Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Transkrypt

1 Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel e-mal:

2 Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy? wyk pomaru wartość prawdzwa Błąd pomarowy 0 a) błąd przypadkowy e skorelowae błędy eksperymetatora, szumy układu pomarowego, zakłócea b) błąd systematyczy Systematycza różca pomędzy kolejym pomaram a wartoścą prawdzwą c) błąd gruby Drastycze duża różca pomędzy pomarem wartoścą prawdzwą wykająca p. ze złego odczytu lub zapsu pomaru

3 Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy? wyk pomaru wartość prawdzwa Błąd pomarowy 0 a) błąd przypadkowy e skorelowae błędy eksperymetatora, szumy układu pomarowego, zakłócea Przykład: Pomar okresu drgań wahadła za pomocą stopera Dokładość pomaru stopera 0.0 s Czas reakcj człoweka ~0. s (ma charakter przypadkowy) 3

4 Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy? wyk pomaru wartość prawdzwa Błąd pomarowy 0 b) błąd systematyczy Systematycza różca pomędzy kolejym pomaram a wartoścą prawdzwą Przykład: Pomar okresu drgań wahadła za pomocą sekudka Dokładość pomaru sekudka s (mała dokładość podzałk czasu da wyraźe systematycze przesuece wyku w stosuku do wartośc prawdzwej) Czas reakcj człoweka ~0. s 4

5 Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy? wyk pomaru wartość prawdzwa Błąd pomarowy 0 c) błąd gruby Drastycze duża różca pomędzy pomarem wartoścą prawdzwą wykająca p. ze złego odczytu lub zapsu pomaru Przykład: Pomar czasu za pomocą stopera Odczyt 39 s. zamast m. 39 s. 5

6 Potr Cygak 008 Co to jest epewość pomaru? Wyrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk. Warszawa, Główy Urząd Mar 999. Nepewość pomaru jest zwązaym z rezultatem pomaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. Mamy dwa geerale podejśca do ocey epewośc pomarowych TYP A Podejśce statystycze statystycza aalza daych pomarowych stosujemy do błędów przypadkowych odpowedo dużej lczby pomarów TYP B Podejśce determstycze w przypadku braku możlwośc statystyczej aalzy daych wykoujemy pewe oszacowae - stosujemy do błędów systematyczych pojedyczych pomarów 6

7 Potr Cygak 008 Nepewość bezwzględa, względa procetowa? epewość bezwzględa epewość względa epewość procetowa 7

8 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Nepewośc przypadkowe opsae są rozkładem prawdopodobeństwa typu Gaussa (ormalym). pukt przegęca krzywej to jest rozkład w postac uormowaej ϕ( ) d wartość merzoa 0 wartość oczekwaa σ odchylee stadardowe (mara epewośc pojedyczego pomaru) Poeważ w praktyce laboratoryjej wykoujemy zawsze skończoą lczbę pomarów to parametry rozkładu Gaussa możemy jedye estymować! 8

9 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Przykład: aalza 94 wyków (duża statystyka!) pomaru prędkośc rowerzysty w postac hstogramu dokładośc przyrządu pomarowego Dzelmy wyk a przedzały szerokośc odpowadającej dokładośc przyrządu pomarowego) Lczba pomarów v (m/s) 9

10 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Przykład: aalza 94 wyków (duża statystyka!) pomaru prędkośc rowerzysty w postac hstogramu 8 dopasowaa krzywa Gaussa (e uormowaa) 6 Lczba pomarów ϕ( ) A ep σ π ( 0 σ Estymujemy parametry 0 σ wprost z dopasowaa ) v (m/s) 0 + σ 0 - σ 0 wartość oczekwaa 0

11 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Dla mejszych statystyk (p pomarów) e jesteśmy w stae dopasować rozkładu Gaussa uzyskać w te sposób oszacowae parametrów 0 σ. Możemy jedak zawsze posłużyć sę astępującym przyblżeam tych wartośc: Estymatorem welkośc oczekwaej 0 jest średa arytmetycza: 0 Marą epewośc pojedyczego pomaru jest jego odchylee od wartośc średej (estymator odchylea stadardowego): σ

12 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Estymatorem epewośc wyku pomaru jest odchylee stadardowe średej arytmetyczej: welkość pomarów!!! moża zmejszać zwększając lczbę Tak oblczoą epewość terpretujemy astępująco: wykoując koleją sere pomarów oblczając średą wartość welkośc, możemy tę wartość zaleźć w przedzale z prawdopodobeństwem Iterpretacja taka jest rówozacza ze stwerdzeem, że wartość rzeczywsta merzoej welkośc meśc sę w tym przedzale z prawdopodobeństwem

13 Potr Cygak 008 Typ A: Statystycza aalza daych pomarowych Dla bardzo małych ser pomarowych 0 odchylee stadardowe średej arytmetyczej daje zażoą wartość epewośc wyku: Te pozom ufośc stosujemy w aalze pomarów I prac. -współczyk Studeta - lczba pomarów - pozom ufośc prawdopodobeństwo z jakm wyzaczoy przedzał t, S, + t α, α S zawera wartość rzeczywstą merzoej welkośc α α0.95 α

14 Potr Cygak 008 Typ B: Brak możlwośc statystyczej aalzy daych Dla błędów systematyczych lub pojedyczych pomarów możemy stosować epewość maksymalą (azywaą także graczą) Rozkład Gaussa S + S 0 0 epewość stadardowa (TYP A) 0 epewość maksymala (TYP B) 0 φ() 0 + Rozkład jedorody (uormoway) wszystke wyk pomarów są zawarte w przedzale + 0,

15 Potr Cygak 008 Całkowta epewość pomarowa (Typ A + Typ B) Całkowta epewość pomarowa zawera zarówo epewośc przypadkowe jak epewośc systematycze. Mamy dwa możlwe podejśca: Włączee epewośc maksymalej do aalzy statystyczej Włączee epewośc stadardowej do aalzy determstyczej S S + ( 3 ) + 3 MAX S 5

16 Potr Cygak 008 Pomar bezpośred pośred b a c Prosty przykład: Obekt pomaru prostopadłośca (a, b, c) Pomar bezpośred: pomar wysokośc (c) prostopadłoścau Pomar pośred: pomar objętośc prostopadłoścau V abc 6

17 Potr Cygak 008 Nepewość w pomarach pośredch propagacja błędów statystyczych. a a Prosty przykład: Jak jest błąd pomaru objętośc V sześcau jeśl ustallśmy, że błąd pomaru długośc a wyos? a a V y y f() 3 V y f() 3 y dy d V (cm 3 ) y y fukcja y 3 stycza dy/d (cm) 7

18 Potr Cygak 008 Nepewość w pomarach pośredch propagacja błędów statystyczych. Ogóla postać epewośc dla fukcj welu zmeych TYP B Podejśce determstycze TYP A Podejśce statystycze y f (,,... ) y f (,,... ) y f (,,... ) y f (,,... ) f f y f S y f S f + f S S 8

19 Potr Cygak 008 Zaps epewośc Podaje sę tylko dwe cyfry zaczące estymatora epewośc. Lczymy co ajmej trzy zaokrąglamy zawsze do góry. Wyk pomaru oblczamy o co ajmej jedo mejsce dzesęte dalej ż mejsce dzesęte, a którym zaokrągloo błąd, a astępe zaokrąglamy wg. ormalych reguł do tego samego mejsca dzesętego, do którego zaokrągloo błąd. Notatk Sprawozdae Zaps eprawdłowy 9

20 Potr Cygak 008 Porówywae wyków ) porówae z welkoścą tablcową waruek zgodośc gdze k wg. ISO ) porówae dwóch zmerzoych welkośc waruek zgodośc 0

21 Potr Cygak 008 Rysowae wykresów Poprawe Błęde

22 Regresja lowa dopasowywae prostej do zboru puktów dośwadczalych Problem: poprowadzee prostej y a + b jak ajlepej dopasowaej do zboru puktów dośwadczalych (y, y,,y ) zalezee parametrów a b oraz ch epewośc (S a S b ). Metoda aaltycza: Metoda ajmejszych kwadratów polegająca a takm doborze parametrów a b aby zmmalzować sumę kwadratu różcy pomędzy odcętą puktu pomarowego odpowadającym mu puktem dopasowywaej prostej. ( ) [ ] m + b a y Lczymy używając odpowedego oprogramowaa C y y a C y b y a y S a a y b S S a b gdze C y y D Współczyk korelacj CD y y r r m r blższe tym lepsze dopasowae! Potr Cygak 008

23 Potr Cygak 008 Regresja lowa learyzacja elowych zależośc fukcyjych. Przykład: Zmaa apęca w czase w trakce rozładowywaa kodesatora A.Zęba, Pracowa Fzycza WFTJ, 00 U(t) U 0 ep(-t/τ) t [ms] l(u) lu 0 t/τ y b + a 3

24 Potr Cygak 008 Klka praktyczych uwag - podsumowae:. Przed przystąpeem do aalzy błędów proszę zastaowć sę jakego rodzaju błędy mają kluczowe zaczee statystycze (szumy, czas sposób reakcj eksperymetatora) czy systematycze (dokładość przyrządu pomarowego). Proszę porówać ch welkość.. W zakomtej wększośc przypadków pomary a I Pracow operają sę a zaledwe klkukrotym pomarze daej welkośc dlatego koecze jest wykorzystae wsp. Studeta (pozom ufośc 0.95) lub oszacowae błędu maksymalego (w zależośc od charakteru błędu patrz pukt ). 3. Uzyskay wyk pomaru ależy sprawdzć poprzez ) sprawdzee zgodośc jedostek ) porówae z jakmś odeseem lteraturowym 4. Uzyskaą wartość epewośc wyku ależy koecze przedstawć jako epewość względą tak aby ukąć gealych wosków w postac: pojemość C 00 µf ± 0mF gdze względa epewość jest 0000% welkośc merzoej 5. Wykresy zwązae z opracowae daych pomarowych moża dokoywać tylko przy użycu komputera (p. w programe Org). 6. Sprawozdaa powy być przygotowywae w edytorze tekstu ma to dwe praktycze zalety: ) Ułatwa poprawę dyskusję z prowadzącym ćwczee ) Umożlwa auczee sę płyego korzystaa z edytora ezbęde w przyszłej pracy ezależe od wybraego zawodu. 4

25 Potr Cygak 008 Lteratura ) I Pracowa fzycza, red. A.Magera, OWI Kraków 006 ) H. Szydłowsk, Pracowa fzycza, PWN Warszawa 999 3) A.Zęba, Postępy Fzyk, tom 5, zeszyt 5, 00, str