Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Transkrypt

1 Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby pozostałych w ure bałych kul. 5 (A) 5 (B) (C) 5 (D) (E)

2 Zadae. Wektor losowy ( X,Y ) ma łączą gęstość prawdopodobeństwa f ( x, y) = gdy x, y x y ; w przecwym przypadku. Podaj gęstość g(z) rozkładu zmeej losowej X Z =. X Y (A) g( z) = z dla z (B) g( z) = dla z (C) g( z) = ( z) dla z (D) g( z) = 6z( z) dla z (E) g( z) = dla z π z( z)

3 Zadae 3. Załóżmy, że X,..., X są ezależym zmeym losowym o jedakowym, cągłym rozkładze prawdopodobeństwa, mającym momety rzędu, 3. Zamy µ = E X ) σ = Var( ). ( ech f (x) ozacza gęstość rozkładu pojedyczej zmeej X. Wemy, że rozkład jest symetryczy w tym sese, że f ( µ x) = f ( µ x) dla każdego. x 3 Oblcz trzec momet sumy: ( ) S X E, gdze S = X... X. µ µ σ 3 (A) ( S ) = ( 3 ) E µ µ σ 3 (B) ( S ) = ( 3 ) E µ µ σ 3 (C) ( S ) = ( 3 ) E µ µ σ 3 (D) ( S ) = ( ) E 3 (E) Podae formacje e wystarczają do oblczea E ( ) S 3

4 Zadae 4. Załóżmy, że zmee losowe X,..., X są ezależe mają rozkłady ormale. Zmea X ma rozkład µ,, ym słowy E (X ) = µ, Var ( X ) = dla =,...,. Wartość oczekwaa µ (jedakowa dla wszystkch zmeych) jest ezaa. ależy zbudować przedzał ufośc dla µ a pozome α =. 95. Przedzał ma być postac [ ˆ µ d, ˆ µ d], gdze µˆ jest estymatorem ajwększej warogodośc parametru µ. Podaj lczbę d taką, że ( ˆ d µ ˆ µ d ). 95 Pr µ =. (A) d =. 649 (B) d =. 39 (C) d =. 96 (D) d = (E) d =

5 Zadae 5. Załóżmy, że X, X,..., X,... jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze wykładczym o gęstośc f ( x) = exp( x / µ ) dla x. µ Zmea losowa jest ezależa od X, X,..., X,... ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej λ. ech c będze ustaloą lczbą dodatą, Y = m( X, c), Z = X Y, Oblcz ( S, S ) Cov. S ( Y ) = = Y ( Z ), S = Z. = = cµλ e c / µ (A) ( ) Cov S, S µλ c / µ (B) Cov( S, S ) = c ( e ) = cλ e c / µ (C) ( ) Cov S, S = cµ e c λ (D) ( ) Cov S, S = µλ e c / µ (E) ( ) Cov S, S 5

6 Zadae 6. Załóżmy, że X,..., X m,... jest cągem ezależych, dodatch zmeych losowych o jedakowym rozkładze o gęstośc (*) f ( x) = x exp( x) dla x. ech S = S m = X... X m dla m. Określmy zmeą losową sposób: M w astępujący M { m : S 5} = max m Oblcz Pr( M = ). Wskazówka: M jest lczbą wyrazów rosącego cągu sum X < X X X X X < 3 < zawartych w przedzale [, 5]. Rozkład określoy wzorem (*) jest rozkładem Gamma. Zmeą losową X moża przedstawć jako sumę dwóch ezależych zmeych losowych o rozkładze wykładczym.... (A) 5 e (B) 65 e 5 (C) 65 e 4 5 (D) 5 e 5 (E) 5 e 6

7 Zadae 7. ech,,..., będze próbką z rozkładu Possoa z ezaym parametrem λ (parametr jest wartoścą oczekwaą pojedyczej obserwacj, λ = ) ). Iteresuje as drug momet obserwacj, czyl welkość m ( λ ) = E E λ ( ). Chcemy skostruować tak estymator welkośc m ( λ), który jest eobcążoy który jest fukcją zmeej S =... (zależy tylko od sumy obserwacj). ( λ (A) m ˆ = S jest estymatorem o żądaych własoścach (B) mˆ = S S jest estymatorem o żądaych własoścach (C) m ˆ = S( S 9) jest estymatorem o żądaych własoścach (D) m ˆ = jest estymatorem o żądaych własoścach, poeważ jest eobcążoy = moża go przedstawć w postac wzoru zawerającego tylko zmeą S (E) Estymator o żądaych własoścach e steje 7

8 Zadae 8. ech X, X,..., X,... będze cągem zmeych losowych o wartoścach w zborze {,}, staowącym łańcuch Markowa o macerzy przejśca ech Z, Z,..., Z,... p p.8. P = =. p p..8 będze cągem zmeych losowych o wartoścach w zborze ezależych od sebe awzajem od zmeych rozkładze prawdopodobeństwa: X, X,..., X Pr( Z = ) =.9 Pr( Z = ) =.. Obserwujemy zmee Y = Z X. Oblcz lm Pr( Y Y ). {,},,..., o jedakowym (A) lm Pr( Y Y ) =. 45 (B) lm Pr( Y Y ) =. 4 (C) lm Pr( Y Y ) =. (D) lm Pr( Y Y ) =. 6 (E) lm Pr( Y Y ) =. 9 8

9 Zadae 9. Próbka X, X,..., X pochodz z rozkładu ormalego µ, z ezaą wartoścą oczekwaą µ waracją. a podstawe tej próbk zbudowao w stadardowy sposób przedzał ufośc a pozome.95 dla µ : ( ) [.96, X.96 ] = [ ˆ µ, ˆ µ ] X. Chcemy wykorzystać skostruoway przedzał do przeprowadzea testu pewej hpotezy statystyczej. Które z poższych stwerdzeń jest prawdzwe? (A) Jedostaje ajmocejszy test hpotezy H : µ 3 przecw alteratywe H : µ 3 a pozome stotośc.5 odrzuca = H wtedy tylko wtedy gdy ˆ µ 3 (B) Jedostaje ajmocejszy test hpotezy H : µ 3 przecw alteratywe H : µ 3 a pozome stotośc.5 odrzuca = H wtedy tylko wtedy gdy ˆ µ 3 (C) Jedostaje ajmocejszy test hpotezy H : µ 3 przecw alteratywe H : µ 3 a pozome stotośc.5 odrzuca = H wtedy tylko wtedy gdy ˆ µ 3 (D) Jedostaje ajmocejszy test hpotezy H : µ 3 przecw alteratywe H : µ 3 a = pozome stotośc.5 odrzuca H wtedy tylko wtedy gdy ( ˆ µ 3 lub ˆ µ < 3). (E) Żade z powyższych stwerdzeń e jest prawdzwe. 9

10 Zadae. Załóżmy, że X, X,..., X,... jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze wykładczym o gęstośc f ( x) = exp( x / µ ) dla x. µ Zmea losowa jest ezależa od X, X,..., X,... ma rozkład geometryczy day wzorem: Pr( = ) = p( p) dla =,,,... ech S = X (przy tym S =, zgode z kowecją). = Oblcz prawdopodobeństwo warukowe Pr( = S, dla s. Wskazówka: Warukowo, dla, zmea losowa S ma rozkład wykładczy, którego wartość oczekwaą moża łatwo oblczyć zając E( S ) = E( S ) Pr( ). (A) Pr( = S = s exp[ s( p) / µ ] (B) Pr( = S = s exp[ s( p) / µ ] (C) Pr( = S = exp[ s( p) / µ ] (D) Pr( = S = exp[ s( p) / µ ] (E) Pr( = S = exp[ sp / µ ]

11 Egzam dla Aktuaruszy z 5 stycza 3 r. Prawdopodobeństwo Statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja B B 3 C 4 E 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A C * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.