[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

Transkrypt

1 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram µ przedzał ufoś dla waraj zasu dojazdu do pray a pozome ufoś 0,95.. Wyzaz Mamy wyzazyć przedzał ufoś dla waraj w rozkładze ormalym. Korzystamy wę z astępująego modelu: Model 3 (Przedzał ufoś dla waraj w rozkładze ormalym ( ( P(, gdze ( oraz, to odpowedo kwatyle rzędu dla rozkładu χ z ( stopam swobody. Wówzas ( ( [, ] ormalym. jest przedzałem ufoś a pozome ufoś dla waraj w rozkładze 0 0 ( ( x ( (944 (300 x ( Lzby,7 9, 03 odzytujemy z tabl rozkładu h kwadrat dla 9 stop swobody ( ( 9 9 9,03, [, ] [, ] [, ] ~ [3, ;63,3] 9,03,7 6. Iteresuje as proet absolwetów warszawskh wyższyh uzel, którzy zajdują praę e późej ż pół roku po ukońzeu studów. Zbadao reprezetatywą próbkę 400 absolwetów okazało sę, że wśród h 40 zalazło praę. Wyzaz przedzał ufoś a pozome 0,95 dla odsetka zajdują praę e późej ż pół roku po ukońzeu studów. korzystamy z : Model 5 (Przedzał ufoś dla prawdopodobeństwa sukesu w shemae Beroullego przyblżee za pomoą rozkładu ormalego Neh ˆp ozaza frakję z próby, atomast u będze kwatylem rzędu dla rozkładu pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ ormalego stadardowego. Wówzas [ pˆ u, pˆ + u ] jest przedzałem ufoś a pozome ufoś dla p. ˆ pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ [ p u, p + u ] 40 pˆ 0,6 400 u,96 0,975 ˆ

2 ˆ pˆ ( pˆ 0,05 ˆ pˆ ( pˆ pˆ ( pˆ [ p u, p + u ] [0, , 05;0, 6 +, 96 0, 05] [0,55;0, 65] 6.3 Zważoo 0 losowo wybrayh kostek serka śmetakowego otrzymao wyk: 35, 45, 55, 65, 46, 34, 53, 38, 47, 3. Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu ormalego N ( µ, z ezaym parametram µ. Wyzazyć przedzał ufoś dla wartoś ozekwaej µ a pozome ufoś 0,99. Najperw musmy polzyć sumę realzaj zmeej losowej oraz sumę realzaj zmeej podesoej do kwadratu w elu wyzazea estymatora waraj (eobążoego suma Model (Przedzał ufoś dla średej w modelu ormalym z ezaą warają t t P( µ +, gdze (, t jest kwatylem rzędu t t dla rozkładu t-tudeta z ( stopam swobody. Wówzas [, + ] jest przedzałem ufoś a pozome ufoś dla średej w rozkładze ormalym. 0 0 ( ( x (6058 (450 x 9 0 0, 6 t (9 3, 5 0,995 t t 0,6 3,5 0,6 3,5 [, + ] [45 ;45 + ] [33,5;56,5] 9 9

3 6.4 0 statystyków ezależe od sebe wyzazyło a podstawe 0 ezależyh próbek z tego samego rozkładu 0 przedzałów ufoś a pozome ufoś 0,8 dla ezaego parametru θ. Jake jest prawdopodobeństwo zdarzea, że żade z wyzazoyh przedzałów ufoś e zawera ezaego parametru? Mamy do zyea z 0 ezależym dośwadzeam, w któryh prawdopodobeństwo uzyskaa teresująego as wyku jest take samo. Neh [ a, b ] ozaza przedzał ufoś wyzazoy przez -tego statystyka. korzystamy ze shematu Beroullego: gdy θ [ a, b ] y 0 w p. p. P( y p 0,8 P( y 0 p 0, 0 0 P( y 0 (0,8 (0, (0, * Rozważmy próbkę losowa,..., z rozkładu jedostajego a przedzale [0, θ ], gdze θ jest ezaym parametrem θ. Neh M max(,...,. Należy zbudować przedzał ufoś dla θ a pozome ufoś 0,9. Chemy, aby te przedzał był posta [ am, bm ], gdze lzby a b są tak dobrae, żeby P( θ < am P( θ > bm 0,05. Wyzaz a b. Wyzazmy rozkład zmeej losowej M max(,...,. F ( t P( M < t P(max(,..., < t P( < t < t,..., < t M t ( P( < t ( F ( t θ θ θ / a 0,05 P( θ < am P( M < a ( a θ θ θ / b 0,05 P( θ > bm P( M < b ( b θ b 0,05 a 0,95 prawdzamy, zy rzezywśe [ am, bm ] jest przedzałem ufoś a pozome ufoś 0,9. θ < bm θ / b < M am < θ < bm θ / b < M < θ / a am < θ M < θ / a P( am < θ < bm P( θ / b < M < θ / a F ( θ / a F ( θ / b P( M < θ / a P( M < θ / b P( am > θ P( bm < θ 0, 0,9 M 0,05 0,05 Czyl [ M / 0,95; M / 0, 05] jest przedzałem ufoś dla θ a pozome ufoś 0,9. M 3

4 6.6* Uzasadć postać przedzałów ufoś w modelah:, 3 4. Uzasadee dla modelu r: Model (Przedzał ufoś dla średej w modelu ormalym z ezaą warają t t P( µ +, gdze (, t jest kwatylem rzędu t t dla rozkładu t-tudeta z ( stopam swobody. Wówzas [, + ] jest przedzałem ufoś a pozome ufoś dla średej w rozkładze ormalym. µ + µ µ + µ + t µ t t t t t µ µ µ µ t t t t t t µ P( µ + P t t Zastaówmy sę ad rozkładem zmeej losowej zdefowaej jako: Przypomee: Neh,..., będą ezależym zmeym losowym o rozkładze statystyk zdefowae wzoram:, ( są ezależym zmeym losowym oraz: ( µ / ~ t( gdze. N µ N ( µ,. Wówzas ~ ( µ,, χ ~ (, Mamy wę: µ P t t Ft ( ( t Ft ( ( t Ft ( ( t ( Ft ( ( t Ft ( ( t ( / Ozywśe skostruoway przedzał ufoś e jest jedyym możlwym. Możemy skostruować przedzał ufoś a eskońzee wele przedzałów, ale w przypadku rozkładów o symetryzej fukj gęstoś (względem wartoś ozekwaej, w tym przypadku 0 doberamy dolą górą graę, w tak sposób, aby odległość obu gra od wartoś ozekwaej rozkładu była rówa. Uzasadee dla modelu r 3: Model 3 (Przedzał ufoś dla waraj w rozkładze ormalym ( ( P(, gdze ( oraz, to odpowedo kwatyle rzędu dla rozkładu χ z ( stopam swobody. Wówzas 4

5 ( ( [, ] ormalym. jest przedzałem ufoś a pozome ufoś dla waraj w rozkładze Wemy, że: ~ χ (, Po przekształeah: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( χ ( χ ( P P F ( F ( / / Przyjęło sę, że lzby, są to odpowedo kwatyle rzędu:,. Ozywśe lzby, moża dobrać a eskońzee wele sposobów, ale berzemy, take, które oddzelają z obu końów rozkładu przedzały o takm samym polu pod wykresem fukj gęstoś oraz są możlwe ajdalej wartoś ozekwaej rozkładu. Uzasadee dla modelu r 4: Model 4 (Przedzał ufoś dla lorazu waraj Rozważamy dwe ezależe próbk,..., ~ N ( µ,,,..., ~ N ( µ,. Wówzas zahodz: f k m P( f, gdze f, f to odpowedo kwatyle rzędu dla rozkładu F z (k (m stopam swobody. Wówzas przedzałem ufoś a pozome ufoś dla lorazu waraj. [ f, f ] jest korzystamy z : Neh,...,,..., m będą ezależym zmeym losowym, przy zym N µ oraz ~ (,, to N µ Wówzas: ~ (,. ~ F(, m. ~ F(, m. Jeżel założymy, że f f f f f f f f, ~ F( k, m Zatem: ( ( P f f P f f F( f F( f / / Lzby f, f są pewym kwatylam rozkładu F(k-,m-. Zazwyzaj dobera sę kwatyle rzędu, tak, aby pozom ufoś był rówy. Ozywśe lzby f, f moża dobrać a eskońzee wele sposobów, ale berzemy, take, które oddzelają z obu końów 5

6 rozkładu przedzały o takm samym polu pod wykresem fukj gęstoś oraz są możlwe ajdalej wartoś ozekwaej rozkładu. 6