ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI

Transkrypt

1 ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech F będze zborem rozmytym, zdefowaym a przestrze rozważań U z fukcją przyależośc µ F, ze stopem przyależośc µ F ( u ), rozumaym jako zgodość (ag. compatblty) elemetu u z pojęcem F. Nech poadto X będze zmeą przyjmującą wartośc w U oraz ech F jest rozumae jako ograczee rozmyte R( X ) zwązae z X. Wówczas zdae X jest F, które moża przedstawć jako: R( X ) = F, co wyraża rozkład możlwośc Π X że zmea X jest rówa R( X ): = R ( X). Π X Powyższą zależość moza zapsać róweż jako: Π X = F. Fukcja rozkładu możlwośc zwązaa ze zmeą X lub fukcja rozkładu mozlwośc Π X jest określoa astępująco: π = µ, X Jak wyka z powyższej defcj rozkład możlwośc moża opsać za pomocą zboru rozmytego, atomast fukcję rozkładu możlwośc za pomocą fukcj charakterystyczej zboru rozmytego. F

2 Ie podejśce do teor możlwośc zapropoowal Dubos Prade (983). Experymet statystyczy - rzut moetą. Zbór zdarzeń elemetarych X = { x = x = } orzeł, reszka. 2 Założymy, że moeta jest zekształcoa (ag. based): p p2 = p. 2 Moża wprowadzć stopeń potrzeby (ag. ecessty) a korzyść zajśca zdarzea x zdefoway astępująco: = p p2, co róweż ozacza emożlwość zajśca zdarzea x 2. Odpowed stopeń możlwośc zajśca zdarzea x 2 wyraz sę astępującą zależoścą: 2p. π 2 = = 2 Pozostałe stope zdefowae są astępująco: 2 π = 0, =. Warto zauważyć, że daemu zdarzeu przyporządkowaa jest para (potrzeba, możlwość).

3 W oparcu o przedstawoą deę moża zdefować trasformację prawdopodobeństwo - możlwość odwrote. ZAŁOŻENIA: zbór zadarzeń elemetarych: X = { x; = 2!,, }!, gdze { } uporządkowae p p 2 p P jest marą prawdopodobeństwa x, x,! x oraz A 0 =. A = 2 { } ( ) = p = P x, p = Defcja. Stopem potrzeby zajśca zdarzea A X jest dodatkowa lość prawdopodobeństwa zwązaego ze zdarzeam elemetarym ze zboru A w porówau z loścą prawdopodobeństwa przypsaą ajczęścej występującemu zdarzeu e ależącemu do zboru A: N( A) = max pj pk max,0. Jeśl A = A otrzymujemy gdze: p + = 0. x j A u ( ) ( j + ) j= x k A N A = p p, =,!,, Jeśl N(A) Potraktujemy jako stopeń emożlwośc wystąpea zdarzea przecwego A, wówczas moża zdefować stopeń możlwośc zajśca zdarzea A jako: ( ) N( ) A X Π A = A. Jeśl przyjmemy, że Π ( A ) jest marą możlwośc w sese Zadeha (978), wówczas otrzymamy: Π ( A) = maxπ x A Uwaga. Mara możlwośc mara potrzeby mogą być oblczoe a podstawe rozkładu możlwośc, który jest zdefoway za pomocą zboru rozmytego: ( A) ( ) ( µ ) ( A) ( µ ( )) N = f x, Π = sup x, x A F gdze F jest zborem rozmytym zwązaym z rozkładem możlwośc. x A F

4 Na podstawe przedstawoych zależośc otrzymujemy (Dubos ad Prade 983): Trasformacja prawdopodobeństwo-możlwość: Przekształcee odwrote: ( ) π = m p, p j j= =,!, p = ( π π j+ ), gdze: π + = 0. j Dla przypadku cągłego (Dubos ad Prade 982): Spełoy jest waruek: j= ( ) ( ) ( ) ( ) x R π x = m p x, p t dt R N( ) P( ) Π ( ).!!!! A A A A

5 Teora Shafera (976) Defcja. Nech daa będze przestrzeń zdarzeń elemetarych Ω, rodza S jej podzborów oraz dowole zdarzee A, A S, =2!,,,. Fukcja pewośc jest fukcją rzeczywstą Bel spełającą astępujące aksjomaty Ω, 0, () A S P( A) () P( Ω ) = P =, ( ) 0,, () A, A2,!, A S Ω ; zachodz: + Bel " A Bel( A ) Bel( A Aj) +! + ( ) Bel # A. = = j< Defuje o przekształcee m, azywae podstawowym przyporządkowaem probablstyczym, przyporządkowujące część wedzy każdemu ze zdarzeń: m ( ), m( B) = 0 =. B Ω Zbór elemetów fokalych określa sę astępująco: B ( B) = { } / m > 0. Na podstawe elemetów fokalych dla daego zdarzea A moża polczyć dwe mary: pewośc (ag. belef): Bel ( A) = m( B) B A oraz warygodośc (ag. plausblty): Pl ( A) = m( B) B A=

6 Podejśce zapropoowae przez Shafer a wywodz sę z pracy Dempster a (967). ZAŁOŻENIA: elemety fokale odpowadają wykom eksperymetu stochastyczego ze zboru X, steje pewe odwzorowae które każdemu wykow x X przyporządkowuje rzeczywste zdarzee Γ() x Ω, p(x) jest estymowaym prawdopodobeństwem wyku x. Przyporządkowae podstawowe defuje sę astępująco: () gdy A = Γ () x px Am( A) =. 0 w przecwym przypadku Uwaga. Γ () x = A modeluje edokładość eksperymetu statystyczego: Mamy tu do czyea z tzw. edokładym prawdopodobeństwem: ( A) ( A) ( A) Bel P Pl Jeśl zbór wyków X potrafmy uporządkować: { ( ),, ( p) }, Γ ( ) Ω ( ) Γ( ( p) ) x! x = X x $ x to mara pewośc warygodośc stają sę odpowedo maram potrzeby możlwośc. Uwag. W oparcu o przedstawoe podejśce moża zapropoować sposób opsu rozpatrywaego modelu w zależośc od typu dostępych daych: jeśl dae są dokłade posadamy ch wystarczającą lczbę stosujemy podejśce probablstycze; jeśl dae są edokłade, ale zgode stosujemy podejśce możlwoścowe Dubos Prade a; jeśl dae są edokłade ezgode stosujemy podejśce Shafer a jeśl dae są edokłade operujemy pojęcam eostrym stosujemy podejśce rozmyte.

7 Metody detyfkacja fukcj przyależośc Isteje klka główych metod określaa fukcj przyależośc: subektywa ewaluacja, metody ad-hoc, trasformacja w oparcu o hstogram, określee fukcj przyależośc w oparcu o teorę możlwośc, fuzzyfkacja przestrze rozważań, skalowae psychologcze, Przykład. Załóżmy, że rozważamy zbór osób pracujących przy daym type maszyy zamerzamy utworzyć zbór rozmyty popełający błędy. Wtedy macerz R może wyglądać astępująco: Ja Marek Jerzy Mara Ja Marek /3 3 5 Jerzy /5 /3 5 Mara /7 /5 /5 Elemet (Ja,Mara)=7 ozacza, że ekspert z dużą preferecją kwalfkuje Jaa w stosuku do Maraa do zboru popełający błędy, ym słowy Ja w dużo wększym stopu ależy do zboru popełający błędy. Metoda średej geometryczej: α = j j= r, =,!,. Otrzymujemy: α = 3. 20, α = 50., α = 0. 76, α = 0. 27, Ja Marek Jerzy Mara co po ormalzacj da am zbór rozmyty o fukcj przyależośc: µ A = / Ja / Marek / Jerzy / Mara.

8 Metody ad-hoc polegają a określeu przez eksperta wartośc modalych fukcj przyależośc oraz jej ośka. Poeważ w tym przypadku zaedbyway jest kształt fukcj L R przyjmuje sę wówczas ajczęścej, że są oe lowe.. Dubos Prade (988) propoują detyfkację fukcj przyależość w oparcu o α - przekroje (Rys. 4.), stosując 5-7 stopową skalę lgwstyczą (Tablca 2.2.). A B µ F (x) C D E 0 Rysuek 4. Pozomy przyależośc X Tablca 2. Pęostopowa skala lgwstycza Stopeń zgodośc Pozom przyależość A Zupeła zgodość B Dobra zgodość 0.75 C Zgodość 0.5 D Słaba zgodość 0.25 E Nezgodość 0 Przykład. Załóżmy, że ekspert ma oszacować rozmyte prawdopodobeńśtwo awar elemetu systemu jego zadaem ajbardzej możlwa wartość prawdopodobeństwa wyos p m oraz zawera sę oo w przedzale [ pl, pu]. Wówczas rozmyte ~ p = p, p, p. prawdopodobeństwo awar wyese ( ) l m u

9 Przykład. ZAŁOŻENIA: a podstawe ocey grupy osób mamy uzyskać zbór rozmyty wysoka temperatura, wszystke osoby są zgode, że wysoka temperatura zawera sę w T = 5000, C przedzale [ ] T jest zdyskretyzowae a podprzedzałów T, =!,,., każdą osobę poproszoo o wyrażee swojej subektywej ocey jaka temperatura ze zboru T jest dla ego wysoka przy odpowedo dużej lczbe odpowedz (daych) jesteśmy w stae polczyć prawdopodobeństwa pt ( ), =,!,. wykem eksperymetu jest: wysoka temperatura = [ t,00 ], co moża zapsać: t T () t = [ t ] Γ,00. podstawowe przyporządkowae jest zdefowae astępująco: m t,00 = P T z zageżdżoym elemetam fokalym. ([ ]) ( ) Wówczas otrzymujemy: () ({}) ( ) t µ ysoka temperatura t = Pl t = P T. w Uwaga. Fukcja przyależośc zboru rozmytego wysoka temperatura jest dystrybuatą mary prawdopodobeństwa otrzymaej a podstawe eksperymetu statystyczego. t t

10 Przykład. Załóżmy, że grupa q ekspertów e jest zgoda co do ocey prawdopodobeństwa wystąpea awar elemetu systemu każdy z ekspertów jest w stae podać przedzał lczbowy w którym to prawdopodobeństwo sę zajduje: [ ak, bk], k =,!, q. Poadto załóżmy, że podae przedzały lczbowe a sebe achodzą: q [ ab, ] #[ ak, bk] = k = Przyjmjmy astępujące ozaczee: [ AB, ] = [ ak, bk] q ". Zdefujmy{ I ;,!, } zageżdżoych przedzałów lczbowych: k = [ ab, ] I I2 $ I = [ AB, ] Odpowed zbór rozmyty F moża polczyć astępująco: µ F () x = Pl( {} x ) = m( I ) = Π ({} x ), x I co moża zapsać (Dubos ad Prade 986, 988): gdze: I µ F () x = 0 jeśl x I, () = ( ) µ F x m I j j= jeśl x I \ I, 2, µ F () x = jeśl x I, \ I ależy rozumeć jako różcę zborów I oraz I. Uwag. Warto podkreślć, że jeśl e potrafmy zaaleźć odpowedego odwzorowaa Γ tak aby uzyskać zageżdżoe elemety fokale, to w przypadku zastosowaa teor możlwośc sup µ F x <. { } uzyskamy ezormalzoway zbór rozmyty tz.: ( ) Poeważ teora możlwośc zakłada ormalzację pozostaje am podejśce Shafer a operowae a marach pewośc warygodośc. x