PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI"

Transkrypt

1 Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak pewa klasa zadań, gdze aalza lowa jest e wystarczająca. Powstało wele moografczych opracowań tego typu zagadeń [,,3,4,5,6,7,8]. Efektywe korzystae z algorytmów aalzy elowej stało sę możlwe dzęk wykorzystau techk komputerowej oraz rozwojow metod umeryczych. Spośród stosowaych obece algorytmów a szczególą uwagę zasługują MEB [9, 3], MES [,3,4,5,6,8,0,] oraz MRS [3]. Z teoretyczego puktu wdzea wszystke wymeoe metody są szczególym przypadkem metody odchyłek ważoych [3,,8]. Algorytm metody tej przebega w astępujących etapach. Najperw określamy postać przyblżoego rozwązaa zadaa brzegowego Lu ( ) b( ) B=0 dla x Ω () b L u B =0 dla x Ω () jako kombację lową pewych fukcj bazowych ϕ tz. ( ) Nezae współczyk a ( ) ( ) h = ( ) = ϕ ( ) u x a x oblczamy rozwązując układ rówań algebraczych: ( ) b ( ) [ ( h ) ] Ω ( h ) b [ ] ( ). (3) Lu Bϕ d + L u B ϕ d Ω = 0 dla =,...,. (4) Ω Ω Doberając odpowedo fukcje ϕ otrzymujemy metodę kolokacj, metodę elemetów skończoych (jako szczególy przypadek metody Galerka), metodę elemetów brzegowych lub metodę różc skończoych. ( ) Przyblżoe rozwązae problemu brzegowego (,) otrzymujemy wstawając rozwązaa układu rówań (4) a h do wzoru (3). Z oblczeowego puktu wdzea bardzo stotym etapem oblczeń jest rozwązae układu rówań elowych (4). Isteje bardzo wele metod rozwązaa tego problemu [,3,3,0,6]. Moża tu przykładowo wymeć: metodę przyrostową, metodę teracyją eprzyrostową, metody asymptotycze oraz metody specjale dostosowae do aalzy ograczoych klas zagadeń elowych. Jeżel mamy do czyea z układem mechaczym, w których może jedocześe występować klka staów rówowag [4], to rówaa rówowag będą meć węcej ż jedo rozwązae. Taka sytuacja występuje róweż w zagadeach stateczośc. Aalzując fzyczą stroę zagadea zwykle możemy oszacować obszar X, w którym ależy poszukwać rozwązaa daego problemu brzegowego. Z matematyczego puktu wdzea zagadee możemy sformułować astępująco. Dla daej fukcj gr : X R pewego przedzału X R zaleźć wszystke perwastk rówaa: gx ( ) = 0 (5) w obszarze X. Należy podkreślć, że w ogólym przypadku żada z wymeoych metod rozwązywaa rówań elowych e gwaratuje rozwązaa tego zagadea. W ostatch latach pojawły sę algorytmy oparte a matematyce przedzałowej [5,6,7], które pozwalają a zalezee wszystkch perwastków rówaa g(x)=0 w daym -wymarowym przedzale X. Celem pracy jest przedstawee zastosowaa tych algorytmów w elowej mechace kostrukcj. (*) Mgr ż. -Poltechka Śląska

2 . Arytmetyka przedzałowa Przez domkęty przedzał rozumemy astępujący zbór: + { } X = x: x x x. (6) Zbór wszystkch przedzałów ozaczymy przez I(R). Dla dowolych a,b Ι(R) defujemy dwuargumetowe dzałaa zgode z wzorem: a! b = { x! y: x a, y b,! {,+,-,/}}, (7) oraz jedoargumetowe określoe astępującym wzoram: + + a + a a a + md( a) =, rad ( a) =, w(a) = w - w dla a I(R). (8) Jeśl ABCD,,, IR ( ) oraz "!" jest dzałaem w zborze I(R), to. A B C D A! C B! D. (9) ABCD,,, I( R) Własość ta zwaa cluso sotocty jest jedą z ajważejszych w całej matematyce przedzałowej. Fukcją przedzałową azywamy dowolą fukcję F określoą a przedzałowych argumetach X,..., X o wartoścach w zborze przedzałów I(R). Weźmy pod uwagę fukcję f: R Df R przedzałową fukcję FI :( R ) I( R). Przedzałową fukcję F będzemy azywal przedzałowym rozszerzeem fukcj f gdy: f( x,..., x) = F(x,..., x), (0) ( x,..., x) Df Przedzałowe rozszerzee fukcj ma szereg teresujących własośc, które są szczegółowo omówoe p. w pracy [8,9]. Nech X I( R ), przez aturale rozszerzee przedzałowe fukcj f a przedzał X będzemy rozumel wyrażee arytmetycze, które powstaje z wyrażea arytmetyczego określającego fukcję f przez zastąpee wszystkch zmeych rzeczywstych x odpowedm przedzałam oraz wszystkch dzałań arytmetyczych, odpowedm dzałaam a przedzałach. Naturale przedzałowe rozszerzee wyrażea arytmetyczego f(x) ozaczamy przez F(X). Przykładowo aturalym przedzałowym rozszerzeem fukcj f( x) = x x jest fukcja F(X) = X X, gdze x R X I( R). Wartość fukcj F a terwale [-,] wyos: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] F(, ) =,,, =, () Wartość fukcj f a -wymarowym terwale X ozaczamy f(x) określamy przy pomocy formuły: f( X) = f( x): x X () Przykładowo gdy f( x) = x x sę bardzo ważą własoścą:, to [ ] { } f(, ) =,. Naturale rozszerzee przedzałowe fukcj f charakteryzuje 4 X I( R ) f(x) F(X). (3) Czyl wartość f(x) zawsze możemy oszacować z góry z dołu wartoścą rozszerzea przedzałowego F(X), poadto zalezee wartośc F(X) jest o wele prostsze ż oblczee f(x). Podae własośc aturalego rozszerzea przedzałowego, są podstawą algorytmu przedzałowej optymalzacj globalej. Dowolą fukcję przedzałową F posadającą własość (3) azywamy fukcją kluzyją fukcj f. 3. Przedzałowa metoda Newtoa Weźmy pod uwagę cągłą różczkowalą fukcję g: R R 0. Będzemy poszukwal rozwązań rówaa g(x)=0 w daym -wymarowym przedzale X. Podstawową zaletą przedzałowej metody Newtoa jest to, że daje oa możlwość zalezea wszystkch perwastków w daym przedzale X, co jest ewykoale gdy użyjemy klasyczego algorytmu. Koleje krok algorytmu podae są w pracach [5,6,8,0] tutaj ograczymy sę do przedstawea ajważejszych de. Moża pokazać (patrz p. [6,0]), że z twerdzea Lagrage a wyka wzór: g(x j,...,x, x +,...,x ) g(y) j g(x)+ j (y-x ) 0 dla j=,..., (4) = x lub w postac macerzowej: g(y) g(x) + J(X, x)(y - x) 0 (5)

3 [ ] [ ] + + gdze0, [ ] [ ] X = x, x,..., x, x = X,..., X, y X, x = md X ( ), x [ x x ] =,...,, g( X, x,..., x) g( X,..., X)... x x g j( X,..., X, x+,..., x) JXx (, ) = x 00. g( X, x,..., x) g( X,..., X)... x x Dla ustaloej wartośc x określmy zbór: S = { y R : g(x) + J(x ', x)(y - x) = 0, x' X} 0 (6) zbór te zawera wszystke wektory y, dla których g(y)=0. Ideą przedzałowej metody Newtoa jest koleje zmejszae przedzału X tak długo, aż S będze tak małe jak będzemy tego sobe życzyć. Przez Y ozaczymy ajmejszy -wymarowy przedzał zawerający rozwązae przedzałowego układu rówań: g(x) + J(X, x)(y - x) = 0 0. (7) lub Ay=B,0 (8) gdze A=J(X,x), B=J(X,x)x-f(x), a J(.,.) ozacza przedzałowe rozszerzee zwykłego jakobau. Rozwązae przedzałowego układu rówań (8) ozaczymy przez Σ( AB, ) określmy astępująco: Σ( AB, ) = { y R : Ay ~ = B ~, A ~ A, B ~ B }.0 (9) Metody rozwązywaa przedzałowych układów rówań lowych przedstawoe są w pracach [7,]. Nech Y ozacza ajmejszy -wymarowy przedzał zawerający zbór Σ( A, B ). Fukcję, która określa zbór Y a podstawe zboru Σ( A, B ) ozaczymy przez hull(.), tz. Y = hull Σ( A, B). Z defcj zboru S wyka, że S Y por.[5,8,0]0. Pożej podajemy teracyjy algorytm przedzałowej metody Newtoa: ) Ustalć początkowe oszacowae zboru rozwązań X = X, przyjąć k=. ) Oblczyć przedzałowe macerze A k B k : 3) Ak = J( Xk, md( Xk)). 4) Bk = J( X k, md( X k)) md( X k) g( md( X k)). 5) Oblczyć Yk = hull Σ(A k, B k ). 6) Oblczyć Xk+ = Yk Xk. 7) Sprawdzć krytera zatrzymaa oblczeń (p. możemy ograczyć lczbę teracj). 8) Skok do puktu. Rozważymy rówae gdze g R D R 4. Przedzałowa metoda bsekcj gx ( ) = 0 (0) : jest daą fukcją a D jest welowymarowym przedzałem + D = [ d d ] =,. Nech GIR :( ) IR ( ) będze fukcją kluzyją dla fukcj g. Z własośc cluso sotocty arytmetyk przedzałowej wyka, że jeżel: 0 G( D) () gdze G(.) jest fukcją kluzyją (p. aturalym rozszerzeem przedzałowym), to fukcja g(x) e ma perwastków w obszarze D. Metoda bsekcj (porówaj []) oparta jest a własośc () w przypadku welowymarowym oblczea możemy przeprowadzać zgode z astępującym algorytmem:. Przyjąć Y=D.. Zacjować lstę L={Y}. : w(y j) = max w(y ) oraz podzelć Y wzdłuż współrzędej k {,...,} otrzymując dwa podprzedzały V, V tak, że Y = V V, oraz ItV ItV =. 3. Oblczyć k = m j {,..., } 4. Jeśl 0 G( V )(=,), to usuąć elemet V z lsty L, w przecwym przypadku dołączyć przedzał V a koec lsty L.

4 5. Jeśl lsta L jest pusta, to rówae g(x)=0 e posada perwastków w przedzale D ależy zakończyć oblczea. 6. Jeśl max w( V) < ε, to dź do puktu 8. V L 7. Ozaczyć perwszy elemet lsty L przez Y przejść do puktu Wszystke perwastk rówaa g(x)=0 zajdują sę w przedzałach z lsty L. Zakończyć oblczea. Należy podkreślć, że do stosowaa metody bsekcj potrzeba wystarcza aby dla fukcj g(x) stała fukcja kluzyja G(X), czyl odwzorowae g może być w ogólośc eróżczkowale, a awet ecągłe. 5. Metoda mmalzacj 5. Przedzałowa optymalzacja globala Szczegółowy ops algorytmu zajduje sę w pracach [9,0,3,4,6,7], tutaj ograczymy sę do przedstawea jedye jego ajważejszych elemetów. Będzemy rozważal odwzorowae f określoe a - wymarowym przedzale X0 o wartoścach w zborze lczb rzeczywstych R. Poszukujemy ekstremalych wartośc fukcj f określoej a zborze X tz. lczb: + f = f{ f(x): x X} 0 f = sup { f( x): x X }.0 () Przedzałowa optymalzacja globala jest jedyym stejącym algorytmem, który gwaratuje oszacowae globalego mmum dla dowolej elowej fukcj celu z 00% gwaracją wyków uwzględeem błędów zaokrągleń. 5.. Podstawowy algorytm Algorytm globalej optymalzacj opera sę a astępującym schemace (algorytm Hasea [7]):. Przyjąć Y=X.. Oblczyć F(Y) f = max F(md( Y)). 3. Przyjąć y=mf(y). 4. Zacjować lstę L={(Y,y)}. { j } 5. Oblczyć k = m j : ( Y ) = max w( Y ), { } w j,...,. 6. Podzelć przedzał Y a dwe rówe częśc V, V wzdłuż keruku k. 7. Oblczyć F(V ), F(V ). 8. Przyjąć v = m F(V ) dla =,. 9. Dołączyć pary ( V v ) ( V v ),,, a koec lsty L. 0. Usuąć z lsty L wszystke pary (Z,z) dla których spełoa jest zależość f < z (test puktu środkowego).. Jeśl spełoe są krytera zbeżośc przejść do puktu 4.. Zazaczyć perwszą parę lsty L jako (Y,y). Przyjąć f = m { f, max F(md( Y)) }. 3. Skok do puktu Koec oblczeń. W celu przyspeszea zbeżośc algorytmu wprowadzoo pewe dodatkowe procedury, które zostaą opsae pożej. 5.. Sprawdzee mootoczośc Jako kryterum mootoczośc moża przyjąć astępujący waruek koeczy: f(x) x X 0.0 (3) x F(X) Stąd jeśl 0,0 to wtedy fukcja jest mootocza w X. W przypadku stwerdzea mootoczośc x ekstremale wartośc fukcj f a pewo zajdują sę a brzegach przedzału X możemy w dalszych oblczeach używać puktowych wartośc x, x +. Aby moża było stosować tę procedurę fukcja f mus być klasy C.

5 5..3 Test puktu środkowego W klasyczym algorytme aby odrzucć przedzał X wystarcza by spełoa była erówość: F(X) < F(X ). (4) Oczywśce, jeśl spełoa jest erówość: f( md( X)) < F(X ), (5) to globale mmum róweż (a pewo) e zajdze sę w przedzale X możemy go odrzucć. Procedurę sprawdzającą erówość (5) azywamy testem puktu środkowego. W ogólośc lewa stroa erówośc (5) może być oblczoa dla dowolej wartośc x 0 z przedzału X. Aby stosować test puktu środkowego dla daej fukcj f mus steć jedye fukcja kluzyja F(X), czyl f może być eróżczkowala, a awet ecągła Sprawdzee wypukłośc fukcj Jeśl fukcja f(x) posada mmum w pukce x 0, to jest w otoczeu tego puktu wypukła. Czyl hesja H tej fukcj jest w otoczeu tego puktu dodato określoy. Warukem koeczym dodatej określoośc Hesjau jest by dagoale elemety hesjau tz. H były eujeme ( H 0). Jeśl H ( X) < 0 (6) dla jakegokolwek {,..., }, to w przedzale X brak lokalych mmów. W przypadku gdy przedzał X e ma wspólych śca z brzegem wyjścowego obszaru X 0, to możemy go odrzucć w dalszych oblczeach. Aby moża było stosować test wypukłośc fukcja mus być klasy C Przedzałowa metoda Newtoa Pukty stacjoare fukcj f spełają astępujące rówae: grad f(x) = 0. (7) W celu zalezea perwastków rówaa (7) stosujemy przedzałową metodę Newtoa. Przy pomocy, której zajdzemy wszystke perwastk lub stwerdzmy ch brak. Gdy day przedzał e zawera puktów stacjoarych oraz e posada wspólego brzegu z początkowym przedzałem X, to możemy go pomąć w dalszych oblczeach, poeważ a pewo e zawera globalego mmum. Aby moża było stosować tę procedurę fukcja f mus być klasy C [0] Dobór odpowedej fukcj kluzyjej Użyce specjalych fukcj kluzyjych, zamast aturalego przedzałowego rozszerzea, prowadz zwykle do przyspeszee zbeżośc algorytmu. Korzystając z twerdzea Lagrage a moża pokazać, że: F(X) f( X) f( x) + ( X x), (8) x = gdze x X oraz F(. ) f jest fukcją kluzyją w pochodej. Ie sposoby budowaa fukcj kluzyjych x x moża zaleźć w pracy [5]. 5. Algorytm metody mmalzacj W pracy [8] J. Pter pokazał, że rozwązaa rówaa g(x)=0 ( gr : R ) jest rówoważe problemow mmalzacj fukcjoału: fx ( ) = gx ( ) (9) gdze. jest dowolą ormą w przestrze R p. ( ) gx = gx ( ) = g( x), gx ( ) = gx ( ) = g ( x) tp.. Rówoważość problemów wyka z aksjomatów ormy. ( gx ( ) = 0 gx ( ) = 0). Poeważ fukcjoał f(x) może być bardzo skomplkowaą elową fukcją, dlatego jako algorytmu poszukującego mmum przyjmujemy algorytm przedzałowej optymalzacj globalej. 6. Przykłady zastosowań = =

6 6. Ogóle formacje o elowych rówaach algebraczych MES Jak wadomo (porówaj [,3,4,8]) w przypadku materałów sprężystych po zastosowau skończee elemetowej aproksymacj pola przemeszczeń rówaa rówowag mają astępującą postać: ( K ab K ab ( q() t ) K ab a 0 ( q() t )) qb () t Q () t + + = (30) Rówae (30) moża w skróce zapsać w postac: ab a ( ()) b () () K q t q t = Q t (3) Ogóle moża przyjąć, że eprzyrostowe rówaa MES (metody odchyłek ważoych), są astępującej postac (porówaj [,3,4,6,8,0]): K(q)q=Q. (3) gdze q jest wektorem uogóloych przemeszczeń, czyl są to układy elowych rówań algebraczych. 6. Przykład umeryczy W charakterze przykładu rozpatrzymy zadae, w którym ależy określć położea rówowag układu przedstawoego a rysuku (por. [3]). ϕ Rys. Rówae rówowag w tym przypadku mają astępującą postać: P L s( ϕ) = c ϕ (33) gdze P.=mg jest cężarem cała, L jest długoścą pęta, c jest stałą sprężystośc lowej sprężyy oraz ϕ ( ϕ 0, ϕ 0 ) jest kątem, o który obrócł sę pręt od położea początkowego. Rówae (33) moża przekształcć do astępującej postac: kϕ s( ϕ) = 0 (34) c gdze k =. W celu uproszczea oblczeń przyjmujemy k = 3 3 P L 4π. Stosując przedzałową metodę Newtoa otrzymujemy rezultaty przedstawoe w tabel. Tabela Rozwązaa otrzymae przedzałową metodą Newtoa Lczba Początkowe przedzały [rad] teracj π π π π π,, π, [-.67, ] X [.073,.67] 3 [-.0957, ] X [.0935,.0957] 4 [ , ] X [ , ]

7 Podczas oblczeń perwastka w przedzale π π, wystąpł błąd dzelea przez przedzał zawerający 0. Trudośc tej moża ukąć stosując uogóloą arytmetykę Kaucher a [30,3]. Należy dodać, że stosując arytmetykę Kaucher a możemy dowole doberać przedzał początkowy. Stosując przedzałową metodę bsekcj otrzymujemy astępujące perwastk rówaa: Tabela Lczba teracj Przedzałowe rozwązaa otrzymae metodą bsekcj Elemety lsty L spełające waruek 0 F(X) [rad] 0 [-.356, -.963],[-0.393, 0], [0, 0.785], [.57,.356] 0 [-.60, -.963], [-.96,0], [0,96], [.963,.356] 30 [-.60,-.06], [-0.098, 0], [0, 0.098], [.06,.60] 40 [-., -.086], [-0.049, 0], [0, 049], [.06,.] π π Rozwązae dokłade ϕ =, ϕ = 0, ϕ 3 =. 3 3 Wyk oblczeń metodą mmalzacj wg. algorytmu Hasea przedstawa tabela 3. Tabela 3 Przedzałowe rozwązaa otrzymae metodą mmalzacj Lczba Elemety lsty L [rad] teracj 0 [-.60, -.06], [-.06, -.963], [-0.393, -0.96], [-0.96, 0], [0, 0.96], [0.96, 0.39], [.963,.60] 30 [-., -.086], [-.086, -.06], [-0.098, ], [-0.049, 0], [0, 0.049], [0.049, 0.098], [.06,.] 40 [-.098,-.09], [-.09,-.086], [-0.05, -0.0], [-0.0, 0], [0, 0.0], [0.0, 0.05], [.086,.098] 7. Wosk Z przeprowadzoych oblczeń wyka, że przedzałowa metoda Newtoa jest ajszybcej zbeżą metodą spośród przedstawoych przedzałowych metod rozwązywaa rówań elowych. Jedak metoda ta wymaga aby fukcja g(x) była klasy C. Poadto w przypadku, jeśl w przedzale początkowym X będze węcej rozwązań, to algorytm będze zbeży do zboru, który zawera wszystke perwastk wtedy e otrzymamy oszacowaa wartośc puktowych. (W pracy [7] zajduje sę ops zmodyfkowaego algorytmu przedzałowej metody Newtoa, który jest zawsze zbeży do wartośc puktowych.) Przedzałową metodę bsekcj możemy stosować awet w przypadku gdy fukcja g jest eróżczkowala ecągła (powa meć jedye określoą fukcję kluzyją) jedak algorytm te jest stosukowo wolo zbeży. Poadto kryterum 0 G( X) jest warukem wystarczającym, ale e koeczym stea perwastka rówaa g(x)=0 w przedzale X. Dlatego wyk otrzymae tą metodą ależy zweryfkować ym metodam. Metoda ta jest bardzo efektywym uwersalym arzędzem do stwerdzaa braku perwastków rówaa g(x)=0 w daym przedzale X. Metoda mmalzacj może być stosowaa do dowolych przedzałam cągłych fukcj g(x). Może być róweż zastosowaa do poszukwaa rozwązań rówań sprzeczych w sese metody ajmejszych kwadratów. Jedak podobe jak w przypadku metody bsekcj otrzymujemy jedye oszacowae rozwązaa e mamy pewośc, czy w daym przedzale wykowym X zajduje sę rozwązae (tz. ( ) = 0), czy jedye lokale mmum gx x X (tz. gx ( ) > 0). x X Przedstawoe algorytmy umożlwają zalezee wszystkch perwastków elowych rówań algebraczych mechak kostrukcj w daym -wymarowym przedzale X mogą zostać efektywe wykorzystae do rozwązywaa szerokej klasy zagadeń praktyczych. Lteratura [] Hayga A.: Mathematcal Theory of No-Lear Elastcty. PWN, Warszawa, 985 [] Kleber M. Woźak Cz.: Nolear Mechacs of Structures. Kluwer Academc Publshers. Dordrecht, 99 [3] Kleber M.(red.): Mechaka Techcza. Tom XI. Komputerowe metody mechak ca³ sta³ych. PWN Warszawa, 995 [4] Kleber M.: Metoda elemetów skończoych w elowej mechace kotuum. PWN, Warszawa, 985 [5] Ode J.T. (ed.): Computatoal Methods Nolear Mechacs. North-Hollad, New-York, 980

8 [6] Waszczyszy Z., Cchoń Cz., Radwańska M.: Metoda elemetów skończoych w stateczośc kostrukcj. Arkady, Warszawa, 990 [7] Wesołowsk Z., Woźak Cz.: Podstawy elowej teor sprężystośc. PWN, Warszawa, 970 [8] Woźak Cz., Kleber M.: Nelowa mechaka kostrukcj. PWN, Warszawa, 98 [9] Burczyńsk T.: Metoda elemetów brzegowych w mechace. WNT, Warszawa, 995 [0] Rakowsk G., Kacprzyk Z.: Metoda elemetów skończoych w mechace kostrukcj. Ofcya Wydawcza Poltechk Warszawskej, Warszawa, 993 [] Zekewcz O.C.: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa, 97 [] Mohack B., Suchy J.S.: Modelowae symulacja krzepêca odlewów. PWN, Warszawa, 993 [3] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterlg W.T., Flaery B.P.: Numercal Recpes FORTRAN. The Art of Scetfc Computg. Cambrdge Uversty Press, New York, 99 [4] Kurk W.: Bfurgacje dywergecje oscylacje. WNT, Warszawa, 997. [5] Alefeld G., Herzberger J.: Itroducto to Iterval Computato. Academc Press, New York, 983 [6] Moore R.E.: Iterval aalyss. Pretce-Hall, Eglewood Clffs, New Jersy, 966 [7] Neumaer A.: Iterval methods for system of equatos. Cambrdge Uversty Press, 990 [8] Alefeld G., Frommer A.: Scetfc Computg ad Valdated Numercs. Proceedgs of the Iteratoal Symposum o Scetfc Computg, Computer Arthmetc ad Valdated Numerc SCAN 95 held Wuppertal, Germay, September 6-9, 995 [9] Csedes T., Ratz D.: Subdvso drecto selecto terval methods for global optmzato. SIAM J. Numer. Aal. Vol. 34, No. 3, 997, s [0] Hase E.: Global optymzato usg terval aalyss. New York, Marcel Dekker, 99 [] Kulpa Z., Powuk A., Skala I.: Aalyss of lear mechacal structures wth ucertates by meas of terval methods. Computer Asssted Mechacs ad Egeerg Sceces, Vol. 5 (998), 38 s. [] Beedett A., Guglelm N.: Tracg characterstcs of smooth olear resstve crcuts by terval aalyss. Proceedgs of ISCAS-96, Atlata May. -5, 996 [3] A Local Iterval Arthmetc Lbrary for Dscotuous Itervals. User s Maual Verso.0. Delsoft, Helsk, Flad, 997 [4] Kolev L.V.: Iterval Methods for Crcut Aalyss. World Scetfc, New Jersey, 993 [5] Ratschek, H., Roke J.: Computer methods for the rage of fuctos. Ells Horwood, Chchester, 984 [6] Skrzypczyk J., Powuk A.: O pewej metodze określaa górego ograczea welkośc mechaczych w warukach przedzałowych eokreśloośc parametrów ch matematyczego modelu. Zeszyty Naukowe Katedry Mechak Stosowaej r 7, XXXVI Sympozjo PTMTS Modelowae w Mechace, Wsła, 998, s [7] Ratschek, H., Roke J.: New Computer method for global optmzato. Joh Wley & Sos, New York, 988 [8] Pter J.: Solvg Nolear Equato Systems Va Global Partto ad Search: Some Expermetal Results. Computg 43, 990, s [9] Kaucher, E.: Iterval aalyss the exteded terval space. Computg. Supp. (980), s [30] Tupper J.A.: Graphg Equatos wth Geeralzed Iterval Arthmetc. Toroto, 996 (http://www.dgp.utoroto.ca/people/moocake/msc.html) [3] Borkowsk Sz.: Mechaka ogóla. Dyamka Lagrage a Hamltoa. Stateczoœæ. Skrypt Poltechk Śląskej r 64, Glwce, 993 INTERVAL METHODS FOR SOLUTION OF NONLINEAR ALGEBRAIC EUQUATIONS OF STRUCTURAL MECHANICS Summary I ths paper ew soluto methods for system of olear algebrac equatos are preseted. These methods are based o terval mathematcs. Preseted methods ca fd all soluto of gve system of equato g(x)=0 -dmesoal terval X. Fucto g(x) ca be twce cotuously dfferetable, cotuous or eve ot cotuous, whch depeds o method. Usg terval methods olear algebrac equatos of structural mechacs are solved. A llustratve umercal example s cluded.

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

Regresja REGRESJA

Regresja REGRESJA Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego

8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych

Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych Kazmerz Myśleck Metoda elemetów brzegowych w statyce dźwgarów powerzchowych Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej Wrocław 4 Recezec Potr KONDERLA Ryszard SYGULSKI Opracowae redakcyje Aleksadra WAWRZYNKOWSKA

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Algorytm simpleks. Organizacja zajęć. Zaliczenie. Literatura. Program zajęć

Badania operacyjne. Algorytm simpleks. Organizacja zajęć. Zaliczenie. Literatura. Program zajęć Algorytm smpleks adaa operacyje Wykład adaa operacyje dr hab. ż. Joaa Józefowska, prof.pp Istytut Iformatyk Orgazacja zajęć 5 godz wykładów dr hab. ż. J. Józefowska, prof. PP Obecość a laboratorach jest

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH

PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH PRZYKŁADOWE TEMATY ZADAŃ PROJEKTOWYCH Z PRZEDMIOTU EWOLUCYJNE METODY OPTYMALIZACJI. Rozwązać zadae zadaa załaduku (plecakowego z ograczeam a dopuszczale wymary oraz cężar []: a algorytmem symulowaego wyżarzaa.

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Aradusz Atcza Poltecha Pozańsa Wydzał Budowy Maszy Zarządzaa N u m e r y c z e w e r y f o w a e r o z w ą - z a e r ó w a a r u c h u o j e d y m s t o p u s w o b o d y Autor: Aradusz Atcza Promotor:

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:

11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD: //4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i. c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X

PERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac

Bardziej szczegółowo

... MATHCAD - PRACA 1/A

... MATHCAD - PRACA 1/A Nazwsko Imę (drukowaym) KOD: Dzeń+godz. (p. Śr) MATHCAD - PRACA /A. Stablcuj fukcję: f() = s() + /6. w przedzale od a do b z podzałem a rówych odcków. Sporządź wykres f() sprawdź, le ma mejsc zerowych.

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES.

OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI NADWOZI POJAZDÓW SZYNOWYCH PRZY UśYCIU ALGORYTMÓW MES. prof. dr hab. Ŝ. Tadeusz Uhl AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy prof. dr hab. Ŝ. Adrzej Chudzkewcz PW Wydzał Trasportu mgr Ŝ. Ireeusz Łuczak EC Egeerg mgr Ŝ. Grzegorz Lasko AGH Katedra Robotyk Dyamk Maszy

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Bajki kombinatoryczne

Bajki kombinatoryczne Artyuł powstał a podstawe odczytu pod tym samym tytułem, wygłoszoego podczas XXXVI Szoły Matematy Poglądowej Pomysł czy rachue? w Grzegorzewcach, styczeń 006. Baj ombatorycze Joaa JASZUŃSKA, Warszawa Ja

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów Fzyka, techologa oaz modelowae wzostu kyształów Stasław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Istytut Wysokch Cśeń PA 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: 88 80 44 e-mal: stach@upess.waw.pl, mke@upess.waw.pl Zbgew

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydzał Mehazy POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Wyzazee położee środka ężkoś układu mehazego Dr ż. K. Kęk 1.

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM Edward CHLEBUS, Joaa HELMAN, Mara ROSIENKIEWICZ, Paweł STEFANIAK Streszczee: Nejszy artykuł

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Metody Informatyki Stosowanej

Metody Informatyki Stosowanej Polska Akadema Nauk Oddzał w Gdańsku Komsja Iformatyk Metody Iformatyk Stosowaej Nr /00 (3) Szczec 00 Metody Iformatyk Stosowaej Kwartalk Komsj Iformatyk Polskej Akadem Nauk Oddzał w Gdańsku Komtet Naukowy:

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo