Modele wartości pieniądza w czasie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modele wartości pieniądza w czasie"

Transkrypt

1 Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku roku, ozaczamy przez P lub PV). Kaptał koocowy, wartośd przyszła, kaptał przyszły - kwota jaką uzyskamy po pewym czase, lub a koec westycj (ozaczamy przez F lub FV). PV - Preset Value kaptał początkowy FV - Future Value kaptał koocowy I odsetk, zysk I = FV PV r - stopa procetowa r = I PV Okres stopy procetowej (okres oprocetowaa) ajkrótszy przedzał czasowy, podczas którego są geerowae odsetk Oprocetowae geerowae zysku, geerowae odsetek przez ustaloy kaptał Kaptalzacja odsetek dołączee odsetek do kaptału Oprocetowae proste odsetk są kaptalzowae pod koec westycj Oprocetowae składae odsetk geerowae podczas trwaa westycj podlegają kaptalzacj w trakce westycj, (odsetk geerują odsetk) Dyskotowae wyzaczae wartośc wcześejszej kaptału a podstawe wartośc przyszłych Dyskoto kwota o jaką trzeba pomejszyd FV aby otrzymad PV. Współczyk akumulacj kaptału Nech [0, T] będze czasem westycj, T 0. Rozważmy westycję kaptału jedej jedostk. Nech a t 0 ozacza wartośd przyszłą tego kaptału w momece t [0, T]. Fukcję a: t a(t) azywamy fukcją akumulacj (accumulato fucto) jedej jedostk kaptału. Fukcja akumulacj posada astępujące własośc: 1. a(0) = a jest fukcją rosąca. Gdyby fukcja przyjmowała wartośc mejsze przy wzrośce t, to geerowała by ujeme odsetk, co od stroy matematyczej jest możlwe atomast od stroy fasowej takm przypadkam e będzemy sę zajmowad. 3. Jeżel geerowae odsetk będą gromadzd sę w sposób cągły, to fukcja akumulacj też będze cągła. Jeżel odsetk będą gromadzd se w sposób skokowy zależe od okresu oprocetowaa, to fukcja akumulacj będze w tych puktach ecągła, a dokłade będze cągła z prawej stroy. 1

2 Dla ustaloego t wartośd a(t) będzemy azywal t- okresowym czykem akumulacj (accumulato factor). Jeżel westycją będze kaptał P, to wartośd przyszła tego kaptału w czase t [0, T] wyraz sę wzorem F t = P a(t). Oczywśce F 0 = P. W celu wyzaczea wartośc początkowej kaptału 1 jedostk po czase T ależy rozważyd fukcję a 1 : t a 1 (t) spełającą a 1 t a t = 1 dla każdego t [0, T]. a 1 azywamy fukcją dyskotowaa (dscout fucto) jedej jedostk kaptału. Dla ustaloego t wartośd bedzemy azywal t-okresowym czykem dyskotowaa (dscout factor ). Oczywśce dla kaptału F t wartośd początkowa tego kaptału wyraża sę wzorem P = F t a 1 (t). Przypuśdmy teraz, że daa jest pewa westycja o horyzoce czasowym [0, T] ze w momece t 1 [0, T] został zawestoway pewe kaptał P 1. W celu wyzaczea wartośc przyszłej Ft 2 tego kaptału w momece t 2 [0, T], t2 > t1 ależy skorzystad ze wzoru F t2 = P 1 a 1 (t 1 ) a(t 2 ). Oprocetowae Kaptał odsetk Podstawowa zasada alczaa odsetek jest dobrze zaa: jeśl wpłacmy 1,00$ a rachuek, którego oprocetowae w skal roku wyos 8%, to a koec perwszego roku będzemy mel kaptał w wysokośc 1,00$ oraz odsetk rówe 0,08$, co w sume da am kwotę 1,08$. Jeżel zawestujemy w tak sposób kwotę A $, to a koec roku wartośd zgromadzoych a rachuku środków wzrośe do A 1,08 $. Ogóle rzecz borąc, jeżel oprocetowae wyese r, wyrażoe w ułamku dzesętym, to po roku początkowa westycja zwększy sę do (1 + r) razy. Oprocetowae proste ODSETKI NIE GENERUJĄ KOLEJNYCH ODSETEK, NIE PRACUJĄ ; SĄ DOPISYWANE NA KOOCU INWESTYCJI Zgode z zasadą procetu prostego, peądze zawestowae a okres y ż 1 rok są oprocetowae proporcjoale do czasu trwaa westycj. Dwuleta westycja przyos zatem odsetk w wysokośc 2r razy kaptał początkowy td. Iaczej, w każdym roku westycja przyos odsetk w wysokośc r razy kaptał początkowy. W sytuacj, kedy czas trwaa westycj e jest welokrotoścą roku, oprocetowae także alczae jest proporcjoale, tz. że po upływe k -tej częśc roku alczoe zostaą odsetk w wysokośc loczyu rk początkowego kaptału. Ogóle możemy zapsad, że w przypadku oprocetowaa prostego koocowa wartośd kaptału A złożoego a koce oprocetowaym według stopy r po latach wyese: FV = 1 + r A. 2

3 Jeśl w okresach krótszych ż rok procet alczay jest proporcjoale do czasu trwaa westycj, to po czase t (merzoym w pełych latach) wartośd kaptału wyese: FV = 1 + rt A. Zgromadzoe a takm koce środk przyrastają lowo w czase. Jak wyka z formuł, wartośd rachuku w dowolym momece jest rówa sume kwoty wpłacoej a początku (kaptału) dopsaych do ego odsetek, których wartośd jest proporcjoala do czasu trwaa westycj. Oprocetowae składae ODSETKI GENERUJĄ KOLEJNE ODSETKI, PRACUJĄ Wększośd rachuków bakowych pożyczek jest oprocetowaa według procetu składaego. Rozważmy rachuek o roczej stope procetowej r. Jeżel procet jest składay rocze, to odsetk uzyskae w perwszym roku zostają dodae do kaptału początkowego, zwększając tym samym kaptał początkowy dla drugego roku. Możemy zatem powedzed, że w drugm roku a rachuku dopsae zostaą odsetk od odsetek. Jest to właśe efekt składaa, który kotyuuje sę w opsay sposób przez koleje lata. Jeżel procet jest dopsyway do rachuku corocze, to po jedym roku peądze złożoe a rachuku zostają pomożoe przez (1 + r). Po drugm roku czyk te rośe do (1 + r) 2. Po latach początkowy kaptał wzrośe (1 + r) razy. Za pomocą tej zależośc wyrażamy aaltycze wzrost kaptału podlegającego oprocetowau według procetu składaego. Mówmy, że jest to wzrost geometryczy, poeważ wartośd kaptału roże do -tej potęg. Kedy jest duże, wzrost wykający ze składaa może byd zaczy. Poższy wykres przedstawa, jak przyrasta w czase kaptał o wartośc 100$ oprocetoway według stopy procetowej rówej 10% przy oprocetowau prostym składaym. Procet prosty prowadz do lowego przyrostu kaptału, podczas gdy składae procetu powoduje przyspeszee tempa wzrostu. W przypadku procetu składaego kaptał rośe w postępe geometryczym oprocetowae proste oprocetowae składae 3

4 Kaptalzacja okresowa cągła W dotychczasowych rozważaach odsetk dopsywalśmy do kaptału a koocu kolejych lat. Jedak wększośd baków alcza wypłaca odsetk częścej co kwartał, co mesąc, a czasem codzee. Częstsza kaptalzacja podos efektywą stopę procetową. W tej sytuacj umówoo sę, aby zawsze podawad stopę procetową roczą, a odsetk oblczad proporcjoale do długośc okresu odsetkowego. Rozważmy p. kaptalzację kwartalą. Oprocetowae rachuku według roczej stopy r z kaptalzacją kwartalą ozacza, że co kwartał zostaą alczoe odsetk według stopy rówej r. Zatem a koec kwartału wartośd lokaty złożoej w baku wyese (1 + r ) jej wartośc 4 4 początkowej. Jeśl lokata e zostae zlkwdowaa przed koocem astępego kwartału, jej wartośd wzrośe o koleje (1 + r ) razy. Po roku wartośd takej lokaty będze już rówa 4 loczyow wartośc początkowej (1 + r ) 4. Dla każdego r > 0 zachodz erówośd 4 (1 + r 4 ) 4 > (1 + r). Jak wdad przy tej samej stope roczej wartośd lokaty po roku jest wększa przy kaptalzacj kwartalej ż bez kaptalzacj. Wpływ kaptalzacj a roczy przyrost lokaty wyraża efektywa stopa procetowa, rówoważa z roczą stopą procetową, dla której bez kaptalzacj osąga sę te sam przyrost wartośc lokaty a koec roku. Na przykład, kaptał o wartośc 1,00 $ złożoy a lokace oprocetowaej według stopy 8% rocze z kaptalzacją kwartalą urasta po roku do wartośc 1,02 4 $ = 1,0824. Efektywa stopa procetowa dla tej lokaty wyos 8,24%. Podstawowa rocza stopa procetowa (tutaj: 8%) azywaa jest stopą omalą. Kaptalzacja okresowa oprocetowae proste złożoe, zgode ezgode Odsetk mogą byd dopsywae z dowolą częstotlwoścą. Zwykle rok dzeloy jest a ustaloą lczbę okresów o rówej długośc powedzmy m okresów. Stopa procetowa w każdym z m okresów jest wtedy rówa r, gdze r jest omalą stopą procetową. Kaptał o wartośc m 1,00 $ złożoy a takej lokace w cągu jedego okresu rośe do wartośc (1 + r ). Po k m okresach jest już rówy (1 + r m )k, a po upływe całego roku składającego sę z m okresów urasta do wartośc (1 + r m )m. Efektywa stopa procetowa r speła przy tym rówae: 1 + r = (1 + r m )m. 4

5 Kaptalzacja cągła Rok możemy podzeld a coraz mejsze okresy, stosując kaptalzację mesęczą, tygodową, dzeą, a awet dopsywad odsetk co mutę lub co sekudę. Dalsze zmejszae długośc okresu prowadz w efekce do kaptalzacj cągłej. Efekt kaptalzacj cągłej możemy ustald oblczając gracę zwykłej kaptalzacj, w której lczba okresów m dąży do eskooczoośc. Ustalając efekt składaa procetu w kaptalzacj cągłej, wykorzystujemy fakt, że: lm m (1 + r m )m = e r, Gdze e = 2,7818 jest podstawą logarytmu aturalego. 5

6 Wartośd kaptału Efektywa stopa procetowa r speła przy tym rówae: 1 + r = e r. Jeśl omala stopa procetowa jest rówa 8% rocze, to dla kaptalzacj cągłej kaptał o wartośc 1,00 $ rośe do wartośc e 0,08 = 1,0833 $. A zatem efektywa stopa procetowa wyos w tym przypadku 8,33%. (efektywa stopa procetowa w przypadku kaptalzacj kwartalej wyosła 8,24%). W poższej tabel dla wybraych stóp procetowych oblczoo odpowadające m stopy efektywe przy założeu kaptalzacj cągłej. Różca pomędzy stopą omalą a efektywą staje sę wyraźe wdocza dla wyższych stóp omalych. Zatem efekt kaptalzacj cągłej jest tym wększy, m wyższa jest stopa omala. Rodzaj stopy Stopa procetowa (%) procetowej omala 1,00 5,00 10,00 20,00 30,00 50,00 75,00 100,00 efektywa 1,01 5,13 10,52 22,14 34,99 64,87 111,70 171,83 Łatwo możemy teraz oblczyd wartośd lokaty po upływe dowolego okresu. Długośd tego okresu ozaczymy przez t. Okresow jedego roku odpowadad będze t = 1, a kwartałow t = 0,25. Weźmy dowoly okres t podzelmy rok a m bardzo krótkch okresów, każdy o długośc 1. W tej sytuacj t k ozacza, że okresow t odpowada k okresów, każdy o m m długośc 1. Stąd k m t. Wykorzystując ogólą zależośd wyrażającą przyrost wartośc m kaptału, możemy zapsad, że po k okresach kaptał początkowy 1,00 wzrośe do: (1 + r m )k = (1 + r m )mt = [ 1 + r m m ] t e rt. Ostate wyrażee jest prawdzwe, gdy m dąży do eskooczoośc, co odpowada kaptalzacj cągłej. Wdad zatem, że kaptalzacja cągła prowadz do zaego skądąd wzrostu wykładczego Lata 6

7 Wykres przedstawa wzrost wartośc kaptału 1,00 w kaptalzacj cągłej, przy stope omalej 10%. W tym przypadku wartośd kaptału podwaja sę po około 7 latach. Po 20 latach kaptał jest ośmokrote wększy od kaptału początkowego. Wartośd przyszła obeca kaptału Do tej pory pozalśmy pojęce oprocetowaa, kaptalzacj, czyka akumulacj oraz czyka dyskota. Teraz wykorzystamy je do oblczaa wartośc przyszłej obecej kaptału. Przypomjmy: a(t) - czyk akumulacj, używay przy oblczau wartośc przyszłej FV a 1 (t) - czyk dyskotowaa, stosoway przy oblczau wartośc początkowej PV Korzystając z własośc, ż wartośd przyszła kaptału jest rówa: Natomast wartośd obeca kaptału: FV = PV a(t) PV = FV a 1 (t) przy ozaczeach: r jest omalą stopą procetową, jest lczbą lat, a m lczbą okresów kaptalzacj w cągu roku; dla poszczególych typów kaptalzacj możemy wyzaczyd astępujące wzory: kaptalzacja prosta FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r Przykład: Jaka kwota w oprocetowau prostym a 40% rocze pozwol po 5 latach uzyskad kwotę 30 ml złotych? FV = PV (1 + r) 30 = PV ,4 PV = 3 = 10 ml 30 Tak węc obeca wartośd 30 ml jest rówa 10 ml. 7

8 kaptalzacja złożoa rocza FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r Przykład: Jaka jest wartośd przyszła 1000 złotych złożoych a lokace 4-letej, z oprocetowaem złożoym roczym rówym 12%? FV = ,12 4 = ,5735 = 1573 zł Wartośd przyszła 1000 zł złożoych a 4-letej lokace z oprocetowaem złożoym 12% wyos 1573 zł. kaptalzacja złożoa częstsza ż raz w roku FV = PV 1 + r m m PV = FV 1 + r m m Przykład: Bak A B oferują odpowedo dwe lokaty: - Bak A 5-letą, oprocetowaą stopą omalą 5%, kwartala kaptalzacja odsetek - Bak B 5-letą, oprocetowaą stopą kwartalą rówą 2%, rocza kaptalzacja odsetek Jaka będze wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku A B? Dla baku A: kaptalzacja w podokresach okres stopy procetowej jest całkowtą welokrotoścą okresu kaptalzacj okres stopy procetowej = 1 rok okres kaptalzacj = 3 mesące lczba okresów kaptalzacj w cągu roku = 4 FV = 1000 (1 + 5% 4 )4 5 = 1000 (1 + 0,05 4 )20 = , = 1282,04 zł Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku A wyos 1282,04 zł Dla baku B: kaptalzacja w adokresach okres kaptalzacj jest całkowtą welokrotoścą okresu stopy procetowej 8

9 okres stopy procetowej = 1 rok okres kaptalzacj = 5 lat m = okres stopy procetowej okres kaptalzacj = 1 5 FV = 1000 (1 + 0,05 ) = 1000 ( ,05) 1 1 = 1250 zł 5 Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku B wyos 1250 zł. kaptalzacja cągła FV = PV e r PV = FV e r Przykład: 1. Jaką wartośd po 8 latach będze mał kaptał 1000 złotych, umeszczoy a lokace oprocetowaej stopą omalą rówą 10%, przy kaptalzacj cągłej? FV = 1000 e 0,10 8 = ,2255 = 2225 zł 2. Jaką kwotę ależy zawestowad w lokatę 5letą oprocetowaą stopą omalą 10%, z kaptalzacją cągłą, aby w czase wygaśęca lokaty otrzymad kwotę zł? PV = = 6065,31 zł e5 0,10 Kaptalzacja FV PV prosta FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r złożoa rocza FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r częścej ż raz do roku FV = PV 1 + r m m PV = FV 1 + r m m cągła FV = PV e r PV = FV e r 9

10 Pojęce rety Reta (ag. auty) jest zdefowaa jako cąg płatośc dokoywaych w rówych odstępach czasu. Płatośc, które składają sę a retę, azywae są ratam. Okres mędzy kolejym ratam azywamy okresem bazowym. Mometem początkowym rety jest t=0, atomast mometem koocowym rety jest koec okresu, za który płacoa jest ostata rata. Retę charakteryzują astępujące elemety: lczba rat, długośd okresu bazowego, wysokośd rat- raty e muszą byd rówe, mogą p. tworzyd cąg geometryczy, arytmetyczy etc., momet perwszej płatośc, stopa procetowa okresu bazowego, zasady alczea odsetek w podokresach. Reta prosta reta, której długośd okresu bazowego pokrywa sę z okresem kaptalzacj odsetek. Reta uogóloa reta, dla której okres bazowy okres kaptalzacj odsetek są róże. Reta czasowa reta o skooczoej lczbe rat. Reta wecza (ag. perpetual auty, perpetuty) reta o eskooczoej lczbe rat. Reta płata z dołu reta, w której płatośc astępują a koec okresu. Reta płata z góry reta, w której płatośc są dokoywae a początku okresu. Przykłady ret: comesęcze wyagrodzee, kwartale płatośc z tytułu spłaty długu, rocza dywdeda z tytułu podsadaa akcj. Główym zagadeem rachuku ret jest ch wycea, która polega a określeu kaptału rówoważego rece. Wyceę moża przeprowadzd a dowoly momet t. W tym celu ależy zaktualzowad wartośd wszystkch rat a te momet oblczyd ch sumę. Najczęścej wycea rety astępuje a koec lub początek rety. Wartośd początkowa rety jest sumą wartośc rat aktualzowaych a momet początkowy rety. Wartośd koocowa rety jest sumą wartośc rat zaktualzowaych a momet koocowy rety. 10

11 Podstawowe wzory dotyczące ret Wprowadźmy astępujące ozaczea: P wartośd początkowa rety, F wartośd koocowa rety, R j rata płata w momece j, j=1,, R rówe raty rety stopa procetowa okresu bazowego Reta płata z dołu płatośc dowolej welkośc P = R j (1+) j Mów my, że dwe rety są rówoważe jeżel ch wartośc początkowe są take same. F = [R j (1 + ) j ] Reta płata z dołu płatośc tej samej welkośc P = [R (1 + ) j ] = R (1 + ) j 1 1 (1 + ) = R (1 + ) 1 (1 + ) = R = R a = 1 (1+) - azywamy czykem oprocetowaa rety płatej z dołu P = R a F = [R (1 + ) j ] = R [(1 + ) (1 + ) j ] = R(1 + ) (1 + ) j = R(1 + ) 1 (1 + ) = R (1 + ) 1 s = (1+) 1 - azywamy czykem dyskotującym rety płatej z dołu F = R s 11

12 Przykład. Przez 2 lata a koec każdego mesąca wpłacamy 200zł a rachuek oprocetoway według stopy 12 =0,5%. Oblczmy sta oszczędośc a koec drugego roku. Wpłaty tworzą retę, w któ ej -24, R=200, = 12 =0,5%. Korzystając ze wzoru: F = R(1 + ) 1 (1+). F = 200 s 24 0,5% = 5086,39zł Reta płata z dołu - płatośc tej samej welkośc P (+1) = 1 j =0 1 [R (1 + ) j ] = R (1 + ) j = R 1 j = = R (1 + ) 1 (1 + ) = R 1 (1 + ) a = (1 + ) F (+1) = 1 j =0 1 [R (1 + ) j ] = R [(1 + ) (1 + ) j ] = R(1 + ) (1 + ) j j =0 = R(1 + ) = R (1 + ) s = (1 + ) Reta weczysta P - wartośd obeca rety weczystej P = [R (1 + ) j 1 (1+) ] = R lm = R Przykład. Nech daa będze reta wecza o ratach 1000zł płatych każdego roku. Oblczyd wartośd obecą rety przy stope procetowej 10%. P = ,1 = 10000zł 12

13 Kredyt pojęce podstawowe wzory Zacągęty dług, aczej kredyt, ozaczmy przez S. Dług te jest ajczęścej spłacay w częścach zwaych ratam łączym lub płatoścam. N - lośd rat, r - stopa procetowa (czyk pomażający ozaczmy jako q=1+r). Mówmy, że dług został spłacoy jeżel w określoym przedzale czasu suma spłacoych rat jest rówa zacągętej pożyczce wraz z odsetkam z tytułu użytkowaa wypożyczoego kaptału. Iaczej: dług został spłacoy, jeżel obeca wartośd sumy spłacoych rat jest rówa wartośc zacągętego długu. Przyjmjmy ozaczea: R -ta rata łącza, - ta spłata długu, - ta płatośd, T -ta rata długu, częśd kaptałowa długu spłacaa w -tej race, I odsetk spłacae w -tej race, S reszta długu pozostała do spłacea po spłaceu rat, Z suma wszystkch odsetek. Każda rata łącza zawera dwa składk: ratę długu (rata kaptałowa) oraz odsetk. R =T +I, =1,2, Jeżel raty są spłacae zgode z okresem stopy procetowej okresem kaptalzacj, wtedy mówmy o spłatach zgodych. W przecwym przypadku mówmy o spłatach ezgodych. Spłat moża dokoywad zarówo z góry jak z dołu. W rozważaach zostaą pomęte spłaty z góry, gdyż moża je zterpretowad jako spłaty z dołu pożyczk pomejszoej o perwszą ratę. Raty łącze mogą byd rówej lub różej wysokośc. Moża określd wele różych plaów spłat kredytu (długu). Określee takego plau sprowadza sę do wyzaczae cągów (R ), (T ), (I ), (S ) oraz I. Welkośc te e są ezależe, dlatego zając ektóre z ch moża wyzaczyd pozostałe. Najczęścej pla spłaty długu moża określd w oparcu o 2 schematy: gdy ustaloe są raty łącze R 1,, R lub gdy zostały ustaloe spłaty długu T 1,,T. W gruce rzeczy pla spłaty długu e mus meścd sę w ogóle przyjętych schematach, gdyż duża częśd kredytów ma swój ukaly, jedostkowy pla spłaty. W aszych rozważaach omówmy dwa przypadk: rówej raty kaptałowej oraz rówej raty łączej. 13

14 Przykład 1 Pla spłaty kredytu w rówych ratach łączych spłaty zgode. Wysokośd raty A = R 1 = = R (raty łączej, rówej w każdym okrese) wyka z waruku blasowego S =0, czyl z rówaa: S = S q A q N 1 + A q N A = S q A 1 qn 1 q. Stąd: A = S q N 1 q 1 q N Weźmy przykładowo kredyt a podaych w tabel warukach: Kredyt Oprocetowae Rata kredytu Lczba rat S o = S A = R = T + I % 2296, Wówczas welkośd raty łączej będze wyosd: A = (1 + 0,1) 6 1 1,1 1 1,1 6 = 2296,0738 Zobaczmy jak wygląda dokłady pla spłaty kredytu: Saldo S 1 Rata R Częśd kaptałowa T Odsetk I Saldo S 1 S o = S R = T + I T = S 1 S I = S 1 S = S 1 T S = S R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7340 0,0000 Borąc pod uwagę spłacae kredytu, wartośd zadłużea w ostatm werszu ostatej kolume powa byd rówa 0 (bądź bardzo blska 0). 14

15 Przykład 2 Pla spłaty kredytu w rówych ratach kaptałowych spłaty zgode. Weźmy kredyt spłacay a podaych w tabel warukach: Kredyt Oprocetowae Rata kredytu Lczba rat S o = S R = T + I R = S % 10000/6=1666, Saldo S 1 Rata R Częśd kaptałowa T Odsetk I Saldo S 1 S o = S R = T + I T = S 1 S I = S 1 S = S 1 T S = S R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6667-0,0002 Borąc pod uwagę spłacae kredytu, wartośd zadłużea w ostatm werszu ostatej kolume powa byd rówa 0 (bądź bardzo blska 0). Pamętajmy o tym, że zawsze =1 T = S Modele wartośc peądza w czase. Kaptalzacja okresowa, kaptalzacja cągła. Wartośd beżąca, wartośd przyszła. Pojęca kredytu, rety, rety weczystej, zadłużea beżącego. Współczyk akumulacj kaptału. 15

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Finansami

Zarządzanie Finansami Studium Podyplomowe Zarządzanie w przemyśle naftowym i gazowniczym Rok Akademicki 2009/2010 Zarządzanie Finansami dr inż. Piotr Kosowski Materiały dla uczestników studium WARTOŚD PIENIĄDZA W CZASIE Wartośd

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POSZECHNE KRAJOE ZASADY YCENY (PKZ) KRAJOY STANDARD YCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSS 4 INESTYCJE LINIOE - SŁUŻEBNOŚĆ PRZESYŁU I BEZUMONE KORZYSTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa

Bardziej szczegółowo

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem

Spłata długów. Rozliczenia związane z zadłużeniem płata długów Rozliczeia związae z zadłużeiem Źódła fiasowaia Źódła fiasowaia Kapitał własy wkład właściciela, wpłaty udziałowców, opłaty za akcje, wkład zeczowy, apot. Kapitał obcy kedyty, pożyczki, ie

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo