PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 69 Elecrical Engineering 0 Janusz WALCZAK* Seweryn MAZURKIEWICZ* PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO W arykule opisano meodę generacji α-sabilnych procesów Levy ego. Podano podsawowe właściwości ych procesów i kompuerowy algorym ich generacji. Uzyskane wyniki zilusrowano przykładem. Opracowany generaor może znaleźć zasosowanie w badaniach symulacyjnych układów z przebiegami sochasycznymi.. WPROWADZENIE Proces sochasyczny jes funkcją, kóra przyporządkowuje każdej chwili czasu zmienna losową. Jednym ze sposobów definiowania procesu sochasycznego jes podanie wzoru rekurencyjnego wykorzysującego sumowanie przyrosów [3]. Podaje się warunek sarowy dla pewnej chwili czasu oraz kolejne przyrosy, co można zapisać w sposób symboliczny: Y ( 0) y0, () Y ( ) Y ( ) X, () gdzie: y 0 warość deerminisyczna, jaką realizacje procesu przyjmują w 0, X zmienna losowa o zadanym rozkładzie, zależnym od. Dla procesów z czasem ciągłym zakłada się, że 0 oraz zmienne losowe X,, ) są parami niezależne. 0 Jeżeli zmienne losowe X * Poliechnika Śląska. mają rozkład normalny o warości przecięnej równej zeru, wariancji równej ( X ~ N (0, ) ) oraz Y ( 0) 0, o aki proces nazywa się procesem Wienera. Przykładem procesu Wienera jes ruch Browna. Ruch Browna jes rajekorią ruchu cząski w płynie. Przykładową rajekorię procesu Wienera obrazuje rysunek. Proces Wienera jes w każdym punkcje ciągły oraz w każdym punkcie nieróżniczkowalny, a jego realizacje mają kszał gęsych funkcji piłokszałnych [4]. Proces Wienera jes szczególnym przypadkiem procesu α-

2 70 Janusz Walczak, Seweryn Mazurkiewicz sabilnego Levy ego [3]. Procesy Levy ego znajdują liczne zasosowania w badaniach modeli probabilisycznych układów fizycznych []. Poniżej wprowadzono pojęcie α-sabilnej zmiennej losowej porzebne do konsrukcji procesu Levy ego. Rys.. Realizacja procesu Wienera (Δ=0,0005; max =). α-stabilne ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa X ma rozkład α-sabilny, gdy dla dowolnych sałych a, b, c zachodzi związek: D ay by c X, (3) gdzie: Y, Y dowolne niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie, D oznacza równość rozkładów. Zmienna losowa o α-sabilnym rozkładzie Levy ego opisana jes czerema paramerami [], [3]: - α indeks sabilności, - paramer skrośności, - paramer skali, - μ paramer przesunięcia. Rozkład α-sabilnej zmiennej losowej oznacza się przez ( ). Zmienna losowa X jes sandardową zmienną α-sabilną gdy X ~ S ( ) i piszę się wedy króko X ~ S [3]. Gdy oraz (0,) o zmienną X nazywa się oalnie skośną [3]. Gdy oraz (0,) o zmienna losowa X przyjmuje ylko warości dodanie, naomias dla oraz (0,) zmienna losowa X przyjmuje ylko warości ujemne [3]. S

3 Programowy generaor procesów sochasycznych α-sabilnych Levy ego 7 W ogólności, dla α-sabilnej zmiennej losowej, nie można wyznaczyć funkcji gęsości rozkładu prawdopodobieńswa w posaci wzoru analiycznego [4], naomias można zdefiniować α-sabilną zmienną losową podając jej funkcję charakerysyczną [6]. Proces α-sabilny Levy ego zdefiniowany jes nasępująco: L, (0) 0, (4) L ( ) L ( ) L, (5) 0, (6) gdzie: L zmienna losowa o rozkładzie α-sabilnym Levy ego ( 0, zależy od ). Proces α-sabilny Levy ego jes w każdym punkcie 0, ) ciągły za wyjąkiem przeliczalnej liczby nieciągłości (skoki) pierwszego rodzaju. Ponado w każdym punkcie proces en jes nieróżniczkowalny. 3. ALGORYTM GENERACJI W przypadku kompuerowej realizacji generaora procesu α-sabilnego Levy ego krok ma usaloną warość. Algorym generacji opiera się na wzorach (4) i (5). Wzory e, w przypadku dyskrenym, przyjmują posać: L, (0) 0, (7) L ( n) L n L, n,,, N, (8) n gdzie: L ( n ) warość realizacji w n-ym kroku, losowej (uzyskana w n-ym kroku). Sposób generacji zmiennych losowych L n L n warość zmiennej składa się z nasępujących kroków:. W pierwszej kolejności losuje się warości dwóch zmiennych losowych,w. Zmienna losowa ma rozkład jednosajny na przedziale /, /, naomias zmienna losowa W ma rozkład wykładniczy o paramerze. Zmienne losowe i W są z definicji niezależne.. Transformacja zmiennych losowych,w określona wzorem: L n

4 7 Janusz Walczak, Seweryn Mazurkiewicz sin arcan an cos arcan an cos arcan an cos( ) / prowadzi [5] do nowej zmiennej losowej o rozkładzie S,, 0 W. Sąd na podsawie wzoru (7) i (8) w n-ym kroku uzyskuje się warość realizacji procesu Levy ego w chwili n. Proces po n krokach przyjmuje warość: L ( n) 0 L L L L. (0) Zmienne losowe, 3 n L mają rozkład / k S,, 0 rozkład gęsości procesu L ( n ) w n-ym kroku:, więc można wyznaczyć L, ( n) ~ S n,, 0, n 0. () Wzór () wynika z nasępujących własności α-sabilnych zmiennych losowych [3]: - Jeżeli X ~ S (,,0) oraz X ~ S (,,0) o: X ~ X S,,0. () - Jeżeli X ~ S (,,0) o: ax ~ S a,,0. (3) Z wzoru () wynika, że z wzrosem kroku n zmienia się (wzrasa) ylko paramer skali funkcji gęsości rozkładu procesu L, ( n ). W szczególnych przypadkach [5] ransformacja (9) redukuje się do prosszej posaci: - Jeżeli o: W sin( ) ~ S,,0. (4) - Jeżeli 0 i o: - Jeżeli 0 o: (9) an( ) ~ S, 0,0. (5)

5 Programowy generaor procesów sochasycznych α-sabilnych Levy ego 73 cos sin W ~ S, 0,0. (6) cos( ) 4. IMPLEMENTACJA PROGRAMOWA Przykładowy generaor realizacji procesów α-sabilnych Levy ego zosał zaimplemenowany w języku C# za pomocą echnologii Silverligh 5. Technologia Silverligh 5 umożliwia wizualizację obieków w przesrzeni 3D przy pełnym wsparciu sprzęowym z srony kary graficznej (kara graficzna powinna wspierać echnologię co najmniej Pixel Shader.0 lub DirecX 9.0). Generaor umożliwia: - wizualizację jednowymiarowych, dwuwymiarowych oraz rójwymiarowych realizacji procesów α-sabilnych Levy ego, - zapis do pliku wielowymiarowych realizacji procesów α-sabilnych Levy ego, - zmianę paramerów 0.,,,,, oraz max, - animację kreślenia realizacji. Przykładową realizację α-sabilnego procesu Levy ego uzyskaną z wykorzysaniem opracowanego programu pokazano na rysunku. Rys.. Realizacja procesu α-sabilnego Levy ego (Δ=0,0005; max =; α=,5; β=0) 5. PODSUMOWANIE W arykule opisano meodę generacji α sabilnych procesów Levy ego oraz algorym kompuerowy będący implemenacją ej meody. Cechą znamienną ej meody jes o, że ze wzrosem kroku n (przy sałym Δ) wzrasa ylko paramer

6 74 Janusz Walczak, Seweryn Mazurkiewicz skali σ funkcji gęsości rozkładu generowanego procesu L, ( n ). Opracowany program generaora procesów Levy ego może być wykorzysywany w badaniach symulacyjnych deerminisycznych i losowych układów dynamicznych. Generaor en dosępny jes na sronie hp://eqn.hosingasp.pl w zakładce: Levy symulaor i jes uruchamiany w przeglądarce inerneowej. LITERATURA [] Chambers J. M., Mallows C. L., Suck B.W.: A Mehod for Simulaing Sable Random Variables, Journal of American Saisical Associaion, June 976, Vol. 7, No. 354, pp [] Grigoriu M.: Applied Non-Gaussian Processes, Prenice Hall, Inc., New Jersey, 995. [3] Janicki A., Izodorczyk A.: Kompuerowe meody w modelowaniu sochasycznym, WNT 00. [4] Janicki A., Weron A.: Simulaion and Chaoic Behavior of α Sable Sochasic Processes, MARCEL DEKKER 994. [5] Leccardi M.: Comparison of Three Algorihms for Levy Noise Generaion, Tehis S.r.l., via Boschei, Millano, Ialy. [6] Nolan J. P.: Sable Disribuions, Mah/Sa Deparmen, American Universiy 009. [7] Wieczorkowski R., Zieliński R.: Kompuerowe generaory liczb losowych, WNT 997. SOFTWARE GENERATOR OF α-stable LEVY STOCHASTIC PROCESSES The aricle describes a mehod of generaing α-sable Levy processes. The basic properies of hese processes and he algorihm of heir generaion is shown. The resuls are illusraed by he example. The developed generaor can be used in simulaion sudies of sysems wih sochasic waveforms.