Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Transkrypt

1 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta co ajmej raz. Oblcz wartość oczekwaą lczby powtórzeń. (A) 7 0 7

2 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae. Nech,, K, będą ezależym zmeym losowym z rozkładu jedostajego a przedzale ( 0, θ ), gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Rozważamy estymator parametru θ postac Jeżel = (A) 0 T θ, to dla każdego ( 0,) T = + ) m{,, K, }. ( ε graca lm ( T > ε ) + P jest rówa e ε + e ε e ε e ε e ε

3 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae. Nech,,, K będą ezależym zmeym losowym z rozkładu ormalego o wartośc oczekwaej 0 ezaej waracj σ. Rozważamy estymatory odchylea stadardowego σ postac ˆσ = c c. Nech σˆ c ozacza estymator o ajmejszym błędze średokwadratowym w klase rozważaych estymatorów. Wtedy c jest rówe A) π π + π π + π π +

4 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae. Nech,, K,,K, I, I, K, I, K,N będą ezależym zmeym losowym. Zmee,, K,,K mają rozkład wykładczy o wartośc oczekwaej. Zmee I, I, K, I,K mają rozkład dwupuktowy P ( I = ) = P( I = 0) =. + P N = = dla Zmea N ma rozkład ujemy dwumaowy ( ) = 0,,,K. 0 gdy N = 0 Nech = N SN. > I gdy N 0 Var S Wtedy współczyk zmeośc ES ( ) N N jest rówy (A)

5 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae. Nech Y będą ezależym zmeym losowym z rozkładów o gęstoścach x x e gdy x > 0 f ( x) = 0 w przecwym przypadku, x 6xe gdy x > 0 fy ( x) = 0 w przecwym przypadku. Wtedy E ( Y + Y = s) jest rówa (A) 0 s s s s

6 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 6. Nech,,..., dystrybuace 8 będze próbką z rozkładu prawdopodobeństwa Pareto o dla x ; θ x Fθ ( x) = 0 dla x <, gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Rozpatrzmy zadae testowaa hpotezy H : θ przecwko alteratywe 0 = H : θ =. Zbudowao tak test, dla którego suma prawdopodobeństw błędów I II rodzaju, ozaczaych odpowedo przez α β, jest ajmejsza. Oblcz tę ajmejszą wartość α + β. (A) 0,668 0,6 0,807 0,000 0,667 6

7 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 7. Nech,, K, 0 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze o ezaej medae m. Budujemy przedzał ufośc dla parametru m postac, ], gdze ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby [ :0 7: 0 k: 0, 0,, K. Prawdopodobeństwo P m [, ]) jest rówe ( :0 7: 0 (A)

8 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 8. Nech będze zmeą losową o rozkładze Webulla o gęstośc θ x exp( θx ) gdy x > 0 fθ ( x) =, 0 gdy x 0 gdze θ > 0 jest ezaym parametrem. Nestety e obserwujemy zmeej, ale zmeą Y rówą, gdy >. W wyku tych obserwacj otrzymujemy prostą próbę losową Y, Y, K, Y0 (e wemy le razy pojawły sę wartośc zmeej z przedzału (0,] ) a jej podstawe wyzaczamy estymator ajwększej warogodośc θˆ parametru θ. Doberz stałą c tak, aby zachodzła rówość P ( θ < c ˆ) θ = 0,9 (A) 6,8,8,,7,06 θ 8

9 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 9. Zmee losowe,, K,,K są ezależe o jedakowym rozkładze P ( = ) = P( = ) = P( = ) = P( = ) =. Nech Y0 = oraz ech dla =,,, Kzachodz Oblcz lm P( Y ) + Y = m( Y gdy =, ) gdy < (A) 9

10 Prawdopodobeństwo statystyka r. Zadae 0. Zakładamy, że zależość czyka Y od czyka x (elosowego) opsuje model regresj lowej Y = β 0 + βx + ε, gdze błędy ε są ezależe mają rozkłady ormale o wartośc oczekwaej 0 waracj. Obserwujemy zmee losowe Y, Y, K, Y przy daych wartoścach x, x, K, x. Test ajmocejszy dla weryfkacj hpotezy H 0 : β0 = 0 β = przy alteratywe H β = β : 0 = a pozome stotośc 0,0 odrzuca hpotezę ( Y x )( x ) (A) >, 6 ( x ) ( Y )( x ) >, 6 ( x ) Y ( x ) >, 6 ( x ) ( Y x )( x ) >, 6 ( x ) ( Y )( x ) >, 6 ( x ) H 0, gdy spełoa jest erówość 0

11 Prawdopodobeństwo statystyka r. Egzam dla Aktuaruszy z 0 czerwca 0 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :...K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja E B D C C 6 B 7 C 8 D 9 B 0 A * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.