MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII
|
|
- Jerzy Baranowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KRZYSZTOF JAJUGA Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH WYZWANIE DLA EKONOMETRII. Modele makroekonomiczne a modele sóp procenowych wprowadzenie Nie do podważenia jes eza, iż ekonomeria jes ym obszarem nauk ekonomicznych, kóry wywarł największy wpływ na rozwój eorii ekonomicznych. Dzieje się ak dlaego, iż narzędzia ekonomeryczne służą do weryfikacji hipoez formułowanych przez eorię ekonomii, a czasem wręcz pomagają w sformułowaniu ych hipoez. Makroekonomia jes jednym z obszarów ekonomii, w kórych udział narzędzi ekonomerycznych jes szczególnie isony. W osanich kilkunasu laach w badaniach makroekonomicznych obserwuje się zbliżenie dwóch podejść, kóre dawniej były rakowane jako odrębne obszary. Pierwsze podejście (umownie zwane uaj popyowym ) jako punk wyjścia zakłada sronę popyową rynku i całej gospodarki. W myśl ego podejścia (mocno argumenowanego na gruncie ekonomii Keynesowskiej) w krókim okresie wszelkie zmiany w gospodarce wynikają ze zmian w popycie. Drugie podejście (umownie zwane uaj podażowym ) jako punk wyjścia z kolei zakłada sronę podażową rynku. Zgodnie z ym podejściem w długim okresie wszelkie zmiany w gospodarce zależą od zmian w podaży. Oprócz zbliżenia powyższych dwóch podejść dochodzi jeszcze rola poliyki ekonomicznej, a przede wszyskim poliyki monearnej, kóra (między innymi) poprzez kszałowanie sóp procenowych wpływa na zjawiska gospodarcze, przede wszyskim od srony podażowej, po części wyjaśniając kszałowanie się cykli koniunkuralnych. Nakreślona powyżej inegracja podejść w badaniach makroekonomicznych, wraz z dominującą rolą narzędzi ekonomerycznych, po raz pierwszy znalazła swój
2 26 KRZYSZTOF JAJUGA najpełniejszy wyraz w dwóch fundamenalnych publikacjach Finna Kydlanda i Edwarda Prescoa, laureaów Nagrody Nobla w dziedzinie nauk ekonomicnych z 2004 r., doyczących powiązania poliyki ekonomicznej z cyklami koniunkuralnymi (Kydland, Presco 977, 982). Kydland i Presco dowiedli, że wysępuje niespójność czasowa sekwencyjnie prowadzonej poliyki ekonomicznej, co wynika z faku, iż deklarowana przez zarządzających gospodarką w długim okresie poliyka ekonomiczna nie jes realizowana, gdyż w międzyczasie zmieniają się oczekiwania podmioów (gospodarsw domowych, przedsiębiorsw), doyczące ej poliyki oraz zmieniają się sami realizujący ę poliykę. Jeśli zaś chodzi o cykle koniunkuralne, o Kydland i Presco wykazali, że isoną rolę odgrywają u wahania krókoerminowe, na kóre wpływ mają inne czynniki niż popyowe. Tymi czynnikami są: zmienność rozwoju echnologicznego, a akże szoki podażowe, wywołane rosnącymi cenami, zwłaszcza ropy nafowej. Waro dodać, iż w swojej analizie obaj uczeni wykorzysali neoklasyczny model wzrosu, inegrując w en sposób eorię wzrosu z eorią cykli koniunkuralnych. Modelowanie makroekonomiczne zawsze było w cenrum zaineresowania ekonomisów, w ym ekonomeryków. Przede wszyskim doyczy o wspomnianych już modeli wzrosu. W osanich kilkunasu laach modelowanie wzrosu gospodarczego charakeryzuje się dynamicznym rozwojem. Niewąpliwie duże znaczenie miały u nowe eorie wzrosu gospodarczego, w znakomiy sposób rozwijające modele klasyczne, przede wszyskim model Solowa (956). Chodzi u przede wszyskim o eorię endogenicznego wzrosu, zaproponowaną przez Romera (986). Wydaje się jednak, iż w ych klasycznych i nowych modelach wzrosu sosunkowo niewielkie znaczenie przywiązuje się do zjawisk finansowych, zwłaszcza sóp procenowych. Naszym zdaniem isnieją nasępujące argumeny, przemawiające za inegracją modeli wzrosu z modelami sóp procenowych: jednym z fundamenalnych czynników wzrosu jes kapiał, zaś popy na kapiał oraz podaż kapiału są funkcjami sopy procenowej; sopy procenowe są zasadniczym elemenem poliyki pieniężnej, kóra, prowadzona w długim okresie, ma isone znaczenie, jeśli chodzi o sronę podażową, deerminującą wzros gospodarczy, jak również pośrednio wpływa na sronę popyową. W ym arykule przedsawimy, zarówno syneycznie, jak i kompleksowo, podsawowe modele sóp procenowych. W naszym przekonaniu mogą być one zinegrowane z modelami makroekonomicznymi, zwłaszcza z modelami wzrosu. Kaegoria sopy procenowej jes niewąpliwie jednym z podsawowych i najbardziej isonych paramerów rynku finansowego i całej gospodarki, jednak sam ermin sopa procenowa jes bardzo ogólny. W eorii i prakyce wysępuje co najmniej kilka rodzajów sóp procenowych, dla kórych konsruuje się modele. Przedsawimy je eraz w sposób syneyczny. Podsawowa sopa procenowa, kóra podlega modelowaniu, jes o sopa spo, inaczej zwana sopą zerokuponową lub naychmiasową. Określona jes ona w od-
3 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 27 niesieniu do inwesycji o nakładzie począkowym P, warości końcowej FV, nieprzynoszącej żadnych innych przepływów pieniężnych. Sopa spo określona jes nasępująco:. W przypadku inwesycji poniżej roku (na rynku pieniężnym): FV P T r =, P gdzie: liczba dni rwania inwesycji, T umowna liczba dni w roku (zazwyczaj 360). 2. W przypadku inwesycji rwającej co najmniej rok (na rynku kapiałowym): FV n r n =, P gdzie: n liczba la rwania inwesycji. Druga podsawowa sopa procenowa, kóra może podlegać modelowaniu, o sopa forward, zwana sopą erminową. Jes o sopa znana w chwili obecnej, lecz doycząca okresu rozpoczynającego się w przyszłości i rwającego pewien czas. Wyznacza się ją na podsawie dwóch sóp spo. Jes ona określona nasępująco:. W przypadku inwesycji poniżej roku (na rynku pieniężnym): rs, v = m + rm T s + rs T gdzie: r s,v sopa erminowa v-dniowa za s dni, r s sopa spo s-dniowa, r m sopa spo m-dniowa (m=s+v), T umowna liczba dni w roku (zazwyczaj 360). 2. W przypadku inwesycji rwającej co najmniej rok (na rynku kapiałowym): / v m s, v = ( + r ) r m s + rs ) gdzie: r s,v sopa erminowa v-lenia za s la, r s sopa spo s-lenia, r m sopa spo m-lenia (m=s+v). T v,,
4 28 KRZYSZTOF JAJUGA Jeśli chodzi o sopy erminowe w przypadku inwesycji długookresowej, o najczęściej rozparywane są sopy roczne, oznaczane jako r s,. Można zauważyć również, że formalnie sopa erminowa, doycząca okresu rozpoczynającego się obecnie (w chwili zerowej), jes niczym innym jak sopą spo. W eorii sóp procenowych wyróżnia się jeszcze sopy chwilowe. Są o graniczne sopy spo i forward, doyczące nieskończenie krókich okresów, określone nasępująco: chwilowa sopa naychmiasowa (insananeous spo rae), inaczej zwana sopą krókoerminową (shor rae): r( ) = lim r, 0 chwilowa sopa erminowa (insananeous forward rae), określona dla dowolnego momenu w przyszłości: r ( s, ) = lim rs,. 0 Zauważyć można również, że chwilowa sopa erminowa wyznaczona dla chwili obecnej, czyli okresu zerowego, jes niczym innym jak chwilową sopą naychmiasową (spo). W prakyce właściwie żadna z powyższych sóp nie jes obserwowana bezpośrednio. Do określenia sóp spo, a nasępnie na ich podsawie sóp forward, wykorzysywane są sopy procenowe obserwowane bezpośrednio na rynku. Zaliczamy do nich: w przypadku okresów krószych niż rok: sopy rynku międzybankowego (np. WIBOR, LIBOR, Euribor), sopy renowności bonów skarbowych, sopy ransakcji repo na rynku pieniężnym i sopy konraków swap; w przypadku okresów dłuższych: sopy dochodu obligacji, czyli Yield To Mauriy (YTM). Przy ym sopy krókookresowe są dane jako sopy zerokuponowe, a więc deerminują bezpośrednio sopy spo (przynajmniej w odniesieniu do podsawowych okresów). Z kolei sopy długookresowe orzymywane są na podsawie obligacji kuponowych (z odsekami), a więc muszą być odpowiednio ransformowane w celu uzyskania sóp spo. Problem en jes przedmioem rozważań w dalszej części ego arykułu. Dodajmy u jeszcze, że pewnym przybliżeniem chwilowej sopy naychmiasowej jes sopa jednodniowa ypu overnigh, określona na rynku międzybankowym. Najważniejszym problemem w eorii sóp procenowych jes zagadnienie srukury erminowej sóp procenowych (erm srucure of ineres raes), zwane również zagadnieniem krzywej dochodowości lub krzywej sopy dochodu (yield curve). Srukura erminowa sóp procenowych jes o zależność sóp procenowych (zwłaszcza sóp dochodu dłużnych insrumenów finansowych) od erminu do wykupu, czyli od długości okresu inwesycji. Przykładowa posać krzywej dochodowości przedsawiona jes na rysunku.
5 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 29 Błąd! Sopa dochodu Ź ródł o: Opracowanie własne. Rys.. Krzywa dochodowości Termin do wykupu Jak widać na rysunku, uaj krzywa dochodowości ma posać krzywej rosnącej, zn. im dłuższy okres, ym wyższa sopa dochodu (wyrażona w skali rocznej). Przypadek en nosi nazwę normalnej srukury sóp procenowych. Zagadnienie modelowania srukury erminowej sóp procenowych jes o zasadniczy problem o charakerze eoreycznym i prakycznym. Teoreyczne znaczenie ego zagadnienia jes duże, gdyż, po pierwsze, nie zosało ono rozwiązane w sposób zadowalający, po drugie, modele srukury erminowej sóp procenowych są wykorzysywane w wielu innych zagadnieniach eoreycznych, np. w wycenie insrumenów dłużnych i insrumenów pochodnych na sopę procenową. Również w prakyce znajomość srukury erminowej sóp procenowych jes isona, gdyż pozwala na podejmowanie efekywnych decyzji doyczących inwesowania, finansowania i zarządzania ryzykiem sopy procenowej. Powyżej przedsawiono kilka rodzajów sóp procenowych. Wynika z ego, iż można mówić o kilku rodzajach srukury erminowej sóp procenowych, czyli kilku rodzajach krzywej dochodowości. Do najważniejszych rodzajów należą:. Krzywa sóp spo (spo yield curve). Jes o najważniejszy rodzaj krzywej. Mówiąc srukura erminowa sóp procenowych bez bliższego sprecyzowania, ma się na myśli właśnie ę krzywą konsruowaną w odniesieniu do insrumenów skarbowych, czyli wolnych od ryzyka. Orzymane w en sposób sopy spo są właśnie sopami wolnymi od ryzyka. 2. Krzywa sóp forward (forward yield curve). Jes ona orzymywana na podsawie krzywej sóp spo. Teoreycznie można wyznaczyć bardzo wiele krzywych ego ypu, po jednej dla każdego momenu, od kórego zaczyna się okres. W prakyce jednak rozważa się ylko jedną krzywą. Powsaje ona przez wybranie z każdej możliwej krzywej ylko jednej sopy, mianowicie sopy rocz-
6 30 KRZYSZTOF JAJUGA nej. Oznacza o, że kolejne punky na krzywej, odpowiadające odpowiednim momenom, o sopy erminowe r s,. 3. Krzywa sóp dochodu obligacji (YTM yield curve). Ta krzywa jes obserwowana w prakyce, gdyż powsaje na podsawie sóp dochodu obligacji (kuponowych) wysępujących na rynku. 4. Krzywa sóp dochodu obligacji wycenianych według warości nominalnej (par yield curve). W zasadzie a krzywa nie jes obserwowana w prakyce, ponieważ na rynkach finansowych obligacje zdecydowanie częściej wyceniane są z dyskonem lub premią, a nie według warości nominalnej. W eorii krzywa a jes wyznaczana, gdyż z kolei na jej podsawie określa się krzywą sóp spo. 5. Krzywa chwilowych sóp erminowych (insananeous forward yield curve). Ma ona znaczenie eoreyczne do modelowania dynamiki sóp procenowych. Wszyskie powyższe krzywe wyznacza się najczęściej dla sóp dochodu dłużnych insrumenów skarbowych. Są o zaem sopy wolne od ryzyka. Oprócz ego krzywe dochodu można wyznaczać dla sóp dochodu innych insrumenów dłużnych. Są o zaem sopy zawierające premię za ryzyko, np. za ryzyko kredyowe emiena posiadającego kaegorię raingową BBB. Jeśli dla dowolnego momenu wyznaczy się różnice między sopami dochodu insrumenów dłużnych emiena kaegorii BBB a sopami dochodu wolnymi od ryzyka, wówczas orzymujemy zw. srukurę erminową spreadu kredyowego (erm srucure of credi spread). Wszyskie powyżej przedsawione pojęcia doyczą poziomu sóp procenowych. W modelach sóp procenowych (podobnie jak w modelach innych insrumenów finansowych, na przykład akcji czy walu) isoną rolę odgrywa również zmienność (volailiy) ych sóp. W akiej syuacji każda sopa procenowa rakowana jes jako zmienna losowa, zaś odchylenie sandardowe ej zmiennej informuje o zmienności. Określając dla każdego momenu o odchylenie sandardowe, orzymuje się nową konsrukcję, zw. srukurę erminową zmienności sóp procenowych (erm srucure of volailiy of ineres raes). W en sposób każdej krzywej sóp dochodu odpowiada krzywa zmienności ych sóp. 2. Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych klasyfikacja Modelowanie srukury erminowej sóp procenowych (a ym bardziej srukury erminowej zmienności sóp procenowych) jes jednym z najważniejszych i najrudniejszych zagadnień w finansach. W eorii powsało i w prakyce sosowanych jes wiele modeli. Poniżej przedsawimy ich syneyczną klasyfikację. Na wsępie waro dodać, iż posuluje się, aby modele srukury erminowej sóp procenowych spełniały dwa warunki: odzwierciedlały sopy procenowe wysępujące na rynku, a przede wszyskim ypowe zmiany sóp procenowych obserwowane na rynkach finansowych; odnosiły się do niekórych eorii sóp procenowych wypracowanych na gruncie finansów.
7 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 3 Jeśli chodzi o pierwszy warunek, o waro zauważyć, że obserwacje hisorycznych sóp procenowych wysępujących na rynkach finansowych doprowadziły do wyodrębnienia kilku prawidłowości. Są one nasępujące: sopy procenowe w długim okresie charakeryzują się efekem powrou do średniej, zn. powroem do pewnego przecięnego długookresowego poziomu; zmiany sóp procenowych doyczących różnych okresów nie są z sobą bardzo mocno skorelowane; zmienność sóp procenowych krókoerminowych jes większa niż zmienność sóp procenowych długoerminowych; wysępuje skorelowanie między poziomem sóp procenowych i zmiennością sóp procenowych. Oprócz ych wymienionych prawidłowości, badania zmian sóp procenowych doprowadziły do idenyfikacji rzech podsawowych rodzajów zmian srukury erminowej sóp procenowych, kórym na rysunku odpowiadają zmiany krzywej dochodowości. Zmiany e są nasępujące: przesunięcie równoległe krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe, średnioerminowe i długoerminowe zmieniają się (rosną lub spadają) o ę samą warość; zmiana nachylenia krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe rosną (spadają) o mniej niż sopy średnioerminowe, zaś e rosną (spadają) o mniej niż sopy długoerminowe, lub sopy krókoerminowe rosną (spadają) o więcej niż sopy średnioerminowe, zaś e rosną (spadają) o więcej niż sopy długoerminowe krzywa dochodowości saje się mniej, lub bardziej sroma; zmiana krzywizny krzywej w ym wypadku sopy krókoerminowe i długoerminowe zmieniają się więcej lub mniej niż sopy średnioerminowe krzywa dochodowości zmienia swoją krzywiznę na większą, lub mniejszą. Okazuje się, że e rzy rodzaje zmian rakowane łącznie (np. jednoczesne przesunięcie, zmiana nachylenia i zmiana krzywizny) sanowią zdecydowaną część (nawe około 95%) wszyskich zmian krzywej dochodowości. Jeśli z kolei chodzi o drugi warunek, zn. odzwierciedlanie wypracowanych eorii sóp procenowych, o należy swierdzić, że pod uwagę brane są nasępujące eorie: eoria oczekiwań, eoria preferencji płynności, eoria preferowanego środowiska (por. Marellini, Priaule, Priaule 2003). Czwara znana eoria srukury erminowej sóp procenowych, mianowicie eoria segmenacji rynku, nie bierze pod uwagę zależności między sopami procenowymi doyczącymi różnych okresów, a zaem nie ma związku z modelami srukury erminowej sóp procenowych. Jak już wskazano, powsało bardzo wiele modeli srukury erminowej sóp procenowych. Modele e mają różny rodowód, różny sopień skomplikowania różne koncepcje u podsaw. Analiza modeli proponowanych w lieraurze, a również ych sosowanych w prakyce doprowadziła nas do wyróżnienia dwóch podsawowych klas modeli:. Modele aproksymacji krzywej dochodowości. 2. Modele dynamiki sóp procenowych.
8 32 KRZYSZTOF JAJUGA Modele aproksymacji krzywej dochodowości polegają na wyznaczeniu pewnej funkcji, kóra przybliża dane empiryczne, zn. sopy dochodu odpowiadające pewnym okresom. Orzymana funkcja umożliwia określenie sóp dochodu dla dowolnych okresów. Można powiedzieć, że są o w pewnym sensie modele sayczne, wyjaśniające obecną srukurę erminową sóp procenowych. Modele dynamiki sóp procenowych wychodzą od pewnego ogólnego modelu, opisującego dynamikę sóp procenowych, a nasępnie na podsawie danych empirycznych dokonuje się esymacji paramerów. Są o, jak zreszą nazwa wskazuje, modele dynamiczne, wyjaśniające zmiany srukury erminowej sóp procenowych. Przejdziemy eraz do syneycznej prezenacji modeli należących do ych dwóch klas. Jedyny wyjąek uczynimy dla najbardziej rozwinięych modeli, mających u podsaw sochasyczne równania różniczkowe, kóre przedsawimy nieco szerzej. W klasie modeli esymacji krzywej dochodowości wyróżnić można rzy podsawowe rodzaje modeli: bezpośrednie; aproksymacji segmenowej; aproksymacji całej krzywej dochodowości. Modele bezpośrednie polegają na wyznaczeniu sóp spo (zerokuponowych) na podsawie sóp dochodu obligacji kuponowych. Zasosowanie ma u nasępujące elemenarne równanie, kórego dwie srony odzwierciedlają dwa sposoby wyceny insrumenów dłużnych za pomocą meody zdyskonowanych przepływów pieniężnych: n n C C = = ( + r ) = ( + YTM ) Po lewej sronie równania wysępują nieznane sopy spo, zaś po prawej sronie znane sopy dochodu obligacji kuponowych (ich liczba powinna być równa liczbie wyznaczanych sóp spo). Wyznaczanie sóp spo polega na rozwiązaniu przedsawionego układu równań. Modele aproksymacji segmenowej polegają na podziale przedziału czasowego na kilka segmenów, a nasępnie konsrukcji krzywej dochodowości na podsawie danych empirycznych dla każdego segmenu. Przy ym najczęściej dzieli się przedział czasowy na rzy segmeny, odpowiadające odpowiednio: sopom krókoerminowym ( dzień rok), sopom średnioerminowym ( rok 0 la), sopom długoerminowym (powyżej 0 la). Jeśli zaś chodzi o funkcje aproksymujące, o najczęściej sosowane są wielomiany lub funkcje wykładnicze. Modele aproksymacji całej krzywej dochodowości polegają na zasosowaniu pewnej funkcji opisującej wszyskie sopy procenowe, przy czym paramery ej funkcji mają klarowną z prakycznego punku widzenia inerpreację. Można uaj wyróżnić wiele możliwych modeli, jednak największą popularność zdobyły dwa nasępujące:.
9 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 33. Model Nelsona-Siegela (Nelson, Siegel 987), dany wzorem: exp( m / δ exp( / exp m δ exp r m = β 0 + β 2 exp( m / + + u, m / β δ m / δ δ gdzie u jes o składnik losowy, zaś poszczególne paramery mają nasępującą inerpreację: β 0 długoerminowa sopa procenowa, β spread między sopą długoerminową a sopą krókoerminową, β 2 sopień krzywizny krzywej dochodowości, δ prędkość, z jaką składnik krókoerminowy i średnioerminowy krzywej zdążają do zera. 2. Model Svenssona (Svensson 994), dany wzorem: r m exp( m / δ exp( / exp m δ exp = β0 + β + 2 exp( m / + m / β δ m / δ δ exp( m / δ exp + β3 exp( m / δ + u. m / δ W porównaniu z modelem Nelsona-Siegela w modelu Svenssona doszły dwa dodakowe paramery, kóre pozwalają na większą elasyczność w modelowaniu krzywej (np. uwzględnienie większej ilości garbów ). W klasie modeli dynamiki sóp procenowych można wyróżnić: modele ekonomerii finansowej; modele drzew dwumianowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele sochasycznych równań różniczkowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych; modele drzew dwumianowych, wynikające z koncepcji arbirażu; modele sochasycznych równań różniczkowych, wynikające z koncepcji arbirażu. Modele ekonomerii finansowej są o znane modele klasy ARIMA-GARCH, służące do modelowania finansowych szeregów czasowych rozparywanych w czasie dyskrenym. W zakresie modelowania poziomu są o modele warunkowej warości oczekiwanej ARIMA oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W zakresie modelowania zmienności są o modele warunkowej wariancji GARCH oraz ich modyfikacje i uogólnienia. W ym wypadku modelowana zmienna jes o oczywiście sopa procenowa. Nasępne dwa rodzaje modeli charakeryzują się zw. endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych. Oznacza o, że jes zadany pewien hipoeyczny model, zaś jego paramery szacowane są na podsawie danych empirycznych. W pierwszej grupie ego ypu modeli dynamika sóp procenowych opisywana jes za pomocą drzew dwumianowych. Zakłada się, że na koniec każdego okresu,
10 34 KRZYSZTOF JAJUGA należącego do rozparywanego przedziału czasowego, sopa procenowa może przyjąć dwie warości (każdą z jednakowym prawdopodobieńswem). Przy rozparywaniu wielu okresów dynamika sóp procenowych może być w sposób graficzny przedsawiona za pomocą drzewa, co wyjaśnia nazwę meody. W drugiej grupie modeli z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych, dynamika a jes opisana modelem w posaci sochasycznego równania różniczkowego. Opis ego ypu modeli zawary jes w nasępnym punkcie ego arykułu. Z kolei dwa osanie rodzaje modeli charakeryzują się ym, iż wywodzą się z koncepcji braku arbirażu. Koncepcja braku arbirażu oznacza, iż dokonuje się wyceny insrumenów finansowych w aki sposób, aby nie był możliwy arbiraż, zn. sraegia, kóra nie wymaga nakładów, jes wolna od ryzyka i daje dodani przychód. Przy ym orzymany model jes zgodny z obserwowanymi rzeczywisymi sopami procenowymi, a nie wynika z endogenicznie określonej dynamiki sóp. Również uaj można wyróżnić dwa rodzaje modeli. Pierwszy rodzaj do opisu dynamiki wykorzysuje drzewa dwumianowe. Z kolei drugi rodzaj wynika ze sochasycznych równań różniczkowych. Modelom ego ypu poświęcony jes nasępny punk ego arykułu. Waro na zakończenie dodać, że w przypadku wszyskich powyżej wymienionych modeli na podsawie określonej srukury erminowej sóp procenowych można dokonać wyceny insrumenów dłużnych oraz wyceny insrumenów pochodnych na sopę procenową, akich jak: opcje cap, floor, swapion. 3. Modele dynamiki sóp procenowych, wynikające ze sochasycznych równań różniczkowych Najbardziej zaawansowane modele srukury erminowej o e, w kórych dynamika sóp procenowych opisana jes za pomocą sochasycznego równania różniczkowego. Są o zaem modele w czasie ciągłym, inne niż większość doychczas rozparywanych modeli, w kórych czas był dyskreny. Na począku przedsawimy rzy najczęściej sosowane w finansach ypy modeli zapisanych w posaci sochasycznych równań różniczkowych. Przy ym oprócz klasycznej posaci modelu podamy również wersję dyskreną, w kórej zakłada się, że czas może się zmieniać o jednoskę. Podsawowe modele są nasępujące (dla uproszczenia nie wprowadza się w oznaczeniach osobnego indeksu dla okresu, kórego doyczy sopa, zaś indeks przy sopie procenowej oznacza dany momen czasowy):. Geomeryczny ruch Browna, dany wzorem: dr = μ r d + σr dz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach):
11 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie Proces pierwiaskowy, dany wzorem: r + = ( + ) r + σr ε+ μ. dr = μ r d + σ r dz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r + = ( + ) r + σ r ε+ μ. 3. Proces Ornseina-Uhlenbecka (charakeryzujący się właściwością powrou do średniej), dany wzorem: dr = κ ( θ r ) d + σdz, zaś w wersji dyskrenej (po przekszałceniach): r ( κ ) r + σε+ κθ. Jak wynika z osaniego wzoru, proces Ornseina-Uhlenbecka charakeryzuje się właściwością powrou do średniej sopa procenowa w danym momencie jes skorygowaną o składnik losowy ważoną średnią dwóch wielkości: długoerminowej sopy procenowej oraz sopy procenowej z poprzedniego momenu. Przy ym waga przyporządkowana długoerminowej sopie procenowej jes inerpreowana jako prędkość powrou do ej średniej długookresowej. Powyżej przedsawione modele znalazły swoje poczesne miejsce w konkrenych wersjach modeli sóp procenowych z endogenicznie określoną dynamiką. Modeli ych jes wiele, a dzieli się je zazwyczaj w zależności od liczby czynników, kóre są modelowane. W najwcześniej zaproponowanych modelach jednoczynnikowych jedynym modelowanym czynnikiem jes zw. krókoerminowa sopa procenowa, czyli chwilowa sopa spo. Jeśli modelowanych czynników jes więcej, wówczas pod uwagę bierze się na przykład zmienność krókoerminowej sopy procenowej i średnią sopę długookresową. Ograniczone łamy ego arykułu nie pozwalają na szerokie omówienie modeli sochasycznych równań różniczkowych z endogenicznie określoną dynamiką sóp procenowych. Przedsawimy jedynie kilka najbardziej popularnych modeli, wskazując na modelowane czynniki.. Modele jednoczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa: model Vasicka (Vasicek 977): dr = κ ( θ r ) d + σdz, model Coxa-Ingersolla-Rossa (Cox, Ingersoll, Ross 985): dr = κ ( θ r ) d + σ r dz,
12 36 KRZYSZTOF JAJUGA 2. Modele dwuczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa i zmienność ej sopy: model Fonga i Vasicka (Fong, Vasicek 99): dr = κ ( θ r ) d + σ v dz dv = γ ( ϑ v ) d + ξ v dz2. 3. Modele rójczynnikowe modelowana jes krókoerminowa sopa procenowa, zmienność ej sopy oraz średnia długoerminowa: model Chena (Chen 996): dr = κ ( θ r )d + v r dz dv = γ ( ϑ v )d + ξ v dz2 dθ ϕ( λ θ )d + η θ dz3 =. Jak widać, we wszyskich powyżej przedsawionych modelach rozparywane procesy są o kombinacje procesów Ornseina-Uhlenbecka z procesami pierwiaskowymi. Pewną wadą przedsawionych modeli jes jednak o, iż dynamika sóp procenowych jes określana endogenicznie, co oznacza, że nawe w przypadku wieloczynnikowych modeli obecna srukura erminowa sóp procenowych, dana w posaci sóp dochodu obligacji, niekoniecznie musi być odzwierciedlona w sposób dokładny. Z ą niedogodnością próbują sobie radzić modele arbirażowe. Jak już wskazywaliśmy, są dwie grupy akich modeli. Jedna grupa wykorzysuje wspomnianą już koncepcję drzew dwumianowych. Pierwszy i najbardziej znany model ej klasy zosał zaproponowany przez Ho i Lee (Ho, Lee 986). Druga grupa modeli arbirażowych wykorzysuje sochasyczne równania różniczkowe. Pierwszym i najbardziej znanym modelem ej klasy jes model Heaha- Jarrowa-Morona (Heah, Jarrow, Moron 992). W modelu ym przedmioem zaineresowania jes chwilowa sopa erminowa, a zaem ak naprawdę modelowana jes jednocześnie cała srukura erminowa sóp procenowych. Okazuje się przy ym, że wiele modeli powsałych wcześniej może być porakowanych jako szczególne przypadki modelu Heaha-Jarrowa-Morona. W najbardziej ogólnej wersji model en można zapisać nasępująco: dr, T = μ (, T ) d + σ (, T ) dz.
13 Modelowanie makroekonomiczne a modele sóp procenowych - wprowadzenie 37 Jak widać, w ym modelu zmiany chwilowej sopy forward są funkcją chwilowego dryfu i chwilowej zmienności ej sopy. Po powsaniu modelu Heaha-Jarrowa-Morona powsały inne bardziej rozwinięe modele. Część spośród nich skonsruowana jes w en sposób, iż odzwierciedla obserwowane na rynkach finansowych ceny insrumenów pochodnych na sopę procenową, akich jak cap, floor i swapion. Klasyczne modele ej klasy o e, kórych auorami są Brace, Gąarek, Musiela (997) i Jamshidian (997). W arykule przedsawiono w sposób syneyczny najważniejsze grupy modeli srukury sóp procenowych. Każdy z ych modeli musi być w jakiś sposób wyznaczony, zn. esymowany i/lub kalibrowany na podsawie danych obecnych i hisorycznych. Prowadzi o do konkrenych wyzwań pod adresem ekonomerii. To właśnie ekonomeria dosarcza przecież narzędzi służących do weryfikacji hipoez sawianych przez eorię ekonomii w ym wypadku modeli sóp procenowych zaproponowanych przez eorię finansów. Bibiografia Brace A., Gąarek D., Musiela M. (997), The marke model of ineres rae dynamics, Mahemaical Finance 7, s Chen L. (996), Sochasic mean and sochasic volailiy a hree facor model of he erm srucure of ineres raes and is applicaions in derivaives pricing and risk managemen, Financial Markes, Insiuions and Insrumens 5, s. 87 Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S.A. (985), A heory of erm srucure of ineres raes, Economerica 53, s Fong H.G., Vasicek O.A. (99), Fixed-income volailiy managemen, Journal of Porfolio Managemen 7, s Heah D., Jarrow R.A., Moron A. (992), Bond pricing and he erm srucure of ineres raes: a new mehodology for coningen claim valuaions, Economerica 60, s Ho T.S.Y., Lee S.B. (986), Term srucure movemens and pricing ineres rae coningen claims, Journal of Finance 4, s Jamshidian F. (997), LIBOR and swap marke models and measures, Finance and Sochasics, s Kydland F., Presco E. (977), Rules raher han discreion: he inconsisency of opimal plans, Journal of Poliical Economy 85, s Kydland F., Presco E. (982), Time o build and aggregae flucuaions, Economerica 50, s Marellini L., Priaule P., Priaule S. (2003), Fixed-income securiies, valuaion, risk managemen and porfolio sraegies, Wiley, Chicheser
14 38 KRZYSZTOF JAJUGA Nelson C.R., Siegel A.F. (987), Parsimonious modeling of yield curves, Journal of Business 60, s Romer P.M. (986), Increasing reurns and long-run growh, Journal of Poliical Economy 94, s Solow R.M. (956), A conribuion o he heory of economic growh, Quarerly Journal of Economics 70, s Svensson L. (994), Esimaing and inerpreing forward ineres raes: Sweden , CEPR Discussion Paper 05 Vasicek O.A. (977), An equilibrium characerizaion of he erm srucure, Journal of Financial Economics 5, s
Krzysztof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu. Modelowanie stóp procentowych a narzędzia ekonometrii finansowej
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna
Bardziej szczegółowoESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI
METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków
Bardziej szczegółowoWYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP
Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny
Bardziej szczegółowoMETODY STATYSTYCZNE W FINANSACH
METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny
Bardziej szczegółowoEwa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Bardziej szczegółowoEuropejska opcja kupna akcji calloption
Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy
Bardziej szczegółowoRyzyko stopy procentowej. Struktury stóp procentowych. Konwersje
Ryzyko sopy procenowej. Srukury sóp procenowych. Konwersje. Definicja sopy procenowej. Definicja pieniądza.. Pojęcie sopy wolnej od ryzyka. Sopy NBP. 3. Sopy na rynku depozyów międzybankowych. 4. Srukura
Bardziej szczegółowoParytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD
Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR
Inwesycje finansowe i ubezpieczenia endencje świaowe a rynek polski Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE ZMIENNOŚCI STÓP PROCENTOWYCH NA PRZYKŁADZIE STOPY WIBOR Wsęp Konieczność
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informayki Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Krzyszof Pionek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa oraz AR-GARCH
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoAnaliza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**
Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. 1. Wstęp
WERSJA ROBOCZA - PRZED POPRAWKAMI RECENZENTA Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu MODELOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Z WARUNKOWĄ WARIANCJĄ. Wsęp Spośród wielu rodzajów ryzyka, szczególną
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak E i E E i r r 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania Reguła poliyki monearnej
Bardziej szczegółowoKURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa
Bardziej szczegółowoStudia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna
Bardziej szczegółowoAnaliza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak
Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) E i E E i r r ν φ θ θ ρ ε ρ α 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania
Bardziej szczegółowoCzy prowadzona polityka pieniężna jest skuteczna? Jaki ma wpływ na procesy
Dobromił Serwa Reakcje rynków finansowych na szoki w poliyce pieniężnej.. Wsęp Czy prowadzona poliyka pieniężna jes skueczna? Jaki ma wpływ na procesy ekonomiczne zachodzące w kraju? Czy jes ona równie
Bardziej szczegółowoKONTRAKTY FUTURES STOPY PROCENTOWEJ
KONTRAKTY FUTURES STOPY PROCENTOWEJ Zasosowanie z perspekywy radera Dominik Łogin 18 październik 2013 Agenda I. Fuures obligacyjne Podsawy konsrukcji Porównanie międzynarodowe Baza Cash-Fuures Wyznaczanie
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH
Krzyszof Pionek Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wsęp MODELOWANIE EFEKTU DŹWIGNI W FINANSOWYCH SZEREGACH CZASOWYCH Nowoczesne echniki zarządzania ryzykiem rynkowym
Bardziej szczegółowoPOWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE
Anea Kłodzińska, Poliechnika Koszalińska, Zakład Ekonomerii POWIĄZANIA POMIĘDZY KRÓTKOOKRESOWYMI I DŁUGOOKRESOWYMI STOPAMI PROCENTOWYMI W POLSCE Sopy procenowe w analizach ekonomicznych Sopy procenowe
Bardziej szczegółowoSYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE
SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne
Bardziej szczegółowoAlicja Ganczarek Akademia Ekonomiczna w Katowicach. Analiza niezależności przekroczeń VaR na wybranym segmencie rynku energii
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Kaowicach Analiza
Bardziej szczegółowoOCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ
Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI
Bardziej szczegółowoEFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE
Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Bardziej szczegółowoWYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI
Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI
Bardziej szczegółowoWykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA
Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie
Bardziej szczegółowoMAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak
MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zakłócenia w modelu DAD/DAS: Wzros produkcji poencjalnej; Zakłócenie podażowe o sile
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoPrognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska
Bardziej szczegółowoWPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH
Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów
Bardziej szczegółowoPREDYKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WYKORZYSTANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WYBRANE MODELE EKONOMETRYCZNE I PERCEPTRON WIELOWARSTWOWY
B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2004 Aleksandra MAUSZEWSKA Doroa WIKOWSKA PREDKCJA KURSU EURO/DOLAR Z WKORZSANIEM PROGNOZ INDEKSU GIEŁDOWEGO: WBRANE MODELE EKONOMERCZNE I PERCEPRON WIELOWARSWOW
Bardziej szczegółowoO PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE
MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl
Bardziej szczegółowoOcena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1
Bogdan Ludwiczak Wprowadzenie Ocena płynności wybranymi meodami szacowania osadu W ubiegłym roku zaszły znaczące zmiany doyczące pomiaru i zarządzania ryzykiem bankowym. Są one konsekwencją nowowprowadzonych
Bardziej szczegółowoTransakcje insiderów a ceny akcji spółek notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie S.A.
Agaa Srzelczyk Transakcje insiderów a ceny akcji spółek noowanych na Giełdzie Papierów Warościowych w Warszawie S.A. Wsęp Inwesorzy oczekują od każdej noowanej na Giełdzie Papierów Warościowych spółki
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE PYTANIA KONTROLNE Czym charakeryzują się wskaźniki saycznej meody oceny projeku inwesycyjnego Dla kórego wskaźnika wyliczamy średnią księgową
Bardziej szczegółowoKombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz
Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia
Bardziej szczegółowoStruktura terminowa rynku obligacji
Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie
Bardziej szczegółowoMarża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)
Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa
Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Krzywa Pillipsa: przypomnienie
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF JAJUGA Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu 25 LAT EKONOMETRII FINANSOWEJ
KRZYSZTOF JAJUGA Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu 25 LAT EKONOMETRII FINANSOWEJ EKONOMETRIA FINANSOWA OKREŚLENIE Modele ekonomerii finansowej są worzone
Bardziej szczegółowoAnaliza rynku projekt
Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes
Bardziej szczegółowoMIARA I ODWZOROWANIE RYZYKA FORWARD NA RYNKU SKOŃCZONYM
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-8611 Nr 295 2016 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Kolegium Analiz Ekonomicznych Kaedra Maemayki i Ekonomii Maemaycznej
Bardziej szczegółowoIdentyfikacja wahań koniunkturalnych gospodarki polskiej
Rozdział i Idenyfikacja wahań koniunkuralnych gospodarki polskiej dr Rafał Kasperowicz Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu Kaedra Mikroekonomii Sreszczenie Celem niniejszego opracowania jes idenyfikacja wahao
Bardziej szczegółowoStała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego
252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)
KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała
Bardziej szczegółowoStruktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa
Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku praca zespołowa 17 września 2012 Spis reści I Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku 3 1 Opis rynku finansowego po kryzysie 4 1.1
Bardziej szczegółowoSZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU
B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu
Bardziej szczegółowo1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych
Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną
Bardziej szczegółowoModelowanie premii za ryzyko na polskim rynku pieniężnym z wykorzystaniem instrumentów SWAP na POLONIĘ
Agaa Kliber * Pior Płuciennik ** Modelowanie premii za ryzyko na polskim rynku pieniężnym z wykorzysaniem insrumenów SWAP na POLONIĘ Wsęp Problemem polskiej bankowości jes duża nadpłynność. Banki niechęnie
Bardziej szczegółowoNowokeynesowski model gospodarki
M.Brzoza-Brzezina Poliyka pieniężna: Neokeynesowski model gospodarki Nowokeynesowski model gospodarki Model nowokeynesowski (laa 90. XX w.) jes obecnie najprosszym, sandardowym narzędziem analizy procesów
Bardziej szczegółowoEfekty agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA
Joanna Górka * Efeky agregacji czasowej szeregów finansowych a modele klasy Sign RCA Wsęp Wprowadzenie losowego parameru do modelu auoregresyjnego zwiększa możliwości aplikacyjne ego modelu, gdyż pozwala
Bardziej szczegółowodr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW
Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX
Krzyszof Ćwikliński Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informayki i Finansów Kaedra Ekonomerii krzyszof.cwiklinski@ue.wroc.pl Daniel Papla Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 2(301), Sławomir I. Bukowski *
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA (301), 014 * STOPIEŃ INTEGRACJI CZESKIEGO GIEŁDOWEGO RYNKU AKCJI Z GIEŁDOWYM RYNKIEM AKCJI W OBSZARZE EURO 1 1. WPROWADZENIE W obszarze
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoOcena wpływu zmian poziomu rezerw walutowych na premię za ryzyko kredytowe Polski wykorzystanie metody roszczeń warunkowych
Bank i Kredy 455, 04, 467 490 Ocena wpływu zmian poziomu rezerw waluowych na premię za ryzyko kredyowe Polski wykorzysanie meody roszczeń warunkowych Michał Konopczak* Nadesłany: 5 kwienia 04 r. Zaakcepowany:
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
INWESTYCJE Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Inwesycje Inwesycje w kapiał rwały: wydaki przedsiębiorsw na dobra używane podczas procesu produkcji innych dóbr Inwesycje
Bardziej szczegółowoStrukturalne podejście w prognozowaniu produktu krajowego brutto w ujęciu regionalnym
Jacek Baóg Uniwersye Szczeciński Srukuralne podejście w prognozowaniu produku krajowego bruo w ujęciu regionalnym Znajomość poziomu i dynamiki produku krajowego bruo wyworzonego w poszczególnych regionach
Bardziej szczegółowoSOE PL 2009 Model DSGE
Zeszy nr 25 SOE PL 29 Model DSGE Warszawa, 2 r. , SOE PL 29 Konak: B Bohdan.Klos@mail.nbp.pl T ( 48 22) 653 5 87 B Grzegorz.Grabek@mail.nbp.pl T ( 48 22) 585 4 8 B Grzegorz.Koloch@mail.nbp.pl T ( 48 22)
Bardziej szczegółowoMakroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa
Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Prawo Okuna Związek między bezrobociem,
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 10 WPŁYW DYSKRECJONALNYCH INSTRUMENTÓW POLITYKI FISKALNEJ NA ZMIANY AKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ
Ryszard Barczyk ROZDZIAŁ 10 WPŁYW DYSKRECJONALNYCH INSTRUMENTÓW POLITYKI FISKALNEJ NA ZMIANY AKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ 1. Wsęp Organy pańswa realizując cele poliyki sabilizacji koniunkury gospodarczej sosują
Bardziej szczegółowoUMK w Toruniu ANALIZA ZALEŻNOŚCI MIĘDZY INDEKSEM WIG A WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE
Pior Fiszeder UMK w Toruniu ANALIZA ZALEŻNOŚCI MIĘDZY INDEKSEM WIG A WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE. Wprowadzenie Rynki kapiałowe na świecie są coraz silniej powiązane. Do najważniejszych
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika Zależność
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE MIERNIKÓW KREOWANIA WARTOŚCI W RACHUNKU ODPOWIEDZIALNOŚCI
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 668 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 41 2011 BARTŁOMIEJ NITA Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYKORZYSTANIE MIERNIKÓW KREOWANIA WARTOŚCI W RACHUNKU
Bardziej szczegółowoWyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW
Bardziej szczegółowoDYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Gdański Zasosowanie modelu
Bardziej szczegółowoOcena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób
243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji
Bardziej szczegółowoAnaliza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego
TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR
Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach OPTYMALIZACJA PORTFELA IWESTYCYJEGO ZE WZGLĘDU A MIIMALY POZIOM TOLERACJI DLA USTALOEGO VaR Wprowadzenie W osanich laach bardzo popularną miarą ryzyka sała
Bardziej szczegółowoMechanizm transmisji polityki pieniężnej-współczesne ramy teoretyczne, nowe wyniki empiryczne dla Polski
Mechanizm ransmisji poliyki pieniężnej-współczesne ramy eoreyczne, nowe wyniki empiryczne dla Polski Ryszard Kokoszczyński, Tomasz Łyziak 2, Małgorzaa Pawłowska 3, Jan Przysupa 4, Ewa Wróbel 5 Wrzesień
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoInwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak
Inwesycje Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak CIASTECZOWY ZAWRÓT GŁOWY o akcja mająca miejsce w najbliższą środę (30 lisopada) na naszym Wydziale. Wydarzenie o związane jes z rwającym od
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr (01) 161 181 Pierwsza wersja złożona 9 marca 01 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 15 grudnia 01 080-0339 Anna Michałek
Bardziej szczegółowoWykład 6. Badanie dynamiki zjawisk
Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk Krzywa wieża w Pizie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 4,9642 4,9644 4,9656 4,9667 4,9673 4,9688 4,9696 4,9698 4,9713 4,9717 4,9725 4,9742 4,9757 Szeregiem czasowym nazywamy
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 12 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ
Kaarzyna Szarzec ROZDZIAŁ 2 MIKROEKONOMICZNE PODSTAWY MODELI NOWEJ EKONOMII KLASYCZNEJ. Uwagi wsępne Program nowej ekonomii klasycznej, w kórej nazwie podkreślone są jej związki z ekonomią klasyczną i
Bardziej szczegółowoObszary zainteresowań (ang. area of interest - AOI) jako metoda analizy wyników badania eye tracking
Inerfejs użykownika - Kansei w prakyce 2009 107 Obszary zaineresowań (ang. area of ineres - AOI) jako meoda analizy wyników badania eye racking Pior Jardanowski, Agencja e-biznes Symeria Ul. Wyspiańskiego
Bardziej szczegółowoOeconomiA copernicana. Małgorzata Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
OeconomiA copernicana 2011 Nr 4 Małgorzaa Madrak-Grochowska, Mirosława Żurek Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu TESTOWANIE PRZYCZYNOWOŚCI W WARIANCJI MIĘDZY WYBRANYMI INDEKSAMI RYNKÓW AKCJI NA ŚWIECIE
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem. Lista 3
Zaządzanie yzykiem Lisa 3 1. Oszacowano nasępujący ozkład pawdopodobieńswa dla sóp zwou z akcji A i B (Tabela 1). W chwili obecnej Akcja A ma waość ynkową 70, a akcja B 50 zł. Ile wynosi pięciopocenowa
Bardziej szczegółowoJacek Kwiatkowski Magdalena Osińska. Procesy zawierające stochastyczne pierwiastki jednostkowe identyfikacja i zastosowanie.
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE Jacek Kwiakowski Magdalena Osińska Uniwersye Mikołaja Kopernika Procesy zawierające sochasyczne pierwiaski jednoskowe idenyfikacja i zasosowanie.. Wsęp Większość lieraury
Bardziej szczegółowoWZROST GOSPODARCZY A BEZROBOCIE
Wojciech Pacho & WZROST GOSPODARCZ A BEZROBOCIE Celem niniejszego arykułu jes pokazanie związku pomiędzy ezroociem a dynamiką wzrosu zagregowanej produkcji. Poszukujemy oowiedzi na pyanie czy i jak silnie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (22.04.2013) Współczynnik przyrosu nauralnego. Koncepcja ludności zasojowej i usabilizowanej. Prawo Loki. Współczynnik przyrosu nauralnego r = U Z L gdzie: U - urodzenia w roku Z - zgony w
Bardziej szczegółowoROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/2007 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach
ROZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/007 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Kaowicach WYZNAZANIE PARAMETRÓW FUNKJI PEŁZANIA DREWNA W UJĘIU LOSOWYM * Kamil PAWLIK Poliechnika
Bardziej szczegółowoFinanse. cov. * i. 1. Premia za ryzyko. 2. Wskaźnik Treynora. 3. Wskaźnik Jensena
Finanse 1. Premia za ryzyko PR r m r f. Wskaźnik Treynora T r r f 3. Wskaźnik Jensena r [ rf ( rm rf ] 4. Porfel o minimalnej wariancji (ile procen danej spółki powinno znaleźć się w porfelu w a w cov,
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013 MAŁGORZATA BOŁTUĆ Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY RYNKIEM SWAPÓW KREDYTOWYCH
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE
Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WARTOŚĆ ZAGROŻONA OPCJI EUROPEJSKICH SZACOWANA PRZEDZIAŁOWO. SYMULACJE Wprowadzenie Jednym z aspeków współczesnej ekonomii jes zarządzanie ryzykiem związanym
Bardziej szczegółowoManagement Systems in Production Engineering No 4(20), 2015
EKONOMICZNE ASPEKTY PRZYGOTOWANIA PRODUKCJI NOWEGO WYROBU Janusz WÓJCIK Fabryka Druu Gliwice Sp. z o.o. Jolana BIJAŃSKA, Krzyszof WODARSKI Poliechnika Śląska Sreszczenie: Realizacja prac z zakresu przygoowania
Bardziej szczegółowo