Modele wartości pieniądza w czasie

Transkrypt

1 Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku roku, ozaczamy przez P lub PV). Kaptał koocowy, wartośd przyszła, kaptał przyszły - kwota jaką uzyskamy po pewym czase, lub a koec westycj (ozaczamy przez F lub FV). PV - Preset Value kaptał początkowy FV - Future Value kaptał koocowy I odsetk, zysk I = FV PV r - stopa procetowa r = I PV Okres stopy procetowej (okres oprocetowaa) ajkrótszy przedzał czasowy, podczas którego są geerowae odsetk Oprocetowae geerowae zysku, geerowae odsetek przez ustaloy kaptał Kaptalzacja odsetek dołączee odsetek do kaptału Oprocetowae proste odsetk są kaptalzowae pod koec westycj Oprocetowae składae odsetk geerowae podczas trwaa westycj podlegają kaptalzacj w trakce westycj, (odsetk geerują odsetk) Dyskotowae wyzaczae wartośc wcześejszej kaptału a podstawe wartośc przyszłych Dyskoto kwota o jaką trzeba pomejszyd FV aby otrzymad PV. Współczyk akumulacj kaptału Nech [0, T] będze czasem westycj, T 0. Rozważmy westycję kaptału jedej jedostk. Nech a t 0 ozacza wartośd przyszłą tego kaptału w momece t [0, T]. Fukcję a: t a(t) azywamy fukcją akumulacj (accumulato fucto) jedej jedostk kaptału. Fukcja akumulacj posada astępujące własośc: 1. a(0) = a jest fukcją rosąca. Gdyby fukcja przyjmowała wartośc mejsze przy wzrośce t, to geerowała by ujeme odsetk, co od stroy matematyczej jest możlwe atomast od stroy fasowej takm przypadkam e będzemy sę zajmowad. 3. Jeżel geerowae odsetk będą gromadzd sę w sposób cągły, to fukcja akumulacj też będze cągła. Jeżel odsetk będą gromadzd se w sposób skokowy zależe od okresu oprocetowaa, to fukcja akumulacj będze w tych puktach ecągła, a dokłade będze cągła z prawej stroy. 1

2 Dla ustaloego t wartośd a(t) będzemy azywal t- okresowym czykem akumulacj (accumulato factor). Jeżel westycją będze kaptał P, to wartośd przyszła tego kaptału w czase t [0, T] wyraz sę wzorem F t = P a(t). Oczywśce F 0 = P. W celu wyzaczea wartośc początkowej kaptału 1 jedostk po czase T ależy rozważyd fukcję a 1 : t a 1 (t) spełającą a 1 t a t = 1 dla każdego t [0, T]. a 1 azywamy fukcją dyskotowaa (dscout fucto) jedej jedostk kaptału. Dla ustaloego t wartośd bedzemy azywal t-okresowym czykem dyskotowaa (dscout factor ). Oczywśce dla kaptału F t wartośd początkowa tego kaptału wyraża sę wzorem P = F t a 1 (t). Przypuśdmy teraz, że daa jest pewa westycja o horyzoce czasowym [0, T] ze w momece t 1 [0, T] został zawestoway pewe kaptał P 1. W celu wyzaczea wartośc przyszłej Ft 2 tego kaptału w momece t 2 [0, T], t2 > t1 ależy skorzystad ze wzoru F t2 = P 1 a 1 (t 1 ) a(t 2 ). Oprocetowae Kaptał odsetk Podstawowa zasada alczaa odsetek jest dobrze zaa: jeśl wpłacmy 1,00$ a rachuek, którego oprocetowae w skal roku wyos 8%, to a koec perwszego roku będzemy mel kaptał w wysokośc 1,00$ oraz odsetk rówe 0,08$, co w sume da am kwotę 1,08$. Jeżel zawestujemy w tak sposób kwotę A $, to a koec roku wartośd zgromadzoych a rachuku środków wzrośe do A 1,08 $. Ogóle rzecz borąc, jeżel oprocetowae wyese r, wyrażoe w ułamku dzesętym, to po roku początkowa westycja zwększy sę do (1 + r) razy. Oprocetowae proste ODSETKI NIE GENERUJĄ KOLEJNYCH ODSETEK, NIE PRACUJĄ ; SĄ DOPISYWANE NA KOOCU INWESTYCJI Zgode z zasadą procetu prostego, peądze zawestowae a okres y ż 1 rok są oprocetowae proporcjoale do czasu trwaa westycj. Dwuleta westycja przyos zatem odsetk w wysokośc 2r razy kaptał początkowy td. Iaczej, w każdym roku westycja przyos odsetk w wysokośc r razy kaptał początkowy. W sytuacj, kedy czas trwaa westycj e jest welokrotoścą roku, oprocetowae także alczae jest proporcjoale, tz. że po upływe k -tej częśc roku alczoe zostaą odsetk w wysokośc loczyu rk początkowego kaptału. Ogóle możemy zapsad, że w przypadku oprocetowaa prostego koocowa wartośd kaptału A złożoego a koce oprocetowaym według stopy r po latach wyese: FV = 1 + r A. 2

3 Jeśl w okresach krótszych ż rok procet alczay jest proporcjoale do czasu trwaa westycj, to po czase t (merzoym w pełych latach) wartośd kaptału wyese: FV = 1 + rt A. Zgromadzoe a takm koce środk przyrastają lowo w czase. Jak wyka z formuł, wartośd rachuku w dowolym momece jest rówa sume kwoty wpłacoej a początku (kaptału) dopsaych do ego odsetek, których wartośd jest proporcjoala do czasu trwaa westycj. Oprocetowae składae ODSETKI GENERUJĄ KOLEJNE ODSETKI, PRACUJĄ Wększośd rachuków bakowych pożyczek jest oprocetowaa według procetu składaego. Rozważmy rachuek o roczej stope procetowej r. Jeżel procet jest składay rocze, to odsetk uzyskae w perwszym roku zostają dodae do kaptału początkowego, zwększając tym samym kaptał początkowy dla drugego roku. Możemy zatem powedzed, że w drugm roku a rachuku dopsae zostaą odsetk od odsetek. Jest to właśe efekt składaa, który kotyuuje sę w opsay sposób przez koleje lata. Jeżel procet jest dopsyway do rachuku corocze, to po jedym roku peądze złożoe a rachuku zostają pomożoe przez (1 + r). Po drugm roku czyk te rośe do (1 + r) 2. Po latach początkowy kaptał wzrośe (1 + r) razy. Za pomocą tej zależośc wyrażamy aaltycze wzrost kaptału podlegającego oprocetowau według procetu składaego. Mówmy, że jest to wzrost geometryczy, poeważ wartośd kaptału roże do -tej potęg. Kedy jest duże, wzrost wykający ze składaa może byd zaczy. Poższy wykres przedstawa, jak przyrasta w czase kaptał o wartośc 100$ oprocetoway według stopy procetowej rówej 10% przy oprocetowau prostym składaym. Procet prosty prowadz do lowego przyrostu kaptału, podczas gdy składae procetu powoduje przyspeszee tempa wzrostu. W przypadku procetu składaego kaptał rośe w postępe geometryczym oprocetowae proste oprocetowae składae 3

4 Kaptalzacja okresowa cągła W dotychczasowych rozważaach odsetk dopsywalśmy do kaptału a koocu kolejych lat. Jedak wększośd baków alcza wypłaca odsetk częścej co kwartał, co mesąc, a czasem codzee. Częstsza kaptalzacja podos efektywą stopę procetową. W tej sytuacj umówoo sę, aby zawsze podawad stopę procetową roczą, a odsetk oblczad proporcjoale do długośc okresu odsetkowego. Rozważmy p. kaptalzację kwartalą. Oprocetowae rachuku według roczej stopy r z kaptalzacją kwartalą ozacza, że co kwartał zostaą alczoe odsetk według stopy rówej r. Zatem a koec kwartału wartośd lokaty złożoej w baku wyese (1 + r ) jej wartośc 4 4 początkowej. Jeśl lokata e zostae zlkwdowaa przed koocem astępego kwartału, jej wartośd wzrośe o koleje (1 + r ) razy. Po roku wartośd takej lokaty będze już rówa 4 loczyow wartośc początkowej (1 + r ) 4. Dla każdego r > 0 zachodz erówośd 4 (1 + r 4 ) 4 > (1 + r). Jak wdad przy tej samej stope roczej wartośd lokaty po roku jest wększa przy kaptalzacj kwartalej ż bez kaptalzacj. Wpływ kaptalzacj a roczy przyrost lokaty wyraża efektywa stopa procetowa, rówoważa z roczą stopą procetową, dla której bez kaptalzacj osąga sę te sam przyrost wartośc lokaty a koec roku. Na przykład, kaptał o wartośc 1,00 $ złożoy a lokace oprocetowaej według stopy 8% rocze z kaptalzacją kwartalą urasta po roku do wartośc 1,02 4 $ = 1,0824. Efektywa stopa procetowa dla tej lokaty wyos 8,24%. Podstawowa rocza stopa procetowa (tutaj: 8%) azywaa jest stopą omalą. Kaptalzacja okresowa oprocetowae proste złożoe, zgode ezgode Odsetk mogą byd dopsywae z dowolą częstotlwoścą. Zwykle rok dzeloy jest a ustaloą lczbę okresów o rówej długośc powedzmy m okresów. Stopa procetowa w każdym z m okresów jest wtedy rówa r, gdze r jest omalą stopą procetową. Kaptał o wartośc m 1,00 $ złożoy a takej lokace w cągu jedego okresu rośe do wartośc (1 + r ). Po k m okresach jest już rówy (1 + r m )k, a po upływe całego roku składającego sę z m okresów urasta do wartośc (1 + r m )m. Efektywa stopa procetowa r speła przy tym rówae: 1 + r = (1 + r m )m. 4

5 Kaptalzacja cągła Rok możemy podzeld a coraz mejsze okresy, stosując kaptalzację mesęczą, tygodową, dzeą, a awet dopsywad odsetk co mutę lub co sekudę. Dalsze zmejszae długośc okresu prowadz w efekce do kaptalzacj cągłej. Efekt kaptalzacj cągłej możemy ustald oblczając gracę zwykłej kaptalzacj, w której lczba okresów m dąży do eskooczoośc. Ustalając efekt składaa procetu w kaptalzacj cągłej, wykorzystujemy fakt, że: lm m (1 + r m )m = e r, Gdze e = 2,7818 jest podstawą logarytmu aturalego. 5

6 Wartośd kaptału Efektywa stopa procetowa r speła przy tym rówae: 1 + r = e r. Jeśl omala stopa procetowa jest rówa 8% rocze, to dla kaptalzacj cągłej kaptał o wartośc 1,00 $ rośe do wartośc e 0,08 = 1,0833 $. A zatem efektywa stopa procetowa wyos w tym przypadku 8,33%. (efektywa stopa procetowa w przypadku kaptalzacj kwartalej wyosła 8,24%). W poższej tabel dla wybraych stóp procetowych oblczoo odpowadające m stopy efektywe przy założeu kaptalzacj cągłej. Różca pomędzy stopą omalą a efektywą staje sę wyraźe wdocza dla wyższych stóp omalych. Zatem efekt kaptalzacj cągłej jest tym wększy, m wyższa jest stopa omala. Rodzaj stopy Stopa procetowa (%) procetowej omala 1,00 5,00 10,00 20,00 30,00 50,00 75,00 100,00 efektywa 1,01 5,13 10,52 22,14 34,99 64,87 111,70 171,83 Łatwo możemy teraz oblczyd wartośd lokaty po upływe dowolego okresu. Długośd tego okresu ozaczymy przez t. Okresow jedego roku odpowadad będze t = 1, a kwartałow t = 0,25. Weźmy dowoly okres t podzelmy rok a m bardzo krótkch okresów, każdy o długośc 1. W tej sytuacj t k ozacza, że okresow t odpowada k okresów, każdy o m m długośc 1. Stąd k m t. Wykorzystując ogólą zależośd wyrażającą przyrost wartośc m kaptału, możemy zapsad, że po k okresach kaptał początkowy 1,00 wzrośe do: (1 + r m )k = (1 + r m )mt = [ 1 + r m m ] t e rt. Ostate wyrażee jest prawdzwe, gdy m dąży do eskooczoośc, co odpowada kaptalzacj cągłej. Wdad zatem, że kaptalzacja cągła prowadz do zaego skądąd wzrostu wykładczego Lata 6

7 Wykres przedstawa wzrost wartośc kaptału 1,00 w kaptalzacj cągłej, przy stope omalej 10%. W tym przypadku wartośd kaptału podwaja sę po około 7 latach. Po 20 latach kaptał jest ośmokrote wększy od kaptału początkowego. Wartośd przyszła obeca kaptału Do tej pory pozalśmy pojęce oprocetowaa, kaptalzacj, czyka akumulacj oraz czyka dyskota. Teraz wykorzystamy je do oblczaa wartośc przyszłej obecej kaptału. Przypomjmy: a(t) - czyk akumulacj, używay przy oblczau wartośc przyszłej FV a 1 (t) - czyk dyskotowaa, stosoway przy oblczau wartośc początkowej PV Korzystając z własośc, ż wartośd przyszła kaptału jest rówa: Natomast wartośd obeca kaptału: FV = PV a(t) PV = FV a 1 (t) przy ozaczeach: r jest omalą stopą procetową, jest lczbą lat, a m lczbą okresów kaptalzacj w cągu roku; dla poszczególych typów kaptalzacj możemy wyzaczyd astępujące wzory: kaptalzacja prosta FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r Przykład: Jaka kwota w oprocetowau prostym a 40% rocze pozwol po 5 latach uzyskad kwotę 30 ml złotych? FV = PV (1 + r) 30 = PV ,4 PV = 3 = 10 ml 30 Tak węc obeca wartośd 30 ml jest rówa 10 ml. 7

8 kaptalzacja złożoa rocza FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r Przykład: Jaka jest wartośd przyszła 1000 złotych złożoych a lokace 4-letej, z oprocetowaem złożoym roczym rówym 12%? FV = ,12 4 = ,5735 = 1573 zł Wartośd przyszła 1000 zł złożoych a 4-letej lokace z oprocetowaem złożoym 12% wyos 1573 zł. kaptalzacja złożoa częstsza ż raz w roku FV = PV 1 + r m m PV = FV 1 + r m m Przykład: Bak A B oferują odpowedo dwe lokaty: - Bak A 5-letą, oprocetowaą stopą omalą 5%, kwartala kaptalzacja odsetek - Bak B 5-letą, oprocetowaą stopą kwartalą rówą 2%, rocza kaptalzacja odsetek Jaka będze wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku A B? Dla baku A: kaptalzacja w podokresach okres stopy procetowej jest całkowtą welokrotoścą okresu kaptalzacj okres stopy procetowej = 1 rok okres kaptalzacj = 3 mesące lczba okresów kaptalzacj w cągu roku = 4 FV = 1000 (1 + 5% 4 )4 5 = 1000 (1 + 0,05 4 )20 = , = 1282,04 zł Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku A wyos 1282,04 zł Dla baku B: kaptalzacja w adokresach okres kaptalzacj jest całkowtą welokrotoścą okresu stopy procetowej 8

9 okres stopy procetowej = 1 rok okres kaptalzacj = 5 lat m = okres stopy procetowej okres kaptalzacj = 1 5 FV = 1000 (1 + 0,05 ) = 1000 ( ,05) 1 1 = 1250 zł 5 Wartośd przyszła kwoty 1000 zł po 5 latach po zawestowau w baku B wyos 1250 zł. kaptalzacja cągła FV = PV e r PV = FV e r Przykład: 1. Jaką wartośd po 8 latach będze mał kaptał 1000 złotych, umeszczoy a lokace oprocetowaej stopą omalą rówą 10%, przy kaptalzacj cągłej? FV = 1000 e 0,10 8 = ,2255 = 2225 zł 2. Jaką kwotę ależy zawestowad w lokatę 5letą oprocetowaą stopą omalą 10%, z kaptalzacją cągłą, aby w czase wygaśęca lokaty otrzymad kwotę zł? PV = = 6065,31 zł e5 0,10 Kaptalzacja FV PV prosta FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r złożoa rocza FV = PV 1 + r PV = FV 1 + r częścej ż raz do roku FV = PV 1 + r m m PV = FV 1 + r m m cągła FV = PV e r PV = FV e r 9

10 Pojęce rety Reta (ag. auty) jest zdefowaa jako cąg płatośc dokoywaych w rówych odstępach czasu. Płatośc, które składają sę a retę, azywae są ratam. Okres mędzy kolejym ratam azywamy okresem bazowym. Mometem początkowym rety jest t=0, atomast mometem koocowym rety jest koec okresu, za który płacoa jest ostata rata. Retę charakteryzują astępujące elemety: lczba rat, długośd okresu bazowego, wysokośd rat- raty e muszą byd rówe, mogą p. tworzyd cąg geometryczy, arytmetyczy etc., momet perwszej płatośc, stopa procetowa okresu bazowego, zasady alczea odsetek w podokresach. Reta prosta reta, której długośd okresu bazowego pokrywa sę z okresem kaptalzacj odsetek. Reta uogóloa reta, dla której okres bazowy okres kaptalzacj odsetek są róże. Reta czasowa reta o skooczoej lczbe rat. Reta wecza (ag. perpetual auty, perpetuty) reta o eskooczoej lczbe rat. Reta płata z dołu reta, w której płatośc astępują a koec okresu. Reta płata z góry reta, w której płatośc są dokoywae a początku okresu. Przykłady ret: comesęcze wyagrodzee, kwartale płatośc z tytułu spłaty długu, rocza dywdeda z tytułu podsadaa akcj. Główym zagadeem rachuku ret jest ch wycea, która polega a określeu kaptału rówoważego rece. Wyceę moża przeprowadzd a dowoly momet t. W tym celu ależy zaktualzowad wartośd wszystkch rat a te momet oblczyd ch sumę. Najczęścej wycea rety astępuje a koec lub początek rety. Wartośd początkowa rety jest sumą wartośc rat aktualzowaych a momet początkowy rety. Wartośd koocowa rety jest sumą wartośc rat zaktualzowaych a momet koocowy rety. 10

11 Podstawowe wzory dotyczące ret Wprowadźmy astępujące ozaczea: P wartośd początkowa rety, F wartośd koocowa rety, R j rata płata w momece j, j=1,, R rówe raty rety stopa procetowa okresu bazowego Reta płata z dołu płatośc dowolej welkośc P = R j (1+) j Mów my, że dwe rety są rówoważe jeżel ch wartośc początkowe są take same. F = [R j (1 + ) j ] Reta płata z dołu płatośc tej samej welkośc P = [R (1 + ) j ] = R (1 + ) j 1 1 (1 + ) = R (1 + ) 1 (1 + ) = R = R a = 1 (1+) - azywamy czykem oprocetowaa rety płatej z dołu P = R a F = [R (1 + ) j ] = R [(1 + ) (1 + ) j ] = R(1 + ) (1 + ) j = R(1 + ) 1 (1 + ) = R (1 + ) 1 s = (1+) 1 - azywamy czykem dyskotującym rety płatej z dołu F = R s 11

12 Przykład. Przez 2 lata a koec każdego mesąca wpłacamy 200zł a rachuek oprocetoway według stopy 12 =0,5%. Oblczmy sta oszczędośc a koec drugego roku. Wpłaty tworzą retę, w któ ej -24, R=200, = 12 =0,5%. Korzystając ze wzoru: F = R(1 + ) 1 (1+). F = 200 s 24 0,5% = 5086,39zł Reta płata z dołu - płatośc tej samej welkośc P (+1) = 1 j =0 1 [R (1 + ) j ] = R (1 + ) j = R 1 j = = R (1 + ) 1 (1 + ) = R 1 (1 + ) a = (1 + ) F (+1) = 1 j =0 1 [R (1 + ) j ] = R [(1 + ) (1 + ) j ] = R(1 + ) (1 + ) j j =0 = R(1 + ) = R (1 + ) s = (1 + ) Reta weczysta P - wartośd obeca rety weczystej P = [R (1 + ) j 1 (1+) ] = R lm = R Przykład. Nech daa będze reta wecza o ratach 1000zł płatych każdego roku. Oblczyd wartośd obecą rety przy stope procetowej 10%. P = ,1 = 10000zł 12

13 Kredyt pojęce podstawowe wzory Zacągęty dług, aczej kredyt, ozaczmy przez S. Dług te jest ajczęścej spłacay w częścach zwaych ratam łączym lub płatoścam. N - lośd rat, r - stopa procetowa (czyk pomażający ozaczmy jako q=1+r). Mówmy, że dług został spłacoy jeżel w określoym przedzale czasu suma spłacoych rat jest rówa zacągętej pożyczce wraz z odsetkam z tytułu użytkowaa wypożyczoego kaptału. Iaczej: dług został spłacoy, jeżel obeca wartośd sumy spłacoych rat jest rówa wartośc zacągętego długu. Przyjmjmy ozaczea: R -ta rata łącza, - ta spłata długu, - ta płatośd, T -ta rata długu, częśd kaptałowa długu spłacaa w -tej race, I odsetk spłacae w -tej race, S reszta długu pozostała do spłacea po spłaceu rat, Z suma wszystkch odsetek. Każda rata łącza zawera dwa składk: ratę długu (rata kaptałowa) oraz odsetk. R =T +I, =1,2, Jeżel raty są spłacae zgode z okresem stopy procetowej okresem kaptalzacj, wtedy mówmy o spłatach zgodych. W przecwym przypadku mówmy o spłatach ezgodych. Spłat moża dokoywad zarówo z góry jak z dołu. W rozważaach zostaą pomęte spłaty z góry, gdyż moża je zterpretowad jako spłaty z dołu pożyczk pomejszoej o perwszą ratę. Raty łącze mogą byd rówej lub różej wysokośc. Moża określd wele różych plaów spłat kredytu (długu). Określee takego plau sprowadza sę do wyzaczae cągów (R ), (T ), (I ), (S ) oraz I. Welkośc te e są ezależe, dlatego zając ektóre z ch moża wyzaczyd pozostałe. Najczęścej pla spłaty długu moża określd w oparcu o 2 schematy: gdy ustaloe są raty łącze R 1,, R lub gdy zostały ustaloe spłaty długu T 1,,T. W gruce rzeczy pla spłaty długu e mus meścd sę w ogóle przyjętych schematach, gdyż duża częśd kredytów ma swój ukaly, jedostkowy pla spłaty. W aszych rozważaach omówmy dwa przypadk: rówej raty kaptałowej oraz rówej raty łączej. 13

14 Przykład 1 Pla spłaty kredytu w rówych ratach łączych spłaty zgode. Wysokośd raty A = R 1 = = R (raty łączej, rówej w każdym okrese) wyka z waruku blasowego S =0, czyl z rówaa: S = S q A q N 1 + A q N A = S q A 1 qn 1 q. Stąd: A = S q N 1 q 1 q N Weźmy przykładowo kredyt a podaych w tabel warukach: Kredyt Oprocetowae Rata kredytu Lczba rat S o = S A = R = T + I % 2296, Wówczas welkośd raty łączej będze wyosd: A = (1 + 0,1) 6 1 1,1 1 1,1 6 = 2296,0738 Zobaczmy jak wygląda dokłady pla spłaty kredytu: Saldo S 1 Rata R Częśd kaptałowa T Odsetk I Saldo S 1 S o = S R = T + I T = S 1 S I = S 1 S = S 1 T S = S R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7340 0,0000 Borąc pod uwagę spłacae kredytu, wartośd zadłużea w ostatm werszu ostatej kolume powa byd rówa 0 (bądź bardzo blska 0). 14

15 Przykład 2 Pla spłaty kredytu w rówych ratach kaptałowych spłaty zgode. Weźmy kredyt spłacay a podaych w tabel warukach: Kredyt Oprocetowae Rata kredytu Lczba rat S o = S R = T + I R = S % 10000/6=1666, Saldo S 1 Rata R Częśd kaptałowa T Odsetk I Saldo S 1 S o = S R = T + I T = S 1 S I = S 1 S = S 1 T S = S R , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6667-0,0002 Borąc pod uwagę spłacae kredytu, wartośd zadłużea w ostatm werszu ostatej kolume powa byd rówa 0 (bądź bardzo blska 0). Pamętajmy o tym, że zawsze =1 T = S Modele wartośc peądza w czase. Kaptalzacja okresowa, kaptalzacja cągła. Wartośd beżąca, wartośd przyszła. Pojęca kredytu, rety, rety weczystej, zadłużea beżącego. Współczyk akumulacj kaptału. 15