Elementy arytmetyki komputerowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy arytmetyki komputerowej"

Transkrypt

1 Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych Przegląd wybraych systemów lczbowych Systemy bary aturaly, oktaly heksadecymaly Kowersje mędzysystemowe System bary system dzesęty System oktaly system dzesęty System heksadecymaly system dzesęty System bary oktaly System bary heksadecymaly Przesuęca lczby barej Dzałaa arytmetycze w systeme barym aturalym Dodawae Odejmowae Możee Dzelee Wybrae reprezetacje lczb ze zakem Reprezetacja zak-moduł Reprezetacja z uzupełeem do ( kod U) Reprezetacja z uzupełeem do ( kod U) Uwag o systemach uzupełeowych Wybrae dzałaa arytmetycze w systemach uzupełeowych Dodawae w kodze U Odejmowae w kodze U...33

2 . Wprowadzee Arytmetyka komputerowa (ag. computer arthmetc) zajmuje sę problemam realzacj oblczeń w urządzeach cyfrowych. Obejmuje oa zagadea teoretycze take jak systemy lczbowe przydate w projektowau urządzeń lczących lub w programowej realzacj oblczeń. Zagadea zwązae z systemam lczbowym obejmują kostrukcję owych systemów lczbowych badae własośc systemów. Przedmotem arytmetyk komputerowej jest poadto realzacja podstawowych operacj arytmetyczych takch jak dodawae odejmowae lczb bez zaku ze zakem, możee dzelee jak oblczae stadardowych fukcj arytmetyczych (sus, cosus, logarytm aturaly, arcus sus, arcus tages, perwastek kwadratowy fukcja ). Arytmetyka komputerowa zajmuje sę także sytezą szybkch efektywych układów do realzacj wyżej wymeoych operacj. Te dzał arytmetyk komputerowej wąże sę ścsle z techologą welkej skal tegracj VLSI (Very Large Scale of Itegrato). Aktuale zagadea arytmetyk cyfrowej to m.. bardzo szybka realzacja oblczeń z wykorzystaem potokowaa (ag. ppelg) wykoywae operacj arytmetyczych z małym poborem mocy (ag. low-power arthmetc). Zagadee to ma szczególe zaczee w zwązku z rozwojem urządzeń przeośych, jak róweż ze wzrostem stosowaych częstotlwośc zegarowych, zważywszy a fakt ż pobór mocy w urządzeach VLSI jest lowo proporcjoaly do częstotlwośc zegara. Do aktualych zagadeń ależy róweż arytmetyka odpora a błędy (ag. fault-tolerat arthmetc). x e W poższym opracowau zestawoo eco rozszerzoą treść czterech wykładów w ramach częśc I wykładu Iformatyka obejmującego podstawy formatyk.. Uwag wstępe o systemach lczbowych Systemy reprezetacj lczb rozwjały sę wraz z rozwojem języka. Najstarsze metody reprezetacj lczb to reprezetowae przy użycu różych przedmotów p. kame lub patyczków (łac. calculus ozacza kamyczek). Jedak gdy powstała koeczość stosowaa wększych lczb, ch reprezetowae z użycem pojedyczych przedmotów jak też porówywae takch lczb stawało sę coraz trudejsze. Perwszym udoskoaleem było grupowae przedmotów reprezetujących jedostk (p. lczbę 3 reprezetowao jako 4 grupy po 5 kamyczków oraz 3 osobe). Główy przełom staowło jedak wprowadzee wększych przedmotów reprezetujących grupę 5 lub jedostek. Metoda ta rozwęła sę do formy symbolczej, gdy zaczęto stosować specjale symbole do ozaczea wększych jedostek. Zaym przykładem jest zaps rzymsk. Jedostkam w

3 3 tym systeme są, 5,, 5,, 5,,, które są ozaczae odpowedo symbolam I, V,, L, C, D, M, ((I)) (((I))). Lczbę w tym systeme reprezetuje sę w postac łańcucha symbol o wartośc malejącej od lewej stroy. Aby skrócć zaps przyjęto, że symbol zajdujący sę po lewej stroe wększego symbolu reprezetuje wartość ujemą. Np. lczbę 9 bezpośredo moża by zapsać jako VIIII, jedak wygodejszy jest zaps I. Podobe lczbę 45 moża by zapsać jako CCCCL, jedak zaps LD jest bardzej dogody. System rzymsk e jest odpowed do reprezetowaa dużych lczb jak róweż trudo jest wykoywać operacje arytmetycze z jego użycem. Istotą owacją było wprowadzee przez Chńczyków systemu pozycyjego(wagowego), w którym wartość reprezetowaa przez symbol e zależy tylko od ego samego, ale także od jego położea względem ych symbol. Przykładowo, w lczbe 444 każda z cyfr "4", reprezetuje ą wartość. Skraja od lewej reprezetuje 4, środkowa 4, a skraja z prawej 4. System lczbowy, S moża określć jako zbór S={,, F}, () gdze - zbór wartośc abstrakcyjych lczb, - zbór reprezetacj lczb, F:. Ogóle reprezetację lczby moża zapsać astępująco ( x, x,..., x ), () gdze x, =,,,...,- są cyfram reprezetacj. Dla popularych systemów pozycyjych e stosuje sę zwykle przy zapse awasów a przecków. 3. Przegląd wybraych systemów lczbowych W systeme wagowym lczba jest przedstawaa w sposób astępujący: = m = d w, (3) gdze w { W}, a d { D}, zbór W zway jest zborem wag, a zbór D zborem cyfr. Jeżel wszystke wag są potęgam pewej stałej r, w = r, to tak system wagowy azywamy systemem z stałą podstawą ( ag. fxed-radx umber system). Lczbę w takm systeme moża zapsać jako 3

4 4 = = m d r. (4) Zbór dozwoloych cyfr jest tak sam a każdej pozycj. Isteją też, będące w powszechym użycu, systemy wagowe e będące systemam o stałej podstawe, p. system zlczaa czasu. Nech T ozacza czas w cągu doby wyrażoy w sekudach dla pewej lczby godz, mut sekud. T możemy zapsać jako T = E + E 6 + E 6 6, (5) gdze poszczególe cyfry mogą przyjmować wartośc z astępujących zakresów E < 6, E < 6, E < 4. Bezwzględą dokładość reprezetacj lczby w systeme wagowym wyzacza waga ajmej zaczącej pozycj czyl m r. W systeme ze stałą podstawą reprezetacja zera ukala, gdyż e steje lczba róża od {,,...,}, której wartoścą byłoby zero. W systeme takm lczby ajmejsza, N ajwększa, P reprezetowale a pozycjach, mają postać oraz N = (,,,...,), (6) P = ( r, r, r,..., r ). (7) Sposób reprezetacj lczb wpływa e tylko a łatwość odczytywaa lczb, a także a złożoość algorytmów arytmetyczych stosowaych przy realzacj operacj a lczbach. Systemy pozycyje zawdzęczają swą popularość, przyajmej częścowo, dostępośc prostych wygodych algorytmów do realzacj dzałań a lczbach reprezetowaych w tych systemach. Isteją jedak systemy epozycyje, take jak resztowy system lczbowy, które mają przewagę ad systemam pozycyjym przy realzacj ektórych dzałań arytmetyczych w pewych dzedzach zastosowań. W systemach cyfrowych lczby są kodowae przy użycu cyfr barych zwaych btam. Stosowae systemu barego wyka z powodów techologczych, gdyż w fzyczych urządzeach łatwej jest reprezetować dwa stay, którym przypsuje sę cyfry bare. Operadam algorytmów arytmetyk komputerowej są węc kody reprezetujące lczby. Zbór 4

5 5 kodów takch jest jedak zborem dyskretym skończoym, stąd e wszystke reguły arytmetyk kowecjoalej, stosują sę do algorytmów arytmetyk komputerowej. Stosuje sę zasadczo dwa rodzaje reprezetacj lczb w komputerach : -reprezetację stałoprzeckową (ag. fxed-pot represetato), gdze lczba pozycj przezaczoych do zakodowaa częśc całkowtej lczby częśc ułamkowej lczby jest stała, -reprezetację zmeoprzeckową ( ag. floatg-pot represetato), w której osobo jest kodowaa jest matysa wraz ze zakem oraz osobo cecha określająca relację mędzy lczbą a matysą. Przykład 3.. Reprezetacja stałoprzeckowa o 8 pozycjach może być zapsaa astępująco xxxx.xxxx, (8) kropka (przecek) oddzela cześć całkowtą od częśc ułamkowej. W systeme dzesętym moża przy użycu takej reprezetacj przedstawać lczby z zakresu [., ], a w systeme barym [.,.]. Reprezetacja zmeoprzeckowa w systeme dzesętym ma postać c m, (9) gdze m jest matysą a c cechą. Matysa cecha są lczbam stałoprzeckowym. Reprezetacja taka e jest jedozacza, p. lczba.35 może być reprezetowaa jako.35, czy też.35, zwykle przyjmuje sę, że m <. Reprezetacja zmeoprzeckowa w systeme barym w ajprostszym przypadku może meć astępującą postać c m, () w której m c są lczbam barym stałoprzeckowym oraz.5 m <. Zakres te wyka stąd, że jeżel chcemy aby ułamek bary mał cyfrę po kropce oddzelającej część ułamkową od częśc całkowtej, to jego mmalą wartoścą będze. W praktyce stosuje sę jedak z różych względów reprezetacje o bardzej złożoej forme ż (). Zwykle stosuje sę stadardowe reprezetacje zmeoprzeckowe okresloe stadardam IEEE 754 IEEE 854. =.5 Jak zazaczoo powyżej, lczby w systemach cyfrowych są kodowae przy użycu btów. Kodowae ozacza, że każdej lczbe, która ma być reprezetowaa w daym systeme cyfrowym, przypsuje sę pewe kod-cąg btów reprezetujący tę lczbę. Przypsae to powo być logcze systematycze, tak aby umożlwało prostą realzację operacj arytmetyczych, jak róweż proste sprawdzae osoblwośc lub specjalych przypadków. 5

6 6 Może to być p. sprawdzae, czy kod otrzymay w wyku jakejś operacj reprezetuje lczbę, czy wyk jest rówy zeru, czy też astąpło przekroczee zakresu lczbowego(p. powstał admar -ag. overflow). Stąd przykładowo, jeżel przypszemy pewe kody do lczb 4, a e przypszemy kodu dla lczby 6, to w wyku operacj dodawaa powstae wartość ereprezetowala w daym systeme. Pożej pokażemy róże sposoby przypsaa 4-btowych kodów do lczb. Przy ajprostszym podejścu 4-btowe kody moża traktować jako 4-btowe lczby aturale z zakresu [,5]. Jeśl bt o ajwyższej wadze potraktujemy jako bt zaku (przypsując p., jeśl lczba jest dodata jeśl lczba jest ujema), otrzymujemy lczby z zakresu [-7,7], lczba będze mała dwe reprezetacje (+ -). Jeżel przyjmemy 3 bty dla częśc całkowtej bt dla częśc ułamkowej, otrzymamy lczby z zakresu [,7.5] co.5. Jeśl założymy, że perwszy bt jest btem zaku, a pozostałe reprezetują ułamek bary, to uzyskamy lczby z zakresu [-.875,.875]. Dla reprezetacj zmeoprzeckowej, jeżel przezaczymy dwa bty do kodowaa cechy dwa bty do kodowaa matysy przyjmemy, że -btowa matysa c ależy do przedzału [,3], a -btowa cecha c do [-,], to przy zastosowau reprezetacj m, możemy kodować lczby z zakresu [,6]. W tym systeme zero ma cztery reprezetacje (matysa rówa zeru dla każdej wartośc cechy),.5,.,. mają dwe reprezetacje, lczby.5,.75,.5, 3., są reprezetowae jedozacze.. System zrówoważoy trójkowy : r=3, {, } d.. System z ujemą podstawą : podstawa -r, {,,..., r } systeme moża wyrazć astępująco: parzyste d eparzyste, wartość lczby w tym = d ( r) = d r d r. () Dla specjalego przypadku r=- dla zboru cyfr d {,}, system te jest azyway egabarym(mus dwójkowym). 3. Systemy eredudacyje ze cyfram ze zakem: podstawa r zbór cyfr d { α, r α}. Przykładowo ech r=, α = 5 d { 5, 4, 3,,,,,,3,4 }. Cyfry ujeme ozaczamy stosując zak mus, wtedy (4-3 ) reprezetuje lczbę 37 = 4 3 +, (-4 3 ) reprezetuje lczbę 369 = , c 6

7 7 4. Systemy redudacyje admarowe ze zakem. W systemach tych α,..., β oraz α + β r. W systemach takch pewe wartośc mają węcej ż jedą reprezetację, p.dla d { 7,..,,.., 7} r= lczba dzesęta 95 ma astępujące reprezetacje: d { } (3-5) = (3-5)=( -7-5). 5. Systemy z ułamkową podstawą: r=. d {,...,9} moża wyrazć jako. Wartość lczby w takm systeme = d () 6. Systemy lczbowe z podstawą ewymerą, w których p. r =,, wartość lczby przedstawa zależość d { } = d ( ). (3) 7. Systemy z podstawą zespoloą:, przykładowo r=j, gdze j =,,,,3. Wartość lczby wyraża sę tutaj zależoścą d { } = d ( j) (4) Zam przejdzemy do systemów lczbowych mających specjale zaczee w formatyce, rozważymy jeszcze kwestę długośc reprezetacj dla systemów o podstawe r stadardowym zborze cyfr [,r-]. Lczbę cyfr koeczą do reprezetacj lczb aturalych z przedzału [,max] moża wyrazć jako log r max + = log (max+ ) k. (5) = r Należy zauważyć, że lczba różych wartośc w przedzale [,max] jest rówa max+. Stosując reprezetację stałoprzeckową z k cyfram dla częśc całkowtej l cyfram dla częśc ułamkowej, wartość max moża wyrazć w sposób astępujący k l k max = r r = r ulp, (6) gdze ulp(ag. ut least(sgfcat) posto), ozacza cyfrę a ajmej zaczącej pozycj. 7

8 8 4. Systemy bary aturaly, oktaly heksadecymaly Rozważymy teraz blżej systemy bary, oktaly heksadecymaly mające zasadcze zaczee w formatyce. a) system bary(dwójkowy) aturaly W systeme barym r= oraz d {, } d = =. (7) Przykład 4.. Zaleźć wartośc dzesęte lczb barych. a) =(), lczba ta ma wartość 3 w systeme dzesętym, b) =(), jest rówa 4 w systeme dzesętym, c) 3 =(), odpowada 7 w systeme dzesętym. Maksymala wartość lczby barej reprezetowaej a pozycjach o wagach od do jest rówa Warto zauważyć, że lczba =. (8) wymaga reprezetacj a + pozycjach. Stosując system bary często używa sę określeń bajt, lczba dwu-, czterobajtowa, a także -bajtowa. Bajt ozacza lczbę złożoą z 8 cyfr barych o wagach od do maksymalej wartośc rówej 55. Podobe lczba dwubajtowa ozacza lczbę złożoą z 6 cyfr barych o 7 wagach od do 5 maksymalej wartośc rówej Dla lczby czterobajtowej składającej sę z 3 btów maksymala wartość wyos 3 czyl b) system oktaly(ósemkowy) W systeme oktalym r=8 oraz d {,,,3,4,5,6,7 } = d. (9) = 8 Przykład 4.. Zaleźć wartośc dzesęte lczb oktalych a) lczba oktala =(3) 8 lczba ta ma wartość 5 w systeme dzesętym, b) lczba oktala =(77) 8, ma wartość 63 w systeme dzesętym, c) lczba oktala 3 =(775) 8, ma wartość 59 w systeme dzesętym, c) system heksadecymaly 8

9 9 W systeme heksadecymalym r=6 oraz d {,,,3,4,5,6,7, A, B, C, D, E, F} d = = 6. () W systeme tym cyfry powyżej ozaczoo kolejym lteram alfabetu, tak A=, B=, C=, D=3, E=4 F=5. Przykład 4.3. Określć wartość dzesętą daych lczb heksadecymalych a) =(A) 6, lczba ta ma wartość 4 w systeme dzesętym, b) =(FF) 6, ma wartość 55 w systeme dzesętym, c) 3 =(ABC) 6, ma wartość 748 w systeme dzesętym. 5. Kowersje mędzysystemowe Kowersja mędzysystemowa to operacja zajdowaa reprezetacj lczby w pewym systeme lczbowym, gdy daa jest reprezetacja tej lczby w ym systeme lczbowym. Rozpatrzymy kolejo astępujące kowersje: - kowersję z systemu barego aturalego do systemu dzesętego z dzesętego do barego, -kowersję ułamków z systemu barego do systemu dzesętego z systemu dzesętego do systemu barego, -kowersję z systemu oktalego do systemu dzesętego z systemu dzesętego do systemu oktalego, -kowersję z systemu heksadecymalego do systemu dzesętego z systemu dzesętego do systemu heksadecymalego, -kowersję z systemu barego do systemu oktalego z systemu oktalego do systemu barego, -kowersję z systemu barego do systemu heksadecymalego z systemu heksadecymalego do systemu barego. Zasadczo kowersję mędzysystemową dla systemów ze stałą podstawą moża wykoać stosując procedurę kowersj przedstawoą pożej, jedakże dla ektórych kowersj mędzysystemowych steją prostsze metody. Rozpatrzymy ajperw ogólą procedurę kowersj. Ozaczmy przez r podstawę systemu ze stałą postawą, z którego dokoujemy kowersj, a przez R podstawę systemu, do którego ma astępować kowersja. Procedura kowersj polega a dzeleu lczby przedstawoej przy podstawe r przez lczbę R, 9

10 przedstawoą przy podstawe r. Koleje reszty z dzelea staową koleje cyfry reprezetacj przy podstawe R. Cyfra ajmłodsza (cyfra o ajmejszej wadze) jest otrzymywaa jako perwsza. 5. System bary system dzesęty a) kowersja z systemu barego aturalego do systemu dzesętego Stosuje sę tutaj zależość (7) d = =. Przykład 5. Zaleźć reprezetacje dzesęte lczb barych,. Lczbe barej = w systeme dzesętym odpowada lczba + = 3, = odpowada lczba 6, a lczba 4. 3 = b) kowersja z systemu dzesętego do systemu barego aturalego Stosujemy tutaj ogóly algorytm kowersj, o którym wspomao wyżej, dla r=, R=. Przykład 5.. Zaleźć reprezetacje bare lczb 3 3. R reszta R reszta 3 : 3 : 5 : : 7 : 5 : 3 : : : : Lczba dzesęta 3 ma postać barą, a lczbe 3 odpowada lczba bara. c) kowersja ułamków z systemu barego do systemu dzesętego, d = m =. () Należy zauważyć, że powyższym wzorze wag są ułamkowe wyoszą kolejo 3,,... Zależość () moża zapsać róweż w eco wygodejszej postac m d = =. () Tak węc p. ułamkow baremu. odpowada ułamek dzesęty.75, a ułamkow baremu. wartość.375.

11 d) kowersja ułamków z systemu dzesętego do systemu barego Algorytm kowersj tej przedstawmy a przykładze. Przykład 5.3. Day jest ułamek dzesęty ależy zaleźć jego reprezetację barą. Należy tutaj zauważyć, że ektóre ułamk dzesęte mają eskończoe rozwęca bare, stąd przy kowersj takch ułamków musmy ograczyć sę do pewej skończoej lczby cyfr barych. Zamemy tutaj ułamk.375, a postać barą x. 65 x. 446 x 75 x 5 x 89 x.. 5 x 5 x 784 x x 568 x 36 x 7 x 544 x 88 x 76 Otrzymujemy węc astępujące reprezetacje bare : dla.375., dla.65. dla Należy zauważyć, ż dla.446 wyzaczoo tylko perwszych 8 cyfr barych rozwęca. 5. System oktaly system dzesęty a) kowersja z systemu oktalego do systemu dzesętego Kowersję tę moża zrealzować stosując (9) Przykładowo dla lczby oktalej = ( 75) 8 3 d = = 8. otrzymujemy astępującą wartość dzesętą = = 7.

12 b) kowersja systemu dzesętego do systemu oktalego R=8. Kowersję tę moża wykoać stosując ogólą procedurę kowersj przez dzelee przez Przykład 5.4. Zrealzować kowersję lczby dzesętej =7 a postać oktalą. R reszta 7 : :8 7 :8 :8 75 Otrzymujemy węc lczbę oktalą ( ) System heksadecymaly system dzesęty a) kowersja z systemu heksadecymalego do systemu dzesętego Kowersję ta może być zrealzowaa przy zastosowau (), czyl d = = 6. Przykład Zrealzować kowersję lczby = ( BD) 6 a postać dzesętą. Stosując powyższą zależość otrzymujemy = 6 + B 6 + D 6 = = 7 b) kowersja z systemu dzesętego do systemu heksadecymalego Postać heksadecymalą lczby otrzymujemy realzując dzelee przez R=6. R reszta 7 :6 3=D 43 :6 =B :6

13 3 5.4 System bary system oktaly Kowersje te moża wykoać bez koeczośc wykoywaa dzelea, co jest ważym czykem staowącym o przydatośc systemu oktalego w praktyce formatyczej. System umożlwa 3-krote skrócee zapsu lczby barej, co ma stote zaczee dla zewętrzego reprezetowaa lczb barych. Możlwość takej kowersj wyka ze zwązku mędzy podstawam systemu oktalego systemu barego, gdyż. Umożlwa to podzał lczby barej a segmety 3-btowe traktowae każdego segmetu jako cyfry w systeme oktalym. 3 8 = a) kowersja z systemu barego do systemu oktalego Aby zrealzować tę kowersję zastosujemy metodę opsaą powyżej. Przykład 5.6.Daa jest -btowa lczba bara, po podzeleu jej a 3- btowe segmety przypsau każdemu segmetow odpowedej lczby oktalej otrzymamy oktalą reprezetację lczby czyl () = ( ) 8 ( ) ( ) b) kowersja z systemu oktalego do systemu barego Kowersja ta staow odwrócee poprzedej, czyl aby uzyskać reprezetację barą, każdej cyfrze oktalej ależy przypsać jej 3-btową reprezetację barą, Przykład 5.7. Daa jest 6-cyfrowa lczba oktala (735) 8, ależy wyzaczyć jej reprezetację barą System bary system heksadecymaly Kowersje te moża wykoać bez koeczośc wykoywaa dzelea podobe jak w przypadku systemu oktalego. System heksadecymaly umożlwa 4-krote skrócee zapsu lczby barej, co ma stote zaczee dla zewętrzego reprezetowaa lczb barych. Możlwość takej kowersj wyka ze zwązku mędzy podstawam systemu 3

14 4 heksadecymalego systemu barego, gdyż 4 8 =. Umożlwa to podzał lczby barej a segmety 4-btowe traktowae każdego segmetu jako cyfry w systeme heksadecymalym. a) kowersja z systemu barego do systemu heksadecymalego Przykład 5.8. Daa jest -btowa lczba bara, po podzeleu jej a 4- btowe segmety przypsau każdemu segmetow odpowedej lczby heksadecymalej otrzymamy heksadecymalą reprezetację lczby czyl () = ( F 4D) 6. ( ) 6 F 4 D b) kowersja z systemu heksadecymalego do systemu barego Kowersja ta staow odwrócee poprzedej, czyl aby uzyskać reprezetację barą, każdej cyfrze heksadecymalej ależy przypsać jej reprezetację barą. Przykład 5.9. Daa jest 6-cyfrowa lczba hekasdecymaka (FE3C) 6, ależy wyzaczyć jej reprezetację barą F E 3 C 6. Przesuęce lczby barej Zam przystąpmy do omawaa poszczególych dzałań wprowadzmy pojęce rejestru. Rejestr w techce cyfrowej to urządzee mogące przechowywać lczbę barą o określoej długośc p. 8, 6, 3 bty. Mówmy wtedy odpowedo o rejestrze 8-, 6-, 3- btowym, a ogóle -btowym. Przesuęce lczby barej w rejestrze ozacza, że poszczególe jej bty przechodzą (są przepsywae) do ych komórek rejestru lub wychodzą poza rejestr. Pożej podamy sześć rodzajów przesuęć: przesuęca logcze arytmetycze w lewo w prawo oraz przesuęca cyklcze w lewo w prawo. Poszczególe rodzaje przesuęć przedstawoo tak jak fukcjoują odpowede operatory w języku wyższego rzędu p. VHDL, a e rozkazy mkroprocesora, wtedy postać tych przesuęć jest eco a ze względu a udzał zaczka przeesea. a) przesuęce logcze w lewo(ag. shft-left logcal-sll) Przesuęce take polega a tym, że wszystke bty lczby są przesuwae w lewo, przy czym skrajy bt z lewej stroy ( bt o ajwyższej wadze) zka, a a mejsce btu skrajego z prawej stroy ( btu o ajższej wadze ) wchodz zero. 4

15 5 Wartość lczby Y, powstałej w wyku przesuęca lczby zapsaej w rejestrze - btowym po przesuęcu k pozycj w lewo, moża określć astępująco: k Y = ( 3) Przesuęce o jedą pozycję odpowada możeu lczby barej przez, o le bt o ajwyższej wadze jest rówy, jeśl zaś bt te rówy jest, operacja jest wykoywaa modulo, co określa sę czasam jako operację modulo długość rejestru. Przykład 6.. Przesuęce rejestru logcze o jedą pozycję w lewo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =5, Zawartość rejestru po przesuęcu o jedą pozycję w lewo, Y = =. b) przesuęce logcze w prawo( ag. shft-rght logcal-srl) Przesuęce take polega a tym, że wszystke bty lczby są przesuwae w prawo, przy czym skrajy bt z prawej stroy ( bt o ajższej wadze) zka, a a mejsce btu skrajego z lewej stroy ( btu o ajwyższej wadze ) wchodz zero. Wartość lczby Y, powstałej w wyku przesuęca lczby zapsaej w rejestrze - btowym, o k pozycj w prawo jest rówa Y = k, ( 4) ozacza część całkowtą argumetu. Operacja ta odpowada węc dzeleu całkowtemu. Przykład 6.. Przesuęce logcze rejestru o jedą pozycję w prawo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =5, Zawartość rejestru po przesuęcu o jedą pozycję w prawo, = / = 5 / = Y. 5

16 6 c) przesuęce arytmetycze w lewo(ag. shft-left arthmetc-sla) Przesuęce take polega a tym, że wszystke bty lczby są przesuwae w lewo, przy czym skrajy bt z lewej stroy ( bt o ajwyższej wadze) zka, a a mejsce btu skrajego z prawej stroy ( btu o ajższej wadze ) wchodz te sam bt. Przykład 6.3. Przesuęce rejestru arytmetycze o jedą pozycję w lewo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =5, Zawartość rejestru po przesuęcu arytmetyczym o jedą pozycję w lewo, Y = + = + =. d) przesuęce arytmetycze w prawo(ag. shft-rght arthmetc-sra) Przy realzacj takego przesuęca wszystke bty lczby są przesuwae w lewo, przy czym skrajy bt z lewej stroy ( bt o ajwyższej wadze) wchodz a tę samą pozycję, a btu skrajy z prawej stroy ( bt o ajższej wadze ) zka. Przykład 6.4. Przesuęce rejestru arytmetycze o jedą pozycję w prawo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =5, Zawartość rejestru po przesuęcu arytmetyczym o jedą pozycję w prawo, Y = 7. e) przesuęce cyklcze w lewo(ag. rotate-left logcal) 6

17 7 Przy realzacj takego przesuęca wszystke bty lczby są przesuwae w lewo, przy czym skrajy bt z lewej stroy ( bt o ajwyższej wadze) wchodz a pozycję btu skrajego z lewej stroy ( btu o ajższej wadze ). Przykład 6.5. Przesuęce rejestru cyklcze o jedą pozycję w lewo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =3, po przesuęcu Y=9. f) przesuęce cyklcze w prawo(ag. rotate-rght logcal) Przy realzacj takego przesuęca wszystke bty lczby są przesuwae w prawo, przy czym skrajy bt z prawej stroy ( bt o ajższej wadze) wchodz a pozycję btu skrajego z lewej stroy ( btu o ajwyższej wadze ). Przykład 6.6 Przesuęce rejestru arytmetycze o jedą pozycję w prawo. Zawartość rejestru przed przesuęcem, =5, po przesuęcu Y= Dzałaa arytmetycze w systeme barym aturalym Pożej przedstawoe zostaą dzałaa take jak dodawae, odejmowae, możee dzelee. 7. Dodawae Dodawae dwóch lczb -btowych A +B moża przedstawć astępująco: + s a b s a a 3...a b 3 s b s 3... b... s c (5) 7

18 8 Dodawae take odbywa sę poprzez dodawae kolejych cyfr obu lczb (btów) począwszy od ajmłodszej pary btów przy uwzględeu przy każdym dodawau przeesea z poprzedej pozycj. Zakłada sę zwykle, że przeesee do ajmłodszej pozycj = c. Pożej podamy w Tabel reguły dodawaa cyfr barych a jedej pozycj bez uwzględaa przeesea, a w Tabel z uwzględeem przeesea. Tabela. Reguły dodawaa barego a jedej pozycj bez uwzględaa przeesea Dodawae lczby Suma Przeesee Tabela. Reguły dodawaa barego a jedej pozycj z uwzględeem przeesea. a b c, s c out, c, - ozacza przeesee wchodzące do -tej pozycj, s -sumę, a - ozacza przeesee wychodzące z -tej pozycj. Przykład 7.. Dodawae dwóch lczb barych + + c out, Warto zauważyć, że przy sumowau dwóch lczb -btowych ch suma może wymagać + btów, a ogóle dla sumowaa m składków wymagaą długość rejestru moża określć w sposób astępujący s dla ch sumy log m( ) + =. (6) s 8

19 9 7. Odejmowae Odejmowae dwóch lczb -btowych A - B dla moża przedstawć astępująco: δ a δ a a 3...a b b 3 δ b δ 3... b... δ (7) Odejmowae take odbywa sę poprzez odejmowae kolejych cyfr obu lczb (btów) począwszy od ajmłodszej pary btów przy uwzględeu przy każdym odejmowau pożyczk (przeesea o wartośc ujemej) z poprzedej pozycj. Różca może być ujema, stąd pojawa sę problem dodatkowego btu reprezetującego zak. Zwykle przyjmuje sę, że zak mus jest reprezetoway przez lczbę, a zak plus przez. Wartość rezultatu odejmowaa wg (7) moża węc określć astępująco : = A B = δ + δ (8) Pożej podamy w Tabel 3 reguły odejmowaa cyfr barych. Tabela. 3 Reguły odejmowaa barego a jedej pozycj z uwzględeem przeesea. a b c, δ c out, Przykład 7.. Odejmowae dwóch lczb barych - - Warto zauważyć, ż przy odejmowau a daej pozycj, poza odejmowaam - - przy braku pożyczk z poprzedej pozycj, których rezultat jest oczywsty, występuje odejmowae, wtedy jeśl cyfra a daej pozycj jest rówa, to odejmujemy od, a jeżel cyfra jest rówa, to od ( podobe jak w systeme dzesętym odpowedo od 9 od ). 9

20 7.3. Możee Możee lczb barych A B moża zrealzować poprzez welokrote przesuęce możej warukowe sumowae przesuetej mozej w zależosc od wartosc odpowedego btu mozka. Pożej przedstawoo schematycze operację możea. ( 4 ) 3 (3) () x p () 3 () a 3aaa b b b. b p 3 () () p () p3 p p.p (3) (3) p3 p p.p ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) (3) () () p p p.p. p7 p6 p5.p4 p3 p p p Przykład 7.3. Oblczyć loczy lczb A= B= x Możee take moża opsać astępującą zależoścą P =,. p P + = P + b A, =,,,...,k, (9) Algorytm możea w oparcu o (9) przedstawoo pożej. Algorytm (możee lczb k-btowych metodą dodaj-przesuń, ag. shft-add) Krok. Ładuj możą A do rejestru możk B do rejestru Y Krok. Ładuj do rejestru I. Krok. Powtarzaj krok a b dla =,,,...,k-. Krok a. Jeżel Krok b. Krok 3. Stop. Y = wtedy I I + Przykład 7.4. Przedstawmy pożej stay rejestrów, Y I dla przykładowego możea lczb 3-btowych zrealzowaego w oparcu o Algorytm.W kroku a -ty bt możka Y jest

21 sprawdzay przy użycu przesuęca w prawo. Bt te jest zapsyway do -btowego- rejestru zaczka. Krok. x Y B A Krok. I I. Krok a. Zaczk Krok b. I I II. Krok a. Zaczk Krok b. I I +

22 III. Krok a. Zaczk Krok b. I I + Możee typu przesuń-dodaj jest procesem czasochłoym szczególe dla wększych lczb. Pożej pokażemy y przykładowy algorytm możea, który może prowadzć do zacze szybszej realzacj w układze cyfrowym. Będze to tzw. algorytm rosyjskch weśaków (ag. algorthm of Russa peasats, RP). Przykład 7.5. Zrealzować możee lczb =4 Y=5 stosując algorytm RP. Y W algorytme tym w perwszej kolume wypsujemy lorazy całkowte z kolejych dzeleń możka przez dwa, a w kolume drugej koleje loczyy możej, pomożoej przez. Iloczy uzyskujemy dodając te loczyy, przy których zajduje sę lczba eparzysta w perwszej kolume. Jak wdać, sumowae są te loczyy, dla których w reprezetacj barej odpowed bt możka jest rówy. Algorytm te może być zrealzoway w systeme barym w sposób rówoległy poprzez warukowe sumowae słów barych zawerających odpowedo przesuętą możą. 7.4 Dzelee Dzelee bare w forme psemej może być zrealzowae przy użycu algorytmu dzelea stosowaego dla ych podstaw systemu lczbowego( p. r= ).

23 3 Przykład 7.6. Zrealzować dzelee :, odpowada oo dzeleu 59:5 w systeme dzesętym. : Uzyskalśmy węc wyk dzelea całkowtego rówy oraz resztę. Dzelee bare realzowae maszyowo (układowo lub programowo) jest dzałaem zacze trudejszym ż możee bare. W przypadku możea barego operadów k-btowych, otrzymyway wyk jest w ogólym przypadku k-btowy. Natomast przy dzeleu barym długość lorazu w btach jest zacze trudejsza do przewdzea. Rozpatrzymy teraz blżej relacje mędzy długoścam barym dzelej, dzelka, reszty lorazu. Przykładowo, rozważmy dzelee całkowte lczby k-btowej przez k- btową. Aby dzelee take było wykoale, reprezetacja bara reszty otrzymywaej w trakce procesu dzelea e może przekraczać k btów, gdyż w przecwym przypadku e byłoby możlwe jej odjęce od dzelej reprezetowaej a k-btach. Jedak przy dzelku k-btowym loraz może być dłuższy ż k btów, a węc reszta mogłaby w ogólym przypadku przekraczać kbtów. Stąd dzelee przy takch długoścach rejestrów e jest bezpośredo wykoale. Przyjmując węc, że reszta ma być co ajwyżej k-btowa, przy k-btowym dzelku, loraz e może meć długośc wększej ż k-btów. Jeżel jedak okazuje sę, że loraz wymaga węcej ż k-btów, sytuacja taka traktowaa jest jako admar. Przyjmjmy astępujące ozaczea: z dzela z k z k... zz, d dzelk d k d k... dd, q loraz qk qk... qq, s reszta sk sk... ss, Podstawowe rówae dla dzelea ma postać 3

24 4 z = d q + s (3) Pokażemy teraz waruek, który mus być spełoy, aby e wystąpł admar podczas dzelea. Nadmar e wystąp, jeżel lczba reprezetowaa przez k perwszych btów dzelej( lcząc od btu o ajwyższej wadze) jest mejsza od dzelka. Waruek te moża to zapsać astępująco: z < d k. (3) Rezultatem dzelea po prawej stroe wzoru (3) jest lczba reprezetowaa przez ajstarsze k btów dzelej. Jeżel lczba ta jest mejsza od dzelka d, to jej loraz przez d będze rówy zeru czyl loraz będze co ajwyżej k btowy. Przykład 7.7. Zrealzować dzelee :, odpowada oo dzeleu 44:7 w systeme dzesętym. 6 : - - W tym przypadku spełoy jest waruek (3). Otrzymujemy loraz rówy 6 oraz resztę rówą 3. Dzelee bare lczb całkowtych, przedstawoe powyżej, może być zrealzowae przy zastosowau astępującego algorytmu s ( j) ( j ) = s q d k j k j, j=,,..,k, (3) przy () s = z. Cyfry dzelka są doberae w tak sposób, aby koleja reszta była eujema. Przykład 7.8. Stosując (3) dla k=3 () () s = s q d, () () s = s q d, (3) Przyjmując jak w przykładze powyżej, () s = s q d. s () = z = 45, d=7, otrzymujemy () s = 44 7 = 6, q, = 4

25 5 () s = 6 7 =, q, = (3) s = 7 =, q. Czyl loraz całkwty w forme barej ma postać () =6 8. Wybrae reprezetacje lczb ze zakem Jak pokazao powyżej w pkt.6.3 przy odejmowau pojawa sę problem reprezetowaa lczb ze zakem. Forma reprezetacj lczb ze zakem powa być taka aby w możlwe dużym stopu ułatwała układową realzację operacj arytmetyczych a takch lczbach. Trzy ajczęścej stosowae reprezetacje to: -reprezetacja zak-moduł (kod zak-moduł,ag. sg-magtude represetato), -reprezetacja z uzupełeem do ( kod U, reprezetacja ze zmejszoym uzupełeem do podstawy systemu lczbowego, ag. oe's complemet represetato), -reprezetacja z uzupełeem do ( kod U, reprezetacja z uzupełeem do podstawy systemu lczbowego, ag. oe's complemet represetato). Zam przejdzemy do omawaa poszczególych reprezetacj, omówmy ajperw ogólą postać reprezetacj stałoprzeckowej. Reprezetacja stałoprzeckowa lczb ze zakem ma postać ( x = x x... x ). (33) Zwykle x rezerwuje sę a zak lczby; zak lczby przyjmuje wartość cyfry x... x x dla x =, (34) r dla < reprezetują moduł lczby. Reprezetacja stałoprzeckowa może zawerać przecek (kropkę), aby oddzelć część całkowtą lczby od częśc ułamkowej. Przecek (kropka) może być umeszczoy mędzy dwoma dowolym cyfram reprezetacj. 8. Reprezetacja zak-moduł Lczby eujeme przy użycu reprezetacj tej są przedstawae astępująco: a lczby ujeme ), (35a) ( x... xx (( r ) x... xx r ), (35b) r 5

26 6 gdze x dla są cyfram daej lczby. Dla reprezetacj tej, lczby o tych samych wartoścach bezwzględych mają te same cyfry, począwszy od drugej. W systeme barym dla lczb eujemych reprezetacja ta ma postać a dla lczb ujemych ( x x, (36a)... x ) ( x x. (36b)... x ) Wartość lczby reprezetowaej przy użycu (36a) lub (36b) moża oblczyć jako = = = x x gdy x gdy x = = (37) Przykład 8. Wyzaczyć 8-btowe reprezetacje lczb 4-4 w kodze zak-moduł Reprezetacja z uzupełeem do (kod U) Lczby eujeme dla r= przy użycu reprezetacj tej są przedstawae tak samo jak w kodze zak-moduł: a lczby ujeme gdze x x... x ), (38a) ( x x... x ), (38b) ( x = x dla, x są cyfram lczby dodatej o tej samej wartośc bezwzględej co daa lczba ujema. Reprezetację -btową lczby ujemej w tym kodze otrzymuje sę węc przyjmując jako zak lczbę oraz dokoując egacj pozostałych cyfr (tj. zamaa zer a jedyk, a jedyek a zera) lczby dodatej o tej samej wartośc bezwzględej co daa lczba ujema, której reprezetacj poszukujemy. Postępowae take jest rówoważe odejmowau takej lczby od lczby ( złożoej z jedyek). Wartość lczby reprezetowaej przy użycu (38a) lub (38b) moża oblczyć jako 6

27 7 x gdy x = = = ( x ) gdy = x =. (39) Przykład 8. Wyzaczyć 8-btowe reprezetacje lczb 4-4 w kodze U. Reprezetacja lczby 4 jest taka sama jak w kodze zak-moduł, czyl +4, a reprezetację -4 otrzymujemy dokoując egacj poszczególych cyfr, Reprezetacja z uzupełeem do (kod U) Lczby eujeme dla r= przy użycu reprezetacj tej są przedstawae tak samo jak w kodze zak-moduł: a lczby ujeme gdze x = x dla. x... x ), (4a) ( x ~ (( x ~... ~ ~, (4b)... xx ) + ) = ( x x x ) Reprezetację lczby ujemej w tym kodze otrzymuje sę tworząc reprezetację w kodze U daej lczby ujemej dodając astępe. Postępowae take jest rówoważe odejmowau od lczby lczba ujema, której reprezetacj poszukujemy. ( złożoej z jedyek) lczby dodatej o tym samym module, co Wartość lczby reprezetowaej przy użycu (4a) lub (4b) moża oblczyć jako ~ x = = ( = gdy ~ x ~ x ) = gdy ~ x =. (4) Warto zauważyć, ż zamast stosować bezpośredo drugą z formuł w (4) moża jej użyć w postac ułatwającej oblczea czyl ( = wystarczy węc zaegować cyfry lczby astępe dodać. ~ x + ), (4) 7

28 8 Przykład 8.3 Wyzaczyć 8-btowe reprezetacje lczb 4-4 w kodze U. Reprezetacja lczby 4 jest taka sama jak w kodze zak-moduł, czyl +4, a reprezetację -4 otrzymujemy dokoując ajperw egacj poszczególych cyfr, oraz astępe do tej reprezetacj dodajemy czyl -4 w kodze U ma tutaj postać -4 ( -4 w kodze U) + -4 ( -4 w kodze U) 8.4 Podstawowe pojęca systemów uzupełeowych Pożej podamy podstawowe pojęca systemów uzupełeowych jak róweż wyjaśmy sposób realzacj odejmowaa w kodze U. Ozaczea: r R =, Q = r = ( r, r,..., r ) Def. (dopełee lczby) Dopełeem lczby azywamy lczbę Własośc dopełea: = Q.. + = Q = Q (43a). = Q = Q ( Q ) = (43b) Def. (uzupełee lczby) Uzupełeem lczby azywamy lczbę * = R. Własośc uzupełea: *. = r = Q + = + (44a). * + = r Należy zauważyć, ż dla systemu barego (r=) reprezetacja lczby a btach. (44b) r ma same zera Własośc (43a) (43b) są bardzo stote z puktu wdzea przydatośc systemów uzupełeowych. Z własośc (43a) wyka, że wyzaczee uzupełea lczby wymaga 8

29 9 zalezea dopełea, co wymaga tylko zaegowaa wszystkch btów, astępe dodaa. Własość (43b) pozwala a zastąpee odejmowaa dodawaem uzupełea. Przy odejmowau mamy atomast przy dodawau uzupełea * - +=, + = r + = r Poeważ reprezetacja r ma same zera a pozycjach, lczba ta a pozycjach ma taką samą reprezetację jak lczba. Wdać stąd, że zastosowae lczby (45) * zamast - daje te sam wyk, czyl zamast odejmować lczbę możemy dodawać lczbę *. Przykład 8.4. Zrealzować odejmowae =4 Y=5 stosując 8-btowe reprezetacje bare. Przedstawmy te dzałaa w systeme dzesętym. Mamy węc Y * = 8 5 = 4, * D = + Y = = 9. Zastosowae operacj modulo -btów. odpowada ograczeu reprezetacj lczby barej do 9. Wybrae dzałaa arytmetycze w systemach uzupełeowych Pożej zostae przedstawoe dodawae odejmowae w kodze U. 9. Dodawae w systeme U Nech lczby Y mają astępujące reprezetacje w U = ~ x, ~ x,..., ~ x, ~ ) Y Y = ( x ( ~ y, ~,..., ~, ~ y y y ) Dodawae odbywa sę w dwóch krokach : Krok. Dodaj koleje cyfry poczyając od ajmej zaczącej pary aż do pary ajbardzej zaczącej (cyfr zaku), zakładając zerowe przeesee z prawej stroy. Krok. Porówaj przeesee wchodzące do pozycj zaku z przeeseem wychodzącym z pozycj zaku. Jeżel obydwa są rówe lub obydwa, to przeesee z pozycj zaku ależy zgorować rezultat jest w poprawej forme U. Jeżel przeesea różą sę, ozacza to, że wystąpł admar rezultat jest epoprawy. 9

30 3 Przykład 9.. Przeesea do pozycj zaku ( c ) z pozycj zaku ( c ). 4 3 c MSB c S MSB S Rejestry przedstawoe powyżej mają długość =5, a poszczególe pozycje są umerowae od do - od prawej stroy. c MSB jest węc przeeseem wychodzącego z pozycj 3 c S wchodzącym do pozycj 4, a wychodzącym z pozycj 5. Przykład 9.. Dodawae w kodze U. a) dwe lczby dodate c =, c = MSB S b) dwe lczby ujeme -3. (-3 w U) +(-) +. (- w U) -4. c =, c = c) lczby o różych zakach MSB S (-) +. (- w U) +. c =, c = MSB (-3). (-3 w U) c =, c = MSB S S 3

31 3 Y. Rozpatrzoe zostaą teraz poszczególe przypadk różych kombacj zaków lczb Przypadek. > Y > Reprezetacje Y mają w tym przypadku astępującą formę Y Y = = (, ~ x,..., ~, ~ x x, ~ y,..., ~ y, ~ ( y ) ) Ne będze w tym przypadku przeesea z pozycj zaku ( c S = ), gdyż obydwa zak są rówe. Powstająca suma będze dodata w poprawej forme +Y, jeżel + Y <, czyl jeżel e będze admaru to c =. MSB Przypadek. < Y< Y Y = = (, ~ x,..., ~, ~ x x ), ~ y,..., ~ y, ~ ) ( y Nech * = oraz Y * = Y. wtedy sumę uzupełeń moża przedstawć w sposób astępujący: * + Y * = + Y = ( + Y ) = + ( ( + Y )). Uzyskujemy tym samym uzupełee do lczby + Y. A węc w rozważaym przypadku a) występuje zawsze przeesee z pozycj zaku, czyl c =, wyka to z występowaa. S b) jeżel + Y <, to rezultat będze poprawy przedstawoy w kodze U oraz pojaw sę przeesee z btu ajbardzej zaczącego czyl c MSB =. Wyka to z faktu, że suma dwóch lczb ujemych przedstawoych w kodze U zawsze przekroczy. Poeważ * + =, czyl jeśl to * >. 3

32 3 Przypadek 3. W przypadku tym mogą wystąpć dwe możlwe sytuacje: > Y<. Reprezetacje mają tutaj postać = (, ~ x,..., ~, ~ x x ), Y Y =, ~ y,..., ~ y, ~ ). ( y lub dla > Y< =, ~ x,..., Y Y = W przypadku tym e wystąp admar. ~ x, ~ ( x (, ~ y,..., ~, ~ y y ) ) Nech Y * = Y Jeżel S = + Y * = + Y = ( Y ) a) Y > rówe c, mamy węc S = ( Y ) = c = c. czyl rezultat będze poprawy oraz e wystąp przeesee z ajstarszego btu (z btu MSB) do pozycj zaku. Przeesee z pozycj zaku e pojawa sę, gdyż tylko zak Y jest rówy, a węc c = =.Otrzymaa wartość reprezetuje -c w kodze U. MSB c S Wykażemy teraz, że c MSB =. Mamy S = + Y * = + Y = + ( Y ) = + c. Lczba ozacza a pozycj zaku, lczba c jest mejsza lub rówa ż, e będze przeesea do pozycj zaku. b) Y < rówe -c, wtedy S = ( ( Y )) = ( c) = + c, 3

33 33 a węc występuje w tym przypadku przeesee z pozycj zaku, czyl dzałaa jest rówy c, gdyż c S =, a wyk S = ( Y ) = + c = c. Wystąpee przeesea z ajwyższej pozycj lczby ( btu MSB) moża wykazać astępująco: S = + Y * = + Y = + + Y + Lczba węc skoro gdyż suma przekroczy ozacza a pozycj zaku, lczba ma same jedyk a - pozycjach, Y tutaj jest lczba dodatą, to mus wystąpć przeesee do pozycj zaku,. W rezultace otrzymujemy MSB = c oraz =. Wykazao węc, że jeżel rezultat dodawaa U jest poprawy to obydwa przeesea tz. przeesee do pozycj zaku przeesee z pozycj zaku muszą być rówe. 9. Odejmowae w systeme U c S Nech lczby Y mają astępujące reprezetacje w U = ( x, x,..., x, x ) Y Y = ( y, y,..., y, y Odejmowae -Y odbywa sę w trzech krokach : Krok. Utwórz uzupełee do dwóch odjemka. ) Krok. Dodaj koleje cyfry odjemej uzupełea odjemka do poczyając od ajmej zaczącej pary aż do pary ajbardzej zaczącej (cyfr zaku), zakładając zerowe przeesee z prawej stroy. Krok 3. Porówaj przeesee wchodzące do pozycj zaku z przeeseem wychodzącym z pozycj zaku. Jeżel obydwa są rówe lub obydwa, to przeesee z pozycj zaku ależy zgorować rezultat jest w poprawej forme U. Jeżel przeesea różą sę, ozacza to, że wystąpł admar rezultat jest epoprawy. Przykład 9.3 Odejmowae w kodze U. 33

34 34 a) odejmowae lczby dodatej, sprowadza sę oo do dodawaa lczby ujemej w U, czyl utworzea uzupełea odjemka -odjema +3. -odjemk +. -uzupełee odjemka do ( +) +. (- w U) +. c MSB =, c S = b) odejmowae lczby ujemej -odjema +3. -odjemk -. -uzupełee odjemka do. (-3). (-3 w U) -(-) c =, c =, MSB S 34

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM Edward CHLEBUS, Joaa HELMAN, Mara ROSIENKIEWICZ, Paweł STEFANIAK Streszczee: Nejszy artykuł

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, tr. 3 STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI Dorota Kozoł-Kaczorek Katedra Ekoomk Rolcta Mędzyarodoych Stoukó Gopodarczych Szkoła

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Realizacja logiki szybkiego przeniesienia w prototypie prądowym układu FPGA Spartan II

Realizacja logiki szybkiego przeniesienia w prototypie prądowym układu FPGA Spartan II obert Berezowsk Natala Maslennkowa Wydzał Elektronk Poltechnka Koszalńska ul. Partyzantów 7, 75-4 Koszaln Mchał Bałko Przemysław Sołtan ealzacja logk szybkego przenesena w prototype prądowym układu PG

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

www.bdas.pl Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie

www.bdas.pl Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie Rozdzał moogaf: 'Bazy Daych: Nowe Techologe', Kozelsk S., Małysak B., Kaspowsk P., Mozek D. (ed.), WKŁ 007 Rozdzał 3 Zastosowae języka SQL w statystyce opsowej Steszczee. Relacyje bazy daych staową odpowede

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo