ANALIZA PORÓWNAWCZA ŚREDNIEGO ODSETKA CZASU PRZEBYWANIA W PIERWSZEJ I DRUGIEJ POŁOWIE DNIA BADANIA EMPIRYCZNE

Transkrypt

1 Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl ANALIZA PORÓWNAWCZA ŚREDNIEGO ODSETKA CZASU PRZEBYWANIA W PIERWSZEJ I DRUGIEJ POŁOWIE DNIA BADANIA EMPIRYCZNE Wprowadzenie Czas przebywania (occupaion ime) [1, 2, 3, 4, 5] jes wielkością opisującą jak długo badany proces X (cen, sóp zwrou) przebywa w wybranym obszarze A w usalonym horyzoncie czasu. Jes miarą ławą w inerpreacji i jednocześnie rudną w implemenacji. W lieraurze poświęconej zagadnieniom ekonomicznym czas przebywania zazwyczaj pojawia się w konekście wyceny (egzoycznych) insrumenów pochodnych [2, 6], naomias sporadycznie jes wykorzysywany w innych obszarach ekonomii, np. w analizie porfelowej. Konkludując, pole badań nad wielkością, jaką jes czas przebywania w konekście nauk ekonomicznych, jes wciąż szerokie i mało eksplorowane. W arykule zosała zaprezenowana analiza zmian procesu cen akcji w ciągu dnia opara na czasie przebywania. Analiza będzie doyczyć średniego odseka czasu przebywania w wybranych obszarach, wyznaczanego na podsawie minuowych cen akcji z pierwszej i drugiej połowy dnia. Innymi słowy, każdy dzień sesyjny zosanie podzielony na dwie równe części, po czym zliczano odseek czasu przebywania cen akcji w usalonym obszarze oddzielnie dla części pierwszej i drugiej. Nasępnie wyznaczano średnią warość odseka czasu przebywania, biorąc pod uwagę wszyskie obliczone odseki z pierwszej połowy badanych dni. Analogicznie posępowano w przypadku drugiej połowy badanych dni. Auorzy wykażą, że badane średnie różnią się od siebie isonie.

2 8 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra 1. Czas przebywania procesu w wybranym obszarze Jak zaznaczano we wprowadzeniu, czas przebywania jes miarą prosą w inerpreacji, niemniej jednak jej analiyczne wyznaczanie może nasręczać rudności. Czas przebywania (occupaion ime) OT ( A ) procesu X w usalonym obszarze A jes zdefiniowany nasępująco [2, 3, 4, 5]: OT ( A) = 1 ( X ) ds, (1) AS s 0 gdzie: 1 X A 1 A ( X ) = funkcja charakerysyczna zbioru (indykaor), 0 X A A obszar, dla kórego wyznaczamy czas przebywania procesu X. Auorzy przyjęli, iż w przypadku noacji czasu przebywania OT ( A ) (względnego czasu przebywania ROT ( A )) będzie pomijany indeks czasu przy symbolu oznaczającym obszar A, gdyż wielkości e zależą od kszału obszaru A w każdym momencie czasu s mniejszym od. W przypadku, gdy X lub A są procesami losowymi, czas przebywania jes również niemalejącym, ciągłym procesem losowym. 0,6 0,5 0,4 proces X czas przebywania granice obszaru 0,3 0,2 0,1 0-0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4-0,2 Rys. 1. Czas przebywania procesu X w obszarze A = (0,1; 0,2)

3 Analiza porównawcza średniego odseka czasu 9 Powyższy przykładowy rysunek przedsawia czas przebywania pewnego procesu X w obszarze A = (0,1; 0,2). Oczywiście na wykresie widzimy ylko jedną z możliwych realizacji zarówno X jak i odpowiadającej jej realizacji czasu przebywania w zadanym obszarze. Obszar en może być niezmienny lub może ewoluować w czasie w sposób deerminisyczny, jak eż losowy, może oczywiście składać się akże z różnych podobszarów (niekoniecznie spójnych). Wielkością ściśle związaną z czasem przebywania jes względny czasu przebywania (relaive occupaion ime) ROT (A). Wyraża ona względną warość czasu przebywania danego procesu (w wybranym obszarze) w sosunku do długości horyzonu czasu [3]: 1 1 ROT ( A) = OT ( A) = 1 ( X ) ds, (2) AS s 0 gdzie: OT (A) czas przebywania procesu X w obszarze A. Względny czas przebywania zosał użyy w przeprowadzonych na porzebę pracy badaniach. Oczywise jes, że ROT (A) jako odseek czasu przebywania w usalonym obszarze nie może przekroczyć warości jeden. Ciekawszy jes fak, iż jego warość począkowa może przyjąć warość 1 lub 0: ROT 0 ( A) 1 = 0 X0 A0, (3) X A 0 0 w zależności od ego czy począkowa warość procesu X 0 (w czasie = 0) znajduje się w usalonym obszarze czy jes poza obszarem. 2. Badania empiryczne Jak zaznaczano we wprowadzeniu, auorzy przeprowadzili analizę średniego odseka czasu przebywania unormowanych cen akcji w usalonym obszarze. W badaniach użyo minuowych noowań insrumenów wchodzących w skład indeksu S&P100. Dla każdej spółki okres z jej noowaniami podzielono na dni (sesyjne), a każdy dzień podzielono na dwie równe części. Należy akże dodać, iż warość danego insrumenu była w każdym dniu i w każdej z jego dwóch części normowana (skalowana), zn. ceny akcji zarówno z pierwszej, jak i drugiej połowy danego dnia były dzielone przez cenę począkową zaobserwowaną w odpowiedniej części dnia. Innymi słowy, w obu połowach dnia unormowane ceny akcji ewoluowały

4 10 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra z warości począkowej równej jeden. Wcześniejsze unormowanie cen akcji pozwala na prosszą konsrukcję wybranych do badań obszarów, ponieważ odnosiły się one do począkowych cen akcji (z danej połowy dnia), np.: =,1,1, (4) gdzie: warość począkowa akcji w pierwszej połowie i-ego dnia, A i obszar w i-ym dniu, po unormowaniu cen akcji obszar en w każdym dniu jes ożsamy z obszarem: A = (1; 1,1]. (5) Na podsawie unormowanych szeregów cen, w każdych połowach dnia wyznaczano odseek czasu przebywania w usalonym obszarze, po czym konsruowano empiryczne rozkłady odseka czasu przebywania (na podsawie odseka czasu przebywania z odpowiednich części wszyskich badanych dni). Z wyznaczonych rozkładów obliczano średnie odseki czasu przebywania, a nasępnie sprawdzano czy wysępują między nimi isone różnice. Do weryfikacji użyo esu isoności dla dwóch średnich w przypadku nieznanych odchyleń sandardowych z poziomem isoności 0,05 [7]. W przeprowadzonych badaniach zakres unormowanych cen akcji (0,945; 1,055] zosał podzielony na obszary z inerwałem 0,01, czyli na obszary: (0,945; 0,955], (0,955; 0,965],..., (1,045; 1,055] (11 obszarów). Ze względu na małe wahania (unormowanych) minuowych cen akcji odseek czasu przebywania procesu cen poza podanym zakresem jes bardzo króki, wybrane obszary pokrywały średnio 99,3% oraz 99,7% wszyskich noowań w badanym okresie z pierwszych i drugich części dnia (badane dane zawierały noowania z średnio 3300 dni). Należy akże zaznaczyć, iż obszary zosały ak skonsruowane, aby warość jeden (warość, z kórej saruje ewolucja unormowanych cen w każdej części dnia) leżała pośrodku jednego z obszarów (dokładnie obszaru (0,995; 1,005]). Poniżej przedsawiono porównanie zaobserwowanych średniego odseka czasu przebywania w usalonych obszarach wyznaczanych z pierwszych i drugich połówek dni dla spółki IBM (rys. 2) oraz wykres średniego odseka czasu przebywania i jego odchyleń sandardowych dla spółki IBM i pierwszych części dni (rys. 3).

5 Ana alizaa porównawcza średniego odseka czasu 11 Jak możnaa zauważyć na rys. 2, średni odseek czasu przebywania wyzna- czany na podsawie pierwszych częś ści dnia jes zazwyczaj wię ększy niż w dru- giej. Jedynym wyjąkiem jes obszar (0,995; 1,005], w kórym relacja a jes od- wrona. Z opisanej zależności wynika, że rozkład odseka w drugiej częś ści dnia jes bardziej skoncenrowany wokół ceny począkowej z danej części dnia a. Większe rozproszeniee ceny akcji w pierwszej poło owie dnia jes najprawdopo- dobniej spowodowana relaksacjąą napięć informacyjnych skum mulowanych po przerwie nocnej. W czasie, w kórym GPW w Wars szawie nie funkcjonowałaa in- ne ryn nki generowały impulsy informacyjne, kóre nie mogły byćć naychmias przeworzone przezz inwesorów na GPW. Rys. 2. Średni odse eek czasu przebywania unormowanych cen akcji IBM (dla pierwszej i drugiej połowy dnia) W ym przypadku ( dla spółki IBM), esy wyk kazały isone różnice pomię- dzy średnimii we wszy yskich obszarach poza dwoma skrajnymi. Rozproszenie ods seka czasu przebywania wokół średniej w wybranych obsza- rach nie jes mał łe (rys. 3), nie przekłada się jednak onoo na błędyy esymaora średniej na yle, aby esy nie wykazywały isonych różnic pom między badanymi średnimi. W abeli przedsawionoo odseek przypadków, w kórych w danym obszarze wysępowały isone różnice pomiędzy średnim odsekiem czasu przebywania dla całej badanej próby.

6 12 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra - Rys. 3. Średnia oraz odchylenie sandardowe odseka czasu przebywania unormowanych cen akcji IBM (dla pierwszej połowy dnia) Odseek spółek z isonymi różnicami pomiędzy średnimi odsekami czasu przebywania w pierwszej i drugiej połowie dnia Tabela 1 Odseek spółek z isonymi różnicami pomiędzy średnimi odsekami czasu przebywania w dwóch częściach dnia (es dwusronny) OBSZAR (0,945; 0,955] (0,955; 0,965] (0,965; 0,975] (0,975; 0,985] (0,985; 0,995] (0,995; 1,005] (1,005; 1,015] (1,015; 1,025] (1,025; 1,035] (1,035; 1,045] (1,045; 1,055] 69,4% 89,2% 98,2% 100,0% 96,4% 100,0% 82,0% 99,1% 96,4% 84,7% 66,7% Jak widać w abeli, w znaczącym procencie spółek wysępują isone różnice pomiędzy badanymi średnimi odsekami czasu przebywania w wybranych obszarach wyznaczanych na podsawie danych z pierwszej i drugiej części dnia. Jedynie w skrajnych obszarach wynik en jes niższy od 80% (większy jednak od 65%) i syuacja a jes prawdopodobnie spowodowana krókim czasem przebywania cen akcji w ych obszarach oraz rzadkim wysępowaniem dnia, w kórym cena akcji znalazłaby się w skrajnym obszarze. Przeprowadzono akże esy na isone

7 Analiza porównawcza średniego odseka czasu 13 różnice średniego odseka czasu przebywania wyznaczanego wyłącznie na podsawie pierwszych części dni (oraz na podsawie wyłącznie drugich części dni). Szereg dni z noowaniami rozdzielono losowo na dwie równe części. Nasępnie w każdej z nich wyznaczano średnie odseki czasu przebywania w wybranych obszarach na podsawie zaobserwowanych (unormowanych) cen akcji wyłącznie z pierwszych połówek dni (dla drugiej części dnia procedura była analogiczna). Badania wykazały, iż w żadnej ze spółek i w żadnym z obszarów nie wysępują isonie różne średnie odseki czasu przebywania, co oznacza, iż zaobserwowane wcześniej różnice pomiędzy pierwszą i drugą połową dnia nie są przypadkowe. Inną isoną obserwacją jes fak, iż w każdej spółce, jeżeli wysąpiły isone różnice pomiędzy średnimi, o w obszarze (0,995; 1,005], w każdym przypadku średnia z drugiej połowy dnia jes większa od średniej z pierwszej połowy dnia, a w pozosałych obszarach relacja a jes odwrona (rys. 2, esy jednosronne na isone różnice pomiędzy średnimi z poziomem isoności 0,05). Nasuwa się zaem pyanie, czy wysępują zależności pomiędzy zaobserwowaną większą koncenracją cen w środkowym obszarze w drugiej połowie dnia w porównaniu do pierwszej a odchyleniami (akże semiodchyleniami) sandardowymi logarymicznych sóp zwrou i unormowanych cen. Odpowiedź na o pyanie wymaga dalszych badań. Podsumowanie W arykule zosała zaprezenowana analiza zmian procesu cen akcji opara na czasie przebywania. Doyczyła ona średniego odseka czasu przebywania w wybranych obszarach wyznaczanego na podsawie minuowych cen akcji z pierwszej i drugiej połowy dnia. Przedsawiona przez auorów analiza jes jedynie jedną z możliwych propozycji uwzględnienia czasu przebywania w badaniu szeregów czasowych i sanowi uzupełnienie klasycznych miar używanych zazwyczaj w ym celu. Z przeprowadzonych badań wynika iż średni odseek czasu przebywania w usalonych obszarach w pierwszej i drugiej połowie dnia różni się isonie. Ponado różnice e wykazują pewną endencję, mianowicie średni odseek czasu przebywania wyznaczany na podsawie pierwszych części dnia jes większy niż w drugim przypadku we wszyskich obszarach poza obszarem (0,995; 1,005], w kórym a endencja jes odwrona (we wszyskich spółkach). Innymi słowy, w drugiej połowie dnia proces cen akcji średnio dłużej przebywa w obszarze (0,995; 1,005] niż w pierwszej jego części i odwronie dla pozosałych obszarów. Opisane zjawisko wymaga dalszych badań.

8 14 Tadeusz Czernik, Daniel Iskra Lieraura [1] Bayrakar E., Young V.R., Opimal Invesmen Sraegy o Minimize Occupaion Time, Annales of Operaions Research 2010, No. 176, s [2] Cai N., Chen N., Wan X., Occupaion Times of Jump-Diffusion Processes wih Double Exponenial Jumps and he Pricing of Opions, Mahemaics of Operaions Research 2010, Vol. 35, No. 2, s [3] Czernik T., Czas przebywania poencjalne zasosowania. Geomeryczny ruch Browna, Polskie Towarzyswo Ekonomiczne, Kaowice [4] Darling D.A., Kac M., On Occupaion Times for Markoff Processes, Transacions of AMS 1957, No. 84, s [5] Pechl A., Disribuions of Occupaion Times of Brownian Moion wih Drif, Journal of Applied Mahemaics & Decision Sciences 1999, 3(1), s [6] Sharp N.J., Johnson P.V., Newon D.P., Duck P.W., A New Prepaymen Model (wih Defaul): An Occupaion-Time Derivaive Approach, Journal of Real Esae Finance and Economic 2009, No. 39, s [7] Wywiał J., Wprowadzenie do wnioskowania saysycznego, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Kaowice COMPARATIVE ANALYSIS OF THE RELATIVE OCCUPATION TIME OF THE FIRST AND SECOND HALF OF THE DAY EMPIRICAL RESEARCH Summary In he paper, auhors presen he analysis of he relaive occupaion ime. The analysis concerns he mean of relaive occupaion ime deermined on he basis of he sock price aken from he firs and second half of he day. The presened analysis does no exhaus he family of possible applicaions of occupaion ime funcional.