Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Transkrypt

1 Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych tego szeregu daym wzorem S = a i = a + a a i= Szereg taki ozaczamy a. Defiicja 2. Jeżeli ciąg S ) jest zbieży do graicy właściwej S R tz. lim S = S to jego graicę azywamy sumą szeregu a. Mówimy wtedy że szereg te jest zbieży i ma sumę S. a k = lim a k = S k= W przeciwym wypadku mówimy że szereg k= a jest rozbieży. Zadaie. Korzystając z defiicji zbadać czy astępujące szeregi są zbieże. Jeżeli tak wyzaczyć ich sumy. cosπ) = )2 ) 3 =2 2 2 j) 3 2)3 + ) c) = = k) ) ) l) =0 6! + 2)

2 m) ) =2 log + ) l ) o) p) l + ) e =0 q). Twierdzeie waruek koieczy zbieżości szeregu). Jeżeli szereg a jest zbieży to lim a = 0 i= Uwaga. Proszę pamiętać że ie jest to waruek dostateczy! Uwaga 2. Jeżeli a 0 to ciąg sum częściowych S ) jest rosący. Szereg a jest więc zbieży gdy ciąg S ) jest ograiczoy. i= Zadaie 2. Wykazać że podae szeregi są rozbieże: ) =2 arctg c) cos ) si tg ) ) cos si ) 2 ) ) l + ). Defiicja 3. Szereg postaci gdzie p R p azywamy szeregiem Dirichleta albo szeregiem harmoiczym rzędu p. Jest o uogólieiem szeregu harmoiczego gdy p = ). Twierdzeie 2. Szereg Dirichleta zbieży gdy p > rozbieży gdy p. gdzie p R jest: p Twierdzeie 3 kryterium porówawcz. Jeżeli wyrazy szeregów a b spełiają ierówości 0 a b dla każdego N wtedy. gdy b jest zbieży to a jest zbieży 2

3 2. gdy a jest rozbieży to b jest rozbieży. Fakt. Kilka przydatych oszacowań: x>0 six) < x x 0 π 2 ) six) > 2 π x x 0 π 2 ) tgx) > x x 0) 0 ) l + x) < x x R e x x + Twierdzeie 4 kryterium Cauchy ego). Załóżmy że a 0 oraz lim a = g. Wtedy a jest. zbieży gdy g < 2. rozbieży gdy g >. Twierdzeie 5 krtyterium d Alembert. Załóżmy że a > 0 oraz lim Wtedy a jest. zbieży gdy g < 2. rozbieży gdy g >. a + a = g. Uwaga 3. Jeżeli w kryterium Cauchy ego lub d Alemberta g = to kryterium to ie rozstrzyga o zbieżości tego szeregu. Uwaga 4. W przypadku szeregów o wyrazach ieujemych stosujemy główie: twierdzeie : waruek koieczy zbieżości szeregu twierdzeie 2: twierdzeie o zbieżości szeregu Dirichleta twierdzeie 3: kryterium porówawcze twierdzeie 4: kryterium Cauchy ego twierdzeie 5: kryterium d Alemberta. Są też ie rzadziej stosowae kryteria dla takich szeregów p. Raabego Kummera. 3

4 Zadaie 3. Zbadać zbieżość szeregów: = m) =2 l) l) y) 2 + ) ) 5 c) cos )) ) o) z) z) l 2 + ) cos )) p) ) z2) arct) 2π) arctg 2 q) + ) + z3) ) j) k) l) ) =2 si ) ) cos ) si 3 3 tg 8log 4 2 l 2 ) r) s) t) u) v) w) x) 3)!5 4!) 3 2)! 2!)3!) 5)!! ! !) 2 2 ) z4) z5) z6) z7) z8) z9) z0) ) ) ) 2 2)!! ) ) si. ) Defiicja 4. Szereg a o wyrazach dowolych azywamy bezwzględie zbieżym gdy a jest zbieży. Twierdzeie 6. Każdy szereg bezwzględie zbieży jest zbieży. 4

5 Defiicja 5. Szereg zbieży który ie jest zbieży bezwzględie azywamy warukowo zbieżym. Twierdzeie 7 kryterium Leibiz. Day jest szereg aprzemiey postaci a = ) b. Jeżeli. b + < b dla N 2. lim b = 0 to szereg aprzemiey a jest zbieży. Uwaga 5. W przypadku szeregów o wyrazach dowolych moża zastosować astępujący schemat:. badamy szereg a przy pomocy metod z uwagi 4 i korzystamy z twierdzeia 6: o szeregach zbieżych bezwzględie. Jeśli szereg a ie jest zbieży bezwzględie przechodzimy dalej 2. używamy twierdzeia 7: kryterium Leibiza dla szeregów aprzemieych. Jeśli szereg a ie jest zbieży warukowo przechodzimy dalej 3. używamy twierdzeia : waruku koieczego zbieżości szeregu. Może okazać się że szereg jest rozbieży. Jeżeli od razu widzimy że szereg ie spełia waruku koieczego ależy przejść do puktu 3. Moża też stosować ie kryteria p. Abela Dirichleta. Zadaie 4. Zbadać i określić rodzaj zbieżości szeregów o wyrazach dowolych: ) + + ) ) + =2 k) )) ) + arcsi ) + ) 2 l) ) c) ) + ) si5) 2 m) ) + ) l =0 cosπ) ) ) l ) =2 =2 )! 2)! j) 6)! o) ) 3 + ) 4 + =2 5

6 p) ) + 2 = s) x! x R v) ) ) ) + 0 q) ) 3 + ) 2 + =2 t) si! r) cosπ + 7 u) si3 ) 3 w) ) + arcsi l 2 + 3) 2l))). Defiicja 6. Dae iech będą szeregi a b. =0 =0 Wtedy szereg c gdzie c = a k b k azywamy ich iloczyem. =0 k=0 Twierdzeie 8. Jeżeli szeregi a b są zbieże bezwzględie to ich iloczy także =0 =0 jest zbieży bezwzględie oraz zachodzi rówość ) ) c = a b. =0 =0 =0 Zadaie 5. Obliczyć c jeżeli =0 =0 2! a! i i =0 =0 2! b! c jest iloczyem Cauchy ego szeregów: i=0 c) x i x x < =0 =0 x =0 i x) x <. =0 Bibliografia:. J. Baaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z aalizy matematyczej WNT Warszawa M. Gewert Z. Skoczylas Aaliza matematycza. Defiicje twierdzeia wzory GiS Wrocław M. Gewert Z. Skoczylas Aaliza matematycza. Przykłady i zadaia GiS Wrocław K. Jakowska T. Jakowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk W. Krysicki L. Włodarski Aaliza matematycza w zadaiach część PWN Warszawa W. Kryszewski Wykład aalizy matematyczej cz. - Fukcje jedej zmieej UMK Toruń F. Leja Rachuek różiczkowy i całkowy ze wstępem do rówań różiczkowych PWN Warszawa