Analiza Matematyczna I.1

Transkrypt

1 Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj te sam zak a k > jest potrzebe? Rozw zae. Podamy dowód dukcyjy. Dla = erówo± ma posta +a +a jest oczywsta. Przypu± my zatem,»e teza jest prawdzwa dla pewego N =. Korzystaj c z tego zaªo»ea, udowodmy dla N = +. Mamy + a... + a + a + + a a + a + = + a a + + a a a + + a a + a +. W powy»szym rachuku perwsza erówo± wyka z zaªo»ea dukcyjego z faktu,»e +a + 0, a druga z faktu,»e lczby a dla =,..., + maj te sam zak. Przypadek = pokazuje,»e lczby a, a musz me te sam zak. Zaªo»ee a >, =,..., jest rówe» potrzebe. Wystarczy rozwa»y lczby a =... = a = 3 3 eparzyste. Uwaga. W erówo±c mamy rówo± tylko dla k =. Je»el a 0, to zaªo»ee rówo±c w kroku dukcyjym wymusza a + = 0 dla. Zadae. Nerówo± Beroullego Udowodj,»e dla x > k Z prawdzwa jest erówo± + x k + kx. Udowodj rówe»,»e dla < x < N prawdzwe jest oszacowae + x x. 3

2 Rozw zae. Dla k = 0 teza jest oczywsta. Dla k > 0 erówo± wyka z erówo±c, wystarczy przyj a =... = a = x. Udowodmy dla k =, gdze > 0. Je±l x 0, to + x 0 x. Rozwa»my zatem przypadek, gdy x > 0. Wówczas erówo± jest rówowa»a erówo±c 3. Udowodmy erówo± + x x dukcyje dla 0. Dla = 0 teza jest oczywsta. Zakªadaj c 3 dla pewego 0 mamy + x + = + x + x x x x + x = + x + x + x. Uwaga. Aalza dowodu pokazuje,»e rówo± w jest jedye dla k = 0, lub x = 0. Uwaga. Dla > 0 erówo± mo»a udowod korzystaj c z erówo- ±c m dzy ±red arytmetycz geometrycz patrz Zadae 4. Mo»emy zakªada,»e + x > 0. Nech a = + x, a =... = a =. Wówczas mamy + x + + x... = + x. Zadae 3. Nerówo± Schwarza Udowodj,»e dla dowolych lczb rzeczywstych a,..., a, b,..., b prawdzwa jest erówo± a k b k a k b k. 4 Rozw zae. Sposób I. Idukcja. Dla = mamy rówo±. Korzystaj c z zaªo»ea dukcjego dla pewego > 0 mamy + a k b k = a k b k + a+ b + a k b k + a +b + b k + a kb + + b ka + + a +b + = a k + + a k b k.

3 Skorzystal±my rówe» z erówo±c a + b + a k b k a k b + + b k a +, k =,...,, która jest rówowa»a a + b k b + a k 0. Sposób II. Mo»emy zakªada,»e a k > 0. Rozwa»my fukcj ft = a k t + b k = At + Bt + C, gdze A = a k, B = Oczyw±ce ft 0. Zauwa»my,»e Mamy a k b k, C = ft = A t + B B 4AC. A 4A f B = B 4AC A 4A 0. Mamy A > 0, zatem B 4AC 0, co jest rówowa»e 4. Zadae 4. Nerówo± m dzy ±redm Nech a, a,..., a b d dodatm lczbam rzeczywstym. Udowodj erówo± b k a a a a a... a a a Rozw zae. Perwsza erówo± wyka z 4. Wystarczy przyj c b =... = b = /. Trzeca erówo± jest rówowa»a drugej poprzez zama a a /a dla =,...,. Pozostaje zatem udowod erówo± a a a... a. 5 Sposób I. Nech λ > 0. Zauwa»my,»e 5 dla a,..., a dla λa,..., λa s rówowa»e. Przyjmuj c λ = a / mo»emy bez straty ogólo±c zakªada,»e a =. Iym sªowy, je±l udowodmy b b 3

4 dla lczb b,..., b speªaj cych b =, to bor c b = a / j= a j / otrzymamy a a a j /, czyl 5. Pozostaje zatem udowod Lemat. Je±l a,..., a > 0 a... a =, to a a. Dowód. Idukcja. Dla = erówo± jest oczywsta. Przypu± my,»e potramy udowod tez dla, gdze. Je±l a =... = a, to a = dla =,..., e ma czego dowodz. Nech zatem m = m,..., a, M = max,..., a przypu± my,»e m < M. wówczas m < < M Zmeaj c umeracj lczb a,..., a mo»emy zakªada,»e m = a M = a. Rozwa»my lczby a, a,..., a, a a. Stosuj c zaªo»ee dukcyje mamy a a = a a + a a + a + a a a + a + a a a = m M. Sposób II. Udowodmy ajperw 5 dla = m, m 0. Dla m = 0 teza jest oczywsta. Przypu±my,»e potramy pokaza erówo± dla pewego m rozwa»my lczby a,..., a m, a m +,..., a m+. Wówczas a a m+ m+ = j= a a m + a a m m + m m+ m a... a m + m a m +... a m+ m a... a m m a m +... a m+ = m+ a... a m+, gdze skorzystal±my z erówo±c a + b ab, a, b 0, rówowa»ej a b 0. We¹my teraz dowole > 0. Wówczas steje m 0 take,»e < m. Nech A = a a /. Rozwa»my ast puj ce m lczb gdze A wyst puje m razy. otrzymujemy a, a,..., a, A, A,..., A, Stosuj c erówo± 5 dla tych lczb, A = a a + m A m a m... a A m, 4

5 co jest rówowa»e A a... a. Sposób III. Je±l a =... = a, bo ±reda arytmetycza tych lczb jest rówa ±redej geometryczej. Rozwa»my zatem przypadek, w którym e wszystke lczby s rówe. Nech A = a a /. Wówczas stej, j take,»e a < A < a j. Wprowad¹my pomoccze ozaczee a = = b, a j = c. Nech 0 ε c b. Rozwa»my lczby b ε = b+ε c ε = c ε. Je±l zamemy lczby b, c a b ε, c ε, to suma tych dwóch lczb s e zme, a zatem rówe» ±reda arytmetycza wszystkch lczb pozostae rówa A. Natomast loczy tych dwóch lczb, a zatem rówe» loczy wszystkch lczb wzro±e. Faktycze, erówo± bc b + εc ε jest rówowa»a erówo±c 0 ε c b. We¹my teraz ε = A b. Rówczas 0 ε, bo A b ε c b, bo A c. Je±l w sytuacj pocz tkowej byªo 0 l < lczb rówych A, to po opsaej zamae jest tych lczb co ajmej l + takch lczb mo»e s zdarzy,»e b ε = c ε = A wtedy s ju» l + lczby rówe A. Wystarczy zatem powtórzy to rozumowae ajwy»ej razy, aby wszystke lczby staªy s rówe A. Wówczas A jest te» rówe ±redej geometryczej lczb. W ka»dym kroku ±reda arytmetyca jest ustaloa, a ±reda geometrycza ro±e. Zatem a pocz tku musaªo by A a... a. Zadae 5. Nerówo± Czebyszewa Udowodj,»e je±l c g a, a,... a b, b,..., b s emalej ce lub eros ce, to b k a k b k. a k Co mo»a powedze, je±l jede z tych c gów jest eros cy, a drug emalej cy? Rozw zae. Zauwa»my,»e dla, j mamy a a j b b j 0, zatem a a j b b j 0, czyl,j a b,j a b j = a k b k Je±l jede z c gów jest ros cy, a drug malej cy, to oczyw±ce prawdzwa. 5

6 jest erówo± a k b k a k b k. Zadae 6. Ustalmy lczby dodate x, x,..., x k. Nech a = x + x x k. a Udowodj,»e c g a 0 jest log-wypukªy, tz. a a a +. b Udowodj,»e je±l c g c 0 jest log-wypukªy c 0 =, to c g c 0 jest ros cy. c Udowodj,»e c g a k 0 jest ros cy, czyl p x p + x p x p k k dla 0 p q, p, q N. q x q + x q x q k k d Udowodj,»e dla 0 < α β prawdzwa jest erówo± β x β + x β x β k α x α + x α x α k. Rozw zae. a Wystarczy skorzysta z erówo±c Schwarza dla a = x / b = x +/, =,...,. b Mo» c erówo±c c c c + dla =,..., stroam otrzymujemy c c c + = =0 + c + = c = c 0 c c c + = c = c c + c, czyl c c c +. St d c + c +. Zatem c g c 0 jest emalej cy. c Wyka to faktu,»e c g c = a /k jest log-wypukªy c 0 =. d Nech t = β/α ech y = x α dla =,...,. Przy tych ozaczeach asza erówo± jest rówowa»a erówo±c y t y t y y t. 6

7 Nech p = y /y y dla =,...,. Wówczas 0 < p musmy udowod,»e pt. Wystarczy teraz zauwa»y,»e p t p =. Zadae 7. Udowodj,»e dla dowolych lczb zespoloych z,..., z prawdzwa jest erówo± z z z z. Rozw zae. Nerówo± wystarczy udowod dla = pó¹ej dukcja. Mo»emy zakªada,»e z + z > 0. Dla dowolej lczby zespoloej z prawdzwa jest erówo± Re z z. St d z z + z + z z + z Re z z + Re z + z z + z z = Re + z =. z + z z + z 7