Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Transkrypt

1 Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau, PWN, Warszawa 000 Dr Krzysztof Potek Krysck, artos, Dyczka, Królkowska, Waslewsk, Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza w zadach, część I Rachuek prawdopodobeństwa, Wydawctwo Naukowe PWN, Warszawa 00 Prawdopodobeństwo jest loścową mara epewośc; jest to lczba, która wyraża słę przekoaa o tym, że zajdze epewe zdarzee. (por. Statystyka w zarządzau, str. 65) FORMLN DEFINICJ DLEJ Zbór zespół jakchkolwek elemetów. Zbór peły Ω zbór, którego elemetam są wszystke obekty rozważaego w daej sytuacj zboru. epewość a brak pewośc sła przekoaa mara subektywa czy obektywa? prawdopodobeństwo obektywe wykające ze struktury ger losowych lub podobych sytuacj prawdopodobeństwo subektywe zależy od dywdualych przekoań, posadaych formacj, tucj przyjmowaych kryterów (p. wyzaczoe przez ekspertów prawdopodobeństwo sukcesu w raze fuzj dwóch frm) Zbór pusty - zbór e zawerający żadego obektu. Dopełee zboru zbór zawerający wszystke elemety zboru Ω, które e ależą do zboru. Dopełee zboru ozaczamy jako Iloczyem zborów azywamy zbór, którego elemety są jedocześe elemetam zboru Iloczy zborów ozaczamy jako Suma zborów to zbór, którego elemety ależą do zboru lub zboru. Ozaczamy przez. Zbory są rozłącze, gdy =.

2 Ω zdarzee w przestrze Ω wypade a kostce lczba spółka zarob węcej ż 0% suma zdarzeń wypade LU lczba wększa rówa będze to spółka z braży chemczej lub przemysłu lekkego loczy zdarzeń zdarzee przecwe wypade parzysta ORZ mejsza od 5 e wypade a kostce spółka zarob co ajwyżej ż 0% 5 będze to spółka z sektora przemysłu cężkego oraz ależąca do WIG0 6 / różca zdarzeń wypade parzysta LE NIE WYPDNIE ależy do WIG0, ale e jest to PKN Orle / zdarzea wykluczające sę wypade parzysta (kupując akcje spółk kupę spółkę z WIG0) wypade (kupując akcje spółk kupę spółkę z MIDWIG) zdarzee zawerające sę wypade parzysta (wzrosą bak) = wypade (wzrośe PH) 7 8

3 Reguły de Morgaa: ) ) ( ) = ( ) = 9 Eksperymetem (dośwadczeem losowym) jest rzut kostką do gry, pomar wzrostu jedego z uczestków kursu, zakup akcj przedsęborstwa X 0 Zdarzeem losowym (zdarzeem) azywamy dowoly podzbór zboru zdarzeń elemetarych. Zdarzee losowe składa sę zatem z pewej lczby zdarzeń elemetarych. O zdarzeach elemetarych składających sę a zdarzee mówmy, że sprzyjają zdarzeu. Szczególym zdarzeem losowym jest zdarzee emożlwe, tz. take, któremu e sprzyja żade ze zdarzeń elemetarych (jest zborem pustym) oraz zdarzee pewe, tz. take, któremu sprzyjają wszystke zdarzea ze zboru zdarzeń elemetarych Ω. Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest zborem wszystkch możlwych wyków eksperymetu. Jest oa zborem pełym Ω zwązaym z daym eksperymetem. Wypade {,,,,5,6}, wzrost jest {<60-70),<70-80),<80-90)}, {cey wzrosły, e zmeły sę, zmalały} Zdarzea: wypadła parzysta lczba oczek {,,6}, wzrost śred był e Przykłady zdarzeń Dla dośwadczea z rzutem jedą kostką sześceą Ω = {w : =,...6}. Zdarzee = wypadła lczba parzysta, to podzbór przestrze zdarzeń elemetarych ={w,w,w 6 }. Zdarzee = wypadły węcej ż oczka, zachodz wtedy tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyl ={w 5,w 6 }. Zdarzee C= lczba wyrzucoych oczek jest kwadratem lczby aturalej, zachodz wtedy tylko wtedy, gdy wypadło lub oczka. C = {w, w }. Zdarzee D= lczba wyrzucoych oczek przystaje do modulo, zachodz wttw gdy lczba wyrzucoych oczek przy dzeleu przez daje resztę. Czyl D = {w, w }. Dwa zdarzea są detycze jeśl mają te same zbory sprzyjających zdarzeń elemetarych. mejszy ż 70 cm, cea akcj e zmeła sę.

4 5 6 Dośwadczee z rzutem kostkam sześceym. = suma oczek jest lczbą parzystą lub eparzystą = w sume wypadło co ajwyżej oczek C = w sume wypadło 7 oczek D = loczy wyrzucoych oczek jest lczbą parzystą E = co ajmej a jedej kostce jest lczba parzysta F = wyrzucoo co ajmej raz 6 G = wyrzucoo co ajmej raz 5 zdarzea pewe zdarzee emożlwe zdarzea detycze loczy tych zdarzeń to suma wyrzucoych oczek wyos Zdarzee F G jest realzowae przez zdarzea elemetare {w 6 : =,,,,5,6} {w 6 : =,,,,5} {w 5 : =,,,,5} {w 5 : =,,,}. Jest 0 zdarzeń elemetarych sprzyjających zdarzeu F G. Zdarzee a razu e wystąpła 6 a 5 to zdarzee Ω-(F G)= {w j :,j=,,,}. Zdarzeń sprzyjających jest tu F G- wyrzucoa co ajmej raz 5 lub co ajmej raz 6 Ω-(F G) a razu e wypadło 5 lub 6 Wykluczae sę zdarzeń Zdarzeem przecwym do zdarzea azywa sę zdarzee = Ω \ Powemy, że dwa zdarzea wykluczają sę =. W dośwadczeu polegającym a losowau kolejo ze zwracaem kart, zdarzea = wylosowao za każdym razem asa (kupując akcje spółk kupę spółkę z WIG0) = za drugm razem wylosowao dzesątkę (kupując akcje spółk kupę spółkę z MIDWIG) są zdarzeam wykluczającym sę. 5 Pojęce prawdopodobeństwa Nech Ω ozacza przestrzeń zdarzeń elemetarych. Prawdopodobeństwem azywamy fukcję P określoą a zdarzeach taką, że () P() 0 dla dowolego zdarzea, () P( ) = P() + P() dla dowolych zdarzeń, wykluczających sę, () P(Ω) =. Kołmogorow, 9 6

5 Własośc prawdopodobeństwa klasycza defcja prawdopodobeństwa: Laplace 8 Nech Ω będze przestrzeą zdarzeń elemetarych.wtedy (a) P( ) = 0 (b) jeżel, to P() P(), (c) dla każdego Ω, P(), (d) P() = - P(), (e) P( ) = P() + P() - P( ) 7 jeśl lczba elemetów zborów Ω jest skończoa, a zdarzea elemetare są rówo możlwe to: P( ) = ( ) ( Ω ) () lczebość zboru, moc zboru, lczba kardyala card()=() dla rzutu kostka do gry card(ω)=6 () lczebość zboru (Ω) lczebość zboru pełego 8 Jake jest prawdopodobeństwo wylosowaa fgury w jedym ze starszych kolorów ze stadardowej tal kart? () = * =8 (Ω) = 5 kolor starszy pk lub ker 8 P( ) = = 5, 8% 5 Jake jest prawdopodobeństwo wylosowaa osoby z ebeskm oczam?? (a jakm teree?, w jakm czase?, e mamy możlwośc zazwyczaj sprawdzea całego zboru zdarzeń elemetarych (kolory oczu) a populacj (ludze o odpowedch kolorach oczu) 9 Prawdopodobeństwo zdarzea w sytuacj, gdy zaszło zdarzee azywamy prawdopodobeństwem warukowym zdarzea ozaczamy P( ). P( ) = P( ) P( ) P( ) = P( ) P( ) 0

6 W ure są kule bałe czare. Losujemy kule bez zwracaa. Jake jest prawdopodobeństwo, że perwsza kula będze bała, a druga czara C -ta kula jest czara, -ta kula jest bała P = P C 6 = 5 P C =? P( C ) = P( ) P( C ) = = waża kolejość czara bała /6 /6 kula wylosowaa bała czara czara bała /5 /5 /5 /5 kula wylosowaa 0 reguła loczyu Pośród 0 spółek, jak sę późej okazało, było 8 spółek wzrostowych. Iwestor zbudował portfel składający sę z spółek. Jake jest prawdopodobeństwo, że jego portfel składa sę wyłącze z spółek wzrostowych? = wybraa w -tej kolejośc spółka jest wzrostowa P( ) P( ) P( ) P = = = =, 9% Nezależość zdarzeń: rówoważe waruk ezależośc zdarzeń = P = P ( ) = P P P P P Czyl, zajśce zdarzea e wpływa a prawdopodobeństwo zajśca zdarzea. Zdarzee e zależy od tego czy zajdze czy też e zdarzee. Prawdopodobeństwo warukowe

7 Rzucamy razy kostką do gry. Zdarzee polega a wyrzuceu parzystej lczby (a każdej kostce) oczek. Zdarzee polega a wyrzuceu 6 przyajmej a kostce. Czy zdarzea są ezależe? erozróżale kostk Z reguły de Morgaa: ( ) = Ω={,,,,5,6,,,,5,6,,,5,6,,5,6,55,56,66} ={,,6,,6,66} ={6,6,6,6,56,66} ={6,6,66} ={,,6,,,6,6,6,66} źle bo erozróżale (Ω)=, ()=9, ()=6 ( )= 6 6 P( ) =, P ( ) =, P P = 9 7 P( ) = = 9 zdarzea zależe 5 ( ) = ( ) P P ( ) = ( ) P... P... Prawdopodobeństwo zajśca co ajmej jedego zdarzea jest rówe mus prawdopodobeństwo tego, że e zajdze żade ze zdarzeń. Reguła de Morgaa jest szczególe przydata, gdy zdarzea są ezależe!! 6 Prawdopodobeństwo trafea do celu przez strzelców (każdy ma własą strzelbę) wyos odpowedo 80%, 70% 90%. Oblczyć prawdopodobeństwo, że przyajmej strzelec traf. korzystamy z tego, że zdarzea są ezależe... ( ) = ( ) ( ) ( ) P P P P P = 0, 0, 0, = 99, % Strzelec trafa do tarczy z prawdopodobeństwem 0,. Ile strzałów mus oddać, by z prawdopodobeństwem e mejszym ż 0,95 trafł co ajmej raz do tarczy? (zakładamy ezależość zdarzeń) ( ) = ( ) ( ) P... P... P 0, 6 0, 95 l 0,05 5, 86 l 0,6 logarytm o dowolej podstawe Strzelec powe oddać 6 strzałów. 7 8

8 Z tal 5 kart losujemy kartę, jake jest prawdopodobeństwo, że ta karta będze asem lub treflem? wylosujemy asa wylosujemy trefla ( ) = + P P P P P 6 P( ) = + = = PORÓWNNIE dla zdarzeń ezależych: P( ) = P + P P( ) P( ) = P + P P P dla zdarzeń zależych: P( ) = P + P P P( ) dla zdarzeń wykluczających sę: bo P( ) = P + P ( ) = 0 P 9 0 Prawdopodobeństwo całkowte Jeżel: zdarzee zawera sę w sume zdarzeń,,..., param wyłączających sę, tz.... j = dla j, to : P()=P( )P( )+ P( )P( )+... P( )P( ) Ura Ura Z przypadkowo wybraej ury wyberam kulę. Jake jest prawdopodobeństwo, że wycągemy kulę bałą, jeżel prawdopodobeństwo wybraa każdej z ur wyos ½? Nech ozacza wybrae kul bałej. U wybrae ury perwszej U wybrae ury drugej. Zbór zdarzeń elemetarych polegających a wybrau jedej kul rozpada sę a dwa podzbory: wybraa kula pochodz z ury U, wybraa kula pochodz z ury U. P(U)=P(U)=0,5 P( U)=/5 P( U)=/5 P() = P(U) *P( U) + P(U) *P( U) =/*/5+/*/5 P() = /5

9 Telewzory produkują dwe fabryk, z których jeda wykouje 60% a druga 0% całej produkcj. Perwsza fabryka wypuszcza a ryek 90% telewzorów bez braków, a druga 80%. Jake jest prawdopodobeństwo kupea telewzora bez braku? Ozaczea F = telewzor wyprodukowała fabryka -ta = kupoy telewzor e ma braku P(F)=6/0 P(F)= /0 P( F)= 9/0 P( F)=8/0 P( F) P(F) F P( F) P(F) F P(F)*P( F) P(F)*P( F) Odp.: P() = /50 Wzór ayesa: Jeżel zdarzee zawera sę w sume zdarzeń,,..., param wyłączających sę, tz.... j= dla j, to P( ) P( ) P( ) = PP( ) + PP( ) +... PP( P( ) = P( ) P( ) P( ) ) Wzór ayesa P( ) = pozwala am odwrócć stosuek zależośc mędzy zdarzeam, czyl oblczyć P( ), gdy zae jest P( ). jeśl zdarzea zastało, to jake jest prawdopodobeństwo, że przyczyą tego zdarzea było zdarzee jeśl prawdopodobeństwo P() e jest zae, to tak moża wyzaczyć ajbardzej prawdopodobą przyczyę P( ) P( ) P( ) 5 Frma X kupuje erozróżale częśc od dostawców, którzy dostarczają odpowedo 0%, 0% 60% towaru. Na podstawe kotrol wewętrzych dostawcy oceają, ż w ch dostawach zajduje sę odpowedo %, 0% % braków. Stwerdzoo, że produkt frmy X ma usterkę. Od którego dostawcy pochodz wadlwy podzespół z ajwększym prawdopodobeństwem? produkt końcowy wadlwy produkt pochodz od -tego dostawcy = prawdopodobeństwa a pror P()=0% P( )=% P()=0% P( )=0% P()=60% P( )=% P = P P = 0, 0, 0 + 0, 0, + 0, 6 0, 0 = 0, 056 prawdopodobeństwa a posteror P( ) P( ) P( ) = P( ) 0, 0,0 P( ) = =,6% 0,056 0, 0,0 P( ) = = 5,6% 0,056 0,6 0,0 P( ) = =,8% 0,056 6

10 Kombatoryka Reguła loczyu: jeśl dla daej czyośc k-etapowej; etap moża wykoać a sposobów etap moża wykoać a sposobów etap k moża wykoać a k sposobów to całość czyośc moża wykoać a: sposobów. N = k 7 sla 0!=!=!=!=6!= 5!=0 6!=70 7!=500 8!=00 9!=6880 0!=68800!= ! =! =! ; > 0! =...!=5, E+09 8 Permutacje bez powtórzeń a le sposobów moża uporządkować -elemetowy zbór losowae spośród róży elemetów bez zwracaa { } P =! =,, P =! = 6 waża kolejość (,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ),(,, ) permutacje! 9 Producet ma samochód dostawczy, którym dowoz codzee towar do 5 puktów sprzedaży. Ile różych tras trzeba rozważyć, by (zakładając, że samochód wraca a oc do frmy), by zaleźć ajkorzystejsze rozwązae? P = 5! = 0 = 60 aza 5 le jest możlwych ustaweń zboru {,,,,5} Problem komwojażera a jeśl chce odwedzć każde z mast wojewódzkch?? 6 P = Sprawdzee wszystkch możlwych dróg, gdyby komputer sprawdzał 000 dróg w cągu sekudy, zajęłoby około lat!! 0

11 Permutacje z powtórzeam a le sposobów moża uporządkować -elemetowy zbór, w którym elemet a występuje razy Przykład permutacja z powtórzeam, reguła loczyu oraz kombacje bez powtórzeń Iwestor ma do dyspozycj spółek. Na le sposobów może utworzyć portfele po spółk (każdy portfel składa sę z spółek, każda spółka a = = występuje tylko w portfelu)? a = = a = = 8,,!,,..., k! = P = =. 650 P =!!...!!!! k,, 5! P = = 0 5 kolejym spółkom wylosowyway jest portfel lub lub C!!! permutacje możemy rozumeć jako łańcuchy kombacj typu CCCC gdze perwsze ozacza, że perwsza spółka waża kolejość trafa do portfela V 0 waracje bez powtórzeń uporządkoway podzbór składający sę z k elemetów wybraych z różych elemetów V k =! k! ( ) waża kolejość Trzeba wybrać osoby, które mają wząć udzał w akece. Wszystkch potecjalych kadydatów jest 0. Każda z wybraych osób ma być przydzeloa jedemu z aketerów. Ile jest możlwośc przydzału? 0! = = = 500 0! 70 ( ) perwszy ma 0 możlwośc drug ma 9 możlwośc czwarty ma 7 możlwośc waracje z powtórzeam uporządkoway podzbór składający sę z k-elemetów (różących sę mędzy sobą lub e elemety mogą sę powtarzać) wybray ze zboru -elemetowego losowae ze zwracaem, waża kolejość V k = k le jest możlwych zdarzeń elemetarych przy krotym rzuce kostką do gry? V = 6 = 6 6 waracja waracja to e to samo

12 kombacje bez powtórzeń wyberamy k-elemetowy zbór z -elemetowego, e waża kolejość, losowae bez zwracaa C k! = = k k!( k )! Jake jest prawdopodobeństwo wylosowau 6-tk w totolotka? P = = jak jest system wygraej w totolotka?? Jake jest prawdopodobeństwo wylosowaa -k w totolotka? Symbol Newtoa czytamy ad k mus być awas, 6 P( ) = = 0, 09686% e może być kresk ułamkowej 5 6 Przykład: defcja prawdopodobeństwa, reguła loczyu, suma zborów, kombacje Z tal 5 kart wyberamy losowo 5 kart. Oblczyć prawdopodobeństwa, że wśród wybraych kart będą: a) dokłade asy: 8 8 P( ) = = = 0, 76% b) co ajwyżej asy (a jak to polczyć aczej?) P( ) = = = 99, 85% c) asy króle P( ) = = = 0, 0609% Przykład: zbory dopełające sę, prawdopodobeństwo Wśród 50 spółek 5 przyese bardzo wysoke dochody. Iwestor kupuje spółk. Oblczyć prawdopodobeństwo, że wśród kupoych spółek przyajmej jeda jest z grupy bardzo korzystych P = P( ) = = 0, 8 = 7% żada e będze bardzo korzysta 7 8

13 Kombacje z powtórzeam k-elemetowe próby z -elemetowego zboru, ze zwracaem, kolejośc eważa moża terpretować jako rozmeszczee k erozróżalych elemetów w komórkach (szufladkach) w tak sposób, że w jedej szufladce może być klka elemetów lub zero Na le sposobów moża rozmeścć 0 osób w pokojach, jeśl: a) osoby są rozróżale (e chodz tylko o lość osób w pokojach) V = = waracja z powtórzeam osoby sę e powtarzają, ale jakby losujemy przydzał do pokoju zawracamy pokój do kolejego losowaa C k + k + k = = k b) osoby są erozróżale (chodz tylko o lość osób w pokojach) C = = = Lczba osób w poszczególych pokojach waha sę od zera do W ure zajdują sę kule: bała, czara zeloa. Z ury losujemy 6 razy po kul ze zwracaem. Oblczyć prawdopodobeństwo, że przy takm losowau każdy kolor pojaw sę dwukrote. P permutacje z powtórzeam waża kolejość P = = V,, waracje z powtórzeam 6 losowań z elemetowego zboru waża kolejość 5