NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CYKLICZNĄ LICZBĄ PRACUJĄCYCH 1

Transkrypt

1 STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 8, vol. 6, no. 9 DOI:.8559/SOEP.8.9. Paweł Dykas Uniwersye Jagielloński w Krakowie, Wydział Zarządzania i Komunikacji Społecznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej pawel.dykas@uj.edu.pl NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CYKLICZNĄ LICZBĄ PRACUJĄCYCH Sreszczenie: Celem niniejszego opracowania jes próba rozszerzenia modelu wzrosu gospodarczego Solowa o uchylenie założenia o sałej sopie wzrosu liczby pracujących. W arykule przyjęo założenie, że liczba pracujących zmienia się cyklicznie w czasie, zmierzając w nieskończonym horyzoncie do sałej asympoy. W części empirycznej dokonano kalibracji paramerów orzymanego modelu eoreycznego. W pierwszej kolejności, opierając się na danych panelowych dla polskiej gospodarki, oszacowano elasyczność produkcji względem kapiału na poziomie,354. Nasępnie dokonano symulacji numerycznych skalibrowanych ścieżek wzrosu kapiału oraz produku na jednoskę efekywnej pracy. W analizach rozważano wpływ różnych sóp inwesycji, kóre zosały przyjęe na poziomie 5%, % i 5%. Analiz numerycznych dokonano dla polskiej gospodarki w 35-lenim horyzoncie czasowym. Słowa kluczowe: cykliczna liczba pracujących, model wzrosu Solowa, ścieżka wzrosu produku, ścieżka wzrosu kapiału. Klasyfikacja JEL: E3, E37,O47, O49. Opracowanie powsało w ramach projeku NCN Cykle wzrosu dynamiczne modele koniunkury i wzrosu gospodarczego nr OPUS8 UMO-4/5/B/HS4/464 kierowanego przez dra hab. Adama Krawca z Kaedry Ekonomii Maemaycznej Uniwersyeu Jagiellońskiego.

2 4 Paweł Dykas A NEOCLASSICAL GROWTH MODEL WITH A CYCLICAL NUMBER OF EMPLOYEES Absrac: The aim of he presen sudy is an aemp o exend he neoclassical model of economic growh of Solow by repealing he assumpion of fixed employees raio and inroducing an employmen funcion dependen cyclical on he ime. In he empirical analysis he auhor conduced a calibraion of parameers used by he research model. Based on panel daa for Polish employees beween -5 he parameer ( α ) (producion flexibiliy in relaion o capial) was esimaed a.354. Tha value was adaped o a furher numerical analysis. When conducing numerical analysis he impac of differen invesmen raes (5%, % and 5%) and periods of cyclical flucuaions. A numerical analysis for he economy of Poland was made for a hiry five ime series. Keywords: cyclical number of employees, he Solow growh model, he pah of produc growh and he capial-labour raio. Wprowadzenie Wzros gospodarczy jes procesem, kóry powoduje powiększenie poencjału produkcyjnego, a liczba pracujących, obok inwesycji i posępu echnicznego, sanowi kluczowy czynnik prowadzący do owego wzrosu. W lieraurze przedmiou można znaleźć podział modeli wzrosu gospodarczego na modele keynesowskie, neoklasyczne, modele realnego cyklu koniunkuralnego czy modele wzrosu endogenicznego (Tokarski, 5, s. 7-4). Współczesne koncepcje wzrosu gospodarczego swoich podsaw uparują przede wszyskim w neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego (Malaga, 9, s. 9-6). Model wzrosu gospodarczego Solowa był pierwszą rozwinięą koncepcją zaliczaną do rodziny neoklasycznych modeli wzrosu gospodarczego (Solow, 956). Model en doczekał się wielu uogólnień, jednym z podejść do owego problemu było przyjęcie założenia, że w procesie produkcyjnym udział bierze więcej niż jeden rodzaj kapiału. Auorzy Mankiw i inni rozszerzyli model Solowa, rozważając dodakowy zasób kapiału kapiał ludzki (Mankiw, Romer i Weil, 99, s ). Czery laa później Nonneman i Vanhoud dokonali uogólnienia modelu Solowa, polegało ono na przyjęciu założenia, że w procesie produkcyjnym bierze udział dowolna, skończona liczba zasobów kapiału (Nonneman i Vanhoud, 996, s ). Inne rozszerzenia można znaleźć w pracy Dykasa i Misiaka, w kórej auorzy rozważają neoklasyczny

3 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących 5 model wzrosu gospodarczego z uwzględnieniem flukuacji po sronie sopy inwesycji (Dykas i Misiak, 6a, s. 97-4; 6b, s. -3). W pracy Mroczek, Tokarskiego i Trojaka auorzy rozszerzyli model wzrosu Solowa, wprowadzając zw. efek grawiacyjny, kóry zosał opary na prawach grawiacji Newona. W opracowaniu auorzy przyjęli założenie, że regiony wzajemnie na siebie oddziałują, a siła owego oddziaływania jes proporcjonalna do iloczynu poencjałów gospodarczych regionów i odwronie proporcjonalna do fizycznej odległości między nimi (Mroczek, Tokarski i Trojak, 4, s. 5-34). W niniejszym arykule podjęo próbę uogólnienia modelu Solowa poprzez uchylenie założenia o sałej sopie wzrosu liczby pracujących. Dokonując analizy akich zagregowanych wielkości, jak PKB, inwesycje, zarudnienie czy konsumpcja, można dosrzec, że ulegają one okresowym wahaniom. Szczególnie liczba pracujących jes wrażliwa na okresowe zmiany, co jes spowodowane zarówno czynnikami demograficznymi, jak i koniunkuralnymi. Z ego eż względu przyjęo założenie, że liczba pracujących zmienia się w czasie w sposób cykliczny. Ponado założono, że w nieskończonym horyzoncie czasu liczba pracujących będzie zmierzała do sałej asympoy. W części empirycznej opracowania dokonano symulacji numerycznych, zakładając, iż liczba pracujących w polskiej gospodarce jes bardziej wrażliwa na zmiany po sronie koniunkury czy eż syuacji poliyczno-gospodarczej niż demograficznej, co odzwierciedla się w przyjęciu względnie krókich okresów wahań.. Model W prezenowanym modelu wzrosu gospodarczego przyjęo nasępujące założenia:. Proces produkcyjny opisuje neoklasyczna funkcja produkcji ypu Cobba-Douglasa (Cobb i Douglas, 98, s ) dana wzorem (por. eż Żółowska, 997, s. 3-7; Tokarski,, s ) : α ( ) ( ( )) ( ( )) α Y = K E, () Wobec wszyskich wysępujących dalej zmiennych makroekonomicznych zakłada się, że są różniczkowalnymi funkcjami czasu. Zapis x() oznaczał będzie dalej warość zmiennej x w momencie, zaś x ( ) = dx / d pochodną zmiennej x po czasie, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyros warości owej zmiennej w momencie.

4 6 Paweł Dykas gdzie α ( ;) o elasyczność produku względem nakładów kapiału, Y zaś o srumień wyworzonego w gospodarce produku, K, E o (odpowiednio) nakłady kapiału oraz jednosek efekywnej pracy będących iloczynem liczby pracujących i zasobu wiedzy naukowo-echnicznej.. Przyros zasobu kapiału w momencie, podobnie jak o się dzieje w oryginalnym modelu Solowa, opisuje równanie różniczkowe posaci: gdzie δ ( ;), ( ;) ( ) = ( ) δ ( ) K sy K, () s oznaczają (odpowiednio) sopę inwesycji oraz sopę deprecjacji kapiału. 3. Liczba pracujących L ( ) w momencie opisana jes równaniem: ( ) ( ) = θ sin( ω ) L L e γ e λ α. (3) Funkcja (3), dla L > θ deerminuje oscylacyjny rend wykładniczy zbieżny do asympoy ( L (por rysunek ). W równaniu (3) paramer ( ) L θ ) α L = L θ α oznacza liczbę pracujących w chwili =, co wynika z nasępującej równości: ( ) ( ) α lim L L, zauważy się, że paramer ( ) α, rozważając zaś granicę L określa liczbę pracujących przy nieskończonym horyzoncie czasowym. Ponado paramery ω i λ deerminują (odpowiednio) długość okresu oraz ampliudę krzywej L ( ), a θ i γ deerminują wykładniczy kszał krzywej L ( ). 4. Jednoski efekywnej pracy E() rosną według sopy wzrosu równej g+ l ( ), przy czym g > jes sopą harrodiańskiego posępu echnicznego, naomias l ( ) = jes sopą wzrosu liczby pracujących. Zaem, L ( ) L ( ) wykorzysując związek (3), sopa wzrosu jednosek efekywnej pracy spełnia równanie:

5 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących 7 E / E g e e cos e sin L e e sin. (4) 5. Definiując y E = Y/E oraz k E = K/E jako (odpowiednio) srumień wyworzonego produku oraz zasób kapiału na jednoskę efekywnej pracy, można orzymać wydajność pracy oraz echniczne uzbrojenie pracy jako: g y Ae ye, (5) g k Ae ke. (6) Ponado produk oraz kapiał w momencie opisują związki (7)-(8) n Y Le y, (7) K n Le k. (8) Z funkcji produkcji () można dojść do funkcji produkcji w posaci inensywnej, dzieląc ją sronami przez jednoski efekywnej pracy E >, orzymując: ( ) ( k ( ) ) α ye = E. (9) Relacja (9) opisuje zależność pomiędzy nakładami kapiału na jednoskę efekywnej pracy (k E ), a wielkością produku na jednoskę owej pracy (y E ). Różniczkując kapiał na jednoskę efekywnej pracy (k E = K/E) po czasie, mamy: KE ( ) ( ) KE ( ) ( ) K ( ) E ( ) k E( ) = = k ( ) E, E E ( ) E ( ) ( ( )) co wraz ze związkami ()-(6) daje: k sy k, () E E E przy czym µ ( ) = δ + g+ l ( ) > oznacza sopę ubyku kapiału na jednoskę efekywnej pracy. Równanie (3) w omawianym u modelu jes odpowiednikiem równania ruchu w oryginalnym modelu Solowa.

6 8 Paweł Dykas Przy uwzględnieniu funkcji produkcji w posaci inensywnej (9) oraz zależności () przyros kapiału na jednoskę efekywnej pracy spełnia zależność: k = s k α k. () ( ) ( ( )) ( ) ( ) E E µ Równanie () dla każdego nieujemnego posiada rywialne rozwiązanie (k E () = ) oraz pewną rodzinę całek nierywialnych 3. Równanie () dla k E > można również zapisać jako: ke k E s ke. () Dokonując nasępującego podsawienia: ( ) ( ( )) E E α q = k, (3) związek () można sprowadzić do równania niejednorodnego danego wzorem: ( ) q s α = µ ( q ) ( ) kóre można przekszałcić do zależności: ( ) = ( α ) s ( α ) ( ) q( ), q µ. (4) Rozważając równanie jednorodne ze związku (4), orzymujemy: ( ) =( α ) µ ( q ) ( ) q, (5) rozwiązanie równania (5) dane jes wzorem: przy czym czynnik ( ) ( ) ( ) ( α)( δ+ g ) ( ( )) q Ae L α =, (6) A o uzmienniona sała całkowania. Różniczkując równanie (6) względem czasu oraz uwzględniając zależność (4), orzymujemy: 3 Całka rywialna (jako nieciekawa zarówno z maemaycznego, jak i ekonomicznego punku widzenia) będzie dalej pomijana. Nierywialna zaś całka owego równania będzie wyznaczała ścieżkę czasową (lub ścieżkę wzrosu) kapiału na jednoskę efekywnej pracy.

7 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących 9 L g s g Ae L L g g A e L A g e g Ae L L. Sąd oraz ze związków (3)-(4) orzymujemy: ( α)( δ+ ) e ( α)( δ + g) ( ) = s( α) A + θ ( α)( δ + g) ( α)( δ ) ( α)( δ + ) λ g g e L + λ ( α)( δ g e ) γ + γ L + ( α)( δ + g) λ + ω ω sin( ω) cos ( ω) + C, ( α)( δ + g) λ ( α)( δ ) + λ g gdzie C >. Zaem z powyższego równania oraz podsawienia (3) kapiał na jednoskę efekywnej pracy można zapisać jako: g s( α) L θ( α γ s ) e ( α)( g + δ) ( α)( g + δ) γ ( α)( g + δ) λ ( α) s ω + (( α)( g + δ) λ) ke ( ) = + α λ ω λ ( ω e sin ) e cos( ω ) + ( α)( + δ) λ g ( α)( g+ δ) + Ce. L θ γ λ e e sin ( ω ) ()

8 3 Paweł Dykas Zakładając, że dla omawianego problemu warunek brzegowy Cauchy ego k = k, sałą C > możemy zapisać jako: przyjmuje posać: E( ) E α ( ke) ( N + η)( τ η) Nη ( ) s ( )( g) C = + α α δ + θ Nτ + ( α)( δ + g) τη ηη + +. α δ + θ α δ + θ θ ( )( g) ( )( g) Wynika sąd, że kapiał na jednoskę efekywnej pracy ( ( ) ) k E w omawianym u modelu wzrosu gospodarczego będzie się kszałował nasępująco: s( α) L θ( α γ s ) e ( α)( g + δ) ( α)( g + δ) γ ( α)( g + δ) λ ( α) s ω + (( α)( g + δ) λ) ke ( ) = + λ ω λ ( ω e sin ) e cos( ω) + ( α)( δ) λ g + α s( α) L ( ( )) ( α)( g+ δ + θ ) k + E L e ( α)( + δ) g θ( α) ( αω s s ) ( α)( g+ δ) + e ( α)( g + δ) γ ω + (( α)( + δ) λ) g. L θeγ eλ sin ω ( ) α ()

9 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących 3 Ponado, wykorzysując związek (9), produk na jednoskę efekywnej y E można opisać równaniem: pracy ( ( )) s( α) L θ( α γ s ) e ( α)( g + δ) ( α)( g + δ) γ ( α)( g + δ) λ ( α) s ω + (( α)( g + δ) λ) ye ( ) = + λ ω λ ( ω e sin ) e cos( ω) + ( α)( δ) λ g + α s( α) L ( ( )) ( α)( g+ δ + θ ) k + E L e ( α)( + δ) g θ( α) ( αω s s ) ( α)( g+ δ) + e ( α)( g + δ) γ ω + (( α)( + δ) λ) g. α L θeγ eλ sin ω ( ( )) α α (). Kalibracja paramerów modelu i symulacje numeryczne Symulacje numeryczne modelu eoreycznego, przedsawionego w punkcie prowadzone były w dwóch eapach. W pierwszym eapie dokonano kalibracji warości paramerów funkcji opisującej, kszałowanie się liczby pracujących L ( ) oraz ścieżki wzrosu kapiału na jednoskę efekywnej pracy ( k E ( ) ) i produku na jednoskę efekywnej pracy ( ye ( )). Na ym eapie dokonano również esymacji elasyczności produku względem kapiału (α), opierając się na danych panelowych dla polskiej gospodarki za laa -5. Naomias w drugim eapie dokonano symulacji numerycznych analizowanego modelu. Paramery funkcji opisującej zmianę liczby pracujących skalibrowano na podsawie nasępujących koniunkcji:

10 3 Paweł Dykas L + θ = L5 L α = L5, ( ) α ( ) gdzie: L 5 oraz L5 o (odpowiednio) liczba pracujących w 5 oraz 5 r. Ponado w każdym z rozważanych warianów przyjęo rzy scenariusze doyczące kszałowania się sóp inwesycji (na poziomie 5, i 5%), a w wyniku oszacowań elasyczności produku względem kapiału orzymano warość parameru α na poziomie,354. Przyjęo również sopę posępu echnicznego na poziomie % oraz sopę deprecjacji kapiału na poziomie 5% 4. W drugim eapie dokonano symulacji numerycznych analizowanego modelu. W symulacjach przyjęo nasępujący warian kszałowania się liczby pracujących w 5 r. W opracowaniu przyjęo, zgodnie z prognozą Głównego Urzędu Saysycznego doyczącą kszałowania się wielkości populacji w Polsce do 5 r., że liczba ludności zmaleje z poziomu 38,47 mln osób (w 5 r.), do poziomu 33,95 mln osób (w 5 r.). Ponado przyjęo również założenie, że warość wskaźnika akywności ekonomicznej wzrośnie z poziomu,38, kóry odnoowano w gospodarce polskiej w 5 r., do poziomu,5 w 5 r. 5 Przyjęcie wskaźnika akywności ekonomicznej na poziomie,5 w 5 r. wynika z założenia, że polska gospodarka w 5 r. osiągnie średni poziom akywności ekonomicznej, kóry charakeryzował gospodarki o najwyższym poziomie ego wskaźnika wśród gospodarek UE w 6 r., czyli gospodarki: bryyjskiej, holenderskiej, niemieckiej oraz szwedzkiej. Zaem w analizowanym wariancie przyjęo, że liczba pracujących w polskiej gospodarce wzrośnie do poziomu 6,98 mln osób w 5 r., co przedsawiono na rysunku. Trajekorie L() (por. rysunek ) odzwierciedlają kszałowanie się liczby pracujących. W niniejszym opracowaniu przyjęo, że cykle doyczące liczby pracujących wynoszą 6 la, co wynika z faku, że w osanich laach liczba pracujących jes bardziej wrażliwa na zmiany o charakerze koniunkuralnym czy poliycznym niż na zmiany o charakerze czyso demograficznym. 4 Podobne warości kalibrowanych paramerów dla polskiej gospodarki można znaleźć m.in. w pracy (Filipowicz, Syrek i Tokarski, 7). 5 Wskaźnik akywności ekonomicznej w roku rozumiany będzie dalej jako sosunek liczby pracujących w gospodarce w roku do liczby ludności w ymże roku.

11 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących Rysunek. Prognoza liczby pracujących w Polsce (w laach 5-5, w mln osób) Źródło: Na podsawie prognoz GUS ( Analizując rajekorie liczby pracujących w polskiej gospodarce w rozważanym horyzoncie czasu (rysunek ), waro zauważyć, że mimo spadku wielkości populacji (z poziomu 38,47 do 33,95 mln os.) liczba pracujących wzrasa i osiąga poziom około 6,98 mln osób. Owe wzrosy pracujących wynikają przede wszyskim z założeń rosnącego wskaźnika akywności ekonomicznej z poziomu,38 w 5 r. do,5 w 5 r. Okazuje się, że pomimo pesymisycznych prognoz GUS doyczących spadku populacji wcale nie musi się o negaywnie przekładać na liczbę pracujących. Liczba pracujących zależy bowiem nie ylko od syuacji demograficznej, lecz akże od efeku malejącego bezrobocia, wydłużania wieku akywności zawodowej czy eż większej akywności zawodowej wśród kobie. Powyższe czynniki oraz sosunkowo niski udział pracujących do populacji w Polsce w porównaniu z innymi gospodarkami europejskimi isonie wpływają na przyjęcie warianu z rosnącym poziomem wskaźnika akywności ekonomicznej. Symulacje numeryczne przeprowadzono w 35-lenim horyzoncie czasu (5-5), a ich wyniki zesawiono w abelach - oraz na wykresach -7. Dokonując analizy wyników symulacji numerycznych zesawionych w abeli oraz na rysunkach -4, można wyciągnąć nasępujące wnioski: po pierwsze, im wyższa sopa inwesycji, ym wyżej są położone czasowe ścieżki wzrosu kapiału na jednoskę efekywnej pracy k E ().

12 34 Paweł Dykas Tabela. Wyniki symulacji numerycznych k E () k E () Sopa inwesycji min max max/min s =,5,7 7,4,7 s =, 3,,86 3,48 s =,5 3,5 4,67 4, Rysunek. Ścieżka wzrosu kapiału k E () przy sopie inwesycji równej 5% Rysunek 3. Ścieżka wzrosu kapiału k E () przy sopie inwesycji równej % Po drugie, im wyższa sopa inwesycji, ym kapiał na jednoskę efekywnej pracy odnoowuje wyższy wzros. W analizowanym okresie kapiał na jednoskę efekywnej pracy wzrasa odpowiednio o około 3,7 razy (s =,5), około 3,54 razy (s =,) oraz 4, razy (s =,5).

13 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących Rysunek 4. Ścieżka wzrosu kapiału k E () przy sopie inwesycji równej 5% Naomias w przypadku ścieżek wzrosu y E () produk na jednoskę efekywnej pracy w omawianym okresie wzrośnie około,35 razy dla s =,5, około,45 razy dla s =, oraz około,53 razy przy s =,5 w porównaniu do warości począkowych. Podobnie jak w przypadku kapiału na jednoskę efekywnej pracy ścieżka wzrosu produku jes ym wyżej położona, im wyższa jes sopa inwesycji (por. rysunki 4-7).,75,7,65,55,5,45, Rysunek 5. Trajekorie produku y E () dla s =,5 Ponado z abel - wynika, że kapiał na jednoskę efekywnej pracy rośnie szybciej niż produk na jednoskę efekywnej pracy. Powoduje o, iż produkywność kapiału, definiowana jako sosunek produku do kapiału charakeryzuje się endencją malejącą.

14 36 Paweł Dykas Tabela. Wyniki symulacji numerycznych y E () y E () Sopa inwesycji min max max/min s =,5,54,76,35 s =,,56,8,45 s =,5,58,89,53,85,8,75,7,65,6,55,5,45, Rysunek 6. Trajekorie produku y E () dla s =,,,9,8,7,6,5, Rysunek 7. Trajekorie produku y E () dla s =,5

15 Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z cykliczną liczbą pracujących 37 Podsumowanie Przeprowadzone w opracowaniu rozważania można podsumować nasępująco:. Przedsawiony w arykule model wzrosu gospodarczego sanowi pewne rozszerzenie neoklasycznego modelu Solowa. W rozważanym modelu uchylono założenie o sałej sopie wzrosu pracujących, przyjęo zaś założenie, że liczba pracujących zmienia się w czasie w sposób cykliczny do sałej asympoy w nieskończonym horyzoncie czasowym.. Uchylenie założenia o sałych sopach wzrosu liczby pracujących pozwala rozważać w omawianym modelu pewne scenariusze wynikające zarówno z czynników demograficznych, jak i z innych procesów zachodzących na rynku pracy. 3. Z przeprowadzonych w części empirycznej symulacji numerycznych analizowanego modelu wynika, że prognozy doyczące kszałowania się wielkości populacji w Polsce do 5 r. (spadek populacji do poziomu 33,95 mln osób) wcale nie muszą negaywnie wpływać ani na liczbę pracujących, ani na wzros gospodarczy. Okazuje się, iż do 5 r. możliwy jes wzros liczby pracujących, przy założeniu, że wzrośnie współczynnik akywności ekonomicznej. 4. Przeprowadzone symulacje numeryczne pozwalają zauważyć, że możliwa jes syuacja, w kórej produk wzrośnie o około,3-,5 razy mimo spadku populacji. Jednak wzros en jes możliwy pod warunkiem wzrosu współczynnika akywności ekonomicznej z poziomu,38 w r. do,5 w 5. Bibliografia Cobb, C. W. i Douglas, P. H. (98). A heory of producion. American Economic Review, 8, Dykas, P. i Misiak, T. (6a). Cykliczność inwesycji w modelu wzrosu gospodarczego ujęcie eoreyczne oraz symulacje numeryczne, Sudia Prawno-Ekonomiczne,, Dykas, P. i Misiak, T. (6b). Neoklasyczny model wzrosu gospodarczego z sinusoidalnymi inwesycjami. Przegląd Saysyczny, 63(), Filipowicz, K., Syrek, R. i Tokarski, T. (7). Ścieżki wzrosu modelu Solowa przy alernaywnych rajekoriach liczby pracujących. Przegląd Saysyczny, 64(), -4.

16 38 Paweł Dykas Malaga, K. (9). O niekórych dylemaach eorii wzrosu gospodarczego i ekonomii. Warszawa: ZKT TE. Mankiw, N. G., Romer, D. i Weil, N.D. (99). A conribuion o he empirics of economic growh. Quarerly Journal of Economics, 7(), Mroczek, K., Trojak, M. i Tokarski, T. (4). Grawiacyjny model zróżnicowania rozwoju ekonomicznego wojewódzw. Gospodarka Narodowa, 3, Nonneman, W. i Vanhoud, P. (996). A furher augmenaion of he Solow model and he empirics of economics growh for he OECD counries. Quarerly Journal of Economics, (3), Solow, R. M. (956). A conribuion o he heory of economic growh. Quarerly Journal of Economics, 7(), Tokarski, T. (5). Saysyczna analiza regionalnego zróżnicowania wydajności pracy, zarudnienia i bezrobocia w Polsce. Warszawa: Wydawnicwo PTE. Tokarski, T. (). Ekonomia maemayczna. Modele makroekonomiczne. Warszawa: PWE. Żółowska, E. (997). Funkcja produkcji. Teoria, esymacja, zasosowania. Łódź: Wydawnicwo Uniwersyeu Łódzkiego.