblżeu rozkład Studeta o lczbe stop swobody daej wzorem ( s + s [ s ] [ s ] + którą zaokrąglamy w dół do całkowtej żeby móc skorzystać z odpowedch tablc.

6 Mote-Carlo Mote-Carlo The model of geeratg data pots. Usg "artfcal" data pots geerated by the computer programme t s possble to test the proposed techques ad to compare ther results. It s also possble to prove the adequacy of formulae gvg the estmatos of regresso coeffcets ad ther dspersos. I ths work data were geerated accordg to the smple lear model of the TL growth curve. It was assumed that I I 0 + b D where: I deotes the measured TL testy growg learly wth the addtoal dose D I 0 s the tal (atural level of TL testy ad b s the proportoalty coeffcet (TL sestvty. I the followg text the above equato wll be used the rewrtte form: y a + b x ad the values of a ad b were chose to be equal a b It was assumed that y values were measured for fve chose x values amely: X 34 5 ad that these measuremets were repeated fve tmes for each X gvg 5 values total. The resultg values were obtaed as follows: Yj + X + ε j + ε j j 34 5 or Yj + ε j + ε j j 34 5 where ε's are the pseudo radom umbers take from the ormal dstrbuto N(0. That meas that the model values resultg from the eq. : y + X are cosdered as the expected values of Y j ad the added pseudo radom umbers ε smulate the measuremet error. It was assumed o systematc error Y j ad that the overall error s costtuted from two compoets. These are the absolute error whch does't deped o the y value ad the relatve error proportoal to y. The values X were assumed ot to be subject to a error. The programme was wrtte BASIC for the IBM PC/XT compatble computer ad the teral radom geerator was used. It gave the

7 Mote-Carlo pseudo radom umbers r uformly dstrbuted the terval (0. The smple lear trasformato r η yelded pseudo radom umbers η havg the dstrbuto whch approxmates the ormal N(0 dstrbuto wth the accuracy good eough for the purpose of the preset work (Muller 959. Numbers η obtaed the descrbed way were the used to smulate measuremet errors ε ad ε. The fxed absolute error wth the stadard devato s equal to ε η ad the fxed relatve error (δ % wth the stadard devato proportoal to the measured value y s gve by δ ε ( + X η Therefore the fal results Y j δ δ + η' + η' ' + η'' + η' where η' ad η" are depedet umbers geerated for each eeded Y j value. I the authors opo the set of 5 "measuremet results" geerated ths way correspods well to the stuato of actual TL measuremets. I practce the radom errors of doses ca be eglected as compared to those of TL testes ad regardg the measuremet errors as resultg from two sources correspodg to eps ad eps compoets seems reasoable. Furthermore t ca be oted that doses are ot dvdually measured thus ay radom errors ther assessmets propagate fally to the apparet TL testy errors ad such a stuato s also cluded the proposed model.