Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Transkrypt

1 Aaliza I., zima globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby są wymiere: (a) 3 (b) Zadaie 3. Dla jaich aturalych zachodzą ierówości: (a) ( + 2) 2 < 3 (b) (c) ( + ) 3 < 4 2 (d) 5 < 3 + 4? Zadaie 4. Niech! = 2. Współczyi dwumiaowy ( ) dla 0 defiiujemy a jede z trzech sposobów:. ( ) =!! ( )! 2. ( ) to liczba sposobów, a jaie moża wybrać elemetów (bez powtórzeń) ze zbioru -elemetowego 3. ( ) to współczyi stojący przy x w rozwiięciu ( + x) a potęgi x, tz.: ( ) ( + x) = x =0

2 Czasem dla wygody przyjmujemy ( ) = 0 dla > lub < 0. Udowodij, że wszystie trzy defiicje są rówoważe oraz tożsamość: ( ) ( ) = Zadaie 5. Udowodij a trzy sposoby (orzystając z defiicji -3 z zadaia 4) tożsamość: dla 0, 0. ( ) + = ( ) + ( ) Zadaie 6. Udowodij a dwa sposoby (iterpretacja ombiatorycza oraz defiicja z ( + x) ) tożsamości: (a) (b) (c) (d) 2 0 ( 0 ( ) + 0 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) = 2 ( ) ( ) = 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) + + ( ) + ( ) = 0 Spróbuj rówież udowodić wybrae tożsamości iducyjie. Zadaie 7. Udowodij dla aturalych r, m 0 wzór: ( )( ) r m m = ( )( ) r r m Zadaie 8. Na ile sposobów moża umieścić ieodróżialych ul w m przegródach? Zadaie 9. Udowodij ierówości: /2! ( + ) 2 (wsazówa: dla jaich, wyrażeie ( + ) jest ajwięsze?) 2

3 Zadaie 0. Udowodij dla dowolego 2 liczb zespoloych z,..., z C: Zadaie. Udowodij, że: dla 2. Zadaie 2. Niech a = ( + a ciąg b malejący. z + z z z + z z ( > 2 ) + ) oraz b = ( + ) +. Udowodij, że ciąg a jest rosący, Zadaie 3. Udowodimy przez iducję, że w dowolym zbiorze oi wszystie oie mają te sam olor. Baza iducji, czyli przypade =, jest oczywisty. Załóżmy, że stwierdzeie jest udowodioe dla pewego. W celu dowodu dla + podzielmy zbiór + oi a zbiory {,..., } oraz {2,..., + }. Każdy z tych zbiorów ma moc, więc a mocy założeia iducyjego wszystie oie w jego obrębie mają te sam olor. Wyia stąd, iż wszystie oie w zbiorze {, 2,..., + } mają te sam olor. Czy to rozumowaie jest poprawe, a jeśli ie, to w tórym miejscu twi błąd? Zadaie 4 (*). Dla jaich α R ciąg ({α}) 0 jest gęsty a odciu [0, ]? (przypomiam, że {x} ozacza część ułamową liczby x) 2 Nierówości Zadaie 5. Udowodij, że dla ieujemych a i, b i, i =,..., mamy: { } a mi a { } + + a a max =,..., b b + + b =,..., b Zadaie 6. Udowodij, że jeśli liczby rzeczywiste a i >, i =,..., mają te sam za, to zachodzi ierówość: ( + a ) ( + a 2 ) ( + a ) + a + + a Czy założeia o tym, że a i > i że liczby mają te sam za, są iezbęde? Zadaie 7. Dla x > i Z udowodij ierówość Beroulliego: oraz że dla < x < i N zachodzi: ( + x) + x ( + x) 3 x

4 Zadaie 8. Udowodij ierówość Schwartza: Kiedy zachodzi w iej rówość? a b + + a b (a a 2 ) /2 (b b 2 ) /2 Zadaie 9. Niech a,..., a > 0. Udowodij ierówość między średią arytmetyczą i geometryczą: a + + a a a z rówością wtedy tylo wtedy, gdy a = a 2 = = a, orzystając z astępujących obserwacji: (a) Udowodij, że aby poazać ierówość, wystarczy udowodić astępującą tezę: jeśli ieujeme liczby x,..., x spełiają x x =, to x + + x z rówością wtedy i tylo wtedy, gdy x = = x =. (b) Udowodij, że jeśli x > i x 2 <, to x + x 2 > x x 2 +. (c) Udowodij iducyjie ierówość z putu (a). Zadaie 20. Udowodij dla ieujemych a i ciąg ierówości: i= a 2 i i= a i a i i= i= a i Zadaie 2. Dla aturalych liczb q p i ieujemych x,..., x udowodij ierówość: p x p + + x p q x q + + x q (wsazówa: sprowadź do przypadu, gdy i= x q i = ) Zadaie 22. Jaa jest ajlepsza możliwa stała C > 0, by zachodziła ierówość: p x p + + x p C q x q + + x q dla q p? Zadaie 23 (*). Niech 0 < x < x 2 < < x i iech p i 0 spełiają warue i= p i =. Udowodij ierówość: ( p i x i )( p i x i ) (x + x ) 2 4x x i= i= 4

5 3 Ciągi Zadaie 24. Ciąg Fiboacciego f zaday jest rówaiem reurecyjym: f 0 = 0, f = Udowodij wzór a ogólą postać ciągu: f = f + f 2, 2 f = φ φ 5 gdzie φ = + 5 2, φ = 5 2 są pierwiastami rówaia x 2 = x +. Zadaie 25. Udowodij tożsamości: (a) f + f f 2 = f 2 (b) f 2 = f 2 + f 2, (c) f m f + f m+ f = ( ) f m, m 0 Zadaie 26. Zajdź ogólą postać wzoru a ciąg reurecyjy zaday rówaiami: a 0 = a, a = b a = c a + d a 2, 2 Zadaie 27 (*). Nieporządiem rozmiaru azwiemy taą permutację π : {, 2,..., } {, 2,..., }, że π(i) i dla ażdego i. Niech D ozacza ilość ieporządów rozmiaru. Podaj wzór a ilość ieporządów rozmiaru (wsazówa: apisz i rozwiąż rówaie reurecyje a D ). 4 Kresy i graice Zadaie 28. Zajdź resy zbiorów i sprawdź, czy są oe osiągae: A = {x + y x, y, R, x + y = 3} B = {x x 2 < 2} C = { 2 + N} ( D = { 3) N} 5

6 Zadaie 29. Zajdź resy zbiorów: m A = { m, 0, m, Z} 2m m B = { m, 0, m, N} m m C = { > 0} D = { + > 0,, N} Zadaie 30. Zbiór X R azwiemy domiętym, jeśli dla ażdego ciągu x o wyrazach ależących do X taiego, że x = x dla pewego x R, mamy x X. Które z poiższych zbiorów są domięte? (a) X = [0, ) (b) X = [0, ] (c) X = Z (d) X = Q (e) X = { + m m, N} (f) X = { 2, N} Zadaie 3. Udowodij, że odcia [0, ] ie da się przedstawić jao rozłączą sumę dwóch domiętych zbiorów. (wsazówa: gdyby [0, ] = A B dla domiętych A, B, rozpatrz resy dole i góre zbiorów A, B) Zadaie 32. Oblicz graice: (a) c dla c > 0 (b) (c) (d) Zadaie 33. Niech f 0 = 0, f = oraz f = f + f 2 dla 2. Oblicz graicę f + f. Zadaie 34. Zbadaj zbieżość ciągu oreśloego reurecyjie przez a 0 = a, a + = + a, gdzie a 0. Zadaie 35. Udowodij, że ciąg H = = jest rozbieży. 6

7 Zadaie 36. Udowodij, że ciąg a = ( ) + jest rosący, a ciąg b = ( ) + + malejący. Wywiosuj, że ciągi te są zbieże do tej samej graicy (ozaczaej e). (wsazówa: zastosuj ierówość średich do liczb a = = a = +, a + = ) Zadaie 37. Niech f : [0, ] [0, ] będzie fucją iemalejącą. Niech a 0 [0, ]. Ciąg a oreślamy rówaiem reurecyjym a + = f(a ) dla 0. Udowodij, że ciąg a jset zbieży. Zadaie 38. Dla c > 0 zbadaj zbieżość ciągu oreśloego przez a 0 = 0, a = c, a + = a + c przez astępujące roi:. Udowodij, że ciąg a jest mootoiczy. 2. Udowodij, że ciąg a jest ograiczoy z góry 3. Wywiosuj z poprzedich putów, że ciąg a jest zbieży, i oblicz jego graicę. Zadaie 39. Niech a będzie ciągiem zbieżym. Czy wyia stąd, że dla dowolej bijecji σ : N N ciąg a σ() rówież jest zbieży? Zadaie 40. Zbadaj zbieżość ciągu oreśloego przez a 0 = a, a + = 2a ( a ),. Zadaie 4. Niech a 0 = a, b 0 = b oraz dla a + = a+b, b 2 + = a b. Udowodij, że ciągi te zbiegają do tej samej graicy. ( Zadaie 42. Korzystając z defiicji e x = + x udowodij ierówość log( + x) x dla x >. Zadaie 43. Udowodij dla x > ierówość: (wsazówa: poprzedie zadaie) Zadaie 44. Niech: log( + x) > a = b = = = x + x log log Udowodij, że a i b są zbieże do tej samej graicy. Zadaie 45. Oblicz graice: (a) log 7 ) oraz ierówości Beroulliego

8 (b) = 2 + (wsazówa: oszacuj miaowii z góry i z dołu) Zadaie 46. Udowodij dla 2 ierówość: + 2 oraz ierówość: Zadaie 47. Przypuśćmy, że ciąg a spełia: a +2 a + λ a + a dla pewego λ (0, ). Udowodij, że ciąg te jest zbieży. Czy założeie λ (0, ) jest oiecze? Zadaie 48. Oblicz graicę: ( ) Zadaie 49. Niech a > będzie ciągiem zbieżym do zera i iech p N. Udowodij wprost z defiicji graicy (bez odwoływaia się do ciągłości fucji pierwiaste itp.), że: Zadaie 50. Uzasadij rówość: p + a = log! = log + a gdzie a = 0. (wsazówa: jedo z zadań domowych było o czymś podobym) Zadaie 5. Niech a > 0 będzie ciągiem zbieżym do zera i iech p 2. Oblicz graicę: p + a a (sposób : połóż x = p + a ) (sposób 2: p + a = e p log(+a) + zae już oszacowaia z dołu a e x i log( + x)) Zadaie 52. Oblicz: ( e ) = (wsazówa: oszacuj ( e ) + ε dla odpowiedio dobraego ε, pamiętajac, że e < ( + ) +) 8

9 Zadaie 53. Poaż, że: ( ( ) log (wsazówa: jedo z poprzedich zadań i ierówości Zadaie 54. Korzystając z tw. Stolza oblicz graice: (a) (b) x x , N + = 5 Szeregi, fucje trygoometrycze ( + )) = 2 2 log x x). W zadaiach dotyczących fucji trygoometryczych pomoce mogą być oszacowaia 2 π x si x x dla x (0, π 2 ) oraz cos x 2 x2. Zadaie 55. Rozstrzygij zbieżość poiższych szeregów: (a) = log (b) = 3/2 0 (c) = x dla x <, 0 (d) =! (e) = e! (f) = 2 e! (g) = e 2! (h) = ( e ) (i) = log ( ) + α dla α R (j) = ( ) Zadaie 56. Udowodij, że jeśli szeregi = a 2, = b 2 są zbieże, to szereg = a b jest zbieży bezwzględie. Zadaie 57. Udowodij, że jeśli szereg = a 2 jest zbieży, to szereg a = bezwzględie. Czy zachodzi impliacja przeciwa? jest zbieży Zadaie 58. Udowodij, że jeśli a > 0 i szereg = a jest rozbieży, to rówież szereg = a +a jest rozbieży. (wsazówa: rozpatrz przypadi a 0 i a 0) Zadaie 59. Niech a > 0. Udowodij, że ze zbieżości szeregu = a wyia zbieżość szeregu = a a +, ale ie a odwrót. Udowodij, że impliacja przeciwa zachodzi, jeśli ciąg a jest malejący. Zadaie 60. Czy w ryterium zagęszczeiowym a zbieżość szeregu = a założeie, że a jest malejący, jest oiecze? Zadaie 6. Zbadaj zbieżość szeregów: 9

10 (a) = si (c) = cos (b) ( ) 2 = si (d) ( ) = cos Zadaie 62. Niech a > 0. Poaż, że ze zbieżości szeregu = 2 a 4 wyia zbieżość = 2 a. (Wsazówa: rozbij zbiór idesów a te, dla tórych a > 0/3, i pozostałe, i szacuj obie sumy oddzielie) Zadaie 63. Udowodij dla dowolego ciągu liczb zespoloych z C taiego, że z 0: e z = z Zadaie 64. Rozstrzygij zbieżość i zbieżość bezwzględą poiższych szeregów: (a) ( ) a = + dla a R (b) = ( ) si a dla a R (c) = ( ) α dla α R (d) = ( ) ( ) Zadaie 65. Czy ze zbieżości szeregu = a wyia zbieżość = a 2 lub a odwrót? Zadaie 66. (Uogólieie ryterium d Alemberta) Niech a, b > 0. Przypuśćmy, że zachodzi a + a b + b. Wyaż, że jeśli szereg = b jest zbieży, to rówież szereg = a jest zbieży. Wyorzystaj to ryterium do podputów e) i f) zadaia 55. (wsazówa: poaż, że ciąg c = a b jest malejący, a więc ograiczoy) 6 Graice i ciągłość Zadaie 67. Oblicz graice fucji lub wyaż, że graica ie istieje: (a) x 0 x cos x x (b) b x 0 a x, gdzie a, b > 0 ( ) x (c) x + x (d) x 0+ x si x log cos x (e) x 0 tg x 2 (wsazówa: oblicz 2 log cos x x 0 ) x 2 (f) x (e x ) x (g) x 0 (log x) x Zadaie 68. Niech f : ( a, a)\{0} R. (a) Czy warui x 0 f(x) = g i x 0 f(si x) = g są rówoważe? (b) Czy warui x 0 f(x) = g i x 0 f( x ) = g są rówoważe? Zadaie 69. Zajdź wszystie puty ciągłości fucji f oreśloej jao f(x) = 0 dla x / Q oraz f(x) = si x dla x Q. 0

11 Zadaie 70. Niech f : [0, ] R będzie fucją ciągłą. Udowodij, że fucja g : [0, ] R zadaa przez: g(x) = sup{f(t) t [0, x]} jest ciągła. Zadaie 7. Poaż, że fucja mootoicza ma co ajwyżej przeliczalie wiele putów ieciągłości. Zadaie 72. Niech f : [0, ] R. Czy z tego, że f spełia własość Darboux, wyia, że f jest ciągła? Zadaie 73. (a) Poaż, że fucja ciągła f : [0, ] [0, ] zawsze ma put stały, tj. tai x [0, ], że f(x) = x. (b) Niech f, g : [a, b] R będa ciągłe oraz f(a) < g(a), f(b) > g(b). Poaż, że istieje tai x (a, b), że f(x) = g(x). Zadaie 74. Udowodij, że dla dowolego iezerowego wielomiau rówaie P (x) = e x ma zawsze co ajmiej jedo rozwiązaie. Zadaie 75. Podaj przyład ciągłej fucji f : R R, tóra przyjmuje ażdą swoją wartość doładie trzy razy. Czy istieje taa fucja, tóra przyjmuje ażdą swoją wartość doładie dwa razy? Zadaie 76. Poaż, że jeśli fucja f : R R jest ciągła i oresowa (tj. istieje taie T, że dla ażdego x mamy f(x) = f(x + T )), to f osiąga swoje resy. Zadaie 77. Zajdź wszystie puty ciągłości fucji zadaej wzorem: f(x) = x 2x 2 3x + Zadaie 78. Niech f, g : R R będą ciągłe. Poaż, że fucja h(x) = mi{f(x), g(x)} rówież jest ciągła. Zadaie 79. Udowodij, że wszystie fucje ciągłe f : R R spełiające rówaie: są postaci f(x) = ax. f(x + y) = f(x) + f(y) Zadaie 80. Niech f : R R będzie fucją ciągłą. Rozstrzygij, tóre z poiższych zdań są prawdziwe: (a) Dla dowolego zbioru otwartego A R zbiór f(a) jest otwarty. (b) Dla dowolego zbioru domiętego A R zbiór f(a) jest domięty.

12 (c) Dla dowolego zbioru ograiczoego A R zbiór f(a) jest ograiczoy. (d) Dla dowolego zbioru zwartego A R zbiór f(a) jest zwarty. Zadaie 8. Niech P będzie wielomiaem stopia d. Zbadaj istieie graicy: P ( x ) x P (x) Co się staie, gdy zamiast wielomiau P będzie fucja wyładicza exp? Zadaie 82. Poaż, że dla dowolego domiętego zbioru A R istieje fucja ciągła f : R R taa, że A = {x f(x) = 0}. Zadaie 83. Czy iloczy dwóch fucji jedostajie ciągłych musi być jedostajie ciągły? 2