PRACE NAUKOWE Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu RESEARCH PAPERS of Wrocław Universiy of Economics Nr 37 Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Redakorzy naukowi Krzyszof Jajuga Wanda Ronka-Chmielowiec Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 24

2 Redakcja wydawnicza: Jadwiga Marcinek Redakcja echniczna: Barbara Łopusiewicz Koreka: Barbara Cibis Łamanie: Małgorzaa Czupryńska Projek okładki: Beaa Dębska Informacje o naborze arykułów i zasadach recenzowania znajdują się na sronie inerneowej Wydawnicwa Publikacja udosępniona na licencji Creaive Commons Uznanie auorswa-użycie niekomercyjne-bez uworów zależnych 3. Polska (CC BY-NC-ND 3. PL) Copyrigh by Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 24 ISSN ISBN Wersja pierwona: publikacja drukowana Zamówienia na opublikowane prace należy składać na adres: Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego we Wrocławiu el./fax ; econbook@ue.wroc.pl Druk i oprawa: TOTEM

3 Spis reści Wsęp... 9 Waldemar Aspadarec: Wyniki inwesycyjne funduszy hedge po doświadczeniach kryzysu finansowego... Aleksandra Baszczyńska: Meoda jądrowa w analizie finansowych szeregów czasowych Kaarzyna Byrka-Kia, Maeusz Czerwiński, Agnieszka Perepeczo: Reakcja akcjonariuszy na sprzedaż znaczących pakieów akcji Kaarzyna Byrka-Kia, Dominik Rozkru: Ryzyko jako deerminana premii z yułu konroli empiryczna weryfikacja Iwona Chomiak-Orsa, Pior Saszkiewicz: Reduced form of he sandard approach for operaional risk for economic capial assessmen Tadeusz Czernik: Efek hiserezy wycena opcji i implikowana zmienność. 65 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra: Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania. Wycena insrumenów pochodnych, implikowana zmienność badania symulacyjne Magdalena Frasyniuk-Pierzyk, Radosław Pierzyk: Efekywność inwesycji funduszy emeryalnych w Polsce wybrane problemy Monika Hadaś-Dyduch: Produky srukuryzowane ujęcie algorymiczne zysku z uwzględnieniem oddziaływania wskaźników rynku finansowego. Magdalena Homa: Wpływ sraegii inwesycyjnej ubezpieczonego na rozkład warości porfela ubezpieczeniowego w UFK... 2 Mariea Janowicz-Lomo, Krzyszof Łyskawa: Kszałowanie indeksowych ubezpieczeń upraw opare na indywidualizmie w posrzeganiu ryzyka przez gospodarswa rolne w Polsce Łukasz Jasiński: Innowacje produkowe w ubezpieczeniach zdrowonych w Polsce Lidia Karbownik: Deerminany zagrożenia finansowego przedsiębiorsw sekora TSL w Polsce Tomasz Karczyński, Edward Radosiński: Ocena relacji pomiędzy rendami giełd świaowych a rendami giełd Europy Środkowowschodniej na przykładzie warszawskiej Giełdy Papierów Warościowych Krzyszof Kowalke: Efekywność informacyjna Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie Mieczysław Kowerski: Uwagi doyczące sposobu liczenia sopy wypłay dywidendy... 88

4 6 Spis reści Rober Kurek: Sysemy informacyjne nadzoru ubezpieczeniowego Agnieszka Majewska: Porównanie sraegii zabezpieczających porfel akcji z wykorzysaniem konraków fuures na WIG2 w okresach spadków i wzrosów cen Tomasz Miziołek: Ocena efekywności zarządzania funduszami ETF posiadającymi ekspozycję na polski rynek akcji Joanna Olbryś: Efek przedziałowy parameru ryzyka sysemaycznego na GPW w Warszawie SA Andrzej Paliński: Wykorzysanie warości likwidacyjnej akywów kredyobiorcy i meody Mone Carlo do wyznaczenia oprocenowania kredyu bankowego Jarosław Pawłowski: Zarządzanie ryzykiem pogodowym przykład wykorzysania pogodowego insrumenu pochodnego przez producena piwa w Polsce Doroa Pekasiewicz: Wybrane esy zgodności doyczące rozkładów saysyk eksremalnych i ich zasosowanie w analizach finansowych Marcin Salamaga: Efekywność krókoerminowych inwesycji w złoo Anna Sroczyńska-Baron: Analiza wysokości progu ofery obowiązkowej przy przejęciach spółek w oparciu o eorię gier kooperacyjnych Waldemar Tarczyński: Ocena różnych warianów fundamenalnego porfela papierów warościowych Magdalena Ulrichs: Zmiany srukuralne na polskim rynku finansowym a sfera realna gospodarki analiza empiryczna... 3 Sanisław Wana: Efek dywersyfikacji ryzyka w Solvency II w świele wyników ilościowego badania wpływu QIS Ryszard Węgrzyn: Ocena rafności prognoz zmienności indeksu WIG2 konsruowanych na podsawie wybranych modeli klasy GARCH oraz rynkowej zmienności implikowanej Sanisław Wieeska: Wybuch jako elemen ryzyka w ubezpieczeniach od ognia i innych zdarzeń losowych Marcelina Więckowska: Obligacje w zarządzaniu ryzykiem kaasroficznym Pior Wybieralski: Zasosowanie wybranych insrumenów pochodnych w warunkach ograniczonej dosępności limiów skarbowych na waluowym rynku pozagiełdowym Dariusz Zarzecki: Kosz kapiału, płynność i ryzyko analiza sekorowa na rynku amerykańskim

5 Spis reści 7 Summaries Waldemar Aspadarec: Invesmen performance of hedge funds afer he financial crisis Aleksandra Baszczyńska: Kernel mehod in he analysis of financial ime series... 3 Kaarzyna Byrka-Kia, Maeusz Czerwiński, Agnieszka Perepeczo: Marke reacions o ransfer of conrol wihin block rades in public companies empirical evidence Kaarzyna Byrka-Kia, Dominik Rozkru: Risk as a deerminan of conrol premium empirical evidence Iwona Chomiak-Orsa, Pior Saszkiewicz: Zredukowana forma meody sandardowej do oceny kapiału ekonomicznego Tadeusz Czernik: Hysereic-like effec derivaive pricing and implied volailiy Tadeusz Czernik, Daniel Iskra: Modified geomeric Brownian moion occupaion ime approach. Derivaive pricing, implied volailiy simulaions Magdalena Frasyniuk-Pierzyk, Radosław Pierzyk: Pension funds performance in Poland seleced problems... Monika Hadaś-Dyduch: Valuaion of srucured produc according o algorihmic ineracion wih regard o he financial marke... Magdalena Homa: Effec of invesmen sraegy for he disribuion of he porfolio value in uni-linked insurance... 2 Mariea Janowicz-Lomo, Krzyszof Łyskawa: Individualism in risk percepion by farms in Poland and in he developmen of insurance producs. 36 Łukasz Jasiński: Produc innovaions in healh insurances in Poland Lidia Karbownik: Deerminans of financial hrea of he enerprises from ranspor, forwarding and logisic secor in Poland Tomasz Karczyński, Edward Radosiński: Assessmen of relaion beween global and Cenral Europe sock marke rends on he example of he Warsaw Sock Exchange Krzyszof Kowalke: Effeciveness of informaion on he Warsaw Sock Exchange Mieczysław Kowerski: Some remarks on he calculaion of he dividend payou raio Rober Kurek: Informaion sysems of insurance supervision Agnieszka Majewska: Comparison of hedging using fuures on WIG2 in periods of price increases and decreases Tomasz Miziołek: Evaluaion of he effeciveness of managemen exchange-raded funds having exposure on he Polish equiy marke

6 8 Spis reści Joanna Olbryś: Inervalling effec bias in bea: empirical resuls in he Warsaw Sock Exchange Andrzej Paliński: Bank loan pricing wih use he of he Mone Carlo mehod and he liquidaion value of borrower s asses Jarosław Pawłowski: Weaher risk managemen example of using weaher derivaive by a producer of beer in Poland Doroa Pekasiewicz: Seleced ess of goodness of exreme disribuions and heir applicaion in financial analyses Marcin Salamaga: The effeciveness of shor-erm invesmen in gold Anna Sroczyńska-Baron: The analysis of he limi of obligaory offer based on he heory of cooperaive games Waldemar Tarczyński: Assessmen of differen varians of fundamenal porfolio of securiies Magdalena Ulrichs: Srucural changes on he Polish financial marke and he real economy an empirical analysis Sanisław Wana: The diversificaion effec in Solvency II in he ligh of he fifh quaniaive impac sudy Ryszard Węgrzyn: Assessmen of he forecass accuracy of he WIG2 index volailiy consruced on he basis of seleced models of he GARCH class and marke implied volailiy Sanisław Wieeska: Explosion as an elemen of risk in insurance from fire and oher random evens Marcelina Więckowska: Bonds for caasrophe risk managemen Pior Wybieralski: The applicaion of seleced currency derivaives in erms of consrained amouns of reasury limis in he OTC marke Dariusz Zarzecki: Cos of capial, liquidiy and risk secoral analysis on he American capial marke... 4

7 PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 27 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski ISSN Tadeusz Czernik, Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach s: adeusz.czernik@ue.kaowice.pl; daniel.iskra@ue.kaowice.pl MODYFIKACJA GEOMETRYCZNEGO RUCHU BROWNA OPARTA NA CZASIE PRZEBYWANIA. WYCENA INSTRUMENTÓW POCHODNYCH, IMPLIKOWANA ZMIENNOŚĆ BADANIA SYMULACYJNE Sreszczenie: W pracy zaprezenowano nowy model ewolucji cen akcji. Wykorzysuje on funkcjonały geomerycznego ruchu Browna opare na okienkowym czasie przebywania. Model en zachowuje zupełność rynku oraz wprowadza zależność ceny derywau i ym samym implikowanej zmienności od hisorycznych cen akcji. Ponado pozwala na odworzenie bogaej rodziny powierzchni implikowanej zmienności. Słowa kluczowe: insrumeny pochodne, wycena, implikowana zmienność, procesy sochasyczne. DOI:.56/pn Wsęp Problemayka wyceny insrumenów pochodnych należy do dynamicznie rozwijającego się działu zajmującego się rynkami kapiałowymi. Przełomowe prace Blacka i Scholesa [973] oraz Merona [973] wyyczyły kierunek badań w nasępnych dziesięcioleciach. Jedno z głównych założeń pierwszych modeli wyceny o sała warość zmienności σ w geomerycznym ruchu Browna. Do roku 987 nie obserwowano isonego odsępswa od powyższego założenia, jednak począwszy od gwałownych spadków 9 października 987 (Czarny Poniedziałek) uśmiech zmienności (volailiysmile) sał się wyraźnie widoczny. Wspomniane wyżej wydarzenia zapocząkowały inensywne badania nad modelami wyceny, kórych pożądaną cechą jes odwzorowanie powierzchni implikowanej zmienności. Poniższa praca przedsawia oparą na czasie przebywania modyfikację geomerycznego ruchu Browna, generującą nierywialny kszał powierzchni implikowanej zmienności. Zaprezenowane rozważania mają charaker eoreyczny, a wprowadzone w symulacjach paramery zosały przyjęe w sposób arbiralny w celu

8 76 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra wyeksponowania własności powierzchni implikowanej zmienności. Problemayka kalibracji zaproponowanego modelu nie sanowi celu opracowania. 2. Model Blacka Scholesa Merona Problemayka wyceny insrumenów jes obecna w lieraurze przedmiou już od przeszło su la. Pierwsza praca poświęcona sochasycznemu modelowaniu cen akcji oraz wycenie opcji pochodzi z roku 9 [Bachelier 9]; jej auor modelował ceny akcji za pomocą arymeycznego ruchu Browna. Black i Scholes [973] i Meron [973] w swych pracach modelowali ceny akcji przy użyciu geomerycznego ruchu Browna (wszyskie rozważane w pracy sochasyczne równania różniczkowe będą rozumiane w sensie Io) [Oksendal 2]: ds = µ S d + σs dw, () gdzie: S cena akcji w chwili ; µ współczynnik dryfu (analogon inensywności oprocenowania w kapializacji ciągłej);σ zmienność; W proces Wienera. Auorzy modelu BSM (Blacka Scholesa Merona) korzysając z liniowej zależności infiniezymalnych przyrosów ceny akcji i insrumenu pochodnego, skonsruowali porfel pozbawiony ryzyka. Nauralną konsekwencją isnienia porfela pozbawionego ryzyka oraz założenia braku arbirażu jes formuła wyceny europejskiego derywau [Hull 29]: 2 V 2 2 V V σ 2 gdzie V jes ceną insrumenu pochodnego. + S + rs rv =, (2) 2 S S Spośród wielu założeń modelu BSM waro wymienić założenie s = cons (dopuszcza się akże deerminisyczną zależność zmienności od czasu [Wilmo 26]). Gdyby powyższe założenie było spełnione, rozwiązanie równania: V ( ) σ = V, (3) BSM imp emp gdzie: V cena eoreyczna (rozwiązanie równania (2)); BSM V rynkowa cena insrumenu pochodnego; σ implikowana zmienność, emp imp ze względu na zmienność (zmienność implikowana) powinno być niezależne od ceny wykonania opcji oraz od czasu do wykonania. O ile do roku 987 (Czarny Poniedziałek) rynek nie wykazywał isonych odsępsw od powyższej własności, o po roku 987 syuacja zmieniła się diameralnie [Hull 29]. Obecnie obserwuje się zależność implikowanej zmienności zarówno od ceny wykonania i czasu do wykonania, jak również rodzaju insrumenu pochodnego.

9 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania W lieraurze przedmiou funkcjonują czery główne nury modelowania zjawiska uśmiechu zmienności: modele sochasycznej zmienności [Hull, Whie 987], modele lokalnej zmienności [Heah, Plaen 22], modele dyfuzyjno-skokowe [Meron 976], parameryczne i nieparameryczne modele implikowanej zmienności [Fengler 22]. W poniższej pracy zmienność jes zależna od hisorycznych cen akcji. Oryginalnym wkładem auorów jes wprowadzenie przełączania pomiędzy sanami, kóre deerminowane jes warością odseka czasu przebywania ceny akcji w wybranym obszarze i odcinku czasu. 3. Czas przebywania Czas przebywania (occupaionime) OT ( A ) procesu X w obszarze A definiowany jes nasępująco [Darling, Kac 957; Czernik 23; Bayrakar, Young 2]: OT ( A) = ( X ) ds, (4) As s gdzie: X A A ( X ) = funkcja charakerysyczna zbioru; A obszar, dla X A kórego wyznaczamy czas przebywania procesu X ; kszał obszaru może być niezmienny lub zależeć od czasu (deerminisycznie lub losowo). Odseek czasu przebywania (relaive occupaion ime) definiujemy jako sosunek czasu przebywania do długości odcinka czasu: OT ( A) ROT ( A) = = ( X ) ds. (5) As s Waro podkreślić, że o ile czas przebywania jes niemalejącym procesem losowym, o odseek czasu przebywania jes niemonoonicznym procesem losowym o warości począkowej zależnej od ego, czy począkowa warość procesu należy do obszaru A : ROT ( A) = X X o A. (6) A W poniższej pracy wykorzysano okienkowy odseek czasu przebywania (windowed relaive occupaion ime):

10 78 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra WOT ( A) WROT ( A) = = ( ) [, ], X ds (7) As s gdzie τ jes długością okna czasowego. Sochasyczne równanie różniczkowe, kórego rozwiązaniem jes okienkowy odseek czasu przebywania, jes nieauonomicznym równaniem z opóźnionym współczynnikiem: [ ] ( ) ( ) d WROT ( A) = X X d. (8) ( ) A A Z posaci równania (8) wynika, że okienkowy odseek czasu przebywania (również okienkowy czas przebywania) nie jes proces Markowa. Ponado warunek począkowy dla równania (8) musi zawierać hisorię procesu τ,. X w przedziale [ ] proces X ROT[.2, ) WROT [.2, ),8,6,4,2 -,2 -,2,2,4,6,8,2 -,4 Rys.. Przykładowa realizacja procesu A [., ) Źródło: opracowanie własne. X oraz jego wybranych funkcjonałów w obszarze Rysunek przedsawia przykładowe realizacje procesu X, odseka czasu przebywania ROT (naliczanie odseka rozpoczęo od momenu =.2 ) oraz okienko-

11 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania wego odseka czasu przebywania WROT z długością okienka τ =.2 i usalonej hisorii procesu { X : [.2, ]}. Obszar A jes przedziałem [., + ). 4. Model ewolucji ceny akcji Klasycznym modelem ceny akcji S jes proces zwany w lieraurze geomerycznym ruchem Browna. Proces en jes rozwiązaniem sochasycznego równania różniczkowego: gdzie: µ dryf; σ zmienność; ds = µ S d + σs dw, (9) W proces Wienera. Niesey, geomeryczny ruch Browna nie jes realisycznym modelem co najmniej z dwóch powodów: empiryczne rozkłady logarymicznej sopy zwrou nie pochodzą z rozkładu normalnego oraz eoreyczne ceny derywaów przewidują płaską powierzchnię implikowanej zmienności. W lieraurze funkcjonuje wiele alernaywnych modeli ewolucji cen akcji, kóre w lepszy lub gorszy sposób modelują powierzchnię implikowanej zmienności. Zaproponowany przez auorów model ewolucji można zaliczyć do modeli przełącznikowych, jednak spośród innych modeli z ej grupy wyróżnia go własność zupełności rynku: i gdzie: {,} [ µ + ζ ( µ µ )] + [ σ + ζ ( σ σ )] ds = S d S dw (), µ, σ sany rynku; i i odpowiednio dryf i zmienność, WROT ( A) w ζ =, WROT ( A) > w w usalona warość okienkowego odseka czasu przebywania. W powyższym modelu san rynku przełącza się między sanami i. W każdym ze sanów ceny są geomerycznym ruchem Browna (do kolejnego momenu przełączenia). Przełączenie nasępuje, gdy warość okienkowego odseka czasu przebywania przekroczy (spadnie poniżej) określonej warości w. Innymi słowy, jeżeli proces ceny akcji zby długo (króko) przebywa w określonym obszarze, nasępuje przełączenie sochasycznej ewolucji. Własność a pozwala np. na uzyskanie procesu powracającego do średniej. Rysunek 2 przedsawia przykładową realizację procesu X oraz okienkowego odseka czasu przebywania. Obszar naliczania okienkowego odseka czasu przebywania jes przedziałem [ ).2, +, naomias poziom przełączania w =.8 (prawa pio-

12 8 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra nowa oś). Jasnym kolorem oznaczono ę część realizacji procesu losowego X dla kórej rynek był w sanie. Ciemniejszy kolor oznacza, że rynek jes w sanie. proces X WROT [.2, ) 2 cena S,6,8,2,8,6,4,4 -,2 -,4,2,4,6,8,2,2 ROT -,8 czas Rys. 2. Przykładowy wykres przejścia między sanami dla okienkowego odseka czasu przebywania.8 w obszarze A [.2, ) oraz oknie czasowym.2 τ = Źródło: opracowanie własne. Należy podkreślić, że co prawda momen przełączenia jes losowy, o zaproponowana dynamika nie wprowadza dodakowego czynnika (procesu) losowego. Przełączenie jes w pełni deerminowane przez akualną warość okienkowego odseka czasu przebywania, kóry z kolei jes funkcjonałem ceny akcji (hisorycznych cen akcji). Na ej podsawie możemy swierdzić, że własność zupełności rynku jes zachowana. 5. Wycena opcji oraz implikowana zmienność Problem analiycznego wyznaczenia ceny opcji europejskiej jes w ym przypadku rudny, gdyż równanie wyceny będzie równaniem różniczkowo-całkowym (proces ceny akcji jes procesem z pamięcią). Z ego powodu w celu znalezienia ceny europejskiej opcji call na akcję, kórej cena ewoluuje zgodnie z równaniem (), zasosujemy podejście symulacyjne. Ewolucja ceny akcji w świecie neuralnym wobec ryzyka dana jes wzorem:

13 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania... 8 * [ σ ζ ( σ σ )] ds = rs d + + S dw (), gdzie: r sopa oprocenowania insrumenu wolnego od ryzyka; * W proces Wie- nera względem miary neuralnej wobec ryzyka. Równanie () nie jes równaniem auonomicznym. Należy je uzupełnić o równanie: oraz równanie gdzie ζ = Cena opcji o wypłacie (, ) ( ) ( ) WROT A w WROT A > w (2) WROT ( A) = ( S ) dx. (3) Ax x Payoff S K dana jes wzorem: [ ( )] =,, (4) r * V e E Payoff S K * E oznacza warość oczekiwaną względem miary neuralnej wobec ryzyka. Ponieważ analiyczna posać miary neuralnej wobec ryzyka nie jes znana, cenę daną wzorem (4) oszacowano za pomocą symulacji Mone Carlo. W celu zwiększenia dokładności oszacowania zasosowano jedną z echnik redukcji wariancji meodę zmiennej konrolnej: N ˆ r r V = e Payoff ( S, K ) + a ( S S e ). i i N (5) i= Współczynnik a dobrano w aki sposób, aby wariancja esymaora ceny była minimalna [Kroese e al. 2]: ( Payoff S ) 2 D ( S ) cov, a =. (6) Ponieważ nie dysponujemy warościami eoreycznymi kowariancji wypłay z opcji i ceny akcji oraz wariancji ceny akcji w dniu wykonania opcji, zasąpimy je warościami oszacowanymi na podsawie próby. W przeprowadzonych symulacjach orzymano redukcję odchylenia sandardowego ceny opcji na poziomie od do kilkunasu razy (w zależności od paramerów modelu: zmienności w sanach i, ceny wykonania, day wykonania oraz hisorycznych cen akcji).

14 82 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra W celu egzemplifikacji własności powierzchni implikowanej zmienności wygenerowanej przez zaproponowany model przyjęo nasępujące warości paramerów modelu: S = począkowa cena akcji (w ym przypadku cenę wykonania można rozumieć jako moneyness K / S ); σ =.4 zmienność w sanie ; σ =.2 zmienność w sanie ; r =. sopa wolna od ryzyka; * = T / 4 długość odcinka czasu dyskreyzacji sochasycznego równania różniczkowego (); w celu jego rozwiązania zasosowano algorym Eulera; T jes czasem do wykonania opcji; τ =.25 rozpięość okna czasowego w kalkulacji WROT; obszar naliczania czasu przebywania oraz poziom przełączania ewolucji są różne w różnych symulacjach i zosały wyspecyfikowane pod rysunkami. Ceny wykonania (alernaywnie moneyness) mieściły się w przedziale od.4 do.6, naomias czas do wykonania opcji w przedziale od.2 do.8 jednoski czasu (np. roku; należy pamięać, o ym że paramery r oraz σ i są adekwane do jednoski czasu). Ponado w przeprowadzonych symulacjach wygenerowano hisoryczną realizację ceny akcji w aki sposób, aby okienkowy odseek czasu przebywania w obszarze wynosił.3. Kszał obszaru opisano szczegółowo w wybranych rysunkach. W pracy nie przedsawiono rezulaów wyceny, gdyż głównym jej celem jes modelowanie powierzchni implikowanej zmienności. W celu orzymania implikowanej zmienności rozwiązano numerycznie równanie: V V, BS sym = (7) gdzie: V orzymane drogą symulacji oszacowanie ceny opcji call; sym r V = N d S Ke N d eoreyczna cena opcji call w modelu Blac- BS ( ) ( 2) ka Scholesa; N( x ) dysrybuana sandardowego rozkładu normalnego, S 2 ln + r+ σ K 2 imp d =, σ imp d = d σ. 2 imp Ponado oszacowano błąd esymacji implikowanej zmienności. W ym celu zasosowano aproksymację dela [Casella, Berger 2] (oszacowanie nie uwzględnia błędów numerycznych zasosowanej procedury do rozwiązywania równania (7);

15 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania w znaczącej liczby przypadków błędy e są znacznie mniejsze od błędów saysycznych): S s imp S V Vsym BS s s imp, (8) gdzie: S σ imp błąd oszacowania implikowanej zmienności; S ceny opcji call. V sym błąd oszacowania 6. Dyskusja wyników Rysunek 3 przedsawia dwie hisoryczne realizacje. Każda z wygenerowanych hisorycznych realizacji posiada okienkowy odseek czasu przebywania w obszarze [, + ) równy.3 oraz warość S =. Na kolejnym subrysunku widzimy dwa wykresy implikowanej zmienności każdy dla odpowiedniej realizacji hisorycznej. Ponado naniesiono uproszczone (naiwne) przedziały ufności (oszacowana implikowana zmienność ± błąd jej oszacowania). Jak widać, implikowana zmienność zależy nie ylko od ceny wykonania (krzywa implikowanej zmienności nie jes płaska), ale akże od kszału hisorycznej realizacji. Kszały krzywych odzwierciedlają ypowe cechy krzywych implikowanych zmienności: implikowana zmienność jes większa dla opcji głęboko ITM (in he money) oraz głęboko OTM (ou of he money). Na pozosałych dwóch podrysunkach zaprezenowano wykresy błędu oszacowania implikowanej zmienności oraz jego sosunek do implikowanej zmienności. Można zauważyć, że błąd oszacowania jes największy w przypadku opcji głęboko ITM. Efek en można wyłumaczyć fakem, iż w przypadku głęboko ITM prawdopodobieńswo zerowej wypłay z opcji jes bardzo małe. W symulacjach wysępuje niewiele przypadków zerowych wypła (rare even). W niekórych przypadkach równanie (7) nie posiadało rozwiązania (przypadki opcji głęboko ITM). Przyczyna ego efeku jes idenyczna jak wspomniana wyżej. W celu dokładniejszego oszacowania ceny opcji (i ym samym implikowanej zmienności) można zwiększyć liczbę wygenerowanych realizacji lub zasosować echniki redukcji wariancji ypowe dla zagadnień ypu rare even (zdarzenia rzadkie) [Bucklew 24]. Dodakową przyczyną mogą być błędy numeryczne (dysrybuana rozkładu normalnego jes aproksymowana przez oprogramowanie kompuerowe). Ponado można przypuszczać, że podobne zachowanie błędu oszacowania wysąpi akże w przypadku opcji głęboko OTM. Na rysunku nie jes o widoczne (w rzeczywisości rozważane opcje nie są w akim samym nasileniu OTM, jak w ITM). Należy pamięać, że zakres poencjalnych cen wykonania (akże cen akcji) nie jes symeryczny względem warości (ceny są dodanie). Bardziej adekwaną skalą cen wykonania byłaby skala logarymiczna.

16 84 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra. Przykładowe "hisoryczne" realizacje.4 Implikowana zmienność (T=.3) czas cena wykonania.5 Błąd/Implikowana zmienność (T=.3).2 Błąd implikowanej zmienności (T=.3) cena wykonania cena wykonania Rys. 3. Przykładowe realizacje hisoryczne, implikowane zmienności oraz ich błędy w przypadku wyznaczania odseka czasu przebywania w obszarze A [, ), poziom przełączania w =.3 Źródło: opracowanie własne. przebywania.3, obszarem naliczania odseka [ ) Rysunek 4 przedsawia powierzchnię implikowanej zmienności dla dynamiki z poziomem przełączania w =., począkowej warości okienkowego odseka czasu.7, + oraz wybraną realizacją hisoryczną. Jak widać, kszał powierzchni implikowanej zmienności nie jes rywialny. Podobnie na rysunku 5 widzimy nierywialną zależność implikowanej zmienności od zmiennych (K, T). W pewnych zakresach paramerów (K, T) implikowana zmienność jes niemonooniczną funkcją zarówno ceny wykonania, jak i czasu do wykonania. Waro zauważyć, że zaprezenowane powierzchnie nie są komplene w rozważanym obszarze (.4,.6) (.2,.8). Braki wysępują w okolicy krókich czasów do wykonania i opcji głęboko ITM. Braki e oznaczają, że równanie (7) nie posiadało rozwiązania. Przyczyną ego jes efek omówiony wcześniej, ponado dochodzi kwesia krókiego czasu do wykonania (bardzo małe prawdopodobieńswo zerowej wypłay z opcji).

17 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania Rys. 4. Powierzchnia implikowanej zmienności w przypadku wyznaczania odseka czasu przebywania w obszarze A [.7, ), poziom przełączania w =.. Hisoryczne realizacje do czasu = wygenerowano z odsekiem czasu przebywania w oknie równym,3 Źródło: opracowanie własne. Rys. 5. Powierzchnia implikowanej zmienności w przypadku wyznaczania odseka czasu przebywania w obszarze A [.7, ), poziom przełączania w =.. Hisoryczne realizacje do czasu = wygenerowano z odsekiem czasu przebywania w oknie równym,3 Źródło: opracowanie własne.

18 86 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra Z uwagi na ograniczoną objęość pracy pominięo przypadki innych kszałów powierzchni implikowanej zmienności. Niemniej jednak należy podkreślić, że bogaa rodzina powierzchni implikowanej zmienności oraz jej zależność od hisorycznych noowań sanowi arakcyjną alernaywę do spoykanych w lieraurze modeli. 7. Podsumowanie W pracy zaprezenowano nowy model ewolucji cen akcji. Wykorzysuje on funkcjonały geomerycznego ruchu Browna opare na okienkowym czasie przebywania. Model en zachowuje zupełność rynku oraz wprowadza zależność ceny derywau i ym samym implikowanej zmienności od hisorycznych cen akcji. Z przeprowadzonych symulacji wynika, że pozwala on na odworzenie bogaej rodziny powierzchni implikowanej zmienności i ym samym poencjalnie może być zasosowany w prakyce inwesycyjnej. Dalszych analiz wymaga przeprowadzenie empirycznych badań z wykorzysaniem rynkowych cen akcji oraz opcji (kalibracja modelu). Lieraura Bachelier L., 9, Theorie de la Speculaion, Paris. Bayrakar E., Young V.R., 2, Opimal invesmen sraegy o minimize occupaion ime, Ann Oper Res, no. 76, p Black F., Scholes M., 973, The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, no. 8 (3), p Bucklew J., 24, Inroducion o rare even simulaion, Springer. Casella G., Berger R.L., 2, Saisical inference, Cengage Learning. Czernik T., 23, Czas przebywania poencjalne zasosowania. Geomeryczny ruch Browna, PTE, Kaowice. Darling D.A., Kac M., 957, On occupaion imes for Markoff processes, Transacions of AMS, no. 84, p Fengler M.R., 22, Opion daa and modeling BSM implied volailiy, In Handbook of compuaional finance, Springer. Heah D., Plaen E., 22, Consisen pricing and hedging for a modified consan elasiciy of variance model, Quan. Financ., no. 2, p Hull J.C., 29, Opions, fuures and oher derivaives, Pearson Prenice Hal. Hull J., Whie A., 987, The Pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies, The Journal of Finance, no. 42 (2), p Kroese D.P., Taimre T., Boev Z.I., 2, Handbook of Mone Carlo mehods, Wiley. Meron R.C., 973, Theory of Raional Opion Pricing, Bell Journal of Economics and Managemen Science, no. 4 (), p Meron R.C., 976, Opion Pricing When Underlying Sock Reurns are Disconinuous, Journal of Financial Economics, no. 3, p Oksendal B., 2, Sochasic Differenial Equaions, An Inroducion wih Applicaions, Springer. Wilmo P., 26, Paul Wilmo on quaniaive finance, vol. I-III, Wiley.

19 Modyfikacja geomerycznego ruchu Browna opara na czasie przebywania MODIFIED GEOMETRIC BROWNIAN MOTION OCCUPATION TIME APPROACH. DERIVATIVE PRICING, IMPLIED VOLATILITY SIMULATIONS Summary: The paper presens a new model for he evoluion of sock prices. The proposed model uses geomeric Brownian moion funcionals based on windowed relaive occupaion ime. The model preserves marke compleeness and inroduces a dependency of derivaive prices and hus implied volailiy from hisorical sock prices. I also allows o reproduce a rich family of implied volailiy surfaces. Keywords: derivaive insrumens, pricing, implied volailiy, sochasic processes.